12.2.4 探索直角三角形全等的条件(HL)

2.如图，已知 AE⊥BC，DF⊥BC，点E，F是垂足，AE=DF，AB=DC. 求证∶AC=DB. 证明∶∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB=∠DFC=90°. 在 Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC， AE=DF， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL), ∴∠ABE=∠DCF.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
个直角三角形全等吗?
下面，让我们来研究一下这个问题.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
新知学习
探究1
任意画出一个 Rt△ABC，使∠C = 90°， 再画一个 Rt△A'B'C'，
使∠C' = 90°，B'C' = BC，A'B' = AB，把画好的 Rt△A'B'C' 剪下来放
到 Rt△ABC 上，它们全等吗？
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
针对训练 1.如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 与 路段 AB 的距离相等吗？为什么？
分析： CA = CB， CD = CE， ∠A =∠B = 90°.
几个条件，这两个直角三角形就全等了?
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形： 满足一直角边及其相对(或相邻)的锐角分别相等(“AAS”或”ASA”)， 或斜边和一锐角分别相等(“AAS”)， 或两直角边分别相等(“SAS”)， 这两个直角三角形就全等了.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等 如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，DB＝ BC.求证：AC＝AE＋DE. 证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴△BEC和△BED都是直角三角形． ∵BD＝BC，BE＝BE， ∴Rt△BEC≌Rt△BED(HL)， ∴CE＝DE， ∴AC＝AE＋CE＝AE＋DE.
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(3)如图3，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N， ∴∠ANB＝∠AMC＝90°. ∵点A(2,2)，∴AN＝AM＝2. ∵AB＝AC，由(1)知BN＝MC， ∴OC－OB＝OM＋MC－(BN－ON)＝OM＋ON＝4.
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解：(1)证明：如图1，在Rt△ADB和Rt△AEC中，AB＝AC， AD＝AE， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC(HL)，∴EC＝DB. (2)证明：如图2，连接AF.由(1)知EC＝DB. ∵∠AEF＝∠D＝90°，AF＝AF，AD＝AE， ∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)， ∴DF＝EF，∴CF＝EF＋CE＝DF＋DB.
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5．如图，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE.求证：BF＝ EC.
证明：∵∠B＝∠E＝90°， ∴在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，AACB＝＝DDEF，， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)， ∴BC＝EF， ∴BC－FC＝EF－FC，即BF＝EC.
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2 直角三角形全等的判定方法综合
思维拓展
7．下列条件中不一定能判定两个直角三角形全等的是
( D) A．两条直角边对应相等 B．有两条边对应相等 C．一条边和一锐角对应相等 D．一条边和一个角对应相等
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E
∴CD = CE，
B
又DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B =90°，
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
D
AC BC，
CD CE，
A
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL).
∴DA = EB，
C
E
即D、E与路段AB的距离相等.
B
练习2 如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC， 垂足分别为E，F，CE = BF．求证：AE = DF．
∴Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）．
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑 梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等， 两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么 关系？为什么？ 证明：∴∠ABC =∠DEF
（全等三角形对应角相等）．
∵ ∠DEF +∠DFE =90°，
∴ ∠ABC +∠DFE =90°．
DC AB， CF BE， ∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL).
FE
∴AE = DF.
A
B
练习3 如图，B、E、F、C 在同一直线上， AF⊥BC 于F，DE⊥BC与E，AB = DC，BE = CF， 你认为 AB 平行于 CD 吗？说说你的理由.
解：平行. 理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC， ∴∠AFB 和∠DEC 都是直角， 又 BE = CF， ∴BE+EF=CF+EF，即 BF = CE.
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑 梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等， 两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么 关系？为什么？
证明：∵AC⊥AB，DE⊥DF，
∴∠CAB =∠FDE =90°．

初中20 -20 学年度第一学期教学设计主备教师审核教师授课周次授课时间课题12.2.4直角三角形全等的判定课型新授课教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学方法与手段启发引导、尝试研讨、变式练习及多媒体课件教学准备三角尺及PPT第一课时课时数课时教学流程二次备课(标、增、改、删、调)一．提出问题，复习旧知（5分钟）老师提出问题，学生回答：1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（3）若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（4）若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）二．导入新课，（10分钟）探索练习：老师引导，学生动手（动手操作）：已知线段 a ，c (a<c) 和一个直角 利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠，AB=c ，CB= a1、按步骤作图： a c① 作∠MCN=∠=90°，② 在射线 CM 上截取线段CB=a ，③以B 为圆心，C 为半径画弧，交射线CN 于点A ，④连结AB2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）三、巩固练习（17分钟）：学生独立完成，老师补充共性问题。