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最新252向量在物理中的应用举例)汇总

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252向量在物理中的应用举例) 精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 向量在物理中的应用举例

整体设计 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准试验教科书数学必修4(A版)》第111-112页的向量在物理中的应用举例。 1．向量与物理中的矢量一脉相承。向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移等。将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰。向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且提供了用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻，研究的方法、方式更多样、更彻底。 2．用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积. 3．用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用. 二、学生学习情况分析 地理位置：学生大多来自于城市，来自全国各地，比较分散。学生接触面广，个性较活泼，所以开始可采用竞赛的形式提高学生学习的积极性。学生基础的差异性不大，但进一步钻研的精神相差较大。可以适当的对知识进行拓展。 程度差异性：中低程度的学生占大多数，程度较高的学生占极少数。 知识、心理、能力的储备：学生前面已经学过向量的概念，向量的线性运算，向量的坐标表示及数量积，对本节课的学习已做好了知识上的铺垫。可以说衔接自然，水到渠成。但因学生的基础较差，数学的应用意识薄弱，在解决问题时会存在一定困难。 三、设计思想 倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生数学思维能力，发展学生的数学应用意识。 四、教学目标 1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识. 2.通过小组合作探究学会利用数形结合的思想方法，并进一步学习领悟转化思想在数学以及生活中的应用. 3.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯. 五、教学重点难点 教学重点: 1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法. 教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题. 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 六、教学过程 （一）导入新课 设计1.(章头图引入)章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课. 设计2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课. (二)课堂探究： 例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗? 活动:这个日常生活问题可以抽象为如图所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2

的合力),就得到了问题的数学解释.

在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证. 用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 «Skip Record If...» 通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,«Skip Record If...»由0°到90°逐渐变大,cos«Skip Record If...»的值由大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现. 变式训练：用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？ 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 例2 如图所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m和M,求子弹的速度v的大小.

解:设v0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v|=(M+m)|v0|. ① 由于机械能守恒,所以 (M+m)v02=2(M+m)gh. ② 联立①②解得|v|=«Skip Record If...» 又因为m相对于M很小,所以|v|≈«Skip Record If...», 即子弹的速度大小约为«Skip Record If...».

变式训练 一条河的两岸平行,河的宽度d=500m, 一艘船从 A处出发到河的正对岸B

处, 船航行的速度|v1|=10 km/h, 水流速度|v2|=4 km/h,那么v1与v2的夹角θ(精确到1°) 多大时,船才能垂直到达对岸 B 处?船行驶多少时间 (精确到0.1min)?

分析:如果水是静止的，则船只要取垂直于河对岸的方向行驶就可以了，但由于水流的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于河岸方

向。

1GF

ABv2

v1

v

θ精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 思考：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？ 课堂训练 1.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过«Skip Record If...»小时,该船实际航程为( ) A.2«Skip Record If...» km B.6 km C.«Skip Record If...» km D.8 km

2.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F,则F=___________. 3.一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度. 4、一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A、C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.

解答: 1.B 点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2.«Skip Record If...» (5,4)

3.如图所示,设«Skip Record If...»表示水流速度,«Skip Record If...»表示船垂直于对岸的速度,«Skip Record If...»表示船的实际速度,∠AOC=30°,|«Skip Record If...»|=5 km/h. 因为OACB为矩形,所以|«Skip Record If...»|=«Skip Record If...»=«Skip Record

东 C B A 北 西 南

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课件5：2.5.2 向量在物理中的应用举例

课件5：2.5.2 向量在物理中的应用举例



随堂训练
1.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线， a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( ) A．以a，b为邻边的平行四边形的面积 B．以b，c为两边的三角形面积 C．以a，b为两边的三角形面积 D．以b，c为邻边的平行四边形的面积 解析：假设a与b的夹角为θ， |b·c|＝|b|·|c|·|cos〈b，c〉|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sinθ， 即为以a，b为邻边的平行四边形的面积． 答案：A
【解】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点,设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，
则A→M＝(x，y－b)，M→Q＝(a－x，－y)，
∵A→M＝－32M→Q，∴(x，y－b)＝－32(a－x，－y)，∴a＝3x(x>0)，b＝－2y，
则 A0，－2y，Q3x，0， P→A＝3，－2y，A→M＝x，23y，∵P→A·A→M＝0，∴3x－34y2＝0，
想一想 在四边形 ABCD 中，若A→B＝D→C，且A→B·B→C＝0，则该四边形的形状 是什么？
提示：∵A→B＝D→C，∴四边形 ABCD 为平行四边形，
又∵A→B·B→C＝0，∴A→B⊥B→C， ∴该四边形为矩形．
2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理的合成和分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与位移s的数量积．
一边,A→C为一对角线作▱ABCD，则A→D就是船的航行速度． ∵|A→B|＝4 3，|A→C|＝12，∴|A→D|＝|B→C|＝8 3，∴tan∠ACB＝4123＝ 33， ∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°. 即船的航行速度的大小为 8 3 km/h，方向与水流方向的夹角为 120°.
2.5.2 向量在物理中的应用举例

2.5.2 向量在物理中的应用举例


个物体(如图).如果绳子的最大拉力为 F ,物体受到
你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力 F1 的
大小与两绳之间的夹角θ 的关系？
课堂探究 1 利用向量解决力（速度、位移）的合成与分解 例1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体 向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小 与所耗力气的大小有什么关系？ 夹角越大越费力.
立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，
求有关量的值.
F3
北
F 1
s
解：建立如图所示的直角坐标系，
60
30
F2
30 则 F1(1，3),F(2 3，2),F(-3， 3 3). 西 O 2 3 东 所以 F F1 F2 F3 (2 3 2， 4 3 2), 南 位移 s (4 2, 4 2), 所以F s (2 3 2) 4 2 (4 3 2) 4 2 24 6(J).
答案：每小时2千米
练习：坐标平面内一只小蚂蚁以速度v (1, 2) 从点A(4,6)处移动到点B（7,12）处，其所用时间 长短为——
答案：3
相同的方向做匀速直线运动，速度大小为 e1 +e2 。 另一点Q从Q（ -1）出发，沿着与向量3e1 +2e2 0 -2， 相同的方向做匀速直线运动，速度大小为 3e1 +2e2 。 设P，Q在t 0秒时分别在P0 ，Q0处，则当PQ P0Q0时， t=_______
故这三个力的合力做的功是24 6 J.
45
【提升总结】
用几何法求合力，一般要通过解三角形求边 长和夹角，如果在适当的坐标系中，能写出各分力 的坐标，则用坐标法求合力，利用坐标运算求数量 积也非常简单.
2.5.2向量在物理中的应用举例

2.5.2向量在物理中的应用举例


(1)(a

b)2

2
a

2a
b

2
b;
(2)(a

b)(a

b)

2
a


2
b.
题型探究
类型三 平面向量数量积的运算律
变例变式式3 已已已知知知|||aaa|||===666，，，|||bbb|||===444，，，aaa与与与bbb的的的夹夹夹 角角角θθθ===666000°°°，，，求求求(a(aa·++2bbb。))··((aa-b-3)b。)。
其中，a、b、c是任意三个向量， R
注：
(a
b)
c

a
(b

c)
合作探究：我们知道，对任a意,b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2, (a b)(a b) a2 b2.
对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论？
答案 返回
师生合作探究
一个物体，在力f的作用下产生位移S，如图． 问题1：力 f 在位移S方向上的分力的数值是多少？ 提示：|f|cos θ.
问题2：功又可以表述为？ 提示：力 f 在位移S方向上的分力大小与位移大小的乘积
问题3：向量b在a方向上的大小是多少？向量a在b方向上的 大小？
提示：|b|cosθ； |a|cos θ
反思与感 解析答案
例4.已知 | a | 3,| b | 4 ，且a 与b 不共线，k为何值时， 向量 a kb 与 a kb 互相垂直。
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个 向量是否垂直.
向量在物理中的应用举例

向量在物理中的应用举例


故①式可化为：|a|2＝ |a||b|cosC＋ |a||c|cosB，
03 单击此处添加小标题 04 单击此处添加小标题
即|a|＝|b|cosC＋ |c|cosB，
也即a＝bcosC＋ ccosB.
向量在解析几何中的应用
已知点 P(－3，0)，点 A 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 AQ 上， 满足例P→2 A·A→M＝0，A→M＝－32M→Q，当点 A 在 y 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程．
|P→A＋3P→B|2＝245D→A2＋2×52×(3－4x)D→A·D→C ＋(3－4x)2·D→C2＝25＋(3－4x)2D→C2≥25，
谢 谢 聆 听 ∴|P→A＋3P→B|的最小值为答案5：. 5
2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量 的加减法，运动的叠加也用到向量的合成！
3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积
例题
例1：同一平面内，互成 1 2 0 0 等的共点力的合力为零。
的三个大小相
aA
证：如图，用a，b，c表示这3个共点
力，且a，b，c互成120°，模相等
120º O
按照向量的加法运算法则，有：
解：(1)s＝A→B＝(7，0)－(20，15)
＝(－13，－15)， 从而 W1＝F1·s＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－ 13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·s＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)． (2)W＝(F1＋F2)·s＝F1·s＋F2·s＝W1＋W2＝ －102(J)．
sinθ = d
= 60
P
3
V水
d2 l2