相似与圆综合题选

圆与相像三角形、解直角三角形及二次函数的综合种类一：圆与相像三角形的综合1．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE的各个极点均在⊙ A 上， BF⊥ DE于点 F.求证： BD·BE＝ BC·BF.2．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，以 AC为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E.(1)求证：点 E 是边 BC的中点；求证：2＝BD·BA；(2)BC(3)当以点 O， D， E，C 为极点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1) 连接 OD，∵ DE为切线，∴∠ EDC＋∠ ODC＝90° .∵∠ ACB＝90°，∴∠ ECD＋∠ OCD＝ 90° .又∵ OD＝ OC，∴∠ ODC＝∠ OCD，∴∠ EDC＝∠ ECD，∴ ED＝ EC.∵AC 为直径，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ BDE＋∠ EDC＝ 90°，∠ B＋∠ECD＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED＝ EB，∴ EB＝EC，即点 E 为边 BC的中点(2)∵ AC为直径，∴∠ ADC＝∠ ACB＝90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC∽△ CBD，∴ABBC＝ BCBD，∴B C2＝ BDBA(3)当四边形 ODEC为正方形时，∠ OCD＝ 45° .∵AC 为直径，∴∠ ADC＝ 90°，∴∠ CAD＝90°－∠ OCD＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ ABC 为等腰直角三角形种类二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ ABC中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，DE⊥ AB，垂足为点 E，交 AC 的延伸线于点 F.(1)求证：直线EF是⊙ O 的切线；(2)已知 CF＝ 5， cosA＝25，求 BE 的长．解： (1)连接 OD.∵ CD＝DB，CO＝ OA，∴ OD 是△ ABC的中位线，∴OD∥ AB， AB＝2OD.∵ DE⊥ AB，∴ DE⊥OD，即 OD⊥ EF，∴直线 EF是⊙ O 的切线(2)∵ OD∥ AB，∴∠ COD＝∠ A，∴ cos∠ COD＝ cosA＝ 25.在 Rt△ DOF中，∵∠ ODF＝ 90°，∴ cos∠ FOD＝ ODOF＝ 25.设⊙ O 的半径为 r，则 rr ＋ 5＝ 25，解得 r＝ 103，∴ AB＝ 2OD＝ AC＝ 203.在 Rt△ AEF中，∵∠ AEF＝ 90°，∴ cosA＝ AEAF＝AE5＋ 203＝25，∴ AE＝ 143，∴ BE＝AB－ AE＝203－ 143＝ 24．(2015 ·资阳 )如图，在△ ABC中， BC是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，且⊙ O 与 AC 订交于点D， E 为 BC 的中点，连接 DE.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)连接 AE，若∠ C＝ 45°，求 sin∠ CAE的值．解： (1)连接 OD，BD，∵ OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD.∵ AB 是直径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ CDB＝ 90° .∵ E为 BC的中点，∴ DE＝BE，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴∠ ODB＋∠ EDB＝∠ OBD＋∠ EBD，即∠ EDO＝∠ EBO.∵ BC 是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，∴ AB⊥ BC，∴∠ EBO＝90°，∴∠ ODE＝ 90°，∴ DE 是⊙ O 的切线(2)过点 E 作 EF⊥ CD于点 F，设 EF＝ x，∵∠ C＝45°，∴△ CEF，△ABC 都是等腰直角三角形，∴CF＝ EF＝ x，∴ BE＝ CE＝ 2x，∴AB＝ BC＝ 22x.在 Rt△ ABE中， AE＝ AB2＋ BE2＝ 10x，∴ sin∠ CAE＝ EFAE＝ 10105．如图，△ ABC 内接于⊙ O，直径 BD 交 AC 于点 E，过点 O 作 FG⊥ AB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交⊙ O 于点 G.(1)求证： OF·DE＝ OE·2OH；(2)若⊙ O 的半径为12，且 OE∶OF∶ OD＝ 2∶3∶ 6，求暗影部分的面积． (结果保存根号 )解： (1)∵ BD 是直径，∴∠ DAB＝ 90° .∵ FG⊥ AB，∴ DA∥ FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OFDE＝OEAD.∵O 是BD 的中点， DA∥ OH，∴ AD＝ 2OH，∴ OFDE＝ OE2OH(2)∵⊙ O 的半径为12，且 OE∶ OF∶ OD＝2∶ 3∶ 6，∴ OE＝ 4， ED＝8，OF＝ 6，∴ OH＝ 6.在 Rt△OBH 中，OB＝ 2OH，∴∠ OBH＝ 30°，∴∠ BOH＝ 60°，∴ BH＝ BOsin60°＝ 12× 32＝ 63，∴ S 暗影＝ S 扇形 GOB－S△OHB＝60×π× 122360－ 12× 6×63＝ 24π－ 183种类三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－ 4，0)， B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C(0，2)，过点 C作圆的切线交 x 轴于点 D.(1)求过 A，B， C 三点的抛物线的分析式；(2)求点 D 的坐标；(3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：能否存在以线段EF为直径的圆，恰巧与x轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明原因．解： (1)y＝－ 12x2－ 32x＋2(2)以 AB 为直径的圆的圆心坐标为O′ (－32，0)，∴O′ C＝ 52， O′ O＝ 32.∵ CD为圆 O′的切线，∴O′ C⊥ CD，∴∠ O′CO＋∠ DCO＝ 90° .又∵∠CO′ O＋∠ O′ CO＝90°，∴∠ CO′ O＝∠DCO，∴△ O′ CO∽△ CDO，∴ O′ OOC＝ OCOD，∴322＝ 2OD，∴ OD＝ 83，∴点 D 的坐标为 (83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－ 32，设满足条件的圆的半径为|r| ，则点 E 的坐标为 (－ 32＋ r， r)或 F(－ 32－r ， r)，而点 E 在抛物线y ＝－ 12x2－ 32x＋2 上，∴ r＝－ 12(－ 32＋ |r|)2 － 32(－ 32＋ |r|) ＋ 2，∴ r1＝－ 1＋ 292， r2＝－1－ 292(舍去 )．故存在以线段EF 为直径的圆，恰巧与x 轴相切，该圆的半径为－1＋ 2927．如图，抛物线y＝ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C，经过 A，B， C 三点的圆的圆心抛物线的极点为M(1 ，m)恰幸亏此抛物线的对称轴上，E.⊙ M的半径为.设⊙ M与y 轴交于点D，(1)求 m 的值及抛物线的分析式；(2)设∠ DBC＝α，∠ CBE＝β，求 sin( α－β)的值；(3)研究坐标轴上能否存在点 P，使得以 P， A， C 为极点的三角形与△ BCE相像若存在，请指出点 P 的地点，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1)由题意，可知 C(0，－ 3)，－ b2a＝1，∴抛物线的分析式为 y＝ ax2－ 2ax－ 3(a＞ 0)．过点 M 作 MN ⊥y 轴于点 N，连接 CM，则 MN ＝ 1， CM＝ 5，∴ CN＝ 2，于是 m＝－ 1.同理，可求得 B(3，0)，∴ a× 32－ 2a× 3－ 3＝0，解得 a＝ 1. ∴抛物线的分析式为 y＝ x2－ 2x－3(2)由 (1)得， A(－1 ，0)， E(1，－ 4)， D(0， 1)，∴△ BCE为直角三角形， BC＝32， CE＝ 2，∴OBOD＝31＝ 3， BCCE＝ 322＝3，∴ OBOD＝ BCCE，即 OBBC＝ ODCE，∴ Rt△BOD∽ Rt△BCE，得∠ CBE＝∠ OBD＝β，所以 sin(α－β )＝sin(∠ DBC－∠ OBD)＝ sin∠ OBC＝ COBC＝ 22(3)明显 Rt△ COA∽ Rt△ BCE，此时点 O(0， 0)．过点 A 作 AP2⊥ AC 交 y 轴的正半轴于点 P2，由 Rt△ CAP2∽Rt△ BCE，得 P2(0，13)．过点 C 作 CP3⊥ AC交 x 轴的正半轴于点 P3，由 Rt△P3CA∽ Rt△ BCE，得 P3(9，0)．故在座标轴上存在三个点 P1(0， 0)，P2(0， 13)，P3(9， 0)，使得以 P， A， C为极点的三角形与△ BCE相像。

压轴题05圆的综合目录题型一切线的判定题型二圆中求线段长度题型三圆中的最值问题题型四圆中的阴影部分面积题型五圆中的比值（相似）问题下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的题型一切线的判定解题模板：技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行） 没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，AB 为O 的直径，如果圆上的点D 恰使ADC B ∠=∠，求证：直线CD 与O 相切．【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，CE 平分ACB ∠交O 于点E ，过点E 作EF AB ∥，交CA 的延长线于点F ．求证：EF 与O 相切；【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF与O相切；(2)若41sin5BF AFE=∠=，，求BC的长．【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，AB为O的直径，E为O上一点，点C为EB的中点，过点C作CD AE⊥，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．(1)求证：CD是O的切线；题型二圆中求线段长度解题模板：【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知AB为O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交O于点E，垂足为点D，AC平分BAD∠．(1)求证：CD 是O 的切线； (2)若8AC =，6BC =，求DE 的长．【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，点C 是AE 的中点，连接BC ，过点C 的直线垂直于BE 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点P ．(1)求证：PC 为⊙O 的切线；(2)若PC =，10PB =，求BE 的长．【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在O 中，AB 为O 的直径，点C 为O 上一点，AD 为CAB ∠的平分线交O 于点D ，连接OD 交BC 于点E ．(1)求BED ∠的度数；(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG AF ∥交AB 于点G ．若AD =4DE =，求DG 的长．【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，点O 为AB 的中点，连接CO 交O 于点E ，O 与AC 相切于点D ．(1)求证：BC是O的切线；(2)延长CO交O于点G，连接AG交O于点F，若AC FG的长．题型三圆中的最值问题解题模板：技巧精讲：1、辅助圆模型【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在O 中，AB 为直径，C 是O 上一点，3,4AC BC ==.过O 分别作OH BC ⊥于点H ，OD AC ⊥于点D ，点E 、F 分别在线段BC AC 、上运动（不含端点），且保持90EOF ∠=︒．(1)OC =______；四边形CDOH 是______（填矩形/菱形/正方形）； CDOH S =四边形______； (2)当F 和D 不重合时，求证：OFD OEH ∽；(3)⊙在图1中，P 是CEO 的外接圆，设P 面积为S ，求S 的最小值，并说明理由；⊙如图2：若Q 是线段AB 上一动点，且1QAQB n =∶∶，90EQF ∠=︒，M 是四边形CEQF 的外接圆，则当n 为何值时，M 的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径4AB =，弦CD AB ∥，连接,,,AC BD AD BC ．(1)求证：ADC BCD △≌△；(2)当ACD 的面积最大时，求CAD ∠的度数．【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段AB ，AC ，线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转，连接BC ，以BC 为边在BC 上方作Rt BDC ，且30DBC ∠=︒．(1)若=90BDC ∠︒，以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △，且90AEB ∠=︒，30EBA ∠=︒，连接DE ，用等式表示线段AC 与DE 的数量关系是 ；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE AB ⊥，4AB =，2AC =，求BC 的长；(3)如图3，若90BCD ∠=︒，4AB =，2AC =，当AD 的值最大时，求此时tan CBA ∠的值．【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】如图1，在ABC 中，120A ∠=︒，AB AC =，BC =ABC 的外接圆的半径值为______； 【问题解决】如图2，点P 为正方形ABCD 内一点，且90BPC ∠=︒，若4AB =，求AP 的最小值； 【问题解决】如图3，正方形ABCD 是一个边长为的书展区域设计图，CE 为大门，点E 在边BC 上，CE =，点P 是正方形ABCD 内设立的一个活动治安点，到B 、E 的张角为120︒，即120BPE ∠=︒，点A 、D 为另两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点Q ，使得Q 到A 、D 、P 三个治安点的距离和最小，试求QA QD QP ++的最小值．（结果精确到0.1m 1.7≈，214.3205≈）题型四 圆中的阴影部分面积【例4】（2024-西藏拉萨-一模）如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线； (2)若6AB =，求阴影部分的面积【变式4-1】（2023-陕西西安-一模）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ．(1)若P 是CD 上的动点，连接BP ，FP ，求BPF ∠的度数；(2)已知ADF △的面积为O 的面积．【变式4-2】（2023-浙江衢州-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90,ACB O ∠=︒为AC 边上一点，连结OB ．以OC 为半径的半圆与AB 边相切于点D ，交AC 边于点E ．(1)求证：BC BD =．(2)若,2OB OA AE ==．⊙求半圆O 的半径．⊙求图中阴影部分的面积．【变式4-3】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【变式4-4】（2023-山东枣庄-中考真题）如图，AB 为O 的直径，点C 是AD 的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．(1)求证：CE 是O 切线；(2)若34BE AB ==，，求BC 的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．题型五 圆中的比值（相似）问题 技巧精讲：【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图，AB 为O 的直径， 点 D 为O 上一点， 过点 B 作O 切线交AD 延长线于点 C ，CE 平分ACB ∠，CE BD ，交于F ．(1)求证：BE BF =；(2)若O 半径为2，3sin 5A =，求DF 的长度． 【变式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，AD 平分CAB ∠，交BC 于点E ，连接BD ．(1)求证：BED ABD △△．(2)当3tan 4ABC ∠=，且10AB =时，求线段BD 的长．(3)点G 为线段AE 上一点，且BG 平分ABC ∠，若GE =，3BG =，求CE 的长．【变式5-2】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径CD 与O 相切于点C ，与BA 的延长线交于点D ，连接BC ，点E 在线段OB 上，过点E 作BD 的垂线交DC 的延长线于点F ，交BC 于点G ．(1)求证：FC FG =；(2)若220AO AD ==，点E 为OB 的中点，求GE 的长．【变式5-3】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与,A B 不重合），CD AB ⊥且CD AB =，连接CB ，与O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使EF 与O 相切．(1)求证：EF EC =；(2)若D 是OA 的中点，4AB =，求BF 的长．一、解答题1．（2024-云南-模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 是O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，F 为CE 的中点，连接BD ，DF ，BD 与AC 交于点P ．(1)求证：DF 是O 的切线；(2)若45DPC ∠=︒，228PD PB +=，求AC 的长．2．（2024-湖北黄冈-模拟预测）如图，PO 平分APD ∠，PA 与⊙O 相切于点A ，延长AO 交PD 于点C ，过点O 作OB PD ⊥，垂足为B ．(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为4，5OC =，求PA 的长．3．（2024-江苏淮安-模拟预测）如图，已知直线l 与O 相离，OA l ⊥于点A ，交O 于点 P ，点 B 是O 上一点，连接BP 并延长，交直线l 于点 C ，使得AB AC =．(1)判断直线AB 与O 的位置关系并说明理由；(2)4PC OA ==，求线段 PB 的长．4．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，CD 是O 的直径，点P 是CD 延长线上一点，且AP 与O 相切于点A ，弦AB CD ⊥于点F ，过D 点作DE AP ⊥于点E ．(1)求证：∠∠EAD FAD =；(2)若4PA =，2PD =，求O 的半径和DE 的长．5．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30A ∠=︒，3DF =，求CE 长．6．（2024-山东泰安-一模）如图，AB CD ，是O 的两条直径，过点C 的O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC BD ，．(1)求证：ABD CAB ∠=∠；(2)若B 是OE 的中点，12AC =，求O 的半径．7．（2024-福建南平-一模）如图1，点D 是ABC 的边AB 上一点．AD AC =，CAB α∠=，O 是BCD △的外接圆，点E 在DBC 上（不与点C ，点D 重合），且90CED α∠=︒-．(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)如图2，若CE 是⊙O 的直径，且2CE =，折线ADF 是由折线ACE 绕点A 顺时针旋转α得到． ⊙当30α=︒时，求CDE 的面积；⊙求证：点C ，D ，F 三点共线．8．（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在Rt ABC △中，=90ABC ∠︒，以BC 为直径的O 交AC 边于点D ，过点C 作O 的切线，交BD 的延长线于点E ．(1)求证：=DCE DBC ∠∠；(2)若=2AB ，=3CE ，求O 的半径．9．（2023-湖北黄石-中考真题）如图，AB 为O 的直径，DA 和O 相交于点F ，AC 平分DAB ∠，点C 在O 上，且CD DA ⊥，AC 交BF 于点P ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：2AC PC BC ⋅=；(3)已知23BC FP DC =⋅，求AF AB的值．10．（2023-辽宁鞍山-中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．(2)若10BE =，2sin 3BDC ∠=，求O 的半径．11．（2023-湖南湘西-中考真题）如图，点D ，E 在以AC 为直径的O 上，ADC ∠的平分线交O 于点B ，连接BA ，EC ，EA ，过点E 作EH AC ⊥，垂足为H ，交AD 于点F ．(1)求证：2AE AF AD =⋅；(2)若sin 5ABD AB ∠==，求AD 的长． 12．（2023-辽宁沈阳-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的一点（点C 不与点A ，B 重合），连接AC 、BC ，点D 是AB 上的一点，AC AD =，BE 交CD 的延长线于点E ，且BE BC =．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若O 的半径为5，1tan 2E =，则BE 的长为______ ．13．（2023-黑龙江大庆-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上的一点，CD AD ⊥于点D ，AD 交O 于点F ，连接AC ，若AC 平分DAB ∠，过点F 作FG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，延长AB ，DC 交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：AF AC AE AH ⋅=⋅；(3)若4sin 5DEA ∠=，求AH FH的值．14．（2023-四川雅安-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 与AC 交于点D ，点E 是BC 的中点，连接BD ，DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2DE =，1tan 2BAC ∠=，求AD 的长；(3)在（2）的条件下，点P 是O 上一动点，求PA PB +的最大值．15．（2023-辽宁营口-中考真题）如图，在ABC 中，AB BC =，以BC 为直径作O 与AC 交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，交CB 延长线于点F ，垂足为点E ．(1)求证：DF 为O 的切线；(2)若3BE =，4cos 5C =，求BF 的长．。

中考数学圆与相似(大题培优易错难题)含详细答案一、相似1．如图，抛物线y=﹣ +bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=px+q，把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣ x+2；把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣ +bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2（2）解：∵M（m，0），MN⊥x轴，∴N（m，﹣ m2+ m+2），P（m，﹣ m+2），∴NP=﹣ m2+4m，PM=﹣ m+2，而NP=PM，∴﹣ m2+4m=﹣ m+2，解得m1=3（舍去），m2= ，∴N点坐标为（，）（3）解：∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2），∴AB= = ，BP= = m，而NP=﹣ m2+4m，∵MN∥OB，∴∠BPN=∠ABO，当 = 时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MPA，即 m：2=（﹣ m2+4m）：，整理得8m2﹣11m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，此时M点的坐标为（，0）；当 = 时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即 m： =（﹣ m2+4m）：2，整理得2m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，此时M点的坐标为（，0）；综上所述，点M的坐标为（，0）或（，0）【解析】【分析】（1）因为抛物线和直线AB都过点A（3,0）、B（0,2），所以用待定系数法求两个解析式即可；（2）由题意知点P是MN的中点，所以PM=PN；而MN OA交抛物线与点N，交直线AB于点P，所以M、P、N的横坐标相同且都是m,纵坐标分别可用（1）中相应的解析式表示，即P（m,）,N（m,）,PM与PN的长分别为相应两点的纵坐标的绝对值，代入PM=PN即可的关于m的方程，解方程即可求解；（3）因为以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，而△APM是直角三角形，所以分两种情况：当∠PBN=时，则可得△PBN∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值；当∠PNB=时，则可得△PNB∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值。

圆中相似问题练习题在数学中，圆是一种特殊的几何图形，具有许多有趣且重要的性质。

其中之一就是圆的相似性质。

圆的相似性质指的是如果两个或更多的圆有相似的形状，那么它们的周长、面积、半径和直径等也会成比例。

在这篇文章中，我们将探讨几个圆相似问题的练习题。

问题一：两个相似圆的半径比为2:5，那么它们的面积比是多少？解析：设两个相似圆的半径分别为2x和5x，根据圆的面积公式面积=πr²，可得第一个圆的面积为4πx²，第二个圆的面积为25πx²。

因此，它们的面积比为4πx²:25πx²，即为4:25。

问题二：两个相似圆的面积比为25:36，那么它们的半径比是多少？解析：设两个相似圆的半径分别为r和5r，根据圆的面积公式面积=πr²，可得第一个圆的面积为πr²，第二个圆的面积为25πr²。

因此，它们的面积比为πr²:25πr²，即为1:25。

根据面积比的性质可得，半径比为根号下面积比，即为1:5。

问题三：两个相似圆的周长比为3:4，那么它们的面积比是多少？解析：设两个相似圆的半径分别为r和4r，根据圆的周长公式周长=2πr，可得第一个圆的周长为2πr，第二个圆的周长为8πr。

因此，它们的周长比为2πr:8πr，即为1:4。

由于周长与半径成正比，所以面积比也与半径比相同，即为1:4。

以上是几个典型的圆相似问题的解析。

通过解题可以看出，圆的相似性质可以帮助我们在确定某一性质的情况下，推导出其他性质的比例关系。

这在许多实际问题中非常有用。

例如，在地理学中，我们可以利用相似圆及其性质来计算不同地球上的区域之间的比例关系和相对大小。

除了解题之外，我们还可以进一步扩展圆的相似性质的应用。

例如，在几何构造中，我们可以利用圆的相似性质来设计制作不同大小或形状的圆。

在工程建设中，我们可以利用圆的相似性质来设计物体的结构和比例。

在数学建模中，我们可以利用圆的相似性质来分析和解决实际问题。

中考数学圆与相似(大题培优易错难题)一、相似1．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形，在中，分别是的中点，（2）解：如图1，过点作于，（舍）或秒（3）解：四边形为矩形时,如图所示：解得：（4）解：当点在上时，如图2，当点在上时，如图3，时，如图4，时，如图5，综上所述，或或或秒时，是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。

（2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm2，建立关于t的方程，求解即可。

（3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF，如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。

2．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长．【答案】（1）证明：如图，∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC，如图2所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA（3）解：连接BE，如图3所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为，sin∠BAE= ，∴AB=5，BE=AB•sin∠BAE=5× =3，∴EA= =4，∵，∴BE=CE=3，∵CE2=EH•EA，∴EH= ，∴在Rt△BEH中，BH= .【解析】【分析】（1）要证BD是⊙O的切线，只需证∠OBD=90°，因为∠OBC+∠BOD=90°，所以只须证∠ODB=∠OBC即可。

中考圆与相似 1、 AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D． (1)求证：△CDQ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．

2.如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F。 (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长。

3、如图，RtABC△中，90C∠，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E． （1）求证：AOCAOD△≌△； （2）若1BE，3BD，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．

4.如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D, 点E为⊙O上一点，且 ∠ACE=2∠BCD,连AE.（1）求证：CO⊥AE; (2) 若BD=1, AE=4, 求⊙O的半径。

5.如图⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB。（1）求证:DE是⊙O的切线；(2) 若AB=6, AE=4, 求BC和BD的长

6.如图，AB为⊙O直径，CA为⊙O的弦， ∠BAC的平分线AD交⊙O于点D, DE⊥AC, 交AC的延长线于点E,OE交AD于点F. （1）求证:DE是⊙O的切线；

(2) 若53ABAC,AB=6, 求DFAF的长。

A C

B D E

O 7.（2012辽宁大连）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F。 （1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想； （2）若AB＝6，AD＝5，求AF的长。 相似答案 1、(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°．∵CD⊥OC， ∴∠DCQ＝∠BCO＝30°，∴∠DCQ＝∠Q， ∴△CDQ是等腰三角形． (2)解：设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1， .3,121BCABAC ∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ＝BC＝3． ∵31CQACAQ，,23121AQAP ∴APABBP2332312 231AOAPPO2131， ∴3:POBP． 2、证明：(1)∵∠CAD＝∠BAD＝∠FBD，∠CAD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠FBD，∴BD平分∠CBE． (2)在△DBF与△BAF中， ∵∠FBD＝∠FAB，∠F＝∠F，∴△ABF∽△BDF，BFBDAFAB，∴AB·BF＝BD·AF． 又∵BD＝CD，∴AB·BF＝CD·AF． 3、证明：连结AD ∵AB是⊙O直径 ∴AD⊥BC ∵AB＝AC ∴BC＝2CD，∠B＝∠C ∵⊙O内接四边形ABDE ∴∠B＝∠DEC(四点共圆的一个内角等于对角的外角) ∴∠C＝∠DEC ∴DE＝DC ∴BC＝2DE 证明：∵在△BFE与△EFC中有 ∠BEF＝∠A＝∠C，又 ∠BFE＝∠EFC，

中考数学与圆与相似有关的压轴题附详细答案一、相似1．如图，在中，，点M是AC的中点，以AB为直径作分别交于点．（1）求证：；（2）填空：若，当时， ________；连接，当的度数为________时，四边形ODME是菱形．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM．∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA，同理证明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME（2）2；【解析】【解答】解：(2)①由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴ =．∵AD=2DM，∴DM：MA=1：3，∴DE= AB= ×6=2．故答案为：2．②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由如下：连接OD、OE．∵OA=OD，∠A=60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°．∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，∴△ODE，△DEM都是等边三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四边形OEMD是菱形．故答案为：60°．【分析】（1）要证MD=ME，只须证∠MDE=∠MED即可。

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AM=MC，则∠A=∠ABM，由圆内接四边形的性质易得∠MED=∠A，∠MDE=∠MBA，所以可得∠MDE=∠MED；（2）①由（1）易证得DE∥AB，可得比例式，结合①中的已知条件即可求解；②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由如下：连接OD、OE，由题意易得△ODE，△DEM都是等边三角形，所以可得OD=OE=EM=DM，由菱形的判定即可求解。

2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC，在中，∵别是的中点，∴EF∥AD，∴ EF∥BC，∴∴（2）解：如图1，过点Q作于，∴QM∥BE，∴∴∴（舍）或秒（3）解：当点Q在DF上时，如图2，∴∴ .当点Q在BF上时，，如图3，∴∴时，如图4，∴∴时，如图5，∴∴综上所述，t=1或3或或秒时，△PQF是等腰三角形【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得△BEF和△DCB中的两角对应相等，从而可证△BEF∽△DCB；（2）过点Q作QM⊥EF 于M ，先根据相似三角形的预备定理可证△QMF ∽△BEF；再由△QM F ∽△BEF可用含t的代数式表示出QM的长；最后代入三角形的面积公式即可求出t的值。

江门二中圆与相似练习题非选择题一、题目1：（5分）已知圆O的半径为5，AB是圆O的弦，AB = 8，求圆心O到AB 的距离。

1. 解题思路：我们可以利用垂径定理来解决这个问题。

先连接OA，过O作OC⊥AB于C点，那么AC = AB / 2 = 4。

在直角三角形OAC中，OA = 5，AC = 4，根据勾股定理就可以求出OC的长度。

2. 答案：OC = √(OA² - AC²)= √(5² - 4²)= 3。

二、题目2：（5分）如图，在圆O中，弦AB与CD相交于点E，AE = 3，EB = 4，CE = 2，求ED的长度。

1. 解题思路：根据圆中的相交弦定理，AE×EB = CE×ED，我们可以将已知的值代入这个等式来求解ED。

2. 答案：因为AE×EB = CE×ED，所以3×4 = 2×ED，解得ED = 6。

三、题目3：（5分）两个相似三角形的相似比为2:3，其中一个三角形的面积为12，求另一个三角形的面积。

1. 解题思路：相似三角形面积的比等于相似比的平方。

设另一个三角形的面积为S。

当12对应的三角形与要求面积的三角形相似比为2:3时，(2/3)² = 12/S，当12对应的三角形与要求面积的三角形相似比为3:2时，(3/2)² = 12/S。

2. 答案：若(2/3)² = 12/S，则S = 27；若(3/2)² = 12/S，则S = 16 / 3。

四、题目4：（5分）在△ABC中，DE∥BC，AD = 2，DB = 3，BC = 10，求DE的长度。

1. 解题思路：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，AD / AB = DE / BC。

2. 答案：AB = AD+DB = 5，由AD / AB = DE / BC可得 2 / 5 = DE / 10，解得DE = 4。