考虑偶应力的弹性力学问题

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Word文档 ............. 第四章 平面问题的极坐标解答

典型例题讲解

例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q。如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。

例4-1图

【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角

2max2min22xyxyx

其中0,,xyxq得

maxmin,qq。

最大正应力 所在截面的方位角为

max0max0tan104yqq qqqqy'yρφx'xDABCα0qqqq11111

Word文档 ............. 若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成

方向截取矩形ABCD，则在其边界上便承受集度为q的拉力和压力，如图所示。这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。

（2）取极坐标系如图。由

2222442222cos2(1)(13),cos2(13),(4-18)sin2(1)(13).ρφρφrrσqφρρrσqφρrrτqφρρ

得矩形薄板ABCD内的应力分量为

2222442222cos2(1)(13)cos2(13)sin2(1)(13)ρφρφaaσqφaρρaσqφbρaaτqφcρρ

其中 为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b），在 处得到

44cos2(13)4cos2,φaσqφa

当 ， 时，孔边最小正应力为 ，

当

时，孔边最大正应力为 。

分析：矩形板ABCD边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。

习题全解

1 3 弹性静力学变分原理

一 、弹性力学平衡问题的基本方程：回顾

,0ijjif

在域V内 (3.1)

,,()/2ijijjiuu (3.2)

ijijklklc 或 ijijklkls (3.3a,b)

式中

ijklijlkjiklklijcccc (3.4)

边界条件：在域V的边界B上，12BBB，有

iiuu， 在1B上

(3.5)

ijijipnp， 在2B上 (3.6)

补注1：有限变形应变公式

不限于小变形的应变定义依据坐标的选取分两类，一类是以变形前坐标iX来衡量，称为Lagrange应变或者Green应变，另一类则是以变形后坐标ix来衡量，称为Euler应变或者Almansi应变，分别为

12jikkijjiijuuuuLXXXX

12jikkijjiijuuuuExxxx (s-3.1)

补注2：微极弹性理论

经典的弹性力学中，从微六面体的平衡出发推导平衡方程时，六面体各面上仅有一合力 2 作用，自然有三个分量。但我们在研究宏观构件，比如弹性直梁时，其截面上除了一个合力外，尚有一个合力矩（即三个力矩分量）。也就是说，在经典的弹性理论中，微元体面上的合力矩被忽略了。如果考虑这一合力矩的影响，我们便得到所谓的Cosserat理论，相应的介质称为Cosserat介质。事实上，第一个考虑合力矩影响的是德国学者W. Voigt，他于1887年发表论文，发现这一考虑将导致应力张量的非对称性。E. Cosserat和F. Cosserat兄弟俩于1909年完善了Voigt的工作，特别是提出了物体在变形过程中其每一点不仅有平移变位，而且伴随着转动变位。Cosserat兄弟的工作发表后一直少有人问津，原因是他们的理论是直接建立在非线性构架上的，而且有很多讨论与弹性理论无关，所谓的曲高和寡正是他们的论文遭到冷遇的最好写照。到1950年代左右，由于发现诸如高频振动时经典弹性理论的预测结果和实验结果有较大的差距，Cosserat理论才被重视起来，发表了一系列的学术论文，例如C. Truesdell，R. A. Toupin，R. Mindlin，A. C. Eringen等力学大家都曾致力于Cosserat介质的研究。目前文献中，也称Cosserat介质为微极（micropolar）介质，称Cosserat理论为偶应力（couple stress）理论或者非对称（asymmetric）弹性理论。其运动平衡方程有两组，一组与Cauchy线动量方程（Cauchy’s equation of linear momentum）相同，另一组与Cauchy角动量方程（Cauchy’s

【2-9】【解答】图2-17：

上（y=0） 左(x=0) 右（x=b）

l 0 -1 1

m -1 0 0

 xfs 0 1gyh 1gyh

 yfs 1gh 0 0

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：

100(),0;xxyxxgyh1bb(),0;xxyxxgyh

②在小边界0y上，能精确满足下列应力边界条件：00,0yxyyygh

③在小边界2yh上，能精确满足下列位移边界条件：220,0yhyhuv

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1时，可求得固定端约束反力分别为：

10,,0sNFFghbM

由于2yh为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

222100000byyhbyyhbxyyhdxghbxdxdx

⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l m xf(s) yf(s)

2hy 0 -1 0 q

2hy 0 1 -1q 0 -/2()yyhq，-/2()0yxyh，/2()0yyh，/21()yxyhq

②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()hxyxShhxxNhhxxhdxFdxFydxM

③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件0,0lxlxvu这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

（整理）弹性⼒学第四章应⼒和应变关系

第四章应⼒和应变关系知识点

应变能原理

应⼒应变关系的⼀般表达式完全各向异性弹性体

正交各向异性弹性体本构关系弹性常数

各向同性弹性体应变能格林公式

⼴义胡克定理

⼀个弹性对称⾯的弹性体本构关系各向同性弹性体的应⼒和应变关系应变表⽰的各向同性本构关系

⼀、内容介绍

前两章分别从静⼒学和运动学的⾓度推导了静⼒平衡⽅程，⼏何⽅程和变形协调⽅程。由于弹性体的静⼒平衡和⼏何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建⽴了材料的应⼒和应变的内在联系。应⼒和应变是相辅相成的，有应⼒就有应变；反之，有应变则必有应⼒。对于每⼀种材料，在⼀定的温度下，应⼒和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理⽅程或者本构关系。

对于复杂应⼒状态，应⼒应变关系的实验测试是有困难的，因此本章⾸先通过能量法讨论本构关系的⼀般形式。分别讨论⼴义胡克定理；具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系⼀般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建⽴弹性变形阶段的应⼒应变关系。

⼆、重点1、应变能函数和格林公式；

2、⼴义胡克定律的⼀般表达式；

3、具

有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。

§4.1 弹性体的应变能原理

学习思路:

弹性体在外⼒作⽤下产⽣变形，因此外⼒在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发⽣变化。借助于能量关系，可以使得弹性⼒学问题的求

解⽅法和思路简化，因此能量原理是⼀个有效的分析⼯具。

本节根据热⼒学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建⽴应变能函数表达的材料本构⽅程。

根据能量关系，容易得到由于变形⽽存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。

如果材料的应⼒应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐⼆次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到⽤应变或者应⼒表⽰的应变能函数。