第八讲向量的坐标表示及其运算

第八讲向量的坐标表示及其运算

一、知识点

（一）向量及其表示：

1.平面向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.

（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用AB，BC，…表示.

（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.

（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.

（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.

（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.

（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

2向量坐标的有关概念

（1）基本单位向量

（2）位置向量

（3）向量的正交分解

3.向量的坐标运算：设

),(),(),(),,(1121212211yxayyxxbayxbyxa，，

4.向量的摸：22yxa

（二）向量平行的充要条件：

1向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.

2设a=（x1，y1），b=（x2，y2）则b∥a1221yxyx

（三）定比分点公式：

1线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数λ是P分有向线段21PP所成的比，即P1→P，P→P2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式112121yyyxxx，（λ≠－1）.

2中点坐标公式

3三角形重心坐标公式

二、典型例题

例1若向量ba,. 满足.baba，则ba与所成角的大小为多少?

例2 下列哪些是向量？哪些是标量？

（1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量

例3． ABC中，A（1，1），B（-3，5）， C（8，-3），G是ABC重心，求GA的坐标

例4. 已知A3,2,2,3,1,2,2,1DCB

反向的单位向量求与AB1

的坐标，求点，若EBE522

3若aBDACa求,

三点不共线，，求证：CBA4

CDBDADACAB来表示，以5

坐标三点共线，求点，，且若PPBAxP3,6

如图7所示，若点M分BA的比为3：1，点N在线段BC上，且ABCAMNCSS32，求点N点的坐标

例5若ABCD为正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE等于

A.b+21a B.b－21a

C.a+21b D.a－21b

例6.e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于

A.0 B.－1 C.－2 D.±1

例7.若a=“向东走8 km”，b=“向北走8 km”，则｜a+b|=_______，a+b的方向是_______.

例8 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于

A.1 B.2 C.5 D.6

例9如图，G是△ABC的重心，求证：GA+GB+GC=0.

ABCDGE

例10设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.

. 例11若a、b是两个不共线的非零向量（t∈R）.

（1）若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、31（a+b）三向量的终点在一直线上?

（2）若|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小?

例12.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有 A.a∥b且a、b方向相同 B.a=b

C.a=－b D.以上都不对

例13.设四边形ABCD中，有DC=21AB且|AD|=|BC|，则这个四边形是

A.平行四边形 B.矩形

C.等腰梯形 D.菱形

例14.l1、l2是不共线向量，且a=－l1+3l2，b=4l1+2l2，c=－3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a.

例15.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

.例16已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线?

例17.如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC=a，BD=b，试用a、b分别表示DE、CE和MN.

ABCDMNE

例18在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN与CM交于点E，AB=a，AC=b，用a、b表示AE.

ABCMNE

例对19任意非零向量a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

三、高考点击试题

1.若平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且|b|=35，则b等于

A.（－3，6） B.（3，－6）

C.（6，－3） D.（－6，3）

2.已知向量a=（3，4），b=（sinα，cosα），且a∥b，则tanα等于

A.43 B.－43 C.34 D.－34

3已知平面向量a=（3，1），b=（x，－3）且a⊥b，则x等于

A.3 B.1 C.－1 D.－3

四、练习题

1．如图，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，E、F、G、H分别是AD、BC、AB与CD

的中点，则EF等于 （ ）

A．BCAD B．DCAB C．DHAG D．GHBG

2．下列说法正确的是 （ ）

A．方向相同或相反的向量是平行向量

B．零向量的长度为0

C．长度相等的向量叫相等向量

D．共线向量是在同一条直线上的向量

3．在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则

MCMBMA等于 （ ）

A．O B．MD4 C．MF4 D．ME4

4．已知向量ba与反向，下列等式中成立的是 （ ）

A．||||||baba B．||||baba

C．||||||baba D．||||||baba

5．在 ABCD中，设dBDcACbADaAB,,,，则下列等式中不正确的是（ ）

A．cba B．dba

C．dab D．bac

6．下列各量中是向量的是 （ ）

A．质量 B．距离 C．速度 D．电流强度

7．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若OCeDCeBC则213,5= （ ）

A．)35(2121ee B．)35(2121ee C．)53(2112ee D．)35(2112ee

8．若),,(,,,Robaba不共线则 （ ）

A．oboa, B．ooa, C．obo, D．oo,

9．化简)]24()82(21[31baba的结果是 （ ）

A．ba2 B．ab2 C．ab D．ba

10．下列三种说法：

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底

②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底

③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的是 （ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

11．若2121,,PPPPbOPaOP，则OP等于 （ ）

A．ba B．ba C．ba)1( D．ba111

12．对于菱形ABCD，给出下列各式： ①BCAB ②||||BCAB

③||||BCADCDAB ④||4||||22ABBDAC2

其中正确的个数为 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）

13．21,ee不共线，当k= 时，2121,ekebeeka共线.

14．非零向量||||||,bababa满足，则ba,的夹角为 .

15．在四边形ABCD中，若||||,,bababADaAB且,则四边形ABCD的形状是

.

16．已知cba,,的模分别为1、2、3，则||cba的最大值为 .

三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）

17．设21,ee是两个不共线的向量，2121212,3,2eeCDeeCBekeAB，若A、

B、D三点共线，求k的值.

18．已知△ABC及一点O，求证：O为△ABC的重心的充要条件是.OOCOBOA

19．已知向量,,32,32212121eeeebeea与其中不共线向量,9221eec，问是否

存在这样的实数,,使向量cbad与共线？

20．如图，在△ABC中，P是BC边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121且使

ACABAP21.