97高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解97

1997年河北高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．设集合M =｛x │0≤x <2｝,集合N =｛x │x 2-2x -3<0｝,集合M ∩N = ( )(A) {}10<≤x x (B) {}20<≤x x (C) {}10≤≤x x(D) {}20≤≤x x2．如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行,那么系数a = ( )(A) －3 (B) －6(C) 23-(D)32 3．函数y =tg(π3121-x )在一个周期内的图像是 ( )4．已知三棱锥D-ABC 的三个侧面与底面全等，且AB =AC =3,BC =2,则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是( )(A) arccos33 (B) arccos31 (C)2π (D)32π 5．函数y =sin(x 23-π)+cos2x 的最小正周期是 ( )(A)2π (B) π(C) π2(D) π46．满足arccos(1－x )≥arccos x 的x 的取值范围是 ( )(A) [－1,－21] (B) [－21,0] (C) [0,21] (D) [21,1] 7．将y =2x的图像( )(A) 先向左平行移动1个单位 (B) 先向右平行移动1个单位 (C) 先向上平行移动1个单位(D) 先向下平行移动1个单位再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数y =log 2(x +1)的图像．8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )(A) 20π2(B) 25π2(C) 50π(D) 200π9．曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x (t 是参数，t ≠0),它的普通方程是( )(A) (x －1)2(y －1)=1(B) y =()()212x x x -- (C) ()1112--=x y(D) 112+-=x xy 10．函数y =cos 2x -3cos x +2的最小值为 ( )(A) 2(B) 0(C) 41-(D) 611．椭圆C 与椭圆()()1429322=-+-y x 关于直线x +y =0对称,椭圆C 的方程是( )(A) ()()1934222=+++y x(B) ()()1439222=-+-y x(C) ()()1439222=+++y x(D) ()()1934222=-+-y x12．圆台上、下底面积分别为π、π4,侧面积为π6,这个圆台的体积是 ( )(A)332π(B) π32(C)637π(D)337π13．定义在区间()+∞∞-,的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[+∞,0）的图像与f (x )的图像重合，设a >b >0,给出下列不等式：①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )； ②f (b )－f (－a )<g (a )－g (－b )；③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a )； ④f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a )， 其中成立的是 ( )(A) ①与④(B) ②与③(C) ①与③(D) ②与④14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330 的解集是( )(A) {}20<<x x (B) {}5.20<<x x (C) {}60<<x x(D) {}30<<x x15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )(A) 150种 (B) 147种(C) 144种(D) 141种第Ⅱ卷 (非选择题共85分)二．填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．16．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49,常数a 的值为________17．已知直线的极坐标方程为ρsin(4πθ+)=22,则极点到该直线的距离是_____ 18．︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_______19．已知m ,l 是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α；②若l 平行于α,则l 平行于α内的所有直线； ③若α⊂m ,β⊂l ,且m l ⊥,则βα⊥； ④若β⊂l ,且α⊥l ,则βα⊥； ⑤若α⊂m ,β⊂l ,且α∥β,则m ∥l ．其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都．填上)三．解答题:本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．(本小题满分10分) 已知复数i z 2123-=,i 2222+=ω．复数ωz ,32ωz 在复数平面上所对应的点分别为P ,Q ．证明OPQ ∆是等腰直角三角形（其中O 为原点）．21．(本小题满分11分)已知数列{}n a ,{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ,其中p > q ,且1≠p ，1≠q ．设n n n b a c +=,S n 为数列{}n c 的前n 项和．求1lim-∞→n nn S S ．22．（本小题满分12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比、比例系数为b ；固定部分为a 元．I ．把全程运输成本．．．．．．y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定 义域；II ．为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？ 23．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点．I ．证明AD ⊥D 1F ；II ．求AE 与D 1F 所成的角； III ．证明面AED ⊥面A 1FD 1；IV ．设AA 1=2,求三棱锥F -A 1ED 1的体积11ED A F V - 24．(本小题满分12分)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),方程f (x )－x =0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<a1． I ．当x ∈(0, x 1)时，证明x <f (x )<x 1；II ．设函数f (x )的图像关于直线x =x 0对称，证明x 0<21x 25． (25)（本小题满分12分）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l :x -2y =0的距离最小的圆的方程．1997年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准一．选择题:本题考查基本知识和基本运算．1．B2．B3．A4．C5．B6．D7．D8．C9．B 10．B11．A 12．D 13．C 14．C 15．D二．填空题:本题考查基本知识和基本运算．16．4 17．2218．32- 19．①，④ 注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分．三．解答题20．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．解法一：),6sin()6cos(2123ππ-+-=-=i i z4sin 4cos 2222ππωi i +=+=于是,12sin 12cos ππωi z +=),12sin()12cos(ππω-+-=i z)43sin 43(cos )]3sin()3[cos(32ππππωi i z +⨯-+-=125sin 125cosππi += 因为OP 与OQ 的夹角为2)12(125πππ=--，所以OP ⊥OQ ． 因为1.132====ϖϖz OQ z OP ，所以OQ OP =由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ 为等腰直角三角形． 解法二: 因为)6sin()6cos(2123ππ-+-=-=i i z ，所以i z -=3． 因为4sin 4cos 2222ππωi i +=+=，所以14-=ω 于是i z z z z z z z z ==⋅=22433232ωωωωωωωω 由此得OP ⊥OQ ，│OP │=│OQ │．由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ 为等腰直角三角形．(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．解:,1)1(1)1(11--+--=q q b p p a S n n n)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S ． 分两种情况讨论． (Ⅰ)p >1． ∵,10,0<<>>pqq p1lim-∞→n nn S S)]1)(1()11)(1([)]1)(1()11)(1([lim 111111111-----∞→--+----+--=n n n n n n n n n nn pp q p b p q a p pp q p b p q a p =]1))[(1()11)(1(]1))[(1()11)(1(lim 1111111---∞→--+----+--⋅n n n n n n n pp q p b p q a pp q p b p q a p)1()1(11--⋅=q a q a p=p ．(Ⅱ)p <1． ∵ 0<q <p <1，1lim-∞→n nn S S)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(lim111111--+----+--=--∞→n n n n n q p b p q a q p b p q a 1)1()1()1()1(1111=--------=p b q a p b q a(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为)(2bv vaS v S bv v S a y +=⋅+⋅= 故所求函数及其定义域为],0(),(c v bv vaS y ∈+=(Ⅱ)依题意知S ，a ，b ，v 都为正数，故有ab S bv vaS 2)(≥+当且仅当,bv v a =．即ba v =时上式中等号成立 若c b a ≤，则当b av =时，全程运输成本y 最小， 若c ba>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c aS bv v a S +-+ )]()[(bc bv c av a S -+-==))((bcv a v c vcS-- 因为c －v ≥0，且a >bc 2，故有a －bcv ≥a －bc 2>0， 所以)()(bc caS bv v a S +≥+，且仅当v =c 时等号成立， 也即当v =c 时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为babv =；当c bab>时行驶速度应为v =c ． (23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．解:(Ⅰ)∵AC 1是正方体， ∴AD ⊥面DC 1． 又D 1F ⊂面DC 1， ∴AD ⊥D 1F ．(Ⅱ)取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ．因为F 是CD 的中点，所以GF 、AD 平行且相等，又A 1D 1、AD 平行且相等，所以GF 、A 1D 1平行且相等，故GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F ．设A 1G 与AE 相交于点H ，则∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角，因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌Rt △ABE ，∠GA 1A =∠GAH ，从而∠AHA 1=90°，即直线AE 与D 1F 所成角为直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD ⊥D 1F ，由(Ⅱ)知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE =A ，所以D 1F ⊥面AED ．又因为D 1F ⊂面A 1FD 1，所以面AED ⊥面A 1FD 1．(Ⅳ)连结GE ，GD 1．∵FG ∥A 1D 1，∴FG ∥面A 1ED 1， ∴G E A D ED A G ED A F V V V 111111---==∵AA 1=2，∴S S GE A =∆1正方形ABB1A12321=--∆∆GBE AG A S S 123231311111111=⨯⨯=⨯⨯==∆--GEA GE A D ED A F S D A V V (24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x ．因为x 1，x 2是方程f(x)－x =0的根，所以F(x)=a(x －x 1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，由于x 1<x 2，得(x －x 1)(x －x 2)>0，又a >0，得F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)>0，即x <f(x)．)](1)[())(()]([)(2121111x x a x x x x x x a x x x F x x x f x -+-=--+-=+-=-因为ax x x 1021<<<< 所以x 1－x >0，1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2>1－ax 2>0． 得 x 1－f(x)>0． 由此得f(x)<x 1． (Ⅱ)依题意知ab x 20-= 因为x 1，x 2是方程f (x )－x =0的根，即x 1，x 2是方程ax 2+(b －1)x +c =0的根． ∴ab x x 121--=+， aax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=-=因为ax 2<1，所以22110x a ax x =<． (25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．解法一:设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b │， │a │．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2，又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为52b a d -=，所以5d 2=│a －2b │2=a 2+4b 2－4ab ≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1，当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值． 由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．解法二:同解法一，得52ba d -= ∴db a 52±=- 得2225544d bd b a +±=① 将a 2=2b 2－1代入①式，整理得01554222=++±d db b ②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即 △=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b +2=0．解得b =±1．将b =±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a =±1． 综上a =±1，b =±1，r 2=2． 由b a 2-=1知a ，b 同号．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．。

第97炼 不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）a b b a >⇔<（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>>≥∈ 2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12111n nnH a a a =+++②几何平均数：n G = ③ 代数平均数：12nn a a a A n+++=④ 平方平均数：2nn a Q ++=（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===（3）三项均值不等式：①a b c ++≥ 2223a b c abc ++≥② 33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭③a b c ++≤4、柯西不等式：()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++等号成立条件当且仅当1212nna a ab b b ===或120n b b b ====（1）二元柯西不等式：()()()22222a bc d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：()()()222222121122n n n b b b a b a b a b ++++≥±+±++±② ()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++()()222212121212nn n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭②式体现的是当各项22212,,,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。

易见，只需将其向下平移1个单位即可．
故选： ．
8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是
A． B． C． D．
【解答】解：设球的半径为 ，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则 ，
．
．
故选： ．
9．（4分）曲线的参数方程是 是参数， ，它的普通方程是
A． B．
C． D．
【解答】解： 曲线的参数方程是 是参数， ，
，
将两个方程相乘可得，
，
，
故选： ．
10．（4分）函数 的最小值为
A．2B．0C． D．6
【解答】解：
当 时 ，
故选： ．
11．（5分）椭圆 与椭圆 关于直线 对称，椭圆 的方程是
A． B．
C． D．
【解答】解：依题意可知椭圆 关于直线 对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．
10．（4分）函数 的最小值为
A．2B．0C． D．6
11．（5分）椭圆 与椭圆 关于直线 对称，椭圆 的方程是
A． B．
C． D．
12．（5分）圆台上、下底面面积分别是 、 ，侧面积是 ，这个圆台的体积是
A． B． C． D．
13．（5分）定义在区间 的奇函数 为增函数；偶函数 在区间 ， 的图象与 的图象重合，设 ，给出下列不等式：
1997年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）
1．（4分）设集合 ，集合 ，集合
A． B． C． D．
2．（4分）如果直线 与直线 平行，那么实数 等于
A． B． C． D．
3．（4分）函数 在一个周期内的图象是

1997年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--正棱台、圆台的侧面积公式1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共15小题，第1－10题第小题4分，第11－15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|02M x x =≤<，集合{}2|230N x x x =--<，集合M N ＝A ．{}|01x x ≤<B ．{}|02x x ≤<C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|02x x ≤≤ 2．如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，那么系数a ＝A ．3-B ．6-C ．32-D ．233．函数1tan()y x π=-在一个周期内的图像是4．已知三棱锥D A B C -的三个侧面与底面都相等，且AB AC ==则以B C 为棱，以面BC D与面B C A 为面的二面角的大小是A ．arccos3B ．1arccos3C ．2πD ．23πx-5．函数sin(2)cos 23y x x π=-+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π6．满足arccos(1)arccos x x -≥的x 的取值范围是A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．将2x y =的图像A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ．先向下平行移动1个单位再作关于直线y x =对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是A．B．C ．50πD ．200π9．曲线的参数方程是211,1,x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩（t 是参数，0t ≠），它的普通方程是 A ．2(1)(1)1x y --=B ．2(2)(1)x x y x -=-C ．211(1)y x =-- D ．211x y x=+-10．函数cos 2cos 2y x x =-+的最小值为A ．2B ．6C ．14-D ．611．椭圆C 与椭圆22(3)(2)194x y --+=关于直线0x y +=对称，椭圆C 的方程为A ．22(2)(3)149x y +++= B ．22(2)(3)194x y --+=C ．22(2)(3)194x y +++= D ．22(2)(3)149x y --+=12．圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是A．3B． C6D313．定义在区间(,)-∞+∞的奇函数()f x 为增函数，偶函数()g x 在区间[)0,+∞的图像与()f x 的图像重合，设0a b >>，给出下列不等式：①()()()()f b f a g a g b -->--；②()()()()f b f a g a g b --<--； ③()()()()f a f b g b g a -->--；④()()()()f a f b g b g a --<--． 其中成立的是A ．①与④B ．②与③C ．①与③D ．②与④14．不等式组0,33,33x x x x x >⎧⎪--⎨>⎪++⎩的解集是A ．{}|02x x <<B ．{}|0 2.5x x << C．{|0x x <<D ．{}|03x x <<15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有A ．150种B ．147种C ．144种D ．141种第Ⅱ卷（非选择题共85分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．已知9ax ⎛-⎝的展开式中3x 的系数为94，常数a 的值为 ． 17．已知直线的极坐标方程为sin()42πρθ+=，则极点到该直线的距离是 ．18．sin 7cos15sin 8cos 7sin 15sin 8+-的值为 ．19．已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l α⊥；②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③三、解答题：本大题共6小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）已知复数122z i =-，22i ω=+．复数z ω，23z ω在复平面上所对应的点分别为P ，Q ，证明△OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）》21．（本小题满分11分）已知数列{}n a ，{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p ，q ，其中p q >，且1p ≠，1q ≠．设n n n c a b =+，n S 为数列{}n c 的前n 项和，求1limn n n S S →∞-．22．（本小题满分12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米／时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米／时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）全程运输成本把y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 23．（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E 、F 分别是1B B 、C D 的中点．（1）证明1AD D F ⊥； （2）求A E 与1D F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面11A FD ．ABCDF EA 1B 1C 1D 124．（本小题满分12分）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根1x ，2x 满足1210x x a<<<．（1）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；（2）设函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明102x x <．25．（本小题满分12分）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13．14．15．16．三、解答题 17．1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,满分65分.(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B(6)D (7)D (8)C (9)B (10)B(11)A (12)D (13)C (14)C (15)D二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分.三.解答题(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.满分10分.解法一：-------2分于是-------5分-------7分由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三解形.----7分解法二:由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.----10分(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.解:--------3分分两种情况讨论.(Ⅰ)p>1.=p. -------7分(Ⅱ)p<1.∵ 0<q<p<1,-------11分(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.故所求函数及其定义域为(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,也即当v=c时,全程运输成本y最小.(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分.解:(Ⅰ)∵AC1是正方体,∴AD⊥面DC1.又D1F面DC1,∴AD⊥D1F.-------------2分(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角. -------------5分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. -------------7分(Ⅳ)连结GE,GD1.∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1,∵AA1=2,(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以F(x)=a(x-x1)(x-x2). ------------2分当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,得F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x). ------------4分所以x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.得 x1-f(x)>0.由此得f(x)<x1. ------------7分(Ⅱ)依题意知因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.------------9分.因为ax2<1,所以. ------------12分(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.r2=2b2 ------------2分又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1. ------------5分又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为------------7分所以 5d2=│a-2b│2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值. ------10分由此有解此方程组得由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.-------------12分解法二:同解法一得∴得①将a2=2b2-1代入①式,整理得②把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即△=8(5d2-1)≥0, 得 5d2≥1.将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.综上 a=±1,b=±1,r2=2.由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -------------12分。