第一章 集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系A B 或 B A ∀x ，x ∉∅，∅⊆A ，∅B (B ≠∅)3．集合的基本运算表意{x|x∈A，或x(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(4)任何一个集合都至少有两个子集．()(5)若A B，则A⊆B且A≠B.()(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√(7)×2．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝()A．{1,2,3,4}B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}解析：选A由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．3．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝() A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析：选A由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}．4．(2017·北京高考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁U A＝() A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C由已知可得，集合A的补集∁U A＝[－2,2]．5．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.答案：1或46．已知集合P＝{2,3,4,5,6}，Q＝{3,4,5,7}，若M＝P∩Q，则M的子集个数为________．解析：由题意可知，M＝{3,4,5}，故M的子集个数为23＝8.答案：8考点一集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]素的个数为()A．3B．2C．1 D．0解析：选B因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.2．(2018·南昌模拟)已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B因为a∈M，b∈N，所以a＝1或2，b＝3或4或5.当a＝1时，若b＝3，则x＝4；若b＝4，则x＝5；若b＝5，则x＝6.同理，当a＝2时，若b＝3，则x＝5；若b ＝4，则x＝6；若b＝5，则x＝7，由集合中元素的特性知P＝{4,5,6,7}，则P中的元素共有4个．3．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，所以a ≠0，a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.5．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.答案：－32[怎样快解·准解]1．与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．常见易错探因第2题，第5题易忽视集合中元素的互异性而导致错误；第3题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形．考点二 集合间的基本关系 (基础送分型考点——自主练透)1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A BD ．B A解析：选C 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C.2．(2018·烟台调研)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π8＋π4，k ∈Z ，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M解析：选B 由题意可知，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝(2k ＋4)π8－π4， k ∈Z ，＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π8－π4或，x ＝(2k －1)π8－π4，k ∈Z ，所以M ⊆N ，故选B.3．(2018·云南第一次检测)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与B 的关系是( )A ．B ⊆A B ．B ⊇AC ．B ∈AD ．A ∈B解析：选A 因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >52. 在数轴上标出集合A 与集合B ，如图所示，可知，B ⊆A . [题型技法]判断集合间关系的3种方法4．(2018·云南师大附中模拟)集合A ＝{x |x 2－a ≤0}，B ＝{x |x <2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．(－∞，4)C ．[0,4]D ．(0,4)解析：选B 集合A 就是不等式x 2－a ≤0，即x 2≤a 的解集．①当a <0时，不等式无解，故A ＝∅.此时显然满足A ⊆B .②当a ＝0时，不等式为x 2≤0，解得x ＝0，所以A ＝{0}．显然{0}⊆{x |x <2}，即满足A ⊆B .③当a >0时，解不等式x 2≤a ，得－a ≤x ≤a .所以A ＝[－a ，a ]．由A ⊆B 可得，a <2，解得0<a <4.综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{0}∪(0,4)＝(－∞，4)．故选B.5．已知a ∈R ，b ∈R ，若{a ，ln(b ＋1)，1}＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 018＋b 2 018＝________. 解析：由已知得a ≠0，ln(b ＋1)＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 018＋b 2 018＝1.答案：16．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则a 的取值范围为________．解析：因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] [题型技法]利用集合间关系求解参数问题的策略1．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(2,5]D ．[2,5]解析：选C 由x 2－6x ＋5≤0的解集为{x |1≤x ≤5}，得A ＝[1,5]．由x －2>0，解得x >2，故B ＝(2，＋∞)．把两个集合A ，B 在数轴上表示出来，如图，可知A ∩B ＝(2,5]．2．(2018·湖南湘潭模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x |<1}，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则集合∁U (M ∪N )＝( )A ．(－∞，－1]B ．(－1,2)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A 解|x |<1，得－1<x <1， 所以M ＝(－1,1)． 集合N 中的代表元素为y ，所以该集合是函数y ＝2x ，x ∈R 的值域，即N ＝(0，＋∞)． 从而M ∪N ＝(－1，＋∞)．因为U ＝R ，所以∁U (M ∪N )＝(－∞，－1]，故选A. 3.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2} 解析：选D 依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，选D.[解题师说]1．掌握“4种技巧”(1)先“简”后“算”：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等．如求集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x <1的补集，要先进行化简，若直接否定集合P 中元素的性质特征，就会误以为∁R P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x ≥1，导致漏解．(2)遵“规”守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无”的元素．(3)活“性”减“量”：灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即∁U (M ∩N )＝(∁U M )∪(∁U N )，∁U (M ∪N )＝(∁U M )∩(∁U N )等简化运算，减少运算量．(4)借“形”助“数”：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍．(如典题领悟第1题)2．谨防“2种失误”(1)进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要注意端点值的取舍．(如典题领悟第2题)(2)求集合的补集时，既要注意全集是什么，又要注意求补集的步骤，一般先求出原来的集合，然后求其补集，否则容易漏解．(如典题领悟第3题、冲关演练第3题)[冲关演练]1．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R|－1≤x ≤5}解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}． 2．(2018·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. 3．(2018·皖北协作区联考)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( )A.⎣⎡⎭⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选D 因为A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 考点四 集合的新定义问题 (重点保分型考点——师生共研)1．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{－1,1,2,3}，定义A #B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪z ＝x y，x ∈A ，y ∈B ，则A #B 中元素的个数是( )A ．5B ．7C ．10D ．15解析：选B 因为x ∈A ，所以x 可取－1,0,1； 因为y ∈B ，所以y 可取－1,1,2,3. 则z ＝xy 的结果如下表所示：故A #B 中元素有－1，－12，－13，0，13，12，1，共7个，故选B.2．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y ＝1x ； ②M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }； ③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}； ④M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是( ) A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④解析：选C 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0得OA ⊥OB .对于①，对任意A ∈M ，不存在B ∈M ，使得OA ⊥OB .对于②，当A 为点(1,0)时，不存在B ∈M 满足题意．对于③④，对任意A ∈M ，过原点O 可作直线OB ⊥OA ，它们都与函数y ＝e x －2及y ＝sin x ＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C.3．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 由x ∈A ∩B ，可知x 可取0,1； 由y ∈A ∪B ，可知y 可取－1,0,1,2,3. 所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示：[解题师说]与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．[冲关演练]1．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素，故选B.2．(2018·武昌调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{x ∈N|0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析：选D 因为A ＝{x ∈N|0≤x ≤5}，所以A ＝{0,1,2,3,4,5}．解不等式x 2－7x ＋10<0，即(x －2)(x －5)<0，得2<x <5.所以B ＝(2,5)．因为A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，而3,4∈B,0,1,2,5∉B ，所以A －B ＝{0,1,2,5}，故选D.3．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 2．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B A ，B 两集合中有两个公共元素2,4，故选B.3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.4．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A 且y ∈A 且x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 由x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A ，得x －y ＝1或x －y ＝2或x －y ＝3或x －y ＝4，所以集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，所以集合B 有10个元素．5．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A解析：选B 因为A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A ，故选B.6．已知集合A ＝{0,1,2m }，B ＝{x |1＜22－x ＜4}，若A ∩B ＝{1,2m }，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(0,1)解析：选C 因为B ＝{x |1＜22－x ＜4}，所以B ＝{x |0＜2－x ＜2}，所以B ＝{x |0＜x ＜2}．在数轴上画出集合B ，集合A ∩B ，如图1或图2所示，从图中可知，0＜2m ＜1或1＜2m ＜2，解得0＜m ＜12或12＜m ＜1，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1.故选C. 7．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8．设集合A ＝{x |(x －a )2＜1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＜1，(3－a )2≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ≤2或a ≥4，所以1＜a ≤2. 答案：(1,2]9．设A ，B 为两个集合，下列四个命题：①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ；②A B ⇔A ∩B ＝∅； ③A B ⇔B A ；④A B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B . 其中真命题的序号是________．解析：如果对任意x ∈A ，有x ∈B ，则A ⊆B ，若A 中至少有一个元素不在B 中，即存在x ∈A ，使得x ∉B ，则A 不是B 的子集．所以④是真命题．答案：④10．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________． 解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4， 即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4. 答案：(4，＋∞)B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·湘中名校高三联考)已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( )A ．{2}B ．{2,8}C ．{4,10}D ．{2,8,10}解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2,8}，故选B.2．(2018·河北衡水中学月考)设A ，B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )}，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞)B ．[0,1)∪[2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2]解析：选A 由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}， 所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]， 所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．3．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．4．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ； ②若a 3∉A ，则a 2∉A ； ③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}5．已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． 解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，∵A ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .∴0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]6．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}． 易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}． (2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)， 易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．7．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值．(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z. 解：(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ， 所以32＋c ×3＋15＝0，解得c ＝－8， 所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}． 又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}， 所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3， 所以a ＝6，b ＝9.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7，即为6x 2＋9x －8≤7， 所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－52≤x ≤1， 所以P ∩Z ＝{－2，－1,0,1}． C 级——重难题目自主选做1．对于非空集合A ，B ，定义运算：A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．已知非空集合M ＝{x |a ＜x ＜b }，N ＝{x |c ＜x ＜d }，其中a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab ＜cd ＜0，则M ⊕N ＝( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a )∪(d ，b )C ．(c ，a )∪[b ，d )D ．(a ，c ]∪[d ，b )解析：选D 由M ＝{x |a ＜x ＜b }，得a ＜b .又ab ＜0，∴a ＜0＜b .同理可得c ＜0＜d ，由ab ＜cd ＜0，c ＜0，b ＞0可得a c ＞db ，∴a －c c ＞d －b b .又∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，∴d －b c ＞d －bb ，∵c ＜0，b ＞0，∴d －b ＜0，因此a －c ＜0，∴a ＜c ＜0＜d ＜b ，∴M ∩N ＝N ，∴M ⊕N ＝{x |a ＜x ≤c 或d ≤x ＜b }＝(a ，c ]∪[d ，b )．故选D.2．已知k 为合数，且1＜k ＜100，当k 的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k 的“衍生质数”．(1)若k 的“衍生质数”为2，则k ＝________；(2)设集合A ＝{P (k )|P (k )为k 的“衍生质数”}，B ＝{k |P (k )为k 的“衍生质数”}，则集合A ∪B 中元素的个数是________．解析：(1)依题意设k ＝10a ＋b (a ∈N *，b ∈N)，则a ＋b ＝2，又a ∈N *，b ∈N ，则a ＝2，b ＝0，故k ＝20；(2)由(1)知“衍生质数”为2的合数有20，同理可推“衍生质数”为3的合数有12,21,30，“衍生质数”为5的合数有14,32,50，“衍生质数”为7的合数有16,25,34,52,70，“衍生质数”为11的合数有38,56,65,74,92，“衍生质数”为13的合数有49,58,76,85,94，“衍生质数”为17的合数有98，所以集合A 有7个元素，集合B 有23个元素，故集合A ∪B 中有30个元素．答案：20 30(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.2．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A解析：选B 因为A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A .3.(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2,3,5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117解析：选B 由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5时有相同的元素，当y ＝3，x ＝5,15,25，…，95时，与y ＝5，x ＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140.4.(2018·河北衡水调研)已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选D A ＝{x |log 2x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2. 5.(2018·河北正定中学月考)已知集合P ＝{y |y 2－y －2>0}，Q ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}．若P ∪Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1解析：选A P ＝{y |y 2－y －2>0}＝{y |y >2或y <－1}．由P ∪Q ＝R 及P ∩Q ＝(2,3]，得Q ＝[－1,3]，所以－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.6．设集合A ＝{x |(x －a )2＜1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＜1，(3－a )2≥1， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ≤2或a ≥4，所以1＜a ≤2. 答案：(1,2]7．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8.设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝______________. 解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 答案：{x |－3＜x ≤－1}9.(2018·江西玉山一中月考)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}．∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}．∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}． ∴∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． (2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，C ⊆A . 当C 为空集时，满足C ⊆A ，a ≤1； 当C 为非空集合时，可得1<a ≤3.综上所述，a ≤3.实数a 的取值范围是(－∞，3]．10．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值．(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z. 解：(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ， 所以32＋c ×3＋15＝0，解得c ＝－8，所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}． 又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}， 所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3， 所以a ＝6，b ＝9.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7，即为6x 2＋9x －8≤7， 所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－52≤x ≤1， 所以P ∩Z ＝{－2，－1,0,1}． B 级——拔高题目稳做准做1．对于非空集合A ，B ，定义运算：A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．已知非空集合M ＝{x |a ＜x ＜b }，N ＝{x |c ＜x ＜d }，其中a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab ＜cd ＜0，则M ⊕N ＝( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a )∪(d ，b )C ．(c ，a )∪[b ，d )D ．(a ，c ]∪[d ，b )解析：选D 由M ＝{x |a ＜x ＜b }，得a ＜b .又ab ＜0，∴a ＜0＜b .同理可得c ＜0＜d ，由ab ＜cd ＜0，c ＜0，b ＞0可得a c ＞db ，∴a －c c ＞d －b b .又∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，∴d －b c ＞d －bb ，∵c ＜0，b ＞0，∴d －b ＜0，因此a －c ＜0，∴a ＜c ＜0＜d ＜b ，∴M ∩N ＝N ，∴M ⊕N ＝{x |a ＜x ≤c 或d ≤x ＜b }＝(a ，c ]∪[d ，b )．故选D.2.设平面点集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎭⎫(y －x )⎝⎛y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B所表示的平面图形的面积为( )A.34πB.35πC.47π D.π2解析：选D 不等式(y －x )·⎝⎛⎭⎫y －1x ≥0可化为⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x ≤0.集合B 表示圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A ∩B 所表示的平面区域如图所示．曲线y ＝1x ，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1均关于直线y ＝x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半，即为π2.3.已知集合A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}， B ＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，由已知A ∩B ＝∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，a ＋1≤4，所以2≤a ≤3.答案：[2,3]4．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ； ②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}5.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， 因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1， 即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6.若集合M ＝{x |－3≤x ≤4}，集合P ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)证明M 与P 不可能相等；(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围． 解：(1)证明：若M ＝P ，则－3＝2m －1且4＝m ＋1，解得m ＝－1且m ＝3，不成立． 故M 与P 不可能相等．(2)若P M ，当P ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1<4，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3<2m －1，m ＋1≤4，m ＋1≥2m －1，解得－1≤m ≤2；当P ＝∅时，有2m －1>m ＋1，解得m >2，即m ≥－1； 若M P ，则⎩⎪⎨⎪⎧－3≥2m －1，4<m ＋1，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3>2m －1，4≤m ＋1，m ＋1≥2m －1，无解．综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P M ，此时必有m ≥－1， 即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．。
