第八讲向量的坐标表示及其运算
一、知识点
（一）向量及其表示：
1.平面向量的有关概念：
（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.
（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.
（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2向量坐标的有关概念 （1）基本单位向量 （2）位置向量
（3）向量的正交分解 3.向量的坐标运算：设
),(),(),(),,(112
1212211y x a y y x x b a y x b y x a λλλλ=±±=±ℜ∈==ρρρρρ
，， 4.向量的摸：22y x a +=
ρ
（二）向量平行的充要条件：
1向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ⇔b =λa （a ≠0）.
2设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）则b ∥a ⇔1221y x y x =
（三）定比分点公式：
1线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比
分点的坐标公式⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）. 2中点坐标公式
3三角形重心坐标公式 二、典型例题
例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少?
例2 下列哪些是向量？哪些是标量？
（1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量
例3． ∆ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ∆重心，求GA 的坐标 例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()反向的单位向量求与AB 1 ()()的坐标，求点，若E BE 522-= ()3若a BD AC a 求,-= ()三点不共线，，求证：C B A 4 ()CD BD AD AC AB ++来表示，以5
()()坐标三点共线，求点，，且若P P B A x P 3,6
()如图7所示，若点M 分BA 的比λ为3：1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=
3
2
，求点N 点的坐标
例5若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于 A.b +2
1a B.b －
2
1a C.a +
21b D.a －2
1b 例6.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1
例7.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______.
例8 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1
B.2
C.5
D.6
例9如图，G 是△ABC 的重心，求证：GA +GB +GC =0.
A
B
C
D
G
E
例10设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，求证：OP =λOA +μOB 且λ+μ=1，λ、μ∈R . . 例11若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.
（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、3
1
（a +b ）三向量的终点在一直线上?
（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小? 例12.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有
A.a ∥b 且a 、b 方向相同
B.a =b
C.a =－b
D.以上都不对
例13.设四边形ABCD 中，有DC =
2
1
AB 且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
例14.l 1、l 2是不共线向量，且a =－l 1+3l 2，b =4l 1+2l 2，c =－3l 1+12l 2，若b 、c 为一组基底，求向量a . 例15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
.例16已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?
例17.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .
A
B C
D
M
N E
例18在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示AE .
A B
C M
N
E
例对19任意非零向量a 、b ，求证：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |.
三、高考点击试题
1.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于 A.（－3，6） B.（3，－6） C.（6，－3） D.（－6，3）
2.已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于
A.
43 B.－43 C.34
D.－
3
4
3已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－3
四、练习题
1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于
（ ）
A ．BC AD +
B ．D
C AB +
