2015届高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库：考点54 坐标系与参数方程(含详解,13高考题)]

坐标系与参数方程1【2014新课标I 版（理）23】（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A，PA 的最大值与最小值． 【答案】2cos .().3sin .60.x y l x y θθθ=⎧⎨=⎩+-=（I ）曲线C 的参数方程为为参数直线的普通方程为2cos sin 3sin6.l d θθθθ=+-（II ）曲线C 上任意一点P(2.3)到的距离为4)6,tan .sin 303sin 5sin()15d PA PA PA θαααθαθα==+-=︒+=则其中为锐角，且当(+)=-1时，取得最大值，最大值为当时，取得最小值，最小值为2【2013新课标I 版（理）23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 【答案】（1）因为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩，消去参数，得22(4)(5)25x y -+-=，即22810160x y x y +--+=，故1C 极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=； （2）2C 的普通方程为2220x y y +-=，由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 所以1C 、2C交点的极坐标为),(2,)42ππ.3【2012新课标I 版（理）23】选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ⎧⎨⎩＝，＝，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)． (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值X 围． 【答案】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ 点,,,A B C D的直角坐标为1,1)-- （2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈41 ．（某某省某某市2014届高三摸底考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122,(3x tty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),曲线C的极坐标方程为2sin8cos.ρθθ=(I)求C的直角坐标方程;(II)设直线l与曲线C交于A、B两点,求弦长|AB|.【答案】52 ．（某某省井陉县第一中学2014届高三10月月考数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为2cos22sinxyαα=⎧⎨=+⎩(α为参数)M是C1上的动点,P点满足2=,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB.【答案】解:(I)设P(x,y),则由条件知M(2,2yx).由于M点在C1上,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin222cos22yx即⎩⎨⎧+==ααsin44cos4yx从而2C的参数方程为4cos44sinxyαα=⎧⎨=+⎩(α为参数)(Ⅱ)曲线1C的极坐标方程为4sinρθ=,曲线2C的极坐标方程为8sinρθ=.射线3πθ=与1C的交点A的极径为14sin3πρ=,射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||||AB ρρ-==3 ．（某某省某某中学2014届高三上学期三调考试数学（理）试题）已知函数()1f x x =-.(I)解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤; (II)若0＞a ,求证:()()f ax af x -≤()f a .【答案】解: (1)由题()(1)f x f x +-12x x =-+-121x x ≥-+-=. 因此只须解不等式122x x -+-≤. 2分当1x ≤时,原不式等价于232x -+≤,即112x ≤≤. 当12x <≤时,原不式等价于12≤,即12x <≤.当2x >时,原不式等价于232x -≤,即522x <≤.综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭(2)由题()()f ax af x -11ax a x =---. 当a >0时,()()f ax af x -1ax ax a =---1ax a ax =---1ax a ax ≤-+-1a =-()f a =64．（某某省某某市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C a a =>ρθθ,已知过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为:2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点.(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若,,PM MN PN 成等比数列, 求a 的值.【答案】解:(Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的转化可得,C:ρsin 2θ=2acosθ⇒ρ2sin 2θ=2aρcosθ,即 y 2=2ax,直线L 的参数方程为:,消去参数t 得:直线L 的方程为y+4=x+2即y=x ﹣2(Ⅱ)直线l 的参数方程为(t 为参数),代入y 2=2ax 得到, 则有因为|MN|2=|PM|•|PN|,所以即:[2(4+a)]2﹣4×8(4+a)=8(4+a)解得 a=1 75．（某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=. (1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程;(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ,求||AB .【答案】解:(1)曲线C 的普通方程为01=--y x ,曲线P 的直角坐标方程为03422=+-+x y x(2)曲线P 可化为1)2(22=+-y x ,表示圆心在)0,2(,半径=r 1的圆, 则圆心到直线C 的距离为2221==d , 所以2222=-=d r AB6 ．（某某省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线1:221=+y x C ,以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线ρθθ8sin 2cos 3:-=-l .(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的2倍,3倍后得到曲线C 2,试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程; (2)求C 2上一点P 的l 的距离的最大值. 【答案】7 ．（某某省某某市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）选修4-4:极坐标与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=,直线l 的参数方程是:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 225225 (t 为参数).(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程,直线l 的普通方程; (Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的21,再向左平移1个单位,得到曲线1C ,求曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值.【答案】8 ．（某某省某某市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）选修4—4;坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>;过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t是参数),直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.(1) 写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2) 若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值. 【答案】解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为2:2,C y ax = 直线l 的普通方程为20x y --=(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得()2116402t t a -++=, 1212,328t t t t a ∴+==+因为|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -===, 由题意知,21221212215)(||||t t t t t t t t =+⇒=-,代入得 1=a . 9 ．（某某省某某中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(ϕ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆2C 的极坐标方程为2cos()3πρθ=+.(Ⅰ)将圆1C 的参数方程化为普通方程,将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆1C 、2C 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)由=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩得x 2+y 2=1,又∵ρ=2cos(θ+π3)=cos θ-3sin θ,∴ρ2=ρcos θ-3ρsin θ.∴x 2+y 2-x +3y =0,即221()(12x y -+=(Ⅱ)圆心距12d ==<,得两圆相交 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得,A (1,0),B 1(,2-,∴ 2213||(1+)+(0+)=322AB = 10 ．（某某省某某一中、某某一中、康杰中学、某某二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）(本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数,0<α<π),曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,当α变化时,求|AB |的最小值. 【答案】(本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程 解:(I)由θθρcos 4sin 2=,得θρθρcos 4)sin (2= 所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=(II)将直线l 的参数方程代入x y 42=,得t 2sin 2α-4t cos α-4=0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2,则t 1+t 2=αα2sin cos 4,t 1t 2=α2sin 4-, ∴|AB |=|t 1-t 2|=t 1＋t 22－4t 1t 2=αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+, 当α=π2时,|AB |的最小值为411．（某某省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为3ρθ=. (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于点A,B,若点P 的坐标为3求|PA|+|PB|.【答案】(Ⅰ)由3ρθ=得22(3)3x y +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分(Ⅱ)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得2222(2)()322-+=, 即22210t t -+=由于0∆>,故可设12,t t 是上述方程的两实根,所以12121t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩故由上式及t 的几何意义得:|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 12．（某某省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为122t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)(Ⅰ)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换3x xy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ',设曲线C '上任意一点为(,)M x y ,求x +的最小值.【答案】(Ⅰ) :21)l y x -=-;圆22:1C x y +=(Ⅱ)曲线22:19x C y '+= 令3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩∴3cos )x θθθϕ+=+=+∴x +的最小值为13．（某某省某某市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）(本小题_分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以原点0为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知的取值X 围.【答案】选修4-4:坐标系与参数方程解:(Ⅰ)法一:22=a 时,圆C 的直角坐标方程为8)2()2(22=++-y x , ∴圆心C(2,-2)又点O 的直角坐标为(0,0),且点A 与点O 关于点C 对称, 所以点A 的直角坐标为(4,-4)法二:22=a 时,圆C 的直角坐标方程为8)2()2(22=++-y x ① ∴圆心C(2,-2)又点O 的直角坐标为(0,0),所以直线OA 的直线方程为x y -=② 联立①②解得⎩⎨⎧==00y x (舍)或⎩⎨⎧-==44y x所以点A 的直角坐标为(4,-4) 法三:由)4cos(24πθρ+=得圆心C 极坐标)4,22(π-,所以射线OC 的方程为4πθ-= ,代入)4cos(24πθρ+=得24=ρ所以点A 的极坐标为)4,24(π-化为直角坐标得A(4,-4)(Ⅱ)法一:圆C 的直角坐标方程为222)22()22(a a y a x =++-, 直线l 的方程为y=2x.所以圆心C(a 22,a 22-)到直线l 的距离为5222a a --,∴d=210922a a -=a 510. 所以a 510≥2,解得5≥a 法二:圆C 的直角坐标方程为02222=+-+ay ax y x ,将⎩⎨⎧==ty tx 42化为标准参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==my m x 204202代入得05102=+am m ,解得==21,0m m a 510-, ∴d=||21m m -=a 510, ,所以a 510≥2,解得5≥a 法三:圆C 的直角坐标方程为02222=+-+ay ax y x ,直线l 的方程为y=2x.联立⎩⎨⎧==+-+xy ay ax y x 202222得0252=+ax x解得a x x 52,021-== ∴d=||12212x x -+=a 510, 所以a 510≥2,解得5≥a 14．（某某省某某市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐(I)写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程;(II)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='=',2,y y x x 得到曲线C '设曲线C '上任一点为M(x,y),求y x 213+的取值X 围. 【答案】解:(Ⅰ)直线l 的普通方程,01323=--+y x 曲线C 的直角坐标方程422=+y x ;(Ⅱ)曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 2//得到曲线/C 的方程为4422=+y x , 则点M 参数方程为)(,sin 4,cos 2参数θθθ⎩⎨⎧==y x ,代入y x 213+得,y x 213+==⋅+⋅θθsin 421cos 23)3sin(4cos 32sin 2πθθθ+=+ ∴y x 213+的取值X 围是[]4,4-15．（某某省某某市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）选修4--4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=ty t x 322(t 为参数),直线l 与曲线C:(y 一2)2一2x =1交于A,B 两点(I)求|AB|的长;(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P 的极坐标为(43,22π)求点P 到线段AB 中点M 的距离.【答案】16．（某某省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）选修4—4,坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是2242x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数),圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+.(1)求圆心C的直角坐标;(2)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.【答案】17．（某某省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知点)sin,cos1(αα+P,参数[]πα,0∈,点Q在曲线C:)4sin(210πθρ-=上.(1)求在直角坐标系中点P的轨迹方程和曲线C的方程;(2)求|PQ|的最小值.【答案】试题分析:设点P的坐标为(x,y),则有1cos,sinxyαα=+⎧⎨=⎩消去参数α,可得22(1) 1.x y-+=由于α∈[0,π],∴y≥0,故点P的轨迹是上半圆).0(1)1(22≥=+-yyx∵曲线C:)4sin(210πθρ-=,即22102cos)22ρθ-θ=,即ρsinθ-ρcosθ=10,故曲线C的直角坐标方程:x-y+10=0.(2)如图所示:由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上,点P在半圆上,半圆的圆心C(1,0)到直线x-y+10=0的距离等于101011222-+=.即|PQ|的最小值为112-1.18．（某某省三市（某某、某某、某某）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程平面直角坐标系中,将曲线2cos2(sinxyααα=+⎧⎨=⎩为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线2C 的方程为4sin ρθ= (Ⅰ)求1C 和2C 的普通方程:(Ⅱ)求1C 和2C 公共弦的垂直平分线的极坐标方程.【答案】(Ⅰ)横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到2cos 2(2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数） ()22124C x y ∴-+=为又2224C y yρθ+=为=4sin ,即x(Ⅱ)12C C 和公共弦的垂直平分线的极坐标方程是cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭。

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考点40 椭圆一、选择题1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）A.13 C.12 D.【解题指南】利用已知条件解直角三角形，将12,PF PF 用半焦距c 表示出来，然后借助椭圆的定义，可得a,c 的关系，从而得离心率. 【解析】选D. 因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,所以2122tan 30,PF c PF ===。

又122PF PF a +==，所以c a ==即椭圆的离心率为D. 2.(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:13422=+y x 的左、右顶点分别为1A ,2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 ( )A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解题指南】将),(00y x P 代入到13422=+y x 中,得到0x 与0y 之间的关系,利用1PA k 2PA k ⋅为定值求解2PA k 的取值范围.【解析】选B.设),(00y x P ，则2200143+=x y ，2002-=x y k PA ，2001+=x yk PA1PA k 22222003334444-?==---PA x y k x x ，故1PA k 2143PA k -=.因为]1,2[2--∈PA k ,所以]43,83[1∈PA k 3. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点,且=3,则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【解题指南】由过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点且垂直x 轴的通径为a b 22求解.【解析】选 C.设椭圆得方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由题意知232=a b ，又1222=-=b a c ，解得2=a 或21-=a （舍去），而32=b ，故椭圆得方程为13422=+y x .4. （2013·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）A.4 B. 12C. 2D. 2【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质，解题时要注意两个条件的应用，一是1PF 与x 轴垂直，二是//AB OP【解析】选C ，根据题意可知点P 0(,)c y ，代入椭圆的方程可得222202b c y b a=-，根据//AB OP ，可知11PF BO F O OA=，即0y b c a =，解得0bc y a =，即2222222b c b c b a a -=，解得2c e a ==，故选C. 5. （2013·广东高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是（ ）A ．14322=+y xB ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质，用好,,,a b c e 的关系即可.【解析】选D.设C 的方程为222210x y a b a b+=>>，（），则11,,2,32c c e a b a =====，C 的方程是13422=+y x .6. （2013·辽宁高考文科·Ｔ11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=45,则C 的离心率为 ( )A.35B.57C.45D.67【解题指南】 由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离，进而求得,a c【解析】选B.在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,8,cos 5AB BF ABF ==∠=解得 6.AF =在三角形ABF 中，2222221086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=.故离心率25.27c c e a a === 二、填空题7.(2013·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为【解题指南】利用126d d =构建参数a,b,c 的关系式. 【解析】由原点到直线BF 的距离为1d 得1bcd a=，因F 到l 的距离为2d 故22a d c c =-，又126d d =所以222221a c a c e c -=⇒-=⇒-=又b a =3e =【答案】3. 8.（2013·上海高考文科·T12）与（2013·上海高考理科·T9）相同 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4π=∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 .【解析】 如图所示，以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.)1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ⇒===⇒︒=∠==⊥上，且在设38,34,111)11(,422222222==⇒+==+=⇒c b c b a b a C a 代入椭圆标准方程得，把6342=⇒c 【答案】634.9.(2013·福建高考文科·T15) 与（2013·福建高考理科·Ｔ14）相同椭圆Γ: 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=)+x c 与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 【解题指南】22cce aa==,而2c 是焦距,2a 是定义中的|PF 1|+|PF 2|=2a,因此,如果题目出现焦点三角形(由曲线上一点连接两个焦点而成),求解离心率,一般会选用这种定义法: 1212||||||F F e PF PF =+.【解析】∠MF 1F 2是直线的倾斜角,所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°,所以△MF 2F 1是直角三角形,在Rt △MF 2F 1中,|F 2F 1|=2c,|MF 1|=c,|MF 2|=,所以122212||||c c e a MF MF ====+. 【答案】1.10. （2013·辽宁高考理科·Ｔ15）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,.AF BF 若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率____.e = 【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点A 到右焦点的距离，进而求得,a c .【解析】在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，解得8.BF =在三角形ABF 中，2222221086A B B FA F ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形。

1. [2014·天津模拟]方程ρ＝－2cos θ和ρ＋4ρ＝42sin θ的曲线的位置关系为( )A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切解析：方程ρ＝－2cos θ化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，ρ＋4ρ＝42sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －22)2＝4，两圆圆心距为－2＋22＝3＝1＋2，∴两圆外切．答案：B2. [2014·株洲模拟]在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为( )A. 2 2B. 2 3C. 4 2D. 4 3 解析：直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－2222＝4 3.答案：D 3. [2013·北京高考]在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 解析：在极坐标系中，点(2，π6)对应直角坐标系中坐标为(3，1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1.答案：14. [2013·江西高考]设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t 2得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2. 由公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ. 答案：ρcos 2θ－sin θ＝05. [2014·德阳质检]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M 、N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos(θ－π3)＝1，得 ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)． (2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)． 所以P 点的直角坐标为(1，33)， 则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。

【创新设计】（教师用书）2015届高考数学第一轮复习 坐标系与参数方程细致讲解练 理 新人教A 版选修4-4第1讲 坐标系[最新考纲]1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.知 识 梳 理 1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ.诊 断 自 测1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________． 解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π42．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ， 即x 2＋y 2－2y －4x ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝03．(2014·某某五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π44．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为________．解析 ∵直线l 的极坐标方程可化为y ＝3，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，∴点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为2.答案 25．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．解析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆ρ＝4sinθ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0.∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为 |0－3×2|3＋9＝ 3. 答案3考点一 极坐标与直角坐标的互化【例1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标； (2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解 (1)∵x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52.(2)ρ＝－32＋－12＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33.∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6.因此，点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6.规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的X 围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的X 围．要注意转化的等价性．【训练1】 (1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 解 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点在第四象限，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. 考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化【例2】 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1， ∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233.∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境．【训练2】 ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解 以极点的原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ；ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ.由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 得⊙O 1，⊙O 2的直角坐标方程分别为x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0， ①x 2＋y 2＋4y ＝0. ②①－②得－4x －4y ＝0，即x ＋y ＝0为所求直线方程． 考点三 曲线极坐标方程的应用【例3】 (2014·某某调研)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝4 3.故所求弦长为4 3.规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决． 【训练3】 (2012·某某卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝ 22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误【典例】 (10分)在极坐标系下，若点P (ρ，θ)的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3，求以⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2为坐标的不同的点的极坐标． [错解展示]甲：解 ⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3化为直角坐标为(－2,23)，故该点与原点的中点坐标为(－1，3)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.乙：解 ∵ρ＝4，θ＝2π3，故ρ2＝2，θ2＝π3，因此所求极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.[规X 解答] ∵⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3为点P (ρ，θ)的一个极坐标．∴ρ＝4或ρ＝－4.(2分)当ρ＝4时，θ＝2k π＋2π3(k ∈Z)，∴ρ2＝2，θ2＝k π＋π3(k ∈Z)．(4分) 当ρ＝－4时，θ＝2k π＋5π3(k ∈Z)， ∴ρ2＝－2，θ2＝k π＋5π6(k ∈Z)．(6分) ∴⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2有四个不同的点：P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋4π3(k ∈Z)，P 3⎝⎛⎭⎪⎫－2，2k π＋5π6，P 4⎝⎛⎭⎪⎫－2，2k π＋11π6(k ∈Z)(10分) [反思感悟] 甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点，事实上(ρ，θ)与⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2的关系并不是点(ρ，θ)与极点的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2，从几何意义上讲点⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2应满足该点的极角为θ的12，极径为ρ的12.乙生解法中满足⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2的几何意义，但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性，还应就点(ρ，θ)的其他形式的极坐标进行讨论． 【自主体验】下列各点中与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6不表示同一个点的极坐标是________．①⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6②⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－7π6③⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6④⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13π6 解析 因为与⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6表示同一点的坐标有⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6＋2k π或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6＋2k ＋1π，其中k ∈Z ，所以易得只有②不同． 答案 ②一、填空题1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________(填序号)． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2；③(1,0)；④(1，π)解析 圆的方程可化为ρ2＝－2ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心为(0，－1)， 化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.答案 ②2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是______(填序号)． ①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线．解析 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线． 答案 ③3．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．解析 点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x＝0，故圆心为(1,0)，则点(1，3)到圆心(1,0)的距离为 3. 答案34．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．解析 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，π25．(2014·某某调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心C 的距离是________．解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为0－232＋2－22＝2 3.答案 2 36．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－22sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析 由ρ＝6cos θ－22sin θ⇒ρ2＝6ρcos θ－22ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋22y ＝0，将其化为标准形式为(x －3)2＋(y ＋2)2＝11，故圆心的坐标为(3，－2)，所以过圆心且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝3，将其化为极坐标方程为ρcosθ＝3.答案 ρcos θ＝37．(2014·华南师大模拟)在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋32＝2. 答案 28．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析 曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2.答案29．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．解析 θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB ，S ＝3－34.答案3－34二、解答题10．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 解 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，它表示圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．11．(2012·某某卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.⎝⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3. 第2讲 参数方程[最新考纲]1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.知 识 梳 理 1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t .并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt(t 为参数)．诊 断 自 测1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是________．①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线．解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 ④2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －63．(2012·卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析 直线方程可化为x ＋y －1＝0，曲线方程可化为x 2＋y 2＝9，圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22＜3.∴直线与圆相交有两个交点． 答案 24．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋2t(t 为参数)上到点A (1,2)的距离为42的点的坐标为________．解析 设点Q (x ，y )为直线上的点， 则|QA |＝1－1＋2t2＋2－2－2t 2＝2t2＋－2t2＝42，解之得，t ＝±22，所以Q (－3,6)或Q (5，－2)． 答案 (－3,6)和(5，－2)5．(2013·某某卷)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________． 解析 由ρ＝2cos θ知，ρ2＝2ρcos θ 所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，故其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t (t 为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝1t －t(t 为参数)．解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2.∴y ＝2＋32(2x －2)． ∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． (2)由y ＝2＋t 得t ＝y －2，∴x ＝1＋(y －2)2. 即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线． (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝1t －t①②∴①2－②2得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线．规律方法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的X 围．【训练1】 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12e t ＋e－t，y ＝12e t－e－t(t 为参数)．解 (1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． (2)由参数方程得e t＝x ＋y ，e －t＝x －y ，∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1. 考点二 直线与圆参数方程的应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.规律方法 (1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即t ＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．【训练2】 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t(参数t ∈R)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255， 所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考点三 极坐标、参数方程的综合应用 【例3】 已知P为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解 (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【训练3】 (2013·某某卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交.转化思想在解题中的应用【典例】 已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0, 3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程． [审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程，求出F 1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l 的参数方程．(2)直线AF 2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．解 (1)圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ化为普通方程x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝－3，于是经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 30°y ＝t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)．(2)直线AF 2的斜率k ＝－3，倾斜角是120°， 设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点， 则ρsin 60°＝1sin120°－θ，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，则ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.[反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归能力．(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．(3)本题易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误． 【自主体验】 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P到直线l 的距离的最大值．解 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)转化为普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R. 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45. 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.一、填空题1．(2014·某某模拟)直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析 由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±22，代入⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)． 答案 (－3,4)或(－1,2)2．(2014·海淀模拟)若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析 曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝|2k |1＋k2＝1⇒k ＝±33. 答案 ±333．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为________．解析 当t ＝π3时，x ＝1，y ＝23，则M (1,23)，∴直线OM 的斜率k ＝2 3.答案 2 34．(2013·某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析 ∵x ＝t ，且y ＝t －a ， 消去t ，得直线l 的方程y ＝x －a ， 又x ＝3cos φ且y ＝2sin φ，消去φ， 得椭圆方程x 29＋y 24＝1，右顶点为(3,0)，依题意0＝3－a ， ∴a ＝3. 答案 35．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________．解析 曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l ＝2r 2－d 2＝85.答案 856．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析 将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1.答案 4 －17．(2012·某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析 曲线C 1的普通方程为y 2＝x (y ≥0)， 曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x y ≥0，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即交点坐标为(1,1)．答案 (1,1)8．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析 消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1. 答案 19．(2012·某某卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝______.解析 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.答案22二、解答题10．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹通过坐标原点．12．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.word 21 / 21 (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标； (2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值X 围．解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值X 围是[32,52]．。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-2坐标系与参数方程课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某理，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 [答案]B[解析]由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.(理)(2013·西城期末)在极坐标系中，已知点P (2，π6)，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是( )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3 [答案]A[解析]点P (2，π6)的直角坐标为(3，1)，∵所求直线平行于极轴，∴所求直线的斜率k ＝0.所求直线的普通方程为y ＝1，化为极坐标方程为ρsin θ＝1，故选A.2．(文)抛物线x 2－2y －6x sin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0的顶点的轨迹是(其中θ∈R )( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 [答案]B[解析]原方程变形为：y ＝12(x －3sin θ)2＋4cos θ.设抛物线的顶点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θy ＝4cos θ，消去参数θ得轨迹方程为x 29＋y 216＝1.它是椭圆．(理)已知点P (x ，y )满足(x －4cos θ)2＋(y －4sin θ)2＝4(θ∈R )，则点P (x ，y )所在区域的面积为( )A ．36πB ．32πC ．20πD ．16π [答案]B[解析]圆心坐标为(4cos θ，4sin θ)，显然圆心在以原点为圆心、半径等于4的圆上，圆(x －4cos θ)2＋(y －4sin θ)2＝4(θ∈R )绕着上述圆旋转一周得到的图形是一个圆环，圆环的外径是6，内径是2，∴选B.3．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x 2＋y 2＝16变换为椭圆方程x ′2＋y ′216＝1，此伸缩变换公式是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14x ′y ＝y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′y ＝y ′C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′y ＝y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′y ＝8y ′[答案]B[解析]设此伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′2＋y ′216＝1， 得(λx )2＋(μy )216＝1， 即16λ2x 2＋μ2y 2＝16，与x 2＋y 2＝16比较得⎩⎪⎨⎪⎧16λ2＝1(λ>0)，μ2＝1(μ>0)，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，μ＝1，故所求变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x ，y ′＝y .故选B.4．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin50°－1y ＝－t cos50°(t 为参数)，则直线的倾斜角为( ) A ．40° B ．50° C ．140° D ．130° [答案]C[解析]将直线的参数方程变形得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t cos140°y ＝－t sin140°，∴倾斜角为140°.5．在极坐标系下，直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2与曲线ρ＝2的公共点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2或0 [答案]B[分析] 讨论极坐标方程表示的曲线的位置关系，交点个数等问题，一般是化为直角坐标方程求解．对于熟知曲线形状、位置的曲线方程，也可以直接画草图，数形结合讨论．[解析]方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， ∴x ＋y ＝2，方程ρ＝2，即x 2＋y 2＝2，显然直线与圆相切，∴选B.6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1.(t ∈R )，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1y ＝sin θ(θ∈[0,2π))，则圆心C 到直线l 的距离为( ) A ．0 B ．2 C.2D.22[答案]C[解析]化直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t ＋1(t ∈R )为普通方程为x －y ＋1＝0，化圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ.(θ∈[0,2π))为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心C (1,0)到直线l 的距离为|1－0＋1|12＋(－1)2＝ 2.二、填空题7．在极坐标系中，直线ρsin(θ－π4)＝22与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________．[答案]相离[解析]直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，其圆心C (1,0)，半径r ＝1.因为圆心到直线的距离d ＝22＝2>1，故直线与圆相离． 8．(文)已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．[答案]⎝⎛⎭⎫23，π6 [解析]化为直角坐标方程为x ＝3和x 2＋y 2＝4x (y ≥0)，故交点为(3，3)，其极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [点评] 可直接解⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝π6.(理)(2013·某某某某一模)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为________．[答案](2,5)[解析]将曲线C 1的参数方程和曲线C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C 1：y ＝x 2＋1，C 2：y －x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1，y －x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故交点坐标为(2,5)．9．(文)(2013·某某某某调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，则直线l 被圆C 所截得的弦长是________．[答案] 2[解析]圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝1， 直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x ＋y ＝1， 圆心到直线的距离d ＝|0＋2－1|2＝22，故圆C 截直线l 所得的弦长为212－d 2＝ 2.(理)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ，y ＝－1－3t .(t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长为________．[答案]75[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ，y ＝－1－3t .得直线方程为3x ＋4y ＋1＝0，∵ρ＝2cos(θ＋π4)＝cos θ－sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，∴x 2＋y 2＝x －y ， 即(x －12)2＋(y ＋12)2＝12.圆心到直线的距离d ＝110，∴弦长＝2×12－1100＝75. 三、解答题10．(2013·某某五校协作体联考)已知直线l 是过点P (－1，2)，方向向量为n ＝(－1，3)的直线，圆C 的方程为ρ＝2cos(θ＋π3)．(1)求直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求|PM |·|PN |的值． [解析](1)∵n ＝(－1，3)，∴直线的倾斜角α＝2π3.∴直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 2π3，y ＝2＋t sin 2π3(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝－1－12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)∵ρ＝2(12cos θ＋32sin θ)＝cos θ＋3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ＋3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，将直线的参数方程代入得t 2＋(3＋23)t ＋6＋23＝0. ∴|t 1t 2|＝6＋23，即|PM |·|PN |＝6＋2 3.能力拓展提升一、填空题11．(文)(2013·某某理，15)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．[答案]ρcos 2θ－sin θ＝0[解析]由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(理)(2013·某某理，14)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．[答案]ρsin(θ＋π4)＝ 2[解析]∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ，(t 为参数)，∴其普通方程为x 2＋y 2＝2.又点(1,1)在曲线C 上，∴曲线l 的斜率k ＝－1.故l 的方程为x ＋y －2＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 即ρsin(θ＋π4)＝ 2.12．(2013·某某理，15)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．[答案]⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)[解析]由三角函数定义知yx＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝11＋tan 2θ＝cos 2θ， 则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ， 又θ＝π2时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．[解法探究] 因为直线OP 与圆的交点为P ，所以点P 与直径两端点构成直角三角形，故可通过解直角三角形求得参数方程．将圆x 2＋y 2－x ＝0配方得，(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则|OP |＝cos θ， x ＝|OP |cos θ＝cos 2θ， y ＝|OP |sin θ＝sin θcos θ.∴圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ，(θ为参数)．二、解答题13．曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t ，y ＝2＋3t (t 为参数)．(1)将C 1化为直角坐标方程；(2)曲线C 1与C 2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由． [解析](1)∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ， 所以C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. (2)C 2的直角坐标方程为3x －4y －1＝0， C 1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆． 圆心C 1(2,0)到直线C 2的距离 d ＝|3×2－4×0－1|32＋42＝1<2.所以C 1与C 2相交． 相交弦长|AB |＝222－12＝2 3.14．已知圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ.(θ为参数)的圆心F 是抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .的焦点，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求|AF |·|FB |的取值X 围．[解析]圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ.的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，所以F (1,0)．抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .的普通方程是y 2＝2px ，所以p2＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设过焦点F 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ.(t 为参数)，代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0. 所以|AF |·|FB |＝|t 1t 2|＝4sin 2θ.因为0<sin 2θ≤1，所以|AF |·|FB |的取值X 围是[4，＋∞)．15．(文)(2013·某某六校联考)已知圆C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π3)．(1)将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)圆C 1、C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．[解析](1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ，得x 2＋y 2＝1，又∵ρ＝2cos(θ＋π3)＝cos θ－3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ. ∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0， 即(x －12)2＋(y ＋32)2＝1.(2)圆心距d ＝(0－12)2＋(0＋32)2＝1<2，得两圆相交．设交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得A (1,0)，B (－12，－32)，∴|AB |＝(1＋12)2＋(0＋32)2＝ 3.(理)(2013·某某某某一模)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22a ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φ，y ＝－1＋sin φ，(φ为参数，0≤φ≤π)．(1)求C 1的直角坐标方程；(2)当C 1与C 2有两个不同公共点时，某某数a 的取值X 围． [解析](1)将曲线C 1的极坐标方程变形，ρ(22sinθ＋22cosθ)＝22a，即ρcosθ＋ρsinθ＝a，∴曲线C1的直角坐标方程为x＋y－a＝0.(2)曲线C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1(－1≤y≤0)，为半圆弧，如图所示，曲线C1为一组平行于直线x＋y＝0的直线，当直线C1与C2相切时，由|－1－1－a|2＝1得a＝－2±2，舍去a＝－2－2，得a＝－2＋2，当直线C1过A(0，－1)、B(－1,0)两点时，a＝－1.∴由图可知，当－1≤a<－2＋2时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．考纲要求1．了解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．了解极坐标的基本概念．会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．5．了解参数方程，了解参数的意义．6．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．补充材料1．极坐标系的概念在平面内取一个定点O 为极点，引一条射线Ox 为极轴，再选定一个长度单位和角度单位(通常取弧度)及正方向(通常取逆时针方向)，就建立了一个极坐标系．对于极坐标系内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标．如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R .2．在极坐标系中，(ρ，θ＋2k π)，k ∈Z 与(ρ，θ)代表同一个点，为了使极坐标与平面上的点(除极点外)建立一一对应关系，规定ρ≥0,0≤θ<2π.曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程，但曲线上一点P 的无数个极坐标中，必有一个适合曲线的极坐标方程．极坐标方程θ＝θ1表示一条射线并非直线，只有当允许ρ<0时，θ＝θ1才表示一条直线． 3．极坐标与直角坐标互化条件：(1)极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；(2)极轴与x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系中取相同的长度单位4．只有在a 2＋b 2＝1时，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt .(t 为参数)中的参数t 才表示由M (x 0，y 0)指向N (x ，y )的有向线段的数量，而在a 2＋b 2≠1时，MN ＝a 2＋b 2·t .5．消参后应将原参数的取值X 围相应地转化为变量x (或y )的取值X 围． 备选习题1．(2013·某某某某测评)若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2t ，y ＝－1－t (t 为参数)被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数，θ∈R )所截，则截得的弦的长度是( )A.355B.655C.322D ．6 2 [答案]B[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－1－t ，∴x ＋2y ＋3＝0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ，∴(x －1)2＋(y －1)2＝9， ∴圆心(1,1)到直线x ＋2y ＋3＝0的距离d ＝|1＋2＋3|5＝655，弦长为232－(655)2＝655，故选B.2．设点A 的极坐标为(2，π6)，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为________．[答案]填ρcos(θ＋π6)＝1、3ρcos θ－ρsin θ－2＝0、ρsin(π3－θ)＝1、ρsin(θ－4π3)＝1中任意一个均可[解析]∵点A 的极坐标为(2，π6)，∴点A 的平面直角坐标为(3，1)，又∵直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，∴直线l 的方程为y －1＝(x －3)tan π3，即3x －y －2＝0，∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理得ρcos(θ＋π6)＝1或ρsin(π3－θ)＝1或ρsin(θ－4π3)＝1.[点评] 一般地，在极坐标系下，给出点的坐标，曲线的方程，讨论某种关系或求某些几何量时，通常都是化为直角坐标(方程)求解．如果直接用极坐标(方程)求解，通常是解一个斜三角形．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.[解析](1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3＝23，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3＝4 3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.4．已知直线l 经过点P (12，1)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[解析](1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t .(t 为参数)．由ρ＝2cos(θ－π4)得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得(x －12)2＋(y －12)2＝12.(2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t 代入(x －12)2＋(y －12)2＝12中得t 2＋12t －14＝0.由根与系数的关系得t 1t 2＝－14，由参数t 的几何意义得：|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M (1，32)对应的参数φ＝π3，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D (1，π3)． (1)求曲线C 1、C 2的方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．[解析](1)将M (1，32)及对应的参数φ＝π3，代入 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，得⎩⎨⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1， 所以曲线C 1的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ.(φ为参数)，或x 24＋y 2＝1.设圆C 2的半径为R ，由题意，圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ(或(x －R )2＋y 2＝R 2)． 将点D (1，π3)代入ρ＝2R cos θ，得1＝2R cos π3，即R ＝1.(或由D (1，π3)，得点D 的直角坐标(12，32)，代入(x －R )2＋y 2＝R 2，得R ＝1)，所以曲线C 2的方程为ρ＝2cos θ(或(x －1)2＋y 2＝1)． (2)因为点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，所以ρ21cos 2θ4＋ρ21sin 2θ＝1，ρ22sin 2θ4＋ρ22cos 2θ＝1， 所以1ρ21＋1ρ22＝(cos 2θ4＋sin 2θ)＋(sin 2θ4＋cos 2θ)＝54.。

2015届高考数学一轮总复习12-2坐标系与参数方程基础巩固强化一、选择题1.（文）极坐标方程（p—1）（0—n 0（p> 0）表示的图形是（）A .两个圆B .两条直线C .一个圆和一条射线D .一条直线和一条射线［答案］C［解析］原方程等价于尸1或0= n前者是半径为1的圆，后者是一条射线.n（理）（2013北京西城期末）在极坐标系中，已知点P（2, 6）,则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A . p sin 0= 1 B. psin 0= 3C. pcos 0= 1 D . p cos 0= . 3［答案］A［解析］点P（2, n的直角坐标为（3,1）,•••所求直线平行于极轴，.••所求直线的斜率k= 0.所求直线的普通方程为y= 1，化为极坐标方程为psin 0= 1,故选A.2 .（文）设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线x= 1 + 2t,y= 2 +1.（t为参数）被圆p= 3截得的弦长为（）12A飞B敖C."5［答案］B［解析］2 2圆的直角坐标方程为x + y = 9,直线的参数方程化为普通方程为x—2y+ 3 = 0,则圆心（0,0）到直线的距离d= ；•所以弦长为2；32—d2=十5（理）已知点2l x= 4t ,P（3, m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|=（）A . 1B. 2C. 3 D . 4［答案］D［解析］将抛物线的参数方程化为普通方程为y2= 4x,则焦点F（1,0），准线方程为x=—1,又P(3, m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|= 3 —(-1) = 4.［x= 2+ t,3.(文)(2013北京海淀期末)已知直线I:l y=—2—t 数)，则直线I的倾斜角及圆心C的直角坐标分别为n nA. 7, (1,0)B.7, (—1,0)4 4c.35, (1,0) D^, (—1,0)［答案］c［解析］•••直线I的普通方程为x+ y= 0,3 n•••直线l的倾斜角为宁4又•••圆C的普通方程为(x—1)2+ y2= 4 ,•圆心坐标为(1,0),故选C.x= —1 + 2t ,x = 2cos 0+ 1 ,(t为参数)与圆C :彳(0为参|y = 2sin 0)l y=—1 —tx= 1 + 3cos 0,(t为参数)被曲线U1 + 3sin0 (0为参数，0€ R)所截,则截得的弦的长度是( )A ―^―5c 3/22B. 5D . 6迄［答案］Bx=—1+ 2t ,［解析］••x+ 2y+ 3= 0. [y= - 1 -1 ,x= 1 + 3cos 0 ,•叫••(x—1)2+ (y—1)2= 9 ,(理)(2013山西太原测评)若直线7= 1 + 3sin 0,•圆心(1,1)到直线x + 2y+ 3= 0的距离|1 + 2 + 3| ^5 d=.5 =亏，弦长为2- 32—6552=晋,故选B.x= 1 + 3t ,4 .若直线的参数方程为' 厂(t为参数),则直线的倾斜角为()■y = 2—3t.A .30 °B .60 °［答案］直线的倾斜角为150° n5.（文）在极坐标系中，过点（2, 3）且与极轴平行的直线的方程是 （ ）A . p os 0= ■ _ 3B . p in 0= . 3C . p= _ 3cos 0D .尸：：：; 3sin 0［答案］B［解析］设P （p, 0是所求直线上任意一点，则p in 0= 2sin n ，/.psin 0=^/3，故选B.（2专）（理）（2013安徽理，7）在极坐标系中，圆 p= 2cos 0的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A . 0= 0（ p€ R ）和 p os 0= 2B . 0= 2（ p€ R ）和 p cos 0= 2n十C . 0= 2（ p€ R ）和 p cos 0= 1D . 0= 0（ p€ R ）和 p os 0= 1 ［答案］B［解析］由题意可知，圆 p= 2cos 0可化为普通方程为（x — 1）2+ y 2= 1. 所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为x = 0和x = 2，再将两条切线方程化为极坐标方程分n别为 0= 2（p€R ）和 pcos 0= 2,故选 B.x = 2cos 0,x = t ,（0为参数）和直线I ： i （t 为参数，b 为y = 2sin 0. y = t + b.实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b =（D . 1506. （2012淮南市二模）已知曲线 C : A. ,2 B .— 2D . ±. 2［解析］［答案］［解析］将曲线C和直线I的参数方程分别化为普通方程为X2+ y2= 4和y= x+ b，依题意，若要使圆上有3个点到直线I的距离为1,只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b|= 1,解得by［2=± 2.二、填空题x= 1 —2t, 7 •若直线11：1y= 2 + kt.x s,（t为参数）与直线b：U （s为参数）垂直，则k= .I y= 1 —2s.［答案］—1［x= 1 —2t,［解析］11： 5 (t为参数)y= 2+ kt.k化为普通方程为y—2= —2(x—1),|x= s,I2：S （s为参数）化为普通方程为y—1 = —2x,7= 1 —2 s.k■•I1 JL2,-—2 （—2）= —1, k=—1.x= t8.（文）（2013江西理，15）设曲线C的参数方程为（ 2 （t为参数），若以直角坐标系的原点为ly=t极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为______________ .2［答案］pcos 0—sin B= 0x=t，2［解析］由参数方程$ 2得曲线在直角坐标系下的方程为y= x2.、y=tfx= pcos 0,由公式< 得曲线C的极坐标方程为pcos20= sin 0y= psin 0（理）（2013陕西理，15）如图，以过原点的直线的倾斜角0为参数，则圆x2+ y2—x = 0的参数方程为________ .x= cos2 0,［答案］（0为参数）y= sin 0cos0［解析］y由三角函数定义知 -=tan0x M 0）, y= xtan0 ,x2 2 2 2 2 1 2 由x + y —x= 0 得，x + x tan 0— x = 0, x= — = cos 0,1 + tan 0则y= xtan 0= cos20an 0= sin Ocos 0,又0=中寸，x= 0, y= 0也适合题意,］'x= cos2 0,故参数方程为（0为参数）.y= sin 0cos0［解法探究］因为直线OP与圆的交点为P,所以点P与直径两端点构成直角三角形，故可通过解直角三角形求得参数方程.(理)在极坐标系中，圆 尸4cos B 的圆心C 到直线psin ( B+才)=2^2的距离为 __________ .［答案］2［解析］注意到圆p= 4cos 0的直角坐标方程是 x 2 + y 2= 4x ,圆心C 的坐标是(2,0).直线p sin( 0n —|2+ 0— 4|-+ 4)= 2眾的直角坐标方程是 x + y — 4 = 0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于寸㊁=V 2.三、解答题10 .(文)(2012河南六市联考 )曲线 C i 的极坐标方程为 p= 4cos 0,直线 C 2的参数方程为x = 3 + 4t ,(t 为参数).y = 2 + 3t.(1) 将C i 化为直角坐标方程；(2) 曲线C i 与C 2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由.2 2 2•••圆的直径为1.设 P （x , y ），则 OP|= cos 0, 2x = |OP|cos 0= cos 0, y = |OP|sin 0= sin 0os 0.广 2x = cos 0,•圆的参数方程为彳（0为参）9.（文）（2012深圳调研）在极坐标系中，点 P （1 ,寸）到直线I : pcos （0+ ；）=晋上的点的最短距离 为 ________ .［答案］2 ,2［解析］注意到点P （1, n 的直角坐标是（0,1），直线I : pcos （0+ n =节的直角坐标方程是x — yn—3 = 0,因此点P （1, 2）到直线l 上的点的最短距离，即点P 到直线l 的距离，等于 |0— 1 —3|2 将圆x 2 + y 2— x = 0配方得,［解析］(1) '■'= 4cos 0 ••• p = 4 ［:c os 0 , -'x + y = 4x,所以C1的直角坐标方程为x2+ y2—4x= 0.(2)C2的直角坐标方程为3x—4y —1 = 0,C1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.圆心C1(2,0)到直线C2的距离|3X 2 —4X 0—1|d = . ------------ = 1<2.小2+ 42所以C1与C2相交.相交弦长AB|= 2 22—12= 2,3.x= 1 + tCOS a,(理)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：尸1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合) y= tsin a.(1) 当a= 3时，求直线C1被圆C2所截得的弦长；(2) 过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程.［解析］(1)当a= 3时，C1的普通方程为y= . 3(x—1),C2的普通方程为x2+ y2= 1.y=也区-1,法1:联立方程组［x2+ y2= 1.解得C 1与C 2的交点为（1,0）, （2，— g 3法2 :原点O 到直线C 1的距离为 --------------- _ , .；'32 + 1 2又圆C 2的半径为1，所以截得的弦长为 2\” 一（%3 （= 2 X 2= 1. (2) C 1 的普通方程为 xs in a- ycos a — sin a= 0. A 点坐标为 (sin 2 a, — cos a sin a ),所以A 点轨迹的普通方程为x 2+ y 2 — x = 0.能力拓展提升、填空题"x = V2cost厂 （t 为参数）,C 在点（1,1）处的切线 剧=7 2sint 为I ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则I 的极坐标方程为 ［答案］p in( 0+ n = 2X = V2cost ,［解析］•••曲线C 的参数方程为（t 为参数）,y= int ,•••其普通方程为X 2+ y 2= 2.又点（1,1）在曲线C 上，•曲线I 的斜率k =— 1. 故I 的方程为x + y — 2= 0,化为极坐标方程为 pcos 0+ psin 0= 2, 即 p>in （0+ 4 ）=.2.12 .（文）极坐标系中，点 A 在曲线 尸2si n 0上，点B 在曲线 p os 0=— 2上，则|AB|的最小值为［答案］12［解析］p= 2sin 0? p = 2 p in 0 ••x 2+ y 2 — 2y = 0，即 x 2+ (y — 1)2= 1;),10— 0- ,'3|3故当a 变化时，A 点轨迹的参数方程为叫 x = sin 2 a(a 为参数).［y =— sin a cos a11. （2013广东理，14）已知曲线C 的参数方程为‘ 所以截得的弦长为'•'pcos 0= — 2 ,「x = — 2,易知圆心（0,1）到直线x = — 2的距离为2,圆半径为1,故|AB|min = 1.（理）在极坐标系中，设 P 是直线I : p cos 0+ sin 0） = 4上任一点，Q 是圆C ： p 2= 4 pcos 0- 3上任 一点，贝U |PQ|的最小值是 _______ .［答案］ 2—1［解析］直线I 方程化为x + y — 4= 0,O C 方程化为 x 2+ y 2— 4x + 3= 0,即（x — 2）2 + y 2= 1.••|PQ|min = . 2 — 1.13 .（文）（2013广东深圳一模）在直角坐标系xOy 中，以原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立『x =x/t极坐标系.曲线 C 1的参数方程为，'（t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为p in 0- pcos 0= 3,対=t + 1则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为 ___________ .［答案］（2,5）［解析］将曲线C 1的参数方程和曲线 C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程 C 1: y = x 2 + 1,C 2： y — x = 3,y = x 2 + 1, x = 2, 由解得y —x = 3,y = 5,故交点坐标为（2,5）.2 2（理）以椭圆2x5 + ^6 = 1的焦点为焦点，以直线x= sec 0,n［答案］；=2屈n o （片k n+刁［解析］•••椭圆的焦点（±,0），•双曲线中c = 3,x = 2t ,又直线化为y = 2 .2x ,它是双曲线的渐近线,圆心C （2,0）到直线l 的距离d = |2+ 0 — 4| =2, x=/2t、曲=4t为渐近线的双曲线的参数方程为y= 4t.•'b = 2 .2, ■ a = 1, b = 8,「.a= 1, b = 2話2,ax= sec B, n•••双曲线的参数方程为(片k n+ n).y= 2>/2ta n 0.x= cos 014 . (2013广东广州调研)已知圆C的参数方程为(0为参数)，以原点为极点，x轴|y= sin 0+ 2的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为p in 0+ pcos 0= 1，则直线I被圆C所截得的弦长是_________ .［答案］3［解析］圆C的参数方程化为普通方程为x2+ (y—2)2= 1,直线I的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+ y= 1,|0+ 2—1|圆心到直线的距离 d =--------- =弋2,V2 2故圆C截直线I所得的弦长为2 ；12—d2= 2.二、解答题15 .(文)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标坐标系取相等的单位n 长度.已知直线I经过点P(1,1)，倾斜角a=n.6(1) 写出直线I的参数方程；(2) 设I与圆p= 2相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.,3x= 1 + R,［解析］(1)直线的参数方程是(t是参数)l y= 1 + ?t.(2)因为点A、B都在直线I上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,圆P= 2化为直角坐标系的方程x2+ y2= 4.将直线I的参数方程代入圆的方程x2+ y2= 4整理得到t2+ ( .3+ 1)t —2= 0①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2=—2,••|PA| |PB|=|t1t2|= 2.(理)(2013辽宁五校协作体联考)已知直线I是过点P(—1,2),方向向量为n= (—1 , - 3)的直线，n圆方程p= 2cos( 0+ 3).(1) 求直线I的参数方程；(2) 设直线I与圆相交于M , N两点，求|PM| |PN|的值.2 n［解析］ ⑴'-'n = (— 13) ,•••直线的倾斜角a= -3.2 n［x = — 1 + tcos 3 , < 22 nI y = 2 + tsin-■p 2= pcos 0+ , 3 psin 0. •x 2+ y 2 — x + 3y = 0，将直线的参数方程代入得 t 2+ （3 + 2 3）t + 6 + 2 3= 0.••|皿2|= 6 + 2 .3,即 |PM| |PN| = 6+ 2 ,3.rx = cos （））,16 .（文）（2013贵州六校联考）已知圆C 1的参数方程为〈（$为参数），以坐标原点O 为y = sin $ 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 2的极坐标方程为尸2cos （ 0+ .（1）将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆 C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 圆C 1、C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由. x= cos $,22［解析］⑴由S得x + y = 1,\y= sin $又■/ p= 2cos( 0+ 3)= cos 0— . 3sin 0,-■p 2= ［:cos 0— , 3 psin 0. •x 2+ y 2 — x + ,3y = 0,即(x —》2+(y+^)2= 1.⑵圆心距d =0 — j 2+ 0 + 232•••直线的参数方程为 （t 为参数）,（t 为参数）.1 ⑵•••尸 2(2cos 0+J3gsin 0 = cos 0+ . 3sin 0 1x =—1 — 2t ，=1<2，得两圆相交.设交点为A , B ,由］22厂 x + y — x + 寸 3y = 02 2,x + y = 1,得 A （1,0）, B （ — 2，一玄）,••|ABI =1 2+ ； 3+ 0+ 24 5 2= 3.x = 1 + tCOS a, X = cos 0,（理）已知直线C l ： < （t 为参数），圆C 2： < （0为参数）.|y = tsin a, |y = sin 0, （1） 当a= n 时求C i 与C 2的交点坐标； （2）过坐标原点O 作C i 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点•当a 变化时，求P 点轨迹的参数方 程，并指出它是什么曲线.［解析］⑴当a= n 时C i 的普通方程为y = .3（x — 1）, C 2的普通方程为X 2 + y 2= 1.解得C 1与C 2的交点为（1,0）, （1,—三3） •（2） C 1 的普通方程为 xs in a — ycos a — sin a= 0. 一 2A 点坐标为（sin a, — cos a sin a ）,故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为（a 为参数）,、 1 2 2 1消去参数得P 点轨迹的普通方程为（x — 2 + y =—, 1 1故P 点轨迹是圆心为q , 0）,半径为4的圆.考纲要求2 •了解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3 •了解极坐标的基本概念•会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐 标的互化.4 .能在极坐标系中给出简单图形 （如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆 ）表示的极坐标方程.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位 置的方法相比较，了解它们的区别.联立方程组x = |si n 21y = — gsin 久cosa ,备课助手5•了解参数方程，了解参数的意义.6 •能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.补充说明1 •极坐标系的概念在平面内取一个定点0为极点，引一条射线Ox为极轴，再选定一个长度单位和角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），就建立了一个极坐标系•对于极坐标系内任意一点M，用p表示线段0M的长度，用B表示以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角，p叫做点M的极径，0 叫做点M的极角，有序实数对（p, 0就叫做点M的极坐标•如无特别说明时，p> 0, 0€ R.2 .柱坐标系（1）如图，空间直角坐标系0 —xyz中，设P是空间任意一点，它在xoy平面上的射影为Q,用（p0）（p>0,0 W 0<2 n来表示点Q在平面xoy上的极坐标.则点P的位置可用有序数组（p 0 z）（z€ R）表示.把建立了空间的点与有序数组（p, 0 z）之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（p, 0 , z）叫做点P的柱坐标，记作p（p 0 z）,其中p>0,0W 0<2 n —m<z< + s.x= p cos 0, （2）空间点P的直角坐标（x , y , z）与柱坐标（p 0, z）之间的变换公式为t y= p in 0l.z=乙3 .球坐标系（1）如图空间直角坐标系0 —xyz中，设P是空间任意一点，记|0P|= r , OP与Oz轴正向所夹的角为0设P在xOy平面上的射影为Q , Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为0 ,则点P用有序数组（r , 0 0表示.把空间的点与有序数组（r , 0 0之间建立的这种对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组（r, 0 , 0叫做点P的球坐标，记作P（r , 0 0）,其中r > 0,0W 0W n, 0W 0<2 n.x= rsin gos 0,(2)空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r, 0 0之间的变换关系为y= rsin^in 0z= rcos 0.备选习题X= 2COS a ,1 •在直角坐标系xOy中，曲线C i的参数方程为，. (a为参数)，在极坐标系(与直角3sin a坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为p cos 0 —sin 0 + 1 = 0,贝U C i与C2的交点个数为_______________ •［答案］22 2x y［解析］曲线C i的参数方程可化为—+ 3 = 1,曲线C2的极坐标方程P COS0—sin 0 + 1 = 0化为直角坐标方程为x—y+ 1 = 0•直线x—y+ 1 = 0过点(0,1)，位于椭圆C1内，故G与C?有2个交点.3x=—5t+ 2,2 .已知曲线C1：P= 2sin 0,曲线C2：(t为参数).l y= *(1) 化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；(2) 若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值.［解析］(1)曲线C1的方程化为p2= 2 p i n02 2 2又x + y = p , x = pcos 0, y= psin 0所以曲线C1的直角坐标方程x2+ y2—2y= 0,3x= —5t+ 2,因为曲线C2的参数方程是消去参数t得曲线C2的普通方程4x+ 3y—8= 0.⑵在曲线C2的方程中，令y= 0得x= 2,即M点的坐标为(2,0),又曲线C1为圆，其圆心坐标为C1(0,1)，半径r = 1, 则|MC1|= ,'5,••|MN|W |MC1|+ r = ,5+ 1 , |MN|的最大值为.'5+ 1.轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 P= 2cos( 0+ n ，求直线I 被曲线C 所截的弦长.4 1 x = 1 +5t ,［解析］将方程｛ 3 (t 为参数)化为普通方程得，3x + 4y + 1= 0,3y =-1-5t .将方程p= 2cos 0+ 4化为普通方程得，x 2 + y 2—x + y = 0,它表示圆心为 £，— 2，半径为 1的圆，则圆心到直线的距离 d = 10,弦长为 2—d =2100= 5.4 .已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合.设一X = t , 2点O 为坐标原点，直线I :〈(参数t € R )与曲线C 的极坐标方程为 pcos 2 0= 2sin 0y = 2+ 2t.(1) 求直线I 与曲线C 的普通方程；(2) 设直线I 与曲线C 相交于A 、B 两点，证明：OA OB = 0. ［解析］(1)由直线的参数方程消去参数 t 得普通方程y = 2x + 2;由曲线C 的极坐标方程得曲线C 的普通方程为x 2= 2y ,y= 2x +2, 2(2)设 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2),由 2消去 y 得 X — 4x — 4 = 0,l x = 2y.「OA OB = X 1X 2 + y i y 2= 0・5. (2012河北郑口中学模拟)在直角坐标系中，以原点 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，建立极…一 ,,,X = V3c°S a坐标系，设曲线 C ：( a 为参数)，直线I : p cos B+ si n B )= 4.$= sin a(1) 写出曲线C 的普通方程和直线I 的直角坐标方程； (2) 求曲线C 上的点到直线I 的最大距离.2［解析］(1 )将C 化为普通方程是 二+ y 2= 1,3 .在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为: (t 为参数)，若以0为极点，xX i + X 2= 4, X i •=y=-1-5t .将I化为直角坐标方程是x+ y— 4 = 0.2(2)在3 + y2= 1上任取一点A(寸3cos a, sin ",则点A到直线I的距离为3| 3cos a+ sin a—4| |2sin a+ 60 °—4|d = " 2 = 2 ，它的最大值为3 2.6. (2013福建漳州一模)在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，一n \［2x= —1 + cos ©曲线C i的极坐标方程为p in( B+；)=斗~a，曲线C2的参数方程为｛( $为参数,4 2ly=— 1 + sin()),O W n )(1) 求C i的直角坐标方程；(2) 当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围.［解析］(1)将曲线C1的极坐标方程变形，P》n 0+歩呻冷a,即pcos 0+ p in 0= a,•••曲线C1的直角坐标方程为x+ y—a= 0.⑵曲线C2的直角坐标方程为(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 1( —1 W y< 0)，为半圆弧,如图所示，曲线C1为一组平行于直线x+ y= 0的直线，|—1 —1 —a|当直线C1与C2相切时，由2± 2,—— = 1得a=舍去 a = —2 —#2，得a=—2+、f2,当直线C1 过A(0，—1)、B( —1,0)两点时，a=—1.•••由图可知，当一1W a< —2+ .2时，曲线C1与曲线C2有两个公共点.21。

选修4－4 坐标系与参数方程第1课时坐 标 系(理科专用)1. 在极坐标系中、圆ρ＝4被直线θ＝π4分成两部分的面积之比是多少？ 解：∵ 直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心、∴ 直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1. 2. 在极坐标系中、直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3被圆ρ＝5截得的弦长是多少？ 解：直线和圆转化为直角坐标方程分别为直线x ＋y ＝32、圆x 2＋y 2＝25、圆心到直线的距离为3、得弦长为8.3. 在极坐标系中、求圆ρ＝1上的点到直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3的距离的最大值。

解：将直线和圆都化为直角坐标方程、直线x ＋3y －6＝0、圆x 2＋y 2＝1、圆心(0、0)到直线的距离为3、∴ 直线与圆上的点最大距离为4.4. 在极坐标系下、求圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的坐标。

解：圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫52，－532、故圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，53π.(答案不唯一) 5. 曲线的极坐标方程为ρ＝tan θ·1cos θ、求曲线的直角坐标方程。

解：ρ＝tan θ·1cos θ＝sin θcos 2θ、ρcos 2θ＝sin θ、ρ2cos 2θ＝ρsin θ、即曲线的直角坐标方程为x 2＝y.6. 极坐标方程ρcos2θ＝0表示的曲线是什么？解：ρcos2θ＝0、cos2θ＝0、θ＝k π±π4、为两条相交直线。

7. 极坐标系中、曲线ρ＝－4sin θ与ρcos θ＝1相交于点A 、B 、求AB 的长。

解：在平面直角坐标系中、曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋()y ＋22＝4和直线x ＝1、作图易知||AB ＝2 3.8. 在极坐标系中、已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3、半径R ＝5、求圆C 的极坐标方程。

解：(解法1)设P(ρ、θ)是圆上的任意一点、则PC ＝ R ＝ 5. 由余弦定理、得ρ2＋22－2×2×ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝5.化简、得ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋1＝0、此即为所求的圆C 的方程. (解法2)将圆心C ⎝⎛⎭⎫2，π3化成直角坐标为(1、3)、半径R ＝5、故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.再将C 化成极坐标方程、得(ρcos θ－1)2＋(ρcos θ－3)2＝5. 化简、得ρ2－4ρcos(θ－π3)＋1＝0 、此即为所求的圆C 的方程. 9. 设点P 在曲线ρsin θ＝2上、点Q 在曲线ρ＝－2cos θ上、求|PQ|的最小值。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（18选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：选修4—1；几何证明选讲1. （2015广东理） 如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ， 1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD=图1POECD A B【答案】8．【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题．2. （2015广东文） 如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A = ．【答案】3考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．3．（2015湖北理）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=.【答案】21考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似.4. (2015湖南理)（Ⅰ）如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明： （1）180MEN NOM ∠+∠=； （2）FE FN FM FO ⋅=⋅【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.垂径定理；2.四点共圆；3.割线定理.【名师点睛】本题主要考查了圆的基本性质等知识点，属于容易题，平面几何中圆的有关问题是高考考查的热点，解题时要充分利用圆的性质和切割线定理，相似三角形，勾股定理等其他平面几何知识点的交汇.5. (2015江苏) 如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆【答案】详见解析考点：三角形相似6.(2015全国新课标Ⅰ卷文、理)如图AB 是 O 直径，AC 是 O 切线，BC 交 O 与点E . （I ）若D 为AC 中点，求证：DE 是 O 切线； （II ）若3OA CE = ，求ACB ∠的大小.ABCE DO（第21——A 题）【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE =DC ，OE =OB ，利用等量代换可证∠DEC +∠OEB =90°，即∠OED =90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE =1,由OA =得，AB=AE =x，由勾股定理得BE 得2AE CE BE = ，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小.【考点定位】圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.7. (2015全国新课标Ⅱ卷文、理)如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．GAEFOND B CM（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ） 若AG 等于O 的半径，且AE MN ==求四边形EBCF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由已知得AD BC ⊥，欲证明//EF BC ，只需证明AD EF ⊥，由切线长定理可得AE AF =，故只需证明AD 是角平分线即可；（Ⅱ）连接OE ，OM ，在Rt AEO ∆中，易求得030OAE ∠=，故AEF ∆和AEF ∆都是等边三角形，求得其边长，进而可求其面积．四边形EBCF 的面积为两个等边三角形面积之差． 试题解析：（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，12DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，AB =．所以四边形EBCF 的面积221122⨯⨯=考点：1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质． 8. (2015陕西文、理)如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C .(I)证明：CBD DBA ∠=∠(II)若3,AD DC BC ==O 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3. 【解析】 试题分析：：(I)因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒，又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒，又AB 切O 于点B ，得DBA BED ∠=∠，所以CBD DBA ∠=∠；(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD==，又BC =，从而AB =222AB BC AC =+，解得4AC =，所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅，解得6AE =，故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3.试题解析：(I)因为DE 是O 的直径， 则90BED EDB ∠+∠=︒又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 又AB 切O 于点B ， 得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD==，又BC =，从而AB =，所以4AC = 所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅即26AB AE AD==， 故3DE AE AD =-=， 即O 的直径为3.考点：1.几何证明；2.切割线定理.9.(2015天津文、理)如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（ ）（A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52E【答案】A【解析】 试题分析：由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.考点：相交弦定理.10．(2015重庆理)如图，圆O 的弦AB ，C D 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA =6，AE =9，PC =3，CE :ED =2:1，则BE =_______.【答案】2【考点定位】相交弦定理，切割线定理.二、坐标系与参数方程：选修4-4：坐标系与参数方程1.（2015安徽理）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 .【答案】6【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为普通方程为228x y y +=，即22(4)16x y +-=；直线()3R πθρ=∈2. （2015北京理）在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.3.（2015福建理）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129x y -++= ，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=.(Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2|12m |2，--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．4．（2015广东理） 已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l的距离为【解析】依题已知直线l ：2sin 4πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为2d ==，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．5. （2015广东文） 在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()2,4- 【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 16．（2015湖北理）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则||AB =. 【答案】52考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.7.(2015湖南理)（Ⅱ）已知直线5:12x l y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值. 【答案】（1）0222=-+x y x ；（2）18.的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1821==⋅|t |t |MB||MA|. 【考点定位】1.极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系，属于容易题，在方程的转化时，只要利用θρcos =x ，θρsin =y 进行等价变形即可，考查极坐标方程与参数方程，实为考查直线与圆的相交问题，实际上为解析几何问题，解析几何中常用的思想，如联立方程组等，在极坐标与参数方程中同样适用.8、(2015湖南文)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____.【答案】2211x y +-=（） 【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可．曲线C 的极坐标方程为222sn sn ρθρρθ=∴=， ，它的直角坐标方程为222x y y += ，2211x y ∴+-=（）． 故答案为：2211x y +-=（）．考点：圆的极坐标方程9.(2015江苏)已知圆C 的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化10.(2015全国新课标Ⅰ卷文)在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ|MN|=1ρ－2ρ因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o11sin 452⨯=12.【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.11. (2015全国新课标Ⅰ卷理)在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。