最新人教版高中数学选修2-2第二章《反证法》知识导引

2.2.2 反证法问题探究【问题】 已知()x f =x 2+p x +q 满足:f (1)+f (3)-2f (2)=2. 求证:|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于21.设问:(1)至少有一个不小于21,共有多少种情况是满足条件的? (2)这样的问题,我们应该怎样着手去证明结论的正确性?怎样做才能更容易呢? 自学导引 所谓反证法,就是从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的这样一种证明方法.要证不等式M >N ,先假设___________,由题设及其他性质,推出矛盾,从而肯定M >N 成立,这种证明方法叫做反证法. 答案：M ≤N 精典讲解 1.反证法是数学证明的一种重要方法,因为命题“p”与它的否定“非p”的真假相反,所以要证一个命题为真,只要证它的否定为假即可. 2.反证法的步骤: 反证法证明的一般步骤是: (1)反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)归谬:从命题的条件和所作的假设出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果. (3)结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 3.反证法的适用范围: (1)已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少的命题. (2)结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题,特别是结论是否定形式(“不是”“不可能”“不可得”等)的命题. (3)涉及各种无限结论的命题. (4)以“至多(少)、若干个”为结论的问题. (5)存在性命题. (6)唯一性命题. (7)某些定理的逆定理. (8)一般关系不明确或难于直接证明的不等式问题等. 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”.【例1】 若x 、y 、z ∈(0,2π),且满足下列等式si n (cos x )=x , cos y =y , cos (si n z)=z,试将x 、y 、z 按由小到大的顺序排列. 思路分析:本题x 、y 、z 的大小关系全都没有确定,且由题设条件推得的结论很少,很难用直接证法入手,故用反证法.先添加假设条件x ≥y ,y ≥z 作为推理依据.解:(1)假设x ≥y ,因为余弦函数在［0,2π］上单调递减,所以0<cos x ≤cos y =y <2π,于是x =si n (cos x )<cos x ≤cos y =y ,与x ≥y 矛盾,因而x <y .(2)又假设y ≥z,则0<si n z<z≤y <2π,于是z=cos(si n z)>cos y ,与y ≥z 矛盾.因而y <z. 综上所述,x <y <z.温馨提示:用反证法证题第一步要注意正确的反设.没有正确的反设,一切推理都是没有价值的.正确的反设必须咬文嚼字,思考原命题结论的方方面面,不遗漏任何一种情形. 【例2】 证明在抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形. 思路分析:不可能是平行四边形,那么到底是什么四边形不太明确,故用反证法.假设是平行四边形,推出矛盾. 证明:设抛物线方程为y 2=2p x ,A(x 1,y 1)、 B (x 2,y 2) 、C(x 3,y 3)、D(x 4,y 4)是抛物线上的四点,且四边形A B CD 为平行四边形. 由此可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====④③②①,px 2y,px 2y,px 2y ,px 2y 424323222121 ①-②得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2),∴k A B =212121y y p2x x y y +=--. 同理,k B C =32y y p 2+,k CD =43y y p 2+,k DA =14y y p2+.∵四边形A B CD 是平行四边形, ∴k A B =k CD , k B C =k AD ,即41324321y y p2y y p 2,y y p 2y y p 2+=++=+.∴⎩⎨⎧+=++=+.y y y y ,y y y y 32414321∴y 1=y 3,y 2=y 4,进而得x 1=x 3,x 2=x 4.于是A 、C 重合,B 、D 重合.这与A 、B 、C 、D 是抛物线上不同的四点的假设矛盾.故四边形ABCD 不可能是平行四边形. 温馨提示:反驳推理中常见的矛盾形式有:(1)与已知公理矛盾,(2)与已知定理矛盾,(3)与已知定义矛盾,(4)与已知条件(或部分条件)矛盾,(5)与由已知条件推出的某正确结论矛盾,(6)与反设自身矛盾,(7)由反设导出两个互相矛盾的结果. 【例3】 如下图,已知平面α∩β=a , b ⊂β,a ∩b =A,且c ⊂α,c ∥a ,求证:b 、c 为异面直线.思路分析:反证法.假设b 、c 共面,则有两种情况:①b 与c 相交;②b 与c 平行. 证法一:假设b 、c 不是异面直线,即b 、c 为共面直线,则b 、c 为相交直线或平行直线. (1)若b ∩c=P ,已知b ⊂β,c ⊂α,又α∩β=a ,则P ∈b ⊂β,且P ∈c ⊂α,从而,交点P 一定在平面α、β的交线上(公理二),即P ∈a ,于是a ∩c=P ,这与已知条件a ∥c 矛盾.因此b 、c 相交不成立.(2)若b ∥c,已知a ∥c,则a ∥b (公理四),这与已知条件a ∩b =A 矛盾,因此b 、c 平行也不能成立. 综合(1)(2)可知b 、c 为异面直线. 证法二:假设b 、c 不是异面直线,即假设直线b 、c 在同一个平面γ内,则b ⊂γ,c ⊂γ,在直线b 上任取一点B (不同于A,B ∉α);从而,平面γ一定经过B 点与直线c. 又∵A ∈a ,a ∥c, ∴A ∉α.于是c 与c 外一点A 的平面就是α,而这样的平面只能有一个.从而,直线b 、c 都在平面α内,但B ∈b ⊂α,这与B ∉α矛盾.因此b 、c 为异面直线. 温馨提示:立体几何中异面直线问题、共面问题常用反证法.反证法中要正确推理,将反设列入已知条件,按一般逻辑推理程序和法则推理.推理中没有用到“反设”就不是反证法. 【例4】 设a 、b 是两个实数,A={(x ,y )|x =n ,y =na +b ,n ∈Z },B ={(x ,y )|x =m,y =3m 2+15,m ∈Z },C={(x ,y )|x 2+y 2≤144}是平面xOy 内的点的集合.求证:不存在a 、b 使得A∩B ≠,且(a ,b )∈C 同样成立.证法一:设存在实数a 、b 满足所给条件,由A∩B ≠,知方程组⎩⎨⎧+=+=15x 3y b,ax y 2有整数解,x =n ,y =m,代入,并消去m,得 3n 2-an -(b -15)=0,① Δ=a 2+12b -180≥0.② 由(a ,b )∈C,知a 2+b 2≤144⇒a 2≤144-b 2,结合②,有0≤Δ≤(144-b 2)+12b -180,得b =6,且Δ=0.这表明方程①有等根,且n 2=n 1·n 2=3b15-=3,所以n =±3,这与n 为整数矛盾.所以不存在a 、b 使①②同时成立.证法二:由柯西不等式:x 1y 1+x 2y 2≤22212221y y x x +⋅+,若存在(a ,b )∈C,使A∩B ≠,则a 2+b 2≤144,又y =na +b ·1≤222n 1b a +⋅+≤122n 1+,且y =3n 2+15=3［(1+n 2)+4］≥122n 1+.其中n ∈Z 时,上式等号不成立.所以矛盾,这说明a 、b 不存在.温馨提示:本题属存在性命题,用集合语言巧妙地将方程、不等式与曲线、区域联系在一起.由于A∩B ≠的界限不易确定,正面推理较难,而用反证法,则入口宽,思路多.除了上述两种方法外,还可以用集合的知识及用解析法,从方程的几何意义等方面入手.【例5】 设a >3,给定数列{x n },其中x n +1=1)-(x 2x n 2n(n =1,2,…),x 1=a .求证:当n ≥34lg 3alg时,必有x n +1<3.思路分析:本题形式比较古怪,我们先来研究一下“n ≥34lg 3alg”中“34”的由来.当x n >3时,43)1311(21)1x 1(121x x n n 1n =-+<-+=+.其次研究一下数列{x n }的性质,结合反证法证明本题.证明:∵x n +1-1=]1x 11)-[(x 211)-(x 21)-(x 2x n n n n 2n -+=-,知x n +1-1与x n -1同号,从而与x 1-1=a -1同号,为正.故x n +1-1≥21×2=1. ∵x 1=a >3,∴等号不成立.∴x n >2, 且n 1n x x +=)1x 1(121n -+∈(43,21).∴x n +1<x n .假设当n ≥34lg 3alg,x n +1≥3,则x 1>x 2>…>x n >x n +1≥3,从而x n +1=n 1n x x +.1n n x x - (1)2x x ·x 1<(43)n ·a (由分析得),∴3<(43)n·a .两边取对数,n <34lg 3alg,这与n ≥34lg 3a lg矛盾.故当n ≥34lg 3a lg时,必有x n +1<3.拓展迁移 【拓展点1】 给出三角形边角满足的条件关系,判断三角形的形状,这样一类问题是比较常见的.对于这类问题的常规解法是将条件先进行三角变形(和、差、倍、半角公式,和差化积与积化和差等等),直到变得可以看出答案为止.这种解答对于训练三角形运算能力,培养观察、分析、解决问题的能力有很大的作用.但是从解题的效果来看,这种解答有时方向不很明确,过程也往往显得很冗繁.如果我们遵循“正难则反”的解题思维策略,采用反证法来证明这类问题,往往能出人意料地简单. 设在△ABC 中,有cos 2A +cos 2B +cos 2C <1, 证明△ABC 是一个锐角三角形.思路分析:本题常规处理的办法是将条件降次、化积,再确定各角的余弦的正负号.但我们尝试用反证法,发现用反证法处理相当简捷. 证明:反设△A B C 不是锐角三角形,设C ≥2π,则A +B ≤2π, 故A ≤2π-B ,从而cos A ≥cos(2π-B )=si nB . 所以cos 2A +cos 2B +cos 2C ≥si n 2B +cos 2B +cos 2C =1+cos 2C ≥1. 与条件矛盾.故△ABC 是锐角三角形. 【拓展点2】证明几何量之间的关系.已知:四边形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BC 的中点,EF =21(AB +CD ).求证:AB ∥CD .证明:假设AB 不平行于CD .如图,连结AC ,取AC 的中点G ,连结EG 、FG . ∵E 、F 、G 分别是AD 、BC 、AC 的中点, ∴GE ∥CD ,GE =21CD ,GF ∥AB ,GF =21AB . ∵AB 不平行于CD,∴GE 和GF 不共线,GE 、GF 、EF 组成一个三角形. ∴GE +GF >EF .①但GE +GF =21(AB +CD )=EF ,② ①与②矛盾, ∴AB ∥CD . 【拓展点3】 证明“唯一性”问题. 在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时的问题,称为“唯一性”问题. 若过平面α上的点A 的直线a ⊥α,求证:a 是唯一的. 证明:假设a 不是唯一的，则过A 至少还有一条直线b ,b ⊥α. ∵a 、b 是相交直线, ∴a 、b 可以确定一个平面β. 设α和β相交于过点A 的直线c. ∵a ⊥α,b ⊥α, ∴a ⊥c,b ⊥c. 这样在平面β内,过点A 就有两条直线垂直于c,这与定理产生矛盾. ∴a 是唯一的. 温馨提示:关于唯一性的问题,在几何中有,在代数、三角等学科中也有.这类题目用直接证法证明相当困难,因此一般情况下都采用间接证法,即用反证法或同一法证明,用反证法证明有时比同一法更方便. 【拓展点4】 证明不可能问题. 几何中有一类问题,要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在.它们的结论命题都是以否定形式出现的,若用直接证法证明有一定的困难.而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在.因此,这类问题非常适宜用反证法. 证明抛物线没有渐近线. 证明:设抛物线的方程是y 2=2p x (p≠0).假设抛物线有渐近线,渐近线的方程是y =ax +b ,易知a 、b 都不为0.因为渐近线与抛物线相切于无穷远点,于是方程组 ⎩⎨⎧+==②①b ax y px,2y 2 的两组解的倒数都是0. 将②代入①,得a 2x 2+2(ab -p)x +b 2=0.③设x 1、x 2是③的两个根,由韦达定理,可知x 1+x 2=-2a p)-(ab 2,x 1·x 2=22ab ,则2212121bp)-(ab 2x x x x x 1x 1-=+=+,④222121b a x x 1x 1x 1==⋅=0.⑤ 由④⑤,可推得p=0, 这与假设p≠0矛盾. 所以,抛物线没有渐近线. 温馨提示:关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型.由于它的结论是以否定形式出现,采用直接证法有困难,所以这类问题一般都使用反证法加以证明. 【拓展点5】 证明“至少存在”或“不多于”问题. 在几何中存在一类很特殊的问题,就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个.由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少,用直接证法有一定困难.如果采用反证法,添加了否定结论这个新的假设,就可以推出更多的结论,容易使命题获证. 已知:四边形A B CD 中,对角线AC=B D=1.求证:四边形中至少有一条边不小于22. 证明:假设四边形的边都小于22,由于四边形中至少有一个角不是钝角(这一结论也可用反证法证明),不妨设∠A≤90°, 根据余弦定理,得B D 2=AD 2+A B 2-2AD·A B ·cosA, 所以B D 2≤AD 2+A B 2, 即B D≤2222)22()22(AB AD +<+=1. 这与已知四边形B D=1矛盾. 所以四边形中至少有一条边不小于22.。