通信原理第10章

10.1 已知码集合中有8个码组为（000000）、（001110）、（010101）、（011011）、（100011）、（101101）、（110110）、（111000），求该码集合的最小码距。

解 因为该码集合中包含全零码组（000000），所以对于线性分组码，最小码距等于除全零码外的码组的最小重量，即3min =d 。

10.2 上题给出的码集合若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于检错与纠错，问纠错、检错的能力如何？解 只用于检错时，由条件：最小码距1min +≥e d ，求出2=e ，即能检出2位错码。

只用于纠错时，由12min +≥t d ，可得1=t ，既能纠正1位错码。

同时用于检错与纠错，且3min =d 时，无法满足下列条件⎩⎨⎧>++≥te e t d 1m i n故该码不能同时用于检错与纠错。

10.4 已知(7,3)码的生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001110101001111001110G列出所有许用码组，并求监督矩阵。

解 分别将信息段（000）、（001）、（010）、（011）、（100）、（101）、（110）和（111）代入式A =m G ，得到许用码组如下 0000000 0011101 0100111 0111010 1001110 1010011 1101001 1110100生成矩阵G 为典型阵，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110101111110Q 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==011110111101TQ P监督矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==0110001110001011101001011000r I P H 10.5 已知一个(7,4)系统汉明码监督矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110100101110101110100H 试求：(1) 生成矩阵G ；(2) 当输入信息序列()101101011010=m 时，求输出码序列A=？ (3) 若译码器输入()1001001B =,请计算校正子S ，并指出可能的错误图样。

10-1 已知一个4级线性反馈移位寄存器的特征方程为f (x ) = x 4 + x 3 + 1，假设4个移位寄存器的初始状态为(a 3, a 2, a 1, a 0) = (1, 0, 1, 0)，试画出其组成方框图，并列出4个移位寄存器状态更新表。

解 组成方框图和状态更新表如图答10-1所示。

图答10-3 4级寄存器产生的m 序列, n = 0, 1, 2, … }(a) 组成原理方框图(b) 寄存器状态更新示意图1 0 1 0a 3 a 2 a 1 a 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 01 0 0 11 1 0 00 1 1 01 0 1 10 1 0 11 0 1 010-2 某3级线性反馈移位寄存器的特征方程为f (x ) = x 3+ x + 1，试证明该特征方程是本原多项式。

证明f (x )为3阶多项式，如果它能分解因子，则其因子只有x , (x + 1)，(x 2 + 1)，和(x 2 + x + 1)四种可能。

不难验证，f (x )不能被上述四种因子整除，所以，f (x )是既约的。

3级线性反馈移位寄存器产生的序列的最长周期为p = 23 - 1 = 7。

由于 7423111x x x x x x +=+++++ 即(2p + 1)能被f (x )整除。

不难验证，(26 + 1)、(25 + 1)、(24 + 1)和(23 + 1)都不能被f (x )整除。

综上所述，f (x )是本原多项式。

10-3 某4级线性反馈移位寄存器的特征方程为f (x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1，试证明该4级线性反馈移位寄存器产生的序列不是m 序列。

证明 4级线性反馈移位寄存器产生的序列的最长周期为p = 24 - 1 = 15。

由于55432111()1x x x f x x x x x ++==+++++即(25 + 1)能被f (x )整除，而5 < p ，因此，f (x )不是本原多项式，也就是说，该4级线性反馈移位寄存器产生的序列不是m 序列。

第十章 正交码与伪随机码10.1 利用m 序列的移位相加特性证明双极性m 序列的周期性自相关函数为二值函数，且主副峰之比等于码长(周期)。

证：m 序列的移位相加特性特性是说，单极性m 序列和它的移位相加后仍然是m 序列。

相加的结果在一个周期内1比0多一个。

双极性m 序列是把0、表示的m 序列映射为表示，其中0映射为+1，1映射为-1。

对于双极性m 序列，一个周期内-1比+1多一个。

在这种映射下，模2加运算变成了乘法运算，如下表所示：1±⊕1 0 1 0 1 0 1 0×-1 1 -1 1 -1 1 -1 1因此m 序列的移位相加特性特性对于双极性m 序列表现为：m 序列和它的移位相乘后仍然是m 序列。

周期为p 的双极性m 序列的周期性自相关函数定义为()11pk k jk R j b p +==∑b ，其中的下标按模p 运算，即。

b k pk b b += 当j 为p 的整倍数时，k j j b b +=，1=+j k k b b ，因此()()01R j R ==，这是自相关函数的主峰值；对于0j p <<，令，则m 序列的移位相加特性表明序列kk k c b b +=j {}k c 也是m 序列，表示一个周期内求和，由于-1比+1多一个，所以，从而得1ppk k j kk k b b c +==∑∑1=11pkk c==−∑()1mod 1j p R j elsep 0=⎧⎪=⎨−⎪⎩这就证明了周期为p 的m 序列的周期性自相关函数为二值函数，且主副峰之比等于码长。

10.2 已知线性反馈移存器序列的特征多项式为，求此序列的状态转移图，并说明它是否是m 序列。

1)(3++=x x x f 解：该序列的发生器逻辑框图为：定义状态为向量()123,,s s s =s ，假设起始状态是100，则状态转移图如下：由于其周期为，所以此序列是m 序列。

7123=−10.3 已知m 序列的特征多项式为，写出此序列一个周期中的所有游程。