几何模型——半角模型说课讲解

几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2。

掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3。

正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合,因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结）.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等。

正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形,菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：（1）正方形与矩形，菱形,平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行.②正方形四边相等.③正方形四个角都是直角.④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ,先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ,使2AD =,求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD —DM=22-2=2（2-1), ∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10,求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =,则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例3。

中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。

如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。

【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。

【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。

结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。

结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。

结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。

初中几何模型—半角模型分析归纳一种几何模型：半角模型特点：过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。

这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关。

解决方法：以点A为中心，把△ACN（顺时针或逆时针）旋转角A度，至△ABN'，连接MN'；结论：1:△AMN全等于△AMN'，MN=MN'; 2:关注BM,MN',N'B(=NC)，若共线，则存在x+y=z型的关系；若不共线，则△BMN'中，∠MBN'必与∠A相关，于是由勾股定理（有时需要作垂线）或直接用余弦定理可得三者关系.应用环境：（限于初中）1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°60°、75°或它们的补角、90°；2：正方形、菱形等也能产生等腰三角形；3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；4：此等腰三角形的相关弦。

以上条件可以形成数百种题目！而解决方法均可以运用此方法.例题分析：已知如图：①∠2=12∠AOB；②OA=OB.OAB EF123连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′4321F'FE BAO模型分析∵△OBF≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=12∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2。

几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例 3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。

半角模型讲解及相关应用半角模型（Half-angle model）是一种用于计算力学中的机械杆件受力、应力和变形的方法。

它基于假设杆件的横截面保持平面且只发生平面应力状态的假设，并将力和应力分解为弧度和半径的函数。

半角模型通常应用于简化复杂结构的问题，可以得到精确且一致的结果，同时减少了计算的复杂性。

半角模型的基本原理是将杆件按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面内的受力和应力分解为切向力和切向应力。

然后使用平衡方程和应力平衡方程来求解每个划分面的受力和应力。

最后将受力和应力沿杆件长度进行积分，得到整个杆件的受力和应力分布。

半角模型可以应用于各种力学问题中，例如梁的弯曲和剪切、轴的转动和屈服等。

它可以用来解决结构力学、固体力学、材料力学等领域中的问题。

在结构力学中，半角模型可以用来求解梁的弯矩分布和挠度分布。

通过将梁按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面的受力和应力分解为切向力和切向应力，可以得到每个切面上的微分力和微分应力。

然后利用平衡方程和应力平衡方程，可以求解每个切面上的受力和应力。

最后将受力和应力沿梁的长度进行积分，就可以得到整个梁的弯矩分布和挠度分布。

在固体力学中，半角模型可以用来求解杆件的应力和变形。

通过将杆件按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面的受力和应力分解为切向力和切向应力，可以得到每个切面上的微分力和微分应力。

然后利用平衡方程和应力平衡方程，可以求解每个切面上的受力和应力。

最后将受力和应力沿杆件的长度进行积分，就可以得到整个杆件的应力和变形。

在材料力学中，半角模型可以用来求解材料的屈服和断裂。

通过将材料按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面的受力和应力分解为切向力和切向应力，可以得到每个切面上的微分力和微分应力。

然后利用平衡方程和应力平衡方程，可以求解每个切面上的受力和应力。

最后将受力和应力沿材料的长度进行积分，就可以得到整个材料的屈服和断裂情况。

总结起来，半角模型是一种用于计算力学中机械杆件受力、应力和变形的方法。

半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。

知识精讲：过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN，∴BM+DN=MN∠AMB=∠AMNAB=AH△CMN的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系；总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.题型讲解：1、正方形ABCD中，E是CD边上一点.将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是______,∠AFB=_______.如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.2、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，当∠DAE=45°时，求证：DE=D′E；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD、CD上的点，连BE、EF、BF，BF平分∠EBC。

求证：BE=AE+CF4、正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，求证：EF=BE+DF.5、在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系，如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;Q=_______L点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.专项练习：如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交于AB于M，交AC于N,连接MN,求证：MN=BM+CN.【解析】半角模型，先证旋转全等△DCN≌△DBQ，再证对称全等△DNM≌△DQM7、已知四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕点B旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时，求证：△ABE≌△CBF当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE,CF,EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想当∠MBN绕点B旋转到图三这种情况下，猜想线段AE,CF,EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想.【解析】半角模型（1）SAS证全等即可（2）作∠EBQ=120°，或延长FC至点Q使得CQ=AE，证旋转和对称全等得到AE+CF=EF（3）在AM上取一点H使得AH=CF，证△BAH≌△BCF，△BFE≌△BHE可得AE=FC+EF8、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【解析】（1）半角模型，证△CBE≌△CDF即可（2）成立，证完旋转全等（△CBE≌△CDF）再证对称全等（△CEG≌△CFG）即可9、E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF,H为垂足，求证：AH=AB.【解析】半角模型，延长EB至点M使得BM=DF，证△ADF≌ABM（旋转全等），再证△AFE≌△AME（对称全等）得AE平分∠FEM即可10、已知两个全等的等腰直角△ABC,△DEF，其中∠∠ACB=∠DFE=90°，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA,CB（或它们所在直线）于M,N如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M,求证：AM=MC如图2，当线段EF与线段BC边交于点N，线段DE与线段AC交于M点，连MN,EC,请探究AM,MN,CN之间的等量关系，并说明理由.如图3，当线段EF与BC延长线交于点N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN,EC，请猜想AM,MN,CN之间的等量关系，不必说明理由.【解析】（1）CE是中垂线，∠FED=45°，所以EM是中垂线，则AM=MC（2）AM-CN=MN；过E作EG⊥EN交AC于点G，可证△AGE≌△CEN（AAS），再证△EGM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】（3）AM+CN=MN；过E作EH⊥EN交AC的延长线于点H，可证△AHE≌△CNE （AAS），再证△EHM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】答案：1、解析：∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF,∵DE=BF,∠AFB=∠AED.将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，则∠D=∠ABE=90°即点E,BP共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ,BE=DQ∵∠PAQ=45°∠PAE=45°∴∠PAQ=∠PAE在△APE和△APQ中AE=AQ∠PAE=∠PAQAP=AP△APE≌△APQ(SAS)∴PE=PQ而PE=PB+BE=PB+DQ∴DQ+BP=PQABD2、解析：因为△ABD绕点A旋转，得到△ACD′∴AD=AD′，∠DAD’=∠BAC=90°∵∠DAE=45°∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45°∴在△AED和△AED′中AE=AE∠EAD=∠AED’AD=AD’∴△AED≌△AED’∴DE=D’E由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°∴∠B=∠ACB=45°∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD’∴BD=CD’,∠B=∠ACD’=45°∴∠BCD’=∠ACB+∠ACD’=45°+45°=90°3、解析：将△CBF逆时针旋转90°得到△ABG,由旋转的性质可得AG=CF,∠G=∠BFC,∠ABG=∠CBF∵BF平分∠EBC,∴∠EBG=∠ABF=∠BFC∴∠G=∠EBG∴EG=EB∴BE=AE+CF.4、解析：如图，由题意得：△ABE≌△ADG∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,BE=DG∴FG=BE+DF∴∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠DAG∵∠EAF=45°，∠BAD=90°∴∠BAE+∠FAD=90°-45°，∴∠FAG=45°，∠EAF=∠FAG 在△EAF和△GAF中，AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF=FG,而FG=BE+DF∴EF=BE+DF5、解析：（1）如图2，延长AC至E，使CE=BM,连接DE可得△MBD≌△ECD(SAS)∴DM=DE,∠BDM=∠CDE∴∠EDM=∠BDC-∠MDN=60°同理可得△MDN≌△EDN(SAS)∴MN=NE=NC+BM∵△AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NV+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB等边△ABC的周长L=3AB=9，AB=3，则Q=6（2）如图，BM,NC,MN之间的数量关系BM+NC=MN.此时QL =23（3）（2）中的结论仍然成立，证明参考（1）专项练习：1、【解析】半角模型，先证旋转全等△DCN≌△DBQ，再证对称全等△DNM≌△DQM2、【解析】半角模型（1）SAS证全等即可（2）作∠EBQ=120°，或延长FC至点Q使得CQ=AE，证旋转和对称全等得到AE+CF=EF（3）在AM上取一点H使得AH=CF，证△BAH≌△BCF，△BFE≌△BHE可得AE=FC+EF3、【解析】（1）半角模型，证△CBE≌△CDF即可（2）成立，证完旋转全等（△CBE≌△CDF）再证对称全等（△CEG≌△CFG）即可4、【解析】半角模型，延长EB至点M使得BM=DF，证△ADF≌ABM（旋转全等），再证△AFE≌△AME（对称全等）得AE平分∠FEM即可5、【解析】（1）CE是中垂线，∠FED=45°，所以EM是中垂线，则AM=MC（2）AM-CN=MN；过E作EG⊥EN交AC于点G，可证△AGE≌△CEN（AAS），再证△EGM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】（3）AM+CN=MN；过E作EH⊥EN交AC的延长线于点H，可证△AHE≌△CNE（AAS），再证△EHM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】。

初中半角模型教案数学教学目标：1. 理解半角模型的定义和特点；2. 掌握半角模型的应用方法；3. 能够解决实际问题，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 半角模型的定义和特点；2. 半角模型的应用方法。

教学难点：1. 半角模型的理解和应用；2. 解决实际问题时的计算和推导。

教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示半角模型的图像和定义；2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用半角模型解决问题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾等腰直角三角形的性质和特点；2. 引入半角模型的概念，让学生观察和理解半角模型的定义和特点。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解半角模型的定义和特点，引导学生理解半角模型的共端点的等线段和共顶点的倍半角的特点；2. 通过示例，讲解半角模型的应用方法，包括旋转目标三角形法和翻折目标三角形法；3. 引导学生总结半角模型的应用步骤和注意事项。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些简单的半角模型问题，巩固对半角模型的理解和应用；2. 引导学生思考和讨论解决实际问题时的方法和策略。

四、拓展提升（15分钟）1. 引导学生探索半角模型的推广和应用，例如在正方形中的半角模型；2. 给出一些综合性的问题，让学生运用半角模型和其它几何知识一起解决问题，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

五、总结和反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结半角模型的定义、特点和应用方法；2. 引导学生反思在解决问题时的思考过程和方法，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

教学反思：本节课通过引导学生回顾等腰直角三角形的性质和特点，引入半角模型的概念，让学生观察和理解半角模型的定义和特点。

通过讲解半角模型的定义和特点，引导学生理解半角模型的共端点的等线段和共顶点的倍半角的特点，并通过示例讲解半角模型的应用方法，包括旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

然后让学生独立完成一些简单的半角模型问题，巩固对半角模型的理解和应用。