2.2.3向量数乘运算及其几何意义一．自主学习1.情景平台已知非零向量a ，把a +a +a 记作3a ，(-a )+(-a )+(-a )记作-3a ，试作出3a 和－3a ．2.概念导入我们规定 这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：（1）（2）有上可知：λ=0时，λa=向量数乘的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小.3.运算律完成以下三个问题（1）已知非零向量a ，求作向量2(3a )和6a ，并进行比较．（2）已知非零向量a ，求作向量5a 和2a+3a ，并进行比较 a（3）已知非零向量a ，b ，求作向量2(a +b )和2a +2b ，并把结果进行比较分析．.总结运算律：设μλ,为实数,那么（1）→→=a a )()(λμμλ；（2）→+a )(μλ=→a λ+→a μ；（3）)(→→+b a λ=→a λ+→b λ。
特别地，我们有（-λ）→a =-（λ→a ）=λ（-→a ）， )(→→-b a λ=→a λ-→b λ二．探究、讨论、展示典例一向量数乘运算律例1. 计算：（1）(-3)×4a （2）3(a +b )-2(a -b )-a （3）(2a +3b -c )-(3a -2b +c )变式训练1、点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC = AB ,BC = AB . 2、课本练习3、5题3、若3m +2n =a ,m -3n =b ,其中a ,b 是已知向量,求m ,n .典例二 三点共线问题两个向量共线的等价条件是： 例2 如图,已知任意两个非零向量a 、b ,试作OA =a +b ,=a +2b ,=a +3b .你能判断A 、B 、a a a bC 三点之间的位置关系吗?为什么?例 3 (1)已知两个非零向量1e 和2e 不共线，如果2132e e +=，21236e e +=，2184e e -=。
求证;A 、B 、 D 三点共线(2)已知两个非零向量1e 和2e 不共线,欲使21e e k +和21e k e +共线，试确定实数k 的值典例三 向量的线性运算例 4 如图, AB CD 的两条对角线相交于点M,且=a ,=b ,你能用a 、b 表示MC 、、、和吗?变式训练1、课本练习第4题 2、课本练习第6题【小结】1°定义实数与向量的积2°实数与向量积的运算律．3°向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b =λa ．作业：习题2.2 A 组第9、10题课下练习：习题2.2 A 组第11、12、13题课下思考：习题2.2 B 组第1、2、3、4、5题。
科组长签字：高中数学必修4 平面向量基本知识回顾：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----AB u u u r(几何表示法)；②用字母a r 、b r等表示(字母表示法)；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj r r，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y r，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i r (1,0) ，j r (0,1) ，0(0,0) r。
a r ),(11y x A ，),(22y x B ，则1212,y y x x，AB3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.||a 就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0r 与任一向量平行.向量a r 、b r 、c r 平行，记作a r ∥b r ∥c r.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：//(0)(a b b a b r u r r r r r 是唯一）||b a b a a bu r ru r r r r 0,与同向方向---0,与反向长度---1221//(0)0a b b x y x y r u r r r （其中 1122(,),(,)a x y b x y r u r）5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2性质：0a b a b r u r r rg1212a b x x y yr u r（其中1122(,),(,)a x yb x yr u r）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
2.5 向量的应用【教学过程】一、 引入空间向量的运算和平面向量一致，学习空间向量可帮助我们将许多立体几何问题化成简单的代数式，比如要求空间当中一条线段的长度可借助向量的模来求算，要判断两条直线之间的位置关系也可以借助两向量的夹角。
二、 概念分析向量的数量积 大小a ⋅a =|a |2，位置a ⊥b a ⋅b =0三、 例题讲解例1证明以圆的直径为一边的圆内接三角形是直角三角形．分析 如图15-6，只需证明AB ⋅AC =0． 证明 设⊙O 半径为r ,连结半径OA ． 因为 OB ＝－OC ，AB ＝AO ＋OB ＝AO －OC ，AC ＝AO ＋OC ,所以 AB ⋅AC ＝（AO －OC ）⋅(AO ＋OC ）＝2AO －2OC ＝r 2－r 2＝0． 因此AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．例2即得 c 2=a 2+b 2．如图15-7，已知ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，棱长AB =a , AD =b , AA 1=c ，AC 1、CA 1是其两条对角线．求证：若AC 1⊥CA 1，则c 2=a 2+b 2．证明 因为 AC 1⊥CA 1，所以1AC ⋅1CA =0．1AC =AB +BC +1CC ，1CA =CD +DA +1AA ，1AC ⋅1CA =(AB +BC +1CC )⋅(CD +DA +1AA )=AB ⋅+AB ⋅DA +AB ⋅1AA +⋅ +⋅+⋅1AA +1CC ⋅+1CC ⋅+1CC ⋅1AA ． 因为CD uuu r =-AB u u u r , BC u u u r =-DA u u u r, 1CC uuu u r =1AA uuuu r ，故O ABC图15-6• 图15-7A 1B 1C 1D 11AC uuuu r ⋅1CA uuur =-|AB u u u r |2-|DA u u u r |2+|1AA uuuu r |2=-a 2-b 2+c 2=0．即得 c 2=a 2+b 2．例3如图15-8，在两个互相垂直的平面α和β 的交线上有两个点A 、B ，AC ⊂α且AC ⊥AB ，BD ⊂β且BD ⊥AB ．已知AB =AC =1, BD =2，求线段CD 的长．解 CD CA AB BD =++uuu r uu u r uuu r uuu r，所以2CD =BD AB BD CA AB CA BD AB CA ⋅+⋅+⋅+++222222． 由两平面垂直的性质知，AC ⊥平面β，所以AC ⊥BD ，CA uu u r ⋅BD u u u r=0．又由条件知CA uu u r ⋅AB u u u r =0, AB u u u r ⋅BD u u u r=0．所以 2222CD CA AB BD =++uuu r uu u r uuu r uuu r =1+1+2=4． 所以CD ＝2．四、 课堂练习1. 证明菱形的对角线互相垂直．2. 已知A ,B 是120︒的二面角α- l -β棱l 上的两点，线段AC ，BD 分别在面α, β内，且AC ⊥l ，BD ⊥l ．已知AC =2，BD =1，AB =3，求线段CD 的长．【小结】课堂小结：本节课我们运用向量的数量积形式来计算空间当中线段的长短与位置，直接通过向量的加和形式来表示空间中的线段，最后经由简单的代数运算即可判断出大小与位置关系，此种方法在某些复杂的立体结构中会显得比立体几何的方法更加的简单。
第二章 平面向量全章小结（一）学习目标1.进一步理解向量的有关概念;2.掌握向量的线性运算,掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.4.掌握平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。
5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题. （二）重点难点1.重点是让学生理解向量的相关概念和向量的运算2. 难点是如何向量方法解决一些问题. （三）教学过程 教学环节 教学内容师生互动 设计意图 全章知识结构介绍让学生根据表根中的各项要,回忆相关的概念让学生从整体上对本章内容有一个宏观的了解复习例1.填空(向量的线性运算) 1.已知平行四边形ABCD,则_______,=+AD AB ._______=-AD AB2. ._______=-++BA CB AC AB3. 已知)(21OB OA OM +=,则点M 是A,B 的_______;若点A()7,1(),,5,2--B , 则 M 的坐 标为_________. 4.已知OB OA OM 31)311(+-=,则._____AB AM =5.已知)2,3(),1,2(--B A , AB AM 32=, 则点M 的坐标为_______.让学生自己先解决问题,让后同学进行回答,教师进行指导 说明:给出这组题的目的是,在复习向量的加减法,坐标运算和其相关的几何表示都要掌握,并且要会结合在一起使用.例2.(向量的数量积)说明:让学生首要注意一些数据表明平面向量、实际背景向量及其基本概念 线性运算 向量的数量积基本定理坐标表示向量的应用(1)已知)1,3(),3,1(-==b a ,求.,|,||,|,,>+<-+><a b a b a b a b a(2)已知在ABC ∆中,有A C O O OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,问:点O 在ABC ∆的什么位置.的一些几何信息以及向量的代数式也可以告诉我们一些相关的几何信息,从而突出代数和几何关系.例3.(向量基本定理) (1)给定一个基底},{j i 且,312,3,4j i c j b j i a -==+=如果b y a xc +=,求y x ,.(2)已知E,F 分别是∆ABC 边AB,AC 上的点,其EF//BC,AE=AB 31,如果a =AE ,b =AF ,用b a ,表示 .,,,CF EC BF BC会让学生在给出基底的情况下表示其它向量.例4.(向量的应用) (1)已知ABC ∆中,引中线AD,BE,CF,求证: 0=++CF BE AD ;(2)若O 为ABC ∆的重心,求证:0=++OC OB OA .(根据此问让学生思考重心坐标公式) (3)用向量方法证明:平行四边形两条对 角线长度的平方和等于平行四边形四边 长度的平方和. (4)已知向量OCOB OA ,,满足,0=++OC OB OA 1||||||===OC OB OA ,求证:ABC ∆是等边三角形. (5)已知R t c b a ∈==-=),1,3(),1,2(),2,3(.求||b t a -的最小值和相应t 的值;教师要对学生进行适当的提示.这部分问题的对学生的要求较高,让学生会应用向量方法解决相关问题,而这包括用向量和坐标方法.若b ta 与c共线,求t的值.归纳小结本节主要复习向量的概念和相关的运算, 如何用向量来解决问题布置作业课本126页习题. 学生自主完成（四）教学资源建议教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规（五）教学方法与学习指导策略建议向量是沟通代数,几何,三角函数的工具,掌握向量的解题技巧,方法显得非常重要.向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法,学生应该对相应的基本概念比较清楚,因此教师在复习时,应该在引导学生得到结果基础之上,让同学理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机的结合在一起.运算和运算律是向量的灵魂,是连接数与形的纽带,教师应该突出这一点.因此,教师在讲授时,（1）关注解题方法产生的思维过程引导学生探究如何将把问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.（2）强化学生的应用意识一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.（3）引导学生探究解题规律指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.。
