2018-2019版高中数学苏教版必修四课件：章末复习课2

ห้องสมุดไป่ตู้
a⊥b
a· b＝0 _______
题型探究
类型一 向量的线性运算
例1 → 1→ → 如图所示，在△ABC 中，AN＝3NC，P 是 BN 上的一点，若AP＝
3 → 2→ mAB＋11AC，则实数 m 的值为 11 .
解析 → → 设BP＝λBN，
→ → → → → 2→ → 2→ 则BP＝BA＋AP＝－AB＋mAB＋11AC＝(m－1)AB＋11AC. → → → → 1→ BN＝BA＋AN＝－AB＋4AC. → → ∵BP与BN共线， 1 2 3 ∴4(m－1)＋11＝0，∴m＝11.
2 ①设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x2 ＋ y 1 1.
反思与感悟
②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)
x1x2＋y1y2 a· b cos θ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1 x2＋y2
→ → → 跟踪训练 2 已知向量OA＝(3， －4)， OB＝(6， －3)， OC＝(5－m， －(3＋m)).
第2章 平面向量
章末复习课
学习目标
1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.
2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.
3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.
4.进一步理解向量的“工具”性作用.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 向量运算 向 量 的 线 性 运 算 加 三角形 (x1＋x2，y1＋y2) a＋b＝______________ 法则(或几何意义) 坐标运算
向量的 a· b ＝ |a||b|cos θ(θ 为 a 与 b 的夹角 ) 规定 x1x2＋y1y2 数量积 0· a＝0，数量积的几何意义是a的模与 a· b＝_________ 运算 b在a方向上的投影的积
2.两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平
法
平行四边形
向
量
的
减 法 三角形 (1)|λa|＝|λ||a|； 数 (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向 乘
(x1－x2，y1－y2) a－b＝______________
线
性
运
算
相同 ；当λ＜0时，λa的方向与a的
方向 相反 ；当λ＝0时，λa＝0
(λx1，λy1) λa＝_________
所以当点 D 为 AC
1→ → 1→ 2→ → 的三等分点CD＝3CA时，BD＝3BC＋3BE.
解答
类型二 向量的数量积运算
例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝ 3 |a－kb|(k>0). (1)用k表示数量积a· b； 解 由|ka＋b|＝ 3 |a－kb|， 得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka· b＋b2＝3a2－6ka· b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka· b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝ cos2α＋sin2α＝1，|b|＝ cos2β＋sin2β＝1，
∴k2－3＋8ka· b＋1－3k2＝0，
2k2＋2 k2＋1 ∴a· b ＝ 8k ＝ 4k .
解答
(2)求a· b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.
解 k2＋1 1 1 a· b＝ 4k ＝4(k＋ k).
由函数的单调性可知，
面内的 任意 向量a， 有且只有一对 实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2 .
②基底：把 不共线 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 所有 向量的一组
基底.
(2)向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa .
3.向量的平行与垂直
a，b为非零向量，
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b b＝λa(a≠0) 有唯一实数λ使得___________ x1y2－x2y1＝0 x1x2＋y1y2＝0 ____________
解答
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值. 解 若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，
→ → → → 则AB⊥AC，而AB＝(3，1)，AC＝(2－m，1－m)，
7 ∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得 m＝4.
解答
类型三 向量坐标法在平面几何中的应用
例3
已知在等腰△ABC中，BB′ ，CC′ 是两腰上的中线，且BB′ ⊥CC′ ，
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件； 解 若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
→ → → ∵OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－(3＋m))，
→ → ∴AB＝(3，1)，BC＝(－m－1，－m)， → → ∵AB与BC不平行，
1 ∴－3m≠－m－1，解得 m≠2， 1 ∴当实数 m≠2时满足条件.
解析 答案
反思与感悟
向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向
量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.
跟踪训练 1
在△ABC 中，E 为线段 AC 的中点，试问在线段 AC 上是否
→ 1→ 2→ 存在一点 D，使得BD＝3BC＋3BE，若存在，说明 D 点位置；若不存在， 说明理由.
解 → 1→ 2→ 假设存在 D 点，使得BD＝3BC＋3BE.
→ 1→ 2→ → 1→ 2 → → → 2→ BD＝3BC＋3BE⇒BD＝3BC＋3(BC＋CE)＝BC＋3CE
→ → 2→ → 2→ → 2 → 1→ 1 → ⇒BD－BC＝3CE⇒CD＝3CE⇒CD＝3×2CA⇒CD＝3CA.
1 1 f(k)＝4(k＋ k)在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上是单调增函数，
1 1 ∴当 k＝1 时，f(k)min＝f(1)＝4×(1＋1)＝2，
a· b 1 此时 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值 cos θ＝ ＝2， |a||b|
∴θ＝60°.
解答
数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以 解决以下问题： (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题