2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1课时跟踪训练： 共面向量定理 Word版含解析

课时跟踪训练(二十二)空间向量的数量积1．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为________．2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.3．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________________________________________________________________________.4．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.5．如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．6．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，求k的值；(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，求k的值．7．已知A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，求△ABC的面积．8．在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．答 案1．解析：AB ＝(0,3,3)，AC ＝(－1,1,0)，∴cos 〈AB ，AC 〉＝332×2＝12，∴〈AB ，AC 〉＝60°.答案：60°2．解析：a ·b ＝2×3×cos 60°＝3.∴|2a －3b |＝4|a |2－12a ·b ＋9|b |2＝4×4－12×3＋81＝61.答案：61 3．解析：设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a·AB ＝0，a ·AC ＝0，|a|＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.答案：⎝⎛⎭⎫313，413，1213或⎝⎛⎭⎫－313，－413，－1213 4．解析：∵p ＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，q ＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.答案：－15．解析：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴AC ·AB ＝0，BD ·AB ＝0.又∵二面角为120°，∴〈CA ，BD 〉＝60°，∴CD 2＝|CD |2＝(CA ＋AB ＋BD )2＝CA 2＋AB 2＋BD 2＋2(CA ·AB ＋CA ·BD ＋AB ·BD )＝164，∴|CD |＝241.答案：2416．解：k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．2 (1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063.7．解：∵AB ＝(1,1,1)，AC ＝(2,1,3)，∴|AB |＝3，|AC |＝14，AB ·AC ＝6，∴cos ∠BAC ＝cos 〈AB ，AC 〉＝AB ·AC|AB ||AC | ＝63×14＝427，∴sin ∠BAC ＝1－cos 2A ＝17＝77，∴S △ABC ＝12|AB ||AC |sin ∠BAC＝12×3×14×77＝62.8．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)，∴1AO ＝(－2,0,2)，1B E ＝(－1,0，－2)，∴cos 〈1AO ，1B E 〉＝－2210＝－1010.故AO 1与B 1E 所成的角的余弦值为1010.(2)由题意得1O D ⊥AC ，AD ∥AC ，∵C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，∴1O D ＝(x ，y ，－2)，AD ＝(x －2，y,0)，AC ＝(－2,3,0)，2∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3，解得⎩⎨⎧ x ＝1813，y ＝1213， ∴D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0. O 1D ＝|1O D |＝ ⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＋4 ＝ 1 144132＝228613.。

1．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且a＝OA＋OB＋OC，b＝OA＋OB－OC，则与a，b不能构成空间基底的向量是__________．(1)OA；(2)OB；(3)OC；(4)OA或OB.2．在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在线段OA上且OM＝2MA，N 为BC的中点，则MN等于__________．3．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD＝x AB＋y AC＋z AS，则x＋y＋z＝__________.4．在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设OA＝a，OB＝b，OC ＝c，则用向量a，b，c表示OG和GH的结果是__________，__________.5．在以下三个命题中，真命题是__________．①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．6．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，OA＝a，OC＝c，OO'＝b，D是四边形OABC 的对角线交点，则O D'＝________.7．已知四面体ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝__________.AA＝a，8．在空间平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连结对应顶点．设1AB＝b，AC＝c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{a，b，c}表示向量AM＋AN 的结果是__________．9．设{a，b，c}是空间的一个基底．(1)若p＝a＋2b－c，q＝－4a－8b＋4c，求证：向量p与q共线；(2)若m＝2a－b，n＝b＋c，s＝4a－5b－3c，求证：向量m，n， s共面．参考答案1.答案：(3) 解析：本题考查三个向量能否构成空间的一个基底，关键是要看它们是否共面.由a＝OA＋OB＋OC，b＝OA＋OB－OC，得2OC＝a－b，∴OC＝12a－12b.∴OC与a，b共面.∴OC与a，b不能构成空间基底.2.答案：211322-++a b c解析：如图，MN＝ON－OM＝12(OB＋OC)－23OA＝211 322-++a b c.3.答案：0 解析：BD＝12(BC＋BS)＝12(AC－AB＋BS－AB)＝－AB＋1 2AC＋12BS.4.答案：OG＝13(a＋b＋c) GH＝13-a解析：设BC的中点为D. ∵OG＝OA＋AG，而AG＝23AD，AD＝OD－OA，OD＝12(OB＋OC)，∴OG＝13(a＋b＋c).GH＝OH－OG，OH＝23OD＝13(OB＋OC)，∴GH ＝13-a .5. 答案：①② 解析：①正确.基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确.6. 答案：12a －b ＋12c 解析：O D '＝O O '＋OD ＝－OO '＋12(OA ＋OC )＝12OA －OO '＋12OC ＝12a －b ＋12c . 7. 答案：3a ＋3b －5c 解析：取BC 的中点G ，连结EG ，FG ， 则EF ＝GF －GE ＝12CD －12BA ＝12CD ＋12AB ＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c ) ＝3a ＋3b －5c .8. 答案：32a ＋b ＋c 解析：如图，AM ＋AN ＝12(AB ＋1AC )＋12(1AB ＋1AC )＝12AB ＋121AB ＋1AC ＝12b ＋12(a ＋b )＋(a ＋c )＝32a ＋b ＋c . 9. 答案：证明：(1)q ＝－4(a ＋2b －c )＝－4p ，由向量共线的充要条件知，向量p 与q 共线.(2)假设s ＝x m ＋y n ，则4a －5b －3c ＝x (2a －b )＋y (b ＋c )＝2x a ＋(y －x )b ＋y c .∴24,5,3,x y x y =⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩解得2,3,x y =⎧⎨=-⎩故s ＝2m －3n .由向量共面的充要条件知向量m ，n ，s 共面.。

课时跟踪训练(二十一) 空间向量的坐标表示1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________.2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________.4．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝________，y ＝________.5．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．6．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC DC ―→的坐标．7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1)OP ＝12(AB －AC )； (2) AP ＝12(AB －AC )．8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?答 案1．解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，又∵a ∥b ，显然y ≠0，∴2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32. 答案：16 －325．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)．∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝⎛⎭⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎨⎧x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎨⎧ x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73) 6.解：如图，因为P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设AD ＝e 1，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A -xyz .因为DC ＝AB ＝e 2， MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC ) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3. 所以MN ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)．(1)OP ＝12(6,3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2)＝12(AB －AC )＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 8．解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点，∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)， 1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)， EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)，∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3.∴λ＝12. 此时点P 为BD 1的中点． 故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。

课时跟踪训练(四) 含逻辑联结词的命题的真假判断1．若p 是真命题，q 是假命题，则下列说法错误的是________．①p ∧q 是真命题 ②p ∨q 是假命题 ③綈p 是真命题 ④綈q 是真命题2．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)，则下面为真命题的是________．①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q .3．已知命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 或q ”“p 且q ”和“非p ”形式的命题中，真命题为________．4．已知命题p ：所有自然数都是正数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①綈p 且q ；②p 或q ；③綈p 且綈q ；④綈p 或綈q5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．①(綈p )∨(綈q )；②p ∨(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨q .6．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)，q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)．7．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若q ⇒綈p ，求实数a 的取值范围．8．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题q：函数y＝(2a2－a)x 为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．(1)p∨q为真命题；(2)“p∨q”为真，“p∧q”为假．答案1．解析：p是真命题，则綈p是假命题．q是假命题，则綈q是真命题．故p∧q是假命题，p∨q是真命题．答案：①②③2．解析：当a＝1.1，x＝2时，a x＝1.12＝1.21，log a x＝log1.12>log1.11.21＝2，此时，a x<log a x，故p为假命题．命题q，由等差数列的性质，当m＋n＝p＋q时，a n＋a m＝a p＋a q成立，当公差d＝0时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．故綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨((綈q)为真命题．答案：②3．解析：命题p是假命题，因为当a<0或a＝0时解集与已知不同；命题q也是假命题，因为不知道a，b的大小关系．所以只有非p是真命题．答案：非p4．解析：因为命题p为假命题，命题q为假命题，所以綈p且綈q为真命题，綈p或綈q 为真命题．答案：③④5．解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p )∨(綈q )．答案：①6．解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数；p 且q ：5是有理数且5是整数；非p ：5不是有理数．因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)．因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．7．解：(1)由于a ＝1，则x 2－4ax ＋3a 2<0⇔x 2－4x ＋3<0⇔1<x <3.所以p ：1<x <3.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|≤2，x ＋3x －2≥0得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.由于p ∧q 为真，所以p ，q 均是真命题， 解不等式组⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3得2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p ：x 2－4ax ＋3a 2≥0，a >0，x 2－4ax ＋3a 2≥0⇔(x －a )(x －3a )≥0⇔x ≤a 或x ≥3a ，所以綈p ：x ≤a 或x ≥3a ，设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，由(1)知q ：2<x ≤3，设B ＝{x |2<x ≤3}．由于q ⇒綈p ，所以B A ，所以3≤a 或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥3， 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23∪[3，＋∞)． 8．解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1.① 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12.② (1)当p ∨q 为真时，即p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－12或a ＞13； ∴“p ∨q ”为真时，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13. (2)当“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p ，q 有且只有一个是真命题时，有两种情况：当p 真q 假时，13＜a ≤1；当p 假q 真时，－1≤a ＜－12. ∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假时，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | 13＜a ≤1或－1≤a ＜－12.。