几何模型——半角模型说课讲解

猜想：线段BE,DF,EF之间有什么关系.
通过上面两道题的解决,变式(2)学生可以轻松的猜想出结论.
基本模型（2）——等腰直角三角形内含半角
如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D、E在斜边BC上，且∠DAE=45°,探究BD、DE、EC三条线段之间的数量关系,并对你的猜想给予证明.
∠BDC=120°,BD=DC.
求证：BM+CN=MN
分析已知条件,此题是120°夹60°问题,而且题中也有一组有公共端点的线段,因此此题仍可以使用截长补短法或旋转法解决.
让学生自由选择方法解决此题,发现多数学生采用的仍是旋转法,因为他们发现旋转法可简化证明步骤,但仍需注意要证明三点共线.
由于时间有限,课堂上我们不能把所有的半角模型题都练到,但通过前面几道题的探究此时请学生来总结:
学生B;旋转法
对于学生在叙述过程中出现的问题需要及时纠正,对于学生可能会犯的错误要特别注意,如旋转的三要素,三点共线的证明.
之后通过课件演示动画,展示两种解决方法,使学生能更直观的体会两种方法的优缺点.
变式(1)：已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CB、DC的延长线上的点，且∠EAF＝45°.
猜想:线段BE,DF,EF之间有什么关系并证明.
将基本模型(1)进行变式,首先让生猜想结论,继续探究解决方法.
学生A:截长法.
学生B:旋转法.
通过两道题的训练,学生能够体会,解决此类半角问题,采用截长补短法或旋转法.但对于半角模型的特征还没有明确掌握.
变式（2）已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝45°.
基本模型（1）——正方形内含半角
已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°.

几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2。

掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3。

正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合,因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结）.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等。

正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形,菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：（1）正方形与矩形，菱形,平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行.②正方形四边相等.③正方形四个角都是直角.④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ,先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ,使2AD =,求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD —DM=22-2=2（2-1), ∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10,求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =,则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例3。

2021.1
【小结】1.辅助线的实质：中间的“半角”等于旁边两小角之和，通过旋转变换，将两小角拼凑成与“半 角”相等的角，构造出“SAS”型全等三角形.
2.与“补短法”有异曲同工之妙，但辅助线的描述不同，证明过程也有细节的差异：若延长 CB 到 G，使 BG=DF，不必证 G，B，C 共线，需先证△AEG≌△AEF；若旋转△ADF（或△ABE），需强调旋转三要素， 且必须先证 G，B，C 共线.
初一寒假“魔法几何”讲义
第四讲 半角模型
内部资料，请勿外传
模型概述 过多边形的某个顶点引两条射线，使这两条射线的夹角为该顶角的一半. 思想方法 通过旋转变换构造全等三角形，实现线段的转化. 基本模型 一、正方形含半角 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 边上的点，∠EAF=45°，证明 以下结论： （1）EF=BE+DF； （2）△CEF 的周长是正方形边长的 2 倍； （3）FA 平分∠DFE，EA 平分∠BEF； （4）S△AEF=S△AEB+S△AFD. 分析：90°角中含 45°角，符合半角模型，通过旋转构造全等三角形，实现线段和 角的转化。 解答：
（1）如图 1，当点 M，N 分别在边 AB，AC 上，且 DM=DN 时，则 BM，NC，MN 之间的数量关系是
；此时 Q = L
（直接写出结果）.
（2）如图 2，当点 M，N 分别在边 AB，AC 上，且 DM=DN 时，猜想 BM，NC，MN 之间的数量关系
并以证明.
（3）如图 3，当 M，N 分别在边 AB，CA 的延长线上时，猜想 BM，NC，MN 之间的数量关系并加以
5
初一寒假“魔法几何”讲义
内部资料，请勿外传
中考真题 1.如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点 E，F 在 AB 上，∠ECF=45°. （1）求证：△ACF≌△BEC. （2）设△ABC 的面积为 S，求证：AF·BE=2S. （3）试判断以线段 AE，EF，FB 为边的三角形的形状并给出证明.

中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。

如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。

【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。

【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。

结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。

结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。

结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。

初中几何模型—半角模型分析归纳一种几何模型：半角模型特点：过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。

这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关。

解决方法：以点A为中心，把△ACN（顺时针或逆时针）旋转角A度，至△ABN'，连接MN'；结论：1:△AMN全等于△AMN'，MN=MN'; 2:关注BM,MN',N'B(=NC)，若共线，则存在x+y=z型的关系；若不共线，则△BMN'中，∠MBN'必与∠A相关，于是由勾股定理（有时需要作垂线）或直接用余弦定理可得三者关系.应用环境：（限于初中）1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°60°、75°或它们的补角、90°；2：正方形、菱形等也能产生等腰三角形；3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；4：此等腰三角形的相关弦。

以上条件可以形成数百种题目！而解决方法均可以运用此方法.例题分析：已知如图：①∠2=12∠AOB；②OA=OB.OAB EF123连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′4321F'FE BAO模型分析∵△OBF≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=12∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2。

几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例 3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。

半角模型讲解及相关应用半角模型（Half-angle model）是一种用于计算力学中的机械杆件受力、应力和变形的方法。

它基于假设杆件的横截面保持平面且只发生平面应力状态的假设，并将力和应力分解为弧度和半径的函数。

半角模型通常应用于简化复杂结构的问题，可以得到精确且一致的结果，同时减少了计算的复杂性。

半角模型的基本原理是将杆件按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面内的受力和应力分解为切向力和切向应力。

然后使用平衡方程和应力平衡方程来求解每个划分面的受力和应力。

最后将受力和应力沿杆件长度进行积分，得到整个杆件的受力和应力分布。

半角模型可以应用于各种力学问题中，例如梁的弯曲和剪切、轴的转动和屈服等。

它可以用来解决结构力学、固体力学、材料力学等领域中的问题。

在结构力学中，半角模型可以用来求解梁的弯矩分布和挠度分布。

通过将梁按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面的受力和应力分解为切向力和切向应力，可以得到每个切面上的微分力和微分应力。

然后利用平衡方程和应力平衡方程，可以求解每个切面上的受力和应力。

最后将受力和应力沿梁的长度进行积分，就可以得到整个梁的弯矩分布和挠度分布。

在固体力学中，半角模型可以用来求解杆件的应力和变形。

通过将杆件按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面的受力和应力分解为切向力和切向应力，可以得到每个切面上的微分力和微分应力。

然后利用平衡方程和应力平衡方程，可以求解每个切面上的受力和应力。

最后将受力和应力沿杆件的长度进行积分，就可以得到整个杆件的应力和变形。

在材料力学中，半角模型可以用来求解材料的屈服和断裂。

通过将材料按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面的受力和应力分解为切向力和切向应力，可以得到每个切面上的微分力和微分应力。

然后利用平衡方程和应力平衡方程，可以求解每个切面上的受力和应力。

最后将受力和应力沿材料的长度进行积分，就可以得到整个材料的屈服和断裂情况。

总结起来，半角模型是一种用于计算力学中机械杆件受力、应力和变形的方法。

半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。

知识精讲：过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN，∴BM+DN=MN∠AMB=∠AMNAB=AH△CMN的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系；总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.题型讲解：1、正方形ABCD中，E是CD边上一点.将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是______,∠AFB=_______.如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.2、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，当∠DAE=45°时，求证：DE=D′E；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD、CD上的点，连BE、EF、BF，BF平分∠EBC。

求证：BE=AE+CF4、正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，求证：EF=BE+DF.5、在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系，如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;Q=_______L点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.专项练习：如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交于AB于M，交AC于N,连接MN,求证：MN=BM+CN.【解析】半角模型，先证旋转全等△DCN≌△DBQ，再证对称全等△DNM≌△DQM7、已知四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕点B旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时，求证：△ABE≌△CBF当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE,CF,EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想当∠MBN绕点B旋转到图三这种情况下，猜想线段AE,CF,EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想.【解析】半角模型（1）SAS证全等即可（2）作∠EBQ=120°，或延长FC至点Q使得CQ=AE，证旋转和对称全等得到AE+CF=EF（3）在AM上取一点H使得AH=CF，证△BAH≌△BCF，△BFE≌△BHE可得AE=FC+EF8、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【解析】（1）半角模型，证△CBE≌△CDF即可（2）成立，证完旋转全等（△CBE≌△CDF）再证对称全等（△CEG≌△CFG）即可9、E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF,H为垂足，求证：AH=AB.【解析】半角模型，延长EB至点M使得BM=DF，证△ADF≌ABM（旋转全等），再证△AFE≌△AME（对称全等）得AE平分∠FEM即可10、已知两个全等的等腰直角△ABC,△DEF，其中∠∠ACB=∠DFE=90°，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA,CB（或它们所在直线）于M,N如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M,求证：AM=MC如图2，当线段EF与线段BC边交于点N，线段DE与线段AC交于M点，连MN,EC,请探究AM,MN,CN之间的等量关系，并说明理由.如图3，当线段EF与BC延长线交于点N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN,EC，请猜想AM,MN,CN之间的等量关系，不必说明理由.【解析】（1）CE是中垂线，∠FED=45°，所以EM是中垂线，则AM=MC（2）AM-CN=MN；过E作EG⊥EN交AC于点G，可证△AGE≌△CEN（AAS），再证△EGM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】（3）AM+CN=MN；过E作EH⊥EN交AC的延长线于点H，可证△AHE≌△CNE （AAS），再证△EHM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】答案：1、解析：∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF,∵DE=BF,∠AFB=∠AED.将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，则∠D=∠ABE=90°即点E,BP共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ,BE=DQ∵∠PAQ=45°∠PAE=45°∴∠PAQ=∠PAE在△APE和△APQ中AE=AQ∠PAE=∠PAQAP=AP△APE≌△APQ(SAS)∴PE=PQ而PE=PB+BE=PB+DQ∴DQ+BP=PQABD2、解析：因为△ABD绕点A旋转，得到△ACD′∴AD=AD′，∠DAD’=∠BAC=90°∵∠DAE=45°∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45°∴在△AED和△AED′中AE=AE∠EAD=∠AED’AD=AD’∴△AED≌△AED’∴DE=D’E由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°∴∠B=∠ACB=45°∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD’∴BD=CD’,∠B=∠ACD’=45°∴∠BCD’=∠ACB+∠ACD’=45°+45°=90°3、解析：将△CBF逆时针旋转90°得到△ABG,由旋转的性质可得AG=CF,∠G=∠BFC,∠ABG=∠CBF∵BF平分∠EBC,∴∠EBG=∠ABF=∠BFC∴∠G=∠EBG∴EG=EB∴BE=AE+CF.4、解析：如图，由题意得：△ABE≌△ADG∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,BE=DG∴FG=BE+DF∴∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠DAG∵∠EAF=45°，∠BAD=90°∴∠BAE+∠FAD=90°-45°，∴∠FAG=45°，∠EAF=∠FAG 在△EAF和△GAF中，AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF=FG,而FG=BE+DF∴EF=BE+DF5、解析：（1）如图2，延长AC至E，使CE=BM,连接DE可得△MBD≌△ECD(SAS)∴DM=DE,∠BDM=∠CDE∴∠EDM=∠BDC-∠MDN=60°同理可得△MDN≌△EDN(SAS)∴MN=NE=NC+BM∵△AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NV+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB等边△ABC的周长L=3AB=9，AB=3，则Q=6（2）如图，BM,NC,MN之间的数量关系BM+NC=MN.此时QL =23（3）（2）中的结论仍然成立，证明参考（1）专项练习：1、【解析】半角模型，先证旋转全等△DCN≌△DBQ，再证对称全等△DNM≌△DQM2、【解析】半角模型（1）SAS证全等即可（2）作∠EBQ=120°，或延长FC至点Q使得CQ=AE，证旋转和对称全等得到AE+CF=EF（3）在AM上取一点H使得AH=CF，证△BAH≌△BCF，△BFE≌△BHE可得AE=FC+EF3、【解析】（1）半角模型，证△CBE≌△CDF即可（2）成立，证完旋转全等（△CBE≌△CDF）再证对称全等（△CEG≌△CFG）即可4、【解析】半角模型，延长EB至点M使得BM=DF，证△ADF≌ABM（旋转全等），再证△AFE≌△AME（对称全等）得AE平分∠FEM即可5、【解析】（1）CE是中垂线，∠FED=45°，所以EM是中垂线，则AM=MC（2）AM-CN=MN；过E作EG⊥EN交AC于点G，可证△AGE≌△CEN（AAS），再证△EGM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】（3）AM+CN=MN；过E作EH⊥EN交AC的延长线于点H，可证△AHE≌△CNE（AAS），再证△EHM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】。

∴DE=GF=b-3,CE=7-b.
4.在Rt△BCE中求出b=25/7
E
DБайду номын сангаас
拓展提高
2.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90º,D是AB上一动点,连接CD,以
CD为直径的⊙M交AC于点E,连接BM并延长交AC于点F,交⊙M于点
G,连接BE.
(1)求证：点B在⊙M上；
(2)当点D移动到使CD⊥BE时,求BC:BD的值； 2 +1
A
【思路点拨】
D
先将△ADF绕点A旋转得△ABF´
再证△AEF≌△AEF´
F
结论：EF=BE+DF
F´
BE C
半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．
当堂训练一
2.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,
A
点D,E在BC上,且满足∠DAE=45º. E´
求证:DE2=BD2+CE2
【思路点拨】
【一】将△ACE绕点A旋转到△ADE´,连
F´
EB
C
半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．
F
类型2 小角不全在大角内部
1.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180º,E,F分别是BC，
CD上的点,且∠EAF=0.5∠BAD,BE,DF,EF三条线段之间的数量关系
是否仍然成立,若不成立,写出它们之间的数量关系并证明.
C
=AB＋AC=2
D
E
基础训练
4.如图,在正方形ABCD内作∠EAF=45º,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,
过点A作AH⊥EF,垂足为H.
(1)将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG． 求证:△AGE≌△AFE;

初中半角模型教案数学教学目标：1. 理解半角模型的定义和特点；2. 掌握半角模型的应用方法；3. 能够解决实际问题，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 半角模型的定义和特点；2. 半角模型的应用方法。

教学难点：1. 半角模型的理解和应用；2. 解决实际问题时的计算和推导。

教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示半角模型的图像和定义；2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用半角模型解决问题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾等腰直角三角形的性质和特点；2. 引入半角模型的概念，让学生观察和理解半角模型的定义和特点。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解半角模型的定义和特点，引导学生理解半角模型的共端点的等线段和共顶点的倍半角的特点；2. 通过示例，讲解半角模型的应用方法，包括旋转目标三角形法和翻折目标三角形法；3. 引导学生总结半角模型的应用步骤和注意事项。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些简单的半角模型问题，巩固对半角模型的理解和应用；2. 引导学生思考和讨论解决实际问题时的方法和策略。

四、拓展提升（15分钟）1. 引导学生探索半角模型的推广和应用，例如在正方形中的半角模型；2. 给出一些综合性的问题，让学生运用半角模型和其它几何知识一起解决问题，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

五、总结和反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结半角模型的定义、特点和应用方法；2. 引导学生反思在解决问题时的思考过程和方法，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

教学反思：本节课通过引导学生回顾等腰直角三角形的性质和特点，引入半角模型的概念，让学生观察和理解半角模型的定义和特点。

通过讲解半角模型的定义和特点，引导学生理解半角模型的共端点的等线段和共顶点的倍半角的特点，并通过示例讲解半角模型的应用方法，包括旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

然后让学生独立完成一些简单的半角模型问题，巩固对半角模型的理解和应用。

专题03 半角模型半角模型：是指有公共顶点，锐角等于较大的角的一半，且较大的角的两边相等(不等)，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型。

主要解法：一、经典之旋转法。

二、创新之翻折法。

三、常规之补短法。

熟练掌握：正方形的10个结论。

学会变通：矩形通过截或补变成正方形。

含60°角的菱形除旋转外，还可以借助对角线，构成等边三角形，利用三边相等，构造全等。

模型总讲:如图，已知在正方形ABCD 中，∠EAF =45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。

1. BE+DF=EF ；2. △CEF 的周长等于正方形的边长的2倍。

3. S △ABE +S △ADF =S △AEF4. 点A 到MN 的距离等于正方形的边长；即AH=AD5. MN 2=MB 2+DN 2；6. 点A,M,F,D 四点共圆。

点A,B,E,N 四点共圆. 点M,E,F,N四点共圆。

点N,F,C,E,M 五点共圆。

7. 证明∠AFM 和∠AEN 为等腰直角三角形。

8.MN EF=√229. S △AMF =2S △AEF 10. 5组相似△HMN ∼△DFN(图9) △HMN ∼△BME(图10) △AMN ∼△BNA(图11) △AMN ∼△DMA(图12) ∠ AMN∠∠ AFE证明如下: 结论1(图1)将△ABE 逆时针旋转90°，与△ADE'重合. 则AE=AE', ∠BAE=∠DAE’,易得 ∠EAF=∠E'AF=45° 又∵ AF=AF∴△EAF ≌ △E'AF（SAS ）(图2) ∴EF=E'F=DE'+DF∴BE+DF=EF(结论1成立) 结论2 由结论1可得:C △CEF =CE+CF+EF= CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC即△CEF 的周长等于正方形的边长的2倍。

(结论二成立)结论3∵ △EAF ≌ △E'AF（SAS ） ∴ S △EAF = S △E'AF由旋转可得 S △E'AF = S △ABE +S △ADF ∴ S △ABE +S △ADF =S △AEF (结论3成立)结论4∵ △EAF ≌ △E'AF（SAS ） ∠ AH=AD(全等三角形对应高相等)即点A 到MN 的距离等于正方形的边长(结论4成立). 结论5证明: (图3)把△△AND 顺时针旋转90°，使AD 与AB 重合。

初中几何半角模型教案模板教学目标：1. 理解半角模型的定义和特点；2. 学会运用半角模型解决几何问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

教学内容：1. 半角模型的定义和特点；2. 半角模型的应用；3. 半角模型与其他几何模型的联系。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入等腰三角形的概念，让学生回顾等腰三角形的性质；2. 引导学生思考：如何利用等腰三角形的性质解决几何问题；3. 提问：同学们听说过半角模型吗？ half-angle model。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解半角模型的定义：过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半；2. 分析半角模型的特点：共端点、相等的线段、对角互补；3. 举例说明半角模型的应用，如解决等腰三角形的边长、面积等问题；4. 引导学生发现半角模型与其他几何模型的联系，如全等三角形、相似三角形等。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 引导学生运用半角模型解决练习题，巩固所学知识；3. 解答学生提出的问题，给予指导和帮助。

四、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课的主要内容和知识点；2. 强调半角模型在解决几何问题中的重要性；3. 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。

教学评价：1. 课后作业：布置有关半角模型的练习题，检验学生对知识的掌握程度；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习效果；3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断改进教学方法。

教学反思：本节课通过讲解半角模型的定义、特点和应用，让学生掌握了半角模型在解决几何问题中的方法。

在教学过程中，要注意引导学生发现半角模型与其他几何模型的联系，提高学生的综合运用能力。

同时，通过课堂练习和课后作业，巩固学生对半角模型的理解和掌握。

中考数学几何模型5 :角含半角模型TH名师点睛角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。

它主要包含：等腰直角三角形角含半角 模型；正方形中角含半角模型两种类型。

解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折 目标三角形法。

类型一：等腰直角三角形角含半角模型(1) 如图，在厶ABC 中，AB=AC ，/ BAC=90 ° ,点 D , E 在 BC 上, 且/ DAE=45 ° ,贝U: BD 2+CE 2=DE 2(3)如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理图示(1)作法1:将厶ABD 旋转90° 作法2:分别翻折厶ABD, △ ACE(2)如图，在△ ABC 中，AB=AC ，/ BAC=90 ，点D 在BC 上，点E 在BC 延长线上，且/ DAE=45贝y ： BD 2+CE 2=DE 2. 图示(2)旋转扶 翱折旅拨开云雾开门见山类型二：正方形中角含半角模型(1) 如图，在正方形 ABCD 中，点E, F 分别在边BC , CD 上，/ EAF=45 °，连接EF ，过点A 作AG 丄 于 EF 于点 G,则：EF=BE+DF , AG=AD.图示(2) 作法：将厶ABE 绕点A 逆时针旋转90°(3)如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD 中，AB=AD ，/ BAD+ /1C=180。

，点 E, F 分别在边 BC, CD 上，/ EAF= / BAD ，连接 EF ，则：EF=BE+DF.2(2) 如图，在正方形ABCD 中，点E,F 分别在边 CB , DC 的延长线上，/ EAF=45，连接 EF,则：EF=DF-BE.图示(3)作法：将厶ABE绕点A逆时针旋转/ BAD的大小典题探究 ----------------------------------------------------------------例题1.如图，正方形 ABCD 的边长为4,点E, F 分别在AB, AD 上，若CE = 5，且/ ECF = 45°，贝U CF【解答】解：如图，延长 FD 到G,使DG = BE;连接CG 、EF ;CCB=CD•••四边形 ABCD 为正方形，在△ BCE 与厶 DCG 中，｛/,「•△ BCE ◎△ DCG ( SAS),I BE =DG••• CG = CE,/ DCG = Z BCE ,.・./ GCF = 45°,GC=ICZGCF=ZECF ,^^ GCF ◎△ ECF ( SAS ), • GF = EF , CF=CF•/ CE= 5, CB = 4,「. BE= 3, • AE = 1,设 AF = x,贝V DF = 4 - x, GF = 1+ (4 - x)= 5 - x,「. EF =寸扎g? +/=〈]+J , •••( 5- x) 2= 1+x 2,「. x=―，即 AF =—,••• DF = 4-—丄，__________ 555 5• CF = J :千】=4 I( _： =4_<l ,故答案为：4. i.变式练习>>> AB = BC+AD , / DAC = 45°, E 为 CD 上一点，且/ )•/ AD // BC,[启迪思维探究重点1.如图四边形BAE = 45 ° ABCD 中，AD // BC ，/ BCD = 90°.若CD = 4,则厶ABE 的面积为(B .晋【解答】解法一：作 AF 丄CB 交CB 的延长线于C.5048 F ，在CF 的延长线上取一点 G ,使得FG = DE .•••/ BCD+ / ADC = 180°,•••/ ADC = / BCD =/ AFC = 90°,•四边形ADCF是矩形，•// CAD = 45••• AD = CD,•••四边形ADCF是正方形，•AF = AD，/ AFG =Z ADF = 90°,•△ AFG ◎△ ADE,•AG = AE,/ FAG=Z DAE ,•••/ FAG+ / FAB = / EAD + / FAB= 45 ° =/ BAE, •△ BAE◎△ BAG ,BE= BG= BF+GF = BF+DE ,设 BC = a，则 AB= 4+a, BF = 4 - a,在 Rt△ ABF 中，42+ (4- a) 2=( 4+a) 2,解得 a = 1, BC= 1, BF = 3,设 BE= b,贝U DE = b - 3, CE= 4 -在Rt△ BCE 中，12+ (7 - b) 2(b-3)= 7- b.=b2,解得 b= —BG = BE = 251x25x 4= 50~77例题2.在正方形 ABCD中，连接BD .(1)如图1 , AE丄BD于E.直接写出/ BAE的度数.(2)如图1，在(1 )的条件下，AB'与BD交于M , AE '的延长线与 BD交于N .①依题意补全图1;②用等式表示线段 BM、DN和MN之间的数量关系，并证明.(3)如图2, E、F是边BC、CD上的点，△ CEF周长是正方形交于M、N,写出判断线段 BM、DN、MN之间数量关系的思路. ABCD周长的一半， AE、AF分另U与 BD (不必写出完整推理过程)【解答】解：(1)v BD是正方形ABCD的对角线，•••/ ABD = / ADB = 45°,•/ AE丄 BD,ABE = / BAE = 45°,(2)①依题意补全图形，如图 1所示，②BM、DN和MN之间的数量关系是 BM2+MD2= MN2, 将厶AND 绕点D顺时针旋转 90°,得到△ AFB,ADB = / FBA , / BAF = / DAN , DN = BF , AF = AN , •••在正方形 ABCD中，AE丄BD ,ADB = / ABD = 45°,FBM =/ FBA+ / ABD = / ADB+ /ABD = 90°,在Rt△ BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2= FM2, •••旋转△ ANE 得到 AB1E1,• S A ABE = S A ABG =⑶如團2,A 顺时针濮转得到心EG ,:、D2GE 、•「正方形肋CD 的周长肓4AD△CEF 周长为 EF-ECY 。

三角形半角模型讲解《三角形半角模型讲解篇一》嘿，同学们，今天咱们来唠唠三角形里超有趣的半角模型。

你可能一听这名字就有点懵，啥是半角模型呀？这就好比在三角形这个大家庭里，突然出现了一个有着特殊身份的小角色，它就像那种隐藏在人群里，但有着特殊能力的超级英雄。

咱先从一个最简单的直角三角形说起吧。

想象一下，有一个直角三角形ABC，角C是直角。

现在呢，假如我们把角A平分了，这个角平分线就像是一把神奇的刀，把角A一分为二，这被分出来的小角就是半角啦。

那这个半角会带来啥神奇的事情呢？这时候就有个超酷的定理登场了。

假如我们在这个三角形里做点文章，比如设一些边长为a、b、c啥的。

我记得我第一次遇到这种题的时候，那简直是脑袋一团浆糊。

就感觉这题目像是一团乱麻，根本找不到线头。

我当时就想，这半角到底和这些边有啥关系呢？难道是要我玩猜谜游戏吗？后来我才知道，这里面有个超厉害的关系。

这个半角的正切值和那些边的比例有着千丝万缕的联系。

比如说，它可能和两条直角边的比例有着一种像密码一样的对应关系。

就好像是这个三角形自己设定的一种暗号，只有懂这个半角模型的人才能破解。

咱们再说说等腰三角形里的半角模型。

等腰三角形就像一个对称的建筑物，两边的腰就像对称的柱子。

要是在这个等腰三角形里出现了半角，那画面可就更有趣了。

这时候的半角可能会让这个等腰三角形内部的一些线段关系变得像魔术一样神奇。

我给你讲个我自己瞎琢磨的故事啊。

有一次我做一道等腰三角形半角模型的题，我就自己在那画图，画得那叫一个乱。

我当时想，这半角就像个调皮的小猴子，在三角形这个大树上跳来跳去，把那些线段都搅得乱七八糟。

我一会儿觉得我好像找到了规律，一会儿又觉得自己完全搞错了方向。

我就问自己，这半角模型难道是专门来折磨我的吗？但后来我静下心来，重新梳理了一下那些边和角的关系，突然就像发现了新大陆一样。

原来这个半角和等腰三角形的底边、腰长还有底角之间有着一种微妙的平衡关系。

所以说，三角形半角模型虽然有点像个调皮的小精灵，总是让我们摸不着头脑，但只要我们耐着性子去探索，就会发现它其实是一个充满惊喜的宝藏。

第57讲：半角模型（上）
半角模型是初中几何方面问题的常见模型，常用于基本几何命题的证明和一些边长、角度等的计算。

半角模型，通常出现在正方形中。

但是，但是，但是，不仅限于正方形！比如前几年天津的一道真题，就是以一个矩形作为半角模型的载体，这个以后专门再讲。

本次课程中的半角模型，以正方形为例（其中有很多重要的结论）：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。

由于两射线的夹角是正方形一个内角的一半，故名半角模型，又称“角含半角模型”。

半角模型的结论特别多，具体可参考视频中所介绍的例题。

但万变不离其宗，把握几个本质，就可以很好的解决此类题。

【1】出现半角，旋转试一试
【2】四点共圆和8字模型的多次利用
【3】A字模型也出现在其中
掌握以上三点，基本是能够应对中考数学的所有半角模型了！。