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1.3 命题的四种形式——人教B版选修1-1教案一、教学目标1. 知识目标•了解命题的基本概念和符号表示法•掌握命题的四种基本形式及其关系2. 能力目标•能正确理解和运用命题的基本概念和符号表示法•能准确判断和证明命题的真假•能运用命题的四种基本形式进行逻辑推理和分析3. 情感目标•培养学生的逻辑思维能力和分析判断能力•培养学生的严谨思维态度和逻辑严密性二、教学内容1. 命题的基本概念和符号表示法•命题的定义•命题的符号表示法•命题的真值表2. 命题的四种基本形式及其关系•命题的肯定形式•命题的否定形式•命题的合取形式•命题的析取形式三、教学过程1. 命题的基本概念和符号表示法（1）命题的定义命题是指能确定真假的陈述句。
在数学或逻辑中，命题一般用大写字母P、Q、R 等来表示。
例如：•P：今天是晴天。
•Q：1+1=2。
•R：2是偶数。
（2）命题的符号表示法命题可以用符号表示法来简化表示。
一般使用以下符号：•∧ 表示“且”，即合取•∨ 表示“或”，即析取•¬ 表示“非”，即取反•→ 表示“蕴含”，即如果…那么…（3）命题的真值表命题的真值表是用来表示命题的真假情况的表格。
例如：•命题 P：今天是晴天。
•真值表：P P真T假 F2. 命题的四种基本形式及其关系（1）命题的肯定形式命题的肯定形式是指命题本身的真假情况。
例如：•命题 P：今天是晴天。
•真值表：P P真T假 F（2）命题的否定形式命题的否定形式是指通过否定命题本身的真假情况来得到新的命题。
一般用¬P 来表示。
例如：•命题 P：今天是晴天。
•命题 ¬P：今天不是晴天。
（3）命题的合取形式命题的合取形式是指将两个或多个命题的真假情况同时考虑，得到一个新的命题。
一般用 P ∧ Q 来表示。
例如：•命题 P：今天是晴天。
•命题 Q：温度很高。
•命题P ∧ Q：今天是晴天且温度很高。
（4）命题的析取形式命题的析取形式是指将两个或多个命题的真假情况进行“或”运算，得到一个新的命题。
1．3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？梳理对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后，可以构成四种不同形式的命题：(1)原命题：________________；(2)逆命题：________________(“换位”)；(3)否命题：________________(“换质”)；(4)逆否命题：________________(“换位”又“换质”)．知识点二命题的四种形式之间的关系思考1为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“如果p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？思考2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？梳理四种命题间的相互关系知识点三四种命题的真假关系思考1知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？思考2如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？梳理(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是________________．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性________________．类型一四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若x∈A，则x∈A∪B；(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练1命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数命题角度2四种命题的相互关系例2若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是()A．互为逆命题B．互为否命题C．互为逆否命题D．同一命题反思与感悟判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断；(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．跟踪训练2已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．类型二四种命题的真假判断例3有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题，其中真命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③反思与感悟原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关系．逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．跟踪训练3命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．2 C．3 D．4类型三等价命题的应用例4 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假． 引申探究判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，则a <74”的逆否命题的真假．反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练4 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.1．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．若a ∈A ，则b ∉B C ．若b ∈B ，则a ∉AD ．若b ∉B ，则a ∉A2．命题“如果x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．如果x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1 B ．如果－1<x <1，则x 2<1 C ．如果x >1或x <－1，则x 2>1 D ．如果x ≥1或x ≤－1，则x 2≥13．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是( ) A ．真命题 B ．假命题 C ．不一定是真命题 D ．不一定是假命题 4．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k <0，则方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k ＝0必有两相异实数根”的逆否命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．知识点一全称命题与存在性命题1．全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．知识点二简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．知识点三充分条件、必要条件的判断方法1．直接利用定义判断：即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)2．利用等价命题的关系判断：p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件．3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件知识点四四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．类型一命题的关系及真假的判断例1将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．反思与感悟(1)四种命题的改写步骤①确定原命题的条件和结论．②逆命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．(2)命题真假的判断方法跟踪训练1下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.其中正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4类型二逻辑联结词与量词的综合应用例2已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]反思与感悟解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．跟踪训练2已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．类型三充分条件与必要条件命题角度1充分条件与必要条件的判断例3(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．跟踪训练3 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．12log a >12log b >0C ．ln a >ln b >0D ．x a >x b 且x >0.5命题角度2 充分条件与必要条件的应用例4 设命题p ：x 2－5x ＋6≤0；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练4 已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：2<x <3且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为()A．∃x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．∃x>0，使得(x＋1)e x≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤12．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．5．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．答案精析问题导学知识点一思考命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．梳理(1)如果p，则q(2)如果q，则p(3)如果綈p，则綈q(4)如果綈q，则綈p知识点二思考1逆命题：如果q，则p.否命题：如果綈p，则綈q.逆否命题：如果綈q，则綈p.思考2互逆、互否、互为逆否．梳理如果p，则q如果q，则p如果綈p，则綈q如果綈q，则綈p知识点三思考1(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．思考2原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．梳理(1)逆否命题(2)没有关系题型探究例1解(1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A.否命题：若x∉A，则x∉A∪B.逆否命题：若x∉A∪B，则x∉A.(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B.逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.跟踪训练1 B例2B[已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，命题q 的逆命题r 为：若x ，y 不互为相反数，则x ＋y ≠0，∴r 是p 的逆否命题，∴r 是p 的逆命题的否命题，故选B.]跟踪训练2 若实数a ，b 满足a ＋b ≥4，则a ≠1或b ≠2解析 由命题p 的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．例3 D [①②③显然正确；对于④，若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，所以原命题为假，故它的逆否命题也为假．]跟踪训练3 B [命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R )”是假命题，则其逆否命题是假命题．该命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b (a ，b ，c ∈R )”是真命题，则其否命题是真命题．故选B.]例4 解 方法一 原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅，判断如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，令x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＝0，则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.因为a <1，所以4a －7<0，即关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．因为关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74≥1， 所以原命题为真，故其逆否命题为真．引申探究解 先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，且抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0，所以a <74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．跟踪训练4证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．当堂训练1．B 2.D 3.A 4.C 5.[1,2]。
1.3.2命题的四种形式课前导引问题导入设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d；则a+c=b+d.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.思路分析：逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a=b,c=d.假命题.否命题：已知a,b,c,d是实数，若a≠b且c≠d，则a+c≠b+d.假命题.逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c≠b+d，则a≠b且c≠d.真命题.知识预览1.一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和________，________那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做________，另一个命题叫做原命题的________.答案：结论条件原命题逆命题2.若原命题为“若p，则q”，则它的逆命题为“________”.答案：若q则p3.对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的________和________，把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的________.答案：条件的否定结论的否定否命题4.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“________”.答案：若p则q5.对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________和________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，则另一个命题叫做原命题的________.答案：结论的否定条件的否定逆否命题6.若原命题为“若p，则q”，则它的逆否命题为________.答案：若q则p7.两个命题互为逆否命题，它们是________具有________.答案：等价的相同的真假性8.两个命题为________或________，它们的真假性没有关系.答案：互逆命题互否命题。
2018版高中数学人教B版选修2-1学案：1.3.2-命题的四种形式1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念思考初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？梳理知识点二四种命题间的相互关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________关系，即两个命题不等价．类型一四种命题的关系及真假判断命题角度1四种命题的写法例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．命题角度2四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．反思与感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练2下列命题中为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④类型二等价命题的应用例3证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.反思与感悟因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别．跟踪训练3证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.1．命题“若綈p，则q”的逆否命题为() A．若p，则綈q B．若綈q，则綈pC．若綈q，则p D．若q，则p2．下列命题为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．提醒：完成作业第一章 1.3.2答案精析问题导学知识点一思考在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．梳理结论和条件逆命题否定否定否命题结论的否定和条件的否定逆否命题知识点二思考1互逆．思考2原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．梳理(2)真真假真真假假假①相同②没有题型探究例1解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0. 逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．跟踪训练1解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．例2解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．跟踪训练2 B例3证明方法一原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．方法二假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，因此假设不成立，故a＋b≥0.跟踪训练3证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．当堂训练1．C 2.A3．若x>0，则x>1若x≤0，则x≤1 4.4 5．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx ＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。
