2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷与解析word(理科)
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2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N=|x∈Z|＜2x+1＜4}，则M∩N=（ ）
A．{1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．∅
2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）
A． B．﹣3 C． D．1
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若cosA=，bcosC+ccosB=2，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．4π B．8π C．9π D．36π
6．（5分）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）已知函数f（x）=（ex﹣e﹣x）x．若f（log3x）+f（logx）≤2f（1），则x的取值范围（ ）
A．（﹣∞]∪[3，+∞） B．[，3] C．[，1] D．[1，3]
8．（5分）定义在R上的函数y=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣logax有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，10] B．[，] C．（2，10） D．[2，10）
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）已知i是虚数单位，若复数z=（m∈R）是纯虚数，则m= ．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
11．（5分）设a=cosxdx，则（a+）6展开式中的常数项为 ．
12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．则直线l与圆C相交所得弦长为
．
13．（5分）已知抛物线（t为参数），过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），|AF|=3|FB|，过AB的中点且垂于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为
．
14．（5分）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=，=，则+的最小值为 ．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）已知函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值和最小值．
16．（13分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店；5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．
（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取4名，求至多有一名倾向于选择实体店的女性购物者的概率；
（Ⅱ）若分别从男性购物者和女性购物者中各随机抽取2名，设X表示抽到倾向于选择网购的人数，求X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABE，∠EAB=∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=AD=AE，P为线段BE的中点．
（Ⅰ）求证：CP∥平面DAE；
（Ⅱ）求平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值；
（Ⅲ）在线段EC上是否存在一点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（13分）已知正项数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，且bn+1﹣bn=．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn，并证明≤Tn＜对一切n∈N*都成立．
19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）离心率为，它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，一条直线l与椭圆交于M、N两点，直线OM、ON的斜率之积为﹣，求△MON的面积．
20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2，g（x）=+x，且直线y=﹣是曲线y=f（x）的一条切线．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围；
（Ⅲ）已知方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），若b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，求证：m＜0．
2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N=|x∈Z|＜2x+1＜4}，则M∩N=（ ）
A．{1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．∅
【解答】解：集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，
N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，
则M∩N={﹣1，0}
故选：B
2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）
A． B．﹣3 C． D．1
【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由解得A（0，1）
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A（0，1）时，目标函数有最大值，为z=1+0=1．
故选：D．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：根据题意，得a=2017，i=1，b=﹣，
i=2，a=﹣，b=，
i=3，a=，b=2017，不满足b≠x，退出循环，输出i的值为3．
故选：C．
4．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”⇔△=a2﹣4＜0，⇔“|a|＜2”．
∴“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若cosA=，bcosC+ccosB=2，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．4π B．8π C．9π D．36π
【解答】解：由题意，cosA=，
∴sinA=．
由正弦定理：，可得：2RsinBcosC+2RsinCcosB=2．
即R（sinBcosC+sinCcosB）=1．
RsinA=1．
∴R=3．
圆的面积为：πR2=9π．
故选：C．
6．（5分）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，
取顶点，一条渐近线为mx﹣3y=0，
∵
故选D．
7．（5分）已知函数f（x）=（ex﹣e﹣x）x．若f（log3x）+f（logx）≤2f（1），则x的取值范围（ ）
A．（﹣∞]∪[3，+∞） B．[，3] C．[，1] D．[1，3]
【解答】解：函数f（x）=（ex﹣e﹣x）x，x∈R，
∴f（﹣x）=（e﹣x﹣ex）•（﹣x）=（ex﹣e﹣x）x=f（x），
∴f（x）是定义域R上的偶函数；
又f（x）=f（﹣log3x）=f（log3x），
∴不等式f（log3x）+f（logx）≤2f（1）可化为f（log3x）≤f（1）；
又f′（x）=（ex﹣e﹣x）+（ex+e﹣x）x，
当x≥0时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；
∴原不等式可化为﹣1≤log3x≤1，
解得≤x≤3；
∴x的取值范围是[，3]．
故选：B．
8．（5分）定义在R上的函数y=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣logax有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，10] B．[，] C．（2，10） D．[2，10）
【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），
当n=2时，x∈[2，6]，此时﹣1∈[0，2]，则f（x）=f（﹣1）=×4（1﹣|﹣1﹣1|）=2（1﹣|﹣2|），
当n=3时，x∈[6，14]，此时﹣1∈[2，6]，则f（x）=f（﹣1）=×2（1﹣|﹣|）=1﹣|﹣|，
由g（x）=f（x）﹣logax=0，得f（x）=logax，分别作出函数f（x）和y=logax的图象，
若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．
若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B时，两个函数有4个交点，
则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，
∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），
即满足，
即，解得，
