爱提分几何第讲风筝模型
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几何第03讲_风筝模型
知识图谱
几何第03讲_风筝模型-一、风筝模型面积相关的计算长度相关的计算
一：风筝模型
知识精讲
风筝模型是存在任意四边形中的面积比例关系，如下所示：
1．?，或，即；
2．?，或．
三点剖析
重难点：复杂图形构造风筝模型，利用风筝模型解决四边形对角线的比例问题，进而解决面积比例关系．
题模精讲
题模一?面积相关的计算
如图所示，四边形的总面积为72，已知两个小三角形的面积是11和13，那么图中四个小三角形中面积最大的一个面积是__________．
答案：
26
解析：
如图，△AOD与△AOB的面积比等于．△BCD的面积是
，△COD和△BOC的面积比是，所以△BOC的
面积比△COD的面积大，是．
四边形ABCD中，AC、BD两条对角线交于O点，三角形AOB的面积为6，三角形AOD的面积为8，三角形BOC的面积是15，那么四边形ABCD的面积是__________．
答案：
49
解析：
△COD的面积是，所以四边形ABCD的面积是．
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC，BD分成4个部分．三角形的面积是2平方千米，三角形的面积是3平方千米，三角形的面积是1平方千
米．如果公园由大小为平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是______平方千米．
答案：
平方千米
解析：
根据蝴蝶模型，，因此，因此整个公园的面积是平方千米，其中陆地面积是平方千米，因此人工湖的面积是平方千米．
如图，凸四边形ABCD的面积为30，的面积为18，的面积为20．AC 与BD相交于点O，求的面积．
答案：
12
解析：
，故．
如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．
答案：
解析：
延长AB、DE交于H点，连结AC．设，则，．根据沙漏模型，，故，．再次利用沙漏模型，
，故，，，
．
图中四边形ABCD的面积为200，对角线AC和BD交于O点，如果△BCD的面积比△ABD 的面积大60，△ABC的面积比△ADC的面积大80．请问：由对角线分成的四个三角形中，面积最小的一个是多少？
答案：
<
解析：
△BCD的面积比△ABD的面积等于，因为△BCD的面积比△ABD的面积大
60，所以OC比OA大．而△BOC比△AOB的面积等于，所以△BOC的面积
比△AOB的面积大；同理△COD的面积比△AOD的面积大．
同理△ABC的面积比△ADC的面积大80，所以OB比OD大，所以△BOC的面积比△COD的面积大，△AOB的面积比△AOD的面积大．
综上所述，四个三角形中，面积最小的是△AOD．
如图，矩形ABCD的面积等于36，在AB、AD上分别取点E、F，使得，，DE交CF于点O，则的面积是__________．
答案：
4
解析：
如图，将EF，EC连接．的面积明显不可以直接求．我们可以通过求得
的面积，以及OD与OE的比，得到的面积．而OD与OE的比可以通过
和的面积比得到，即5:4. 余下的省略．此题也可以通过求得的面积，以及OF与OC的比（1:2），得到的面积．
题模二?长度相关的计算
如图，平方厘米，平方厘米，厘米，则BO多少厘米？
答案：
15
解析：
由风筝模型可知，，所以
厘米．
四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的，且，，那么CO的长度是DO的长度的_______倍．答案：
2
解析：
蝴蝶模型．因为三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的，所以AO是CO长度的，则，所以CO的长度是DO的长度的2倍．
如图，长方形ABCD中，E、F分别在CD和BC上，且满足，连接AF、BE交于O点，如果，求．
答案：
解析：
连结AE、EF．设，根据一半模型有
．，故
．，故
，进而，
．
随堂练习
随练、
如图，平方厘米，平方厘米，平方厘米，则为多少平方厘米？
答案：
21
解析：
由题可知，平方厘米．又由风筝模型可知，
．所以平方厘米．
随练、
如下图，四边形ABCD的面积是49平方米，其中两个小三角形的面积分别是3平方米和4平方米，那么图中四个三角形ABE、EBC、ECD、EDA中最大的一个三角形的面积是__________平方米．
答案：
24
解析：
，且，由此可得面积最大的为
．
随练、
如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求
答案：
解析：
延长AD、BE交于H点．设，则，．根据沙漏模型，
，故，．再次利用沙漏模型，
，故．
随练、
如图，平方厘米，平方厘米，厘米，则CO多少厘米？
答案：
10
解析：
由风筝模型可知，，所以厘米．
课后作业
作业1、
如图所示，三角形ABC的面积是12，三角形BCD的面积是30，三角形ACD的面积是24，那么四个小三角形中最大的一个面积是__________．
作业2、
图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积．
作业3、
图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米．请问：三角形BOC的面积是多少？
作业4、
如图，平方厘米，平方厘米，厘米，则BO多少厘米？。
