(完整版)相似与圆综合经典题选

中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及答案一、相似1．如图所示，△ ABC 中， AB=AC，∠ BAC=90°， AD⊥ BC， DE⊥ AC，△ CDE 沿直线 BC 翻折到△ CDF，连结 AF 交 BE、 DE、 DC分别于点 G、 H、I．（1）求证： AF⊥ BE；（2）求证： AD=3DI．【答案】（1）证明：∵在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90°， D 是 BC 的中点，∴AD=BD=CD，∠ ACB=45 ，°∵在△ ADC中， AD=DC，DE⊥ AC，∴A E=CE，∵△ CDE沿直线 BC 翻折到△ CDF，∴△ CDE≌ △CDF，∴C F=CE，∠ DCF=∠ACB=45 ，°∴C F=AE，∠ ACF=∠DCF+∠ACB=90 ，°在△ ABE 与△ ACF中，，∴△ ABE≌ △ ACF（SAS），∴∠ ABE=∠ FAC，∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°∴∠ AGB=90 ，°∴AF⊥BE（2）证明：作IC 的中点 M，连接 EM，由（ 1）∠ DEC=∠ECF=∠ CFD=90°∴四边形 DECF是正方形，∴EC∥ DF， EC=DF，∴∠ EAH=∠ HFD， AE=DF，在△ AEH 与△FDH 中，∴△ AEH≌ △FDH（ AAS），∴EH=DH，∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°∴∠ AGB=90 ，°∴AF⊥BE，∵M 是 IC 的中点， E 是 AC 的中点，∴EM∥AI，∴，∴DI=IM ，∴CD=DI+IM+MC=3DI，∴AD=3DI【解析】【分析】（ 1）根据翻折的性质和SAS 证明△ ABE≌ △ ACF，利用全等三角形的性质得出∠ ABE=∠ FAC，再证明∠ AGB=90°，可证得结论。

图形的相似（与圆相关）精选综合训练题（1）1．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点G，E是CD延长线上的一点，连接AE交⊙O于F，连接AC、CF，若AC2＝AF•AE．求证：（1）△ACF∽△AEC；（2）AB⊥CD．2．如图所示，⊙O中，弦AC、BD交于E，．（1）求证：；（2）延长EB到F，使EF＝CF，试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由．3．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA⊙O相交于点P，AB与⊙O 相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若，求⊙O的半径和线段PB的长．4．已知，如图，EB是⊙O的直径，且EB＝6，在BE的延长线上取点P，使EP＝EB，A 是EP上一点，过A作⊙O的切线，切点为D，过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H．当点A在EP上运动，不与E重合时：（1）是否总有，试证明你的结论；（2）设ED＝x，BH＝y，求y和x的函数关系，并写出x的取值范围．5．如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO．（1）求证：△AOB∽△BDC；（2）设大圆的半径为x，CD的长为y：①求y与x之间的函数关系式；②当BE与小圆相切时，求x的值．6．如图，已知AB＝AC+BD，∠CAB＝∠ABD＝90°AD交BC于P，⊙P与AB相切于点Q．设AC＝a，BD＝b（a≤b）．（1）求⊙P的半径r；（2）以AB为直径在AB的上方作半圆O（用尺规作图，保留痕迹，不写作法），请你探索⊙O与⊙P的位置关系，做出判断并加以证明；（3）设a＝2，b＝4，能否在半圆O中，再画出两个与⊙P同样大小的⊙M和⊙N，使这3个小圆两两相交，并且每两个小圆的公共部分的面积都小于π？请说出你的结论，并给出证明．7．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1的弦AC与⊙O2相切，P是的中点，P A、PB的延长线分别交⊙O2于点E、F，PB交AC于D．（1）求证：PC∥AF；（2）求证：AE•PC＝BE•PD；（3）若A是PE的中点，则⊙O1与⊙O2是否是等圆？若不是等圆，请说明理由；若是等圆，请给出证明．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，弦CD、AF相交于点G，过点D作⊙O的切线交AF的延长线于M，且．（1）在图中找出相等的线段（直接在横线上填写，所写结论至少3组，所添辅助线段除外，不需写推理过程）；（2）连接AD，DF（请将图形补充完整），若AO＝，OE＝，求AD：DF 的值；（3）在满足（1）、（2）的前提下，求DM的长．9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．（1）求证：OE∥AB；（2）求证：EH＝AB；（3）若AD与⊙O也相切，如图二，已知BE（BC）＝5，BH＝3，求⊙O的半径．（江苏苏州10年中考27题改编）10．已知：如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是上的一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连接AD、BD、BE，AD的垂线AF 与DC的延长线交于点F．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE，求证：S△DAF＞S△BAE．11．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，切点为A，D为⊙O上一点，AD与OC相交于点E，且∠DAB＝∠C（1）求证：OC∥BD；（2）若AO＝5，AD＝8，求线段CE的长．12．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP．（1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由；（2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．13．已知：如图，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆O上一点，过H与圆O相切的直线交AB于E，交CD于F．（1）当点H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两个交点也分别在AB、CD上移动（E、A不重合，F、D不重合），试问：四边形AEFD的周长是否也在变化？证明你的结论；（2）设△BOE的面积为S1，△COF的面积为S2，正方形ABCD的面积为S，且S1+S2＝S，求BE与CF的长．14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的外接圆交y轴于点C，已知点A的坐标（12，0），点B的坐标（，），过C点作圆的切线交x轴于点D，连接BC．（1）求证：线段AB长度为12；（2）求直线CD的解析式；（3）设点E、F分别在边AB、AD上运动，且EF平分四边形ABCD的周长．试问，当线段AE等于多少时，△AEF的面积最大．15．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．（1）求证：AP是圆O的切线；（2）若圆O的半径R＝5，BC＝8，求线段AP的长．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，CA＝12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE ⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接EF，求的值．17．如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2＝AF•AC，cos∠ABD＝，AD＝12．（1）求证：△ANM≌△ENM；（2）求证：FB是⊙O的切线；（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．18．如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB＝10，BC＝8时，求BD的长．19．如图：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD＝45°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝2，求BC的长．20．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF＝EF；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若FG＝BF，且⊙O的半径长为，求BD和FG的长度．21．如图，AC是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PC交⊙O于B，连接P A、AB，且满足PC＝50，P A＝30，PB＝18．（1）求证：△P AB∽△PCA；（2）求证：AP是⊙O的切线．22．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D是弧BC的中点，连接AD，交BC于点F．（1）过点D作DE∥BC，交AC的延长线于点E，判断DE是否是⊙O的切线，并说明理由；（2）若CD＝6，AC：AF＝4：5，求⊙O的半径．23．如图，△ABC中，O在AC的延长线上，⊙O过C、B两点，交直线AC于D，若CA ＝CB＝CO．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若点E是劣弧上一点，弦CE与BD相交于点F，tan，若DF＝，求线段FE的长．24．如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC．（1）求证：AC2＝AE•AB；（2）延长EC到点P，连接PB，若PB＝PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．25．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）图中点A的坐标为；点C的坐标为；（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；（3）求（2）中线段CA旋转到C′A′所扫过的面积．26．如图，四边形OABC为菱形，点A、B在以点O为圆心的弧DE上，若OA＝3，∠1＝∠2．求扇形ODE的面积．27．如图所示，在⊙O中，＝，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．（1）求证：AC2＝AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B＝60°，求图中阴影部分面积．28．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，求线段BE的长．。

第21讲圆与相似专题训练圆与相似的综合问题，一般与相似模型中的A字相似、8字相似、母子相似相结合，而求线段长度的问题则又多会用到勾股定理。

【类题训练】1．如图，P是AB为直径的半圆周上一点，点C在∠P AB的平分线上，且CB⊥AB于B，PB交AC于E，若AB＝4，BE＝2，则PE的长为．2．如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．（1）求∠F的度数；（2）若DE•DC＝8，求⊙O的半径．3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．4．已知，如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，G是弧AC上一点，连接GA，GB，GC，GD，BC，GB与CD 相交于点F，则下列表述不正确的是（）A．∠CGB＝∠DGB B．∠CBA＝∠AGDC．△CGF∽△CDG D．若GD∥BC，则CF＝BF5．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与OD、BD相交于点E、F．则下列结论错误的是（）A．DE＝BC B．BD平分∠ABCC．△DEF∽△BCF D．∠AOD＝2∠DBC6．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，，CE＝2DE，则CE的长为．7．如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．（1）如图①，将沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，，则⊙O的半径为；（2）如图②，将沿弦BC翻折，交AB于D，把沿直径AB翻折，交BC于点E．（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则∠B的度数为；（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB＝10，OD＝1，求线段DE的长．8．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O 于E，连结AE，OE交AC于F．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）如图1，已知⊙O的半径为．①求的长；②若D为EB中点，求BC的长．（3）如图2，若AF：FD＝2：1，且BC＝4，求⊙O的半径．9．如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D，E 是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，（1）求证：△ACG∽△AFC；（2）若AC＝2，求AG•AF的值．10．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，OC平分∠ACD，连接CD交AB于点E，连接BC、BD，过点C作CF⊥DB交DB延长线于点F．（1）求证：△OCE∽△BDE；（2）若AB＝10，求△BCD的面积的最大值．11．如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，（1）求证：△AEB∽△OFC；（2）求证：AE•BC＝AD•BE；（3）若AD＝8，求OF的长．12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作⨀O，交CD延长线于点F，AC＝3，BC＝5，AD＝1．（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）当⨀O与CD相切于点D时，求⨀O的半径；（3）若S△CDE＝3S△BDF，求DF的值．13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．（1）求证：∠AEB＝∠AFD．（2）若AB＝10，BF＝5，求AD的长．（3）若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．14．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC ＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．。

2020-2021中考数学圆与相似综合题附答案一、相似1．在矩形ABCD中，BC＝6，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD.动点M 从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N.（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：MN＝ EM；（2）设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；（3）当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长.【答案】（1）证明：：∵ °, ° ,∴ °∵ ,∴∵∥ ,∴∴ °,∴过点作于点 ,则 .在中，∴∴（2）解：在中，，∴∵a.当点在线段上时，过点作于点 ,在中，由（1）可知：,∴∴∴b.当点在线段延长线上时，过点作于点在中， ,在中， ,∴ ,∴（3）解：连接 ,交于点 .∵为的中点∴ ,∴ .∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ .∵∥∴ ,∴ ,,∵ ,∴ ,又∵ ,∴∽ ,∴，即 ,∴【解析】【分析】（1）过点E作EH⊥MN于点H ,由已知条件易得EN=EM，解直角三角形EMH易得MH和EM的关系，由等腰三角形的三线合一可得MN=2MH即可求解；（2）在Rt△ABE中，由直角三角形的性质易得DE=BE=2AE，由题意动点M从点E出发沿射线ED运动可知点M可在线段ED上，也可在线段ED外，所以可分两种情况求解：①当点M在线段ED上时，过点N作NI⊥AD于点I ,结合（1）中的结论MN=EM即可求解；②当点M在线段ED延长线上时，过点N作NI'⊥AD于点I '，解RtΔNI′M 和可求得NI'和NE，则DM=NE−DE，所以以M、N、D为顶点的三角形面积y=MD.NI可求解；（3）连接CM,交BD于点N'，由（2）中的计算可得MN、CD、MC的长，解直角三角形CDM可得∠DMC的度数，于是由三角形内角和定理可求得∠NMC=，根据平行线的性质可得DMN'是直角三角形，根据直角三角形的性质可得MN′=MD；则NC的长可求，由已知条件易得ΔNMC∽ΔMN′G根据所得的比例式即可求解.,2．如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0,4），交x轴于点B（4,0），点P 是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．（1）填空：抛物线的解析式为________，点C的坐标________；（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标.【答案】（1）y＝﹣x2＋3x＋4；（－1,0）（2）解：∵点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（－1，0），∴．∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2＋3m＋4）．①当点P在直线AQ下方时，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m，由△AQP∽△AOC得：，即：，∴（舍去）或．当时，﹣m2＋3m＋4＝，此时点P的坐标为（）；②当点P在直线AQ上方时，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，由△AQP∽△AOC得：，即：，∴＝0（舍去）或＝，此时P点坐标为（）．综上所述：点P的坐标为（）或（）．【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋3x＋4．令y=0，得：﹣x2＋3x＋4=0，解得：x=4或x=－1，∴点C的坐标为（－1，0）．【分析】（1）根据题意，将A,B两点的坐标代入到解析式中，分别求出b，c，可以求出抛物线的解析式；（2）C为x轴上的交点，令y=0，通过解一元二次方程，解得C点坐标。

圆与相似常见题一、个人编排1、以△ABC的三边AB、BC、AC分别向外作半圆，三条高CF、AD、BE的延长线分别与三个半圆交于O、P、Q,连AO、AQ、BO、BP、CP、CQ。

求证：AO＝AQ；BO＝BP;CP＝CQ2、⊙O的半径为4,P为错误!上一点。

求值: （1）AM·AP；（2)DN·DP；（3）AN·DM3、⊙O的半径为4，P为错误!上一动点。

选择并求值：（1）AN·DM为定值；（2）错误!为定值.4、（欧拉线)如图,△ABC内接于⊙O，AM为三角形中线，G为重心，H为垂心，连OM，OG，GH,AH。

求证：(1)△OGM∽△HGA;(2）HO＝3GO，点O、G、H在一条直线上。

5、（西摩松线)如图，△ABC内接于⊙O，M为圆上任一点，过M作MD⊥BC于D,ME⊥AC于E，MF⊥AB于F。

求证:点D、E、F在同一条直线上。

二、收藏摘抄1.如图，AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.求证：AB·AC = AE·AD2。

如图,由直径AB 的端点A 引两弦AC 、AD ，延长AC 、AD 和过B 点的切线分别交 于E 、F 求证：ACAFCD EF3。

如图，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，且∠ADB = ∠BAC ， 过D 、C 的圆交AC 于E,连BE ，与圆交于F 点。

求证：AB 2 = BF·BE4. 如图，已知AD 是圆的弦，错误!=错误!,DE 是圆的切线且与弦AB 的延长线相交于点E 。

求证：AD 2 = AC ·AE 证明：连结BD5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E。

求证：AD·EC = AC·BD证明：6. 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G。

求证:AC·DG = AG·DF7. 如图，PD切⊙O于D，PC = PD，B为⊙O上一点，PB交⊙O于A，连结AC、BC。

相似三角形与圆的综合考题1、已知:如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点,过E作⊙O的切线ED,切点为C，AD⊥ED交ED于点D,交⊙O于点F,CG⊥AB交AB于点G．求证:BG•AG=DF•DA．2、已知：如图,AB为⊙O的直径,AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线．(2）求证：AB：AC=BF：DF．3、(南通）已知：如图,AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D,DE⊥AC，E为垂足．(1)求证：∠ADE=∠B；(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F,求证：FD•DA=FO•DE．4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B,AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E,且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．（1）直接写出AE与BC的位置关系；（2)求证：△BCG∽△ACE；（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．5、如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC 是⊙O的切线；（2）点D 在劣弧AC什么位置时,才能使AD2=DE•DF,为什么？（3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB 于H,交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？(3）在(2)的条件下,若OH=1，AH=2，求弦AC的长．7、如是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上,且CE=AE+BC；（1）求证:AE是⊙O的切线；（2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF．8、已知：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点,连结BD并延长，使CD=BD，连结AC.过点D作DE ⊥AC，垂足是点E．过点B作BE⊥AB，交ED延长线于点F，连结OF。

相似圆的经典综合题题目一：已知一个圆的直径为16cm，另一个圆的半径为6cm。

求这两个圆的周长之比。

解答：第一个圆的周长= π * 直径= π * 16cm = 50.27cm第二个圆的周长= 2 * π * 半径= 2 * π * 6cm = 37.7cm两个圆的周长之比= 50.27cm / 37.7cm ≈ 1.33题目二：已知一个圆的半径为4cm，另一个圆的面积是第一个圆的4倍。

求第二个圆的半径。

解答：第一个圆的面积= π * 半径² = π * 4cm² = 16π cm²第二个圆的面积 = 4倍第一个圆的面积= 4 * 16π cm² = 64π cm²第二个圆的半径² = 第二个圆的面积/ π = 64π cm² / π = 64cm²第二个圆的半径= √(64cm²) = 8cm题目三：已知一个圆的周长为12π cm，另一个圆的半径是第一个圆半径的2倍。

求第二个圆的周长。

解答：第一个圆的周长= 12π cm第一个圆的半径 = 周长/ (2π) = 12π cm / (2π) = 6cm第二个圆的半径 = 第一个圆的半径的2倍 = 6cm * 2 = 12cm第二个圆的周长= 2 * π * 半径= 2 * π * 12cm = 24π cm题目四：已知一个圆的半径为r，另一个圆的半径是第一个圆的2倍。

如果第二个圆的周长是第一个圆周长的3倍，求r的值。

解答：第一个圆的周长= 2 * π * 第一个圆的半径= 2 * π * r 第二个圆的半径 = 第一个圆的半径的2倍 = 2 * r第二个圆的周长 = 3 * 第一个圆的周长= 3 * (2 * π * r)根据题目要求可得：3 * (2 * π * r) = 2 * π * (2 * r)6πr = 4πrr = 0由上述计算可得，r的值为0。

相似与圆综合题目练习2．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．3．（2013•营口）如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半径长．4．（2013•西宁）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD 于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，CE=2，求CD的长．6．（2013•宁夏）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE 并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．7．（2013•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．9．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．11．（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．12．（2012•岳阳）如图所示，在⊙O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．（1）求证：AC2=AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．14．（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．15．（2012•河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若=3，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_________，CG和EH的数量关系是_________，的值是_________．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m＞0），则的值是_________（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若=a，=b，（a＞0，b＞0），则的值是_________（用含a、b的代数式表示）．初中数学组卷一．解答题（共15小题）2．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP；（2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°．又∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∴∠BAC+∠AOP=90°．∵∠P=∠BAC．∴∠P+∠AOP=90°，∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．又∵OA是的⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，∴OA=OB=5．又∵OP=，∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA==，由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．∵∠BAC=∠P，∴△ABC∽△POA，∴=．解得AC=8．即AC的长度为8．点评：本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键．3．（2013•营口）如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半径长．考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）连接OC．先由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO，再由切线的性质得出OC⊥CD，根据垂直于同一直线的两直线平行得到AD∥CO，由平行线的性质得∠DAC=∠ACO，等量代换后可得∠DAC=∠CAO，即AC 平分∠BAD；（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂径定理求出AE=，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△ADC，由相似三角形对应边成比例得到，求出AO=，即⊙O的半径为；解法二：如图2②，连接BC．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△ABC∽△ACD，由相似三角形对应边成比例得到，求出AB=，则⊙O的半径为．解答：（1）证明：连接OC．∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO．∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；在Rt△ADC中，AD===3，∵OE⊥AC，∴AE=AC=．∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，∴△AEO∽△ADC，∴，即，∴AO=，即⊙O的半径为．解法二：如图2②，连接BC．在Rt△ADC中，AD===3．∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，∴△ABC∽△ACD，∴，即，∴AB=，∴=，即⊙O的半径为．点评：本题考查了等腰三角形、平行线的性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．4．（2013•西宁）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD 于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，CE=2，求CD的长．考点：切线的判定；解分式方程；相似三角形的判定与性质．分析：（1）首先连接OA，由BC为⊙O直径，CE⊥AD，∠CAD=∠B，易求得∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°，则可证得AD是⊙O的切线；（2）易证得△CED∽△OAD，然后设CD=x，则OD=x+8，由相似三角形的对应边成比例，可得方程：，继而求得答案．解答：（1）证明：连接OA，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠CAD=∠B，∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵点A在圆上，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵CE⊥AD，∴∠CED=∠OAD=90°，∴CE∥OA，∴，CE=2，设CD=x，则OD=x+8，即，解得x=，经检验x=是原分式方程的解，所以CD=．点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．5．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．解答：（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sin∠B==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．6．（2013•宁夏）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE 并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可；（2）证△AEO∽△ACB，得出关于r的方程，求出r即可．解答：证明：（1）连接OE，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵BD=BF，∴∠ODE=∠F，∴∠OED=∠F，∴OE∥BF，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴AC与⊙O相切；（2）解：由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，∴，设⊙O的半径为r，则，解得：r=4，∴⊙O的面积π×42=16π．点评：本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了方程思想．7．（2013•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C 点；（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．解答：（1）证明：连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠OAC∴∠DAC=∠OCA∴OC∥AD∵AD⊥CD∴OC⊥CD∴直线CD与⊙O相切于点C；（2）解：连接BC，则∠ACB=90°．∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD•AB，∵⊙O的半径为3，AD=4，∴AB=6，∴AC=2．点评：此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件∠1=∠E是解题的关键，（2）（i）根据两次三角形相似求出AP=BF是解题的关键，（ii）判断出路径为三角形的中位线是解题的关键．9．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接OA，交EC于F，根据切线性质得出∠OAB=90°，根据勾股定理求出即可；（2）根据AE=AC推出弧AE=弧AC，根据垂径定理求出OA⊥EC，根据平行线判定推出即可；（3）证△OFC∽△OAB，求出FC，根据垂径定理得出EC=2FC，代入求出即可．解答：（1）解：连接AO，交EC于F，∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA===6，答：⊙O的半径是6．（2）直线EC与AB的位置关系是EC∥AB．证明：∵AE=AC，∴弧AE=弧AC，∵OA过O，∴OA⊥EC，∵OA⊥AB，∴EC∥AB．（3）解：∵EC∥AB，∴△OFC∽△OAB，∴=，∴=，∴FC=，∵OA⊥EC，OA过O，∴EC=2FC=．点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线性质，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．10．（2013•百色）如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF∽△ECF；（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长．考点：相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质．分析：（1）由“两直线平行，内错角相等”推知∠B=∠ECF，∠BAF=∠E．则由“两角法”证得结论；（2）利用（1）中的相似三角形的对应边成比例得到=，即=．所以CE=（cm）．解答：（1）证明：∵DC∥AB，∴∠B=∠ECF，∠BAF=∠E，∴△ABF∽△ECF．（2）解：∵在等腰梯形ABCD中，AD=BC，AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，∴BF=3cm．∵由（1）知，△ABF∽△ECF，∴=，即=．∴CE=（cm）．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性质．等腰梯形的两腰相等．11．（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE 的长度．解答：（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵▱ABCD，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．12．（2012•岳阳）如图所示，在⊙O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．（1）求证：AC2=AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）由=，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证；（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O 作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．解答：（1）证明：∵=，∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC，∴=，即AC2=AB•AF；（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，如图所示：∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，在Rt△AOE中，OA=2cm，∴OE=OAcos60°=1cm，∴AE==cm，∴AC=2AE=2cm，则S阴影=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣×2×1=（﹣）cm2．点评：此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．14．（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．考点：位似变换；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示；（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长；（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：S=+（m﹣n）2，可见S的大小只与m、n的差有关：①当m=n时，S取得最小值；②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问．解答：解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′=BF′=x．∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+x+x=3+，∴x=，即x=3﹣3，（没有分母有理化也对，x≈2.20也正确）（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），它们的面积和为S，则NE=，PE=n．∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．∴S=m2+n2=PN2，延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m﹣n）2．∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3．∴S=[32+（m﹣n）2]=+（m﹣n）2①当（m﹣n）2=0时，即m=n时，S最小．∴S最小=；②当（m﹣n）2最大时，S最大．即当m最大且n最小时，S最大．∵m+n=3，由（2）知，m最大=3﹣3．∴S最大=[9+（m最大﹣n最小）2]=[9+（3﹣3﹣6+3）2]=99﹣54…．（S最大≈5.47也正确）综上所述，S最大=99﹣54，S最小=．点评：本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点，有一定的难度．本题（1）（2）（3）问之间互相关联，逐级推进，注意发现并利用好其中的联系．第（3）问的要点是求出面积和S的表达式，然后针对此表达式进行讨论，在求S最大值的过程中，利用了第（1）（2）问的结论．15．（2012•河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若=3，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是AB=3EH，CG和EH的数量关系是CG=2EH，的值是．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m＞0），则的值是（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若=a，=b，（a＞0，b＞0），则的值是ab（用含a、b的代数式表示）．。

中考数学圆与相似综合题含答案一、相似1．如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，求，请证明你的结论；（2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则 =________；（3）如图3，若 =k，BC=m，AC=n，请直接写出的值．（用k，m，n表示）【答案】（1）解：如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点，∴CD平分∠ACB，∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∴PG=PH，∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG，∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM∽△PGN，∴ =1（2）（3）解：如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，易证△PMH∽△PGN，∴，∵，∴，∵DT∥PG，DK∥PH，∴，∴，∴【解析】【解答】解：（2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG，∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM∽△PGN，∴，∵△PHC∽△ACB，PG=HC，∴，故答案为：；【分析】（1）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，根据已知条件可证△PHM和△PGN的两角对应相等，进而可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例即可求出。

（2）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，由两角对应相等，可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例可得 = ，由两角对应相等，可得△PHC∽△ACB，又PG=HC，相似三角形的对应边成比例及等量代换即可求出。

中考数学圆与相似综合经典题一、相似1．综合题（1）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠ B=90°，小明想从中剪出一个以∠ B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、 EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多少．（2）【拓展应用】如图②，在△ ABC 中， BC=a， BC边上的高AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P、 N 分别在边AB、AC 上，顶点Q、M 在边 BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为多少．（用含a， h 的代数式表示）（3）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE， AB=32， BC=40， AE=20， CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．（4）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm， CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、 N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【答案】（1）解：∵EF、 ED 为△ ABC中位线，∴ED∥AB， EF∥ BC，EF= BC， ED=AB，又∠ B=90°，∴四边形 FEDB是矩形，则；（2）解：∵ PN∥BC，∴△ APN∽△ ABC，∴，即，∴P N=a- PQ，设 PQ=x，则 S 矩形PQMN=PQ?PN=x（ a- x） =- x2+ax=-（x-）2+，∴当 PQ=时，S矩形PQMN最大值为.（3）解：如图 1，延长 BA、 DE 交于点 F，延长 BC、 ED 交于点 G，延长 AE、CD 交于点H，取BF 中点 I， FG 的中点 K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵A B=32， BC=40， AE=20，CD=16，∴EH=20、 DH=16，∴A E=EH、 CD=DH，在△ AEF和△ HED中，∵，∴△ AEF≌ △ HED（ ASA），∴A F=DH=16，同理△ CDG≌ △HDE，∴C G=HE=20，∴BI==24，∵B I=24＜32，∴中位线 IK 的两端点在线段AB 和 DE上，过点 K 作 KL⊥ BC 于点 L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG? BF=×（40+20）× （32+16）=720，答：该矩形的面积为720；（4）解：如图2，延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H，∵t anB=tanC= ，∴∠ B=∠C，∴EB=EC，∵B C=108cm，且 EH⊥ BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵t anB= = ，∴E H= BH= × 54=72cm，在 Rt△ BHE中， BE==90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE 的中点 Q 在线段 AB 上，∵C D=60cm，∴E D=30cm，∴CE 的中点 P 在线段 CD 上，∴中位线 PQ 的两端点在线段AB、 CD上，由【拓展应用】知，矩形 PQMN 的最大面积为答：该矩形的面积为 1944cm 2．2 BC?EH=1944cm ，【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得ED∥AB， EF∥ BC， EF= BC， ED= AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形FEDB 是平行四边形，而∠B=90 °，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形 FEDB 是矩形，所以;(2）因为PN∥ BC，由相似三角形的判定可得△ APN∽ △ ABC，则可得比例式, 即, 解得, 设PQ=x,因为，则S矩形PQMN=PQ?PN=x（0，所以函数有最大值，即当PQ=）时，S 矩形PQMN有最大值为;（3）延长 BA、 DE 交于点 F，延长 BC、 ED 交于点 G，延长 AE、 CD 交于点 H，取 BF 中点I，FG 的中点 K，由矩形的判定可得四边形 ABCH 是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得AE=EH、CD=DH，于是用角边角可得△ AEF≌ △ HED，所以 AF=DH=16，同理可得△CDG≌ △ HDE，则 CG=HE=20，所以=24,BI=24＜ 32，所以中位线IK 的两端点在线段 AB 和 DE 上，过点K 作 KL⊥ BC 于点 L，由（ 1）得矩形的最大面积为×BG? BF=×（ 40+20）×（32+16） =720；（4）延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H，因为 tanB=tanC，所以∠ B=∠ C，则EB=EC，由等腰三角形的三线合一可得BH=CH= BC=54cm；由 tanB 可求得 EH= BH=×54=72cm，在 Rt△BHE 中，由勾股定理可得 BE=90cm,所以 AE=BE-AB=40cm，所以 BE 的中点Q 在线段 AB 上，易得 CE 的中点 P 在线段 CD 上，由（ 2）得矩形 PQMN 的最大面积为BC?EH=1944cm2。