一、教课目的(一)知识教育点使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．(二)能力训练点要修业生进一步娴熟掌握分析几何的基本思想方法，提升剖析、对照、归纳、转变等方面的能力．(三)学科浸透点经过一个简单实验引入抛物线的定义，能够对学生进行理论根源于实践的辩证唯心主义思想教育．二、教材剖析1．要点：抛物线的定义和标准方程．(解决方法：经过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义对比较引入抛物线的定义；经过一些例题加深对标准方程的认识． )2．难点：抛物线的标准方程的推导．(解决方法：由三种成立坐标系的方法中选出一种最正确方法，防止了硬性规定坐标系． )3．疑点：抛物线的定义中需要加上“定点 F 不在定直线 l 上”的限制．(解决方法：向学生加以说明．)三、活动设计发问、回首、实验、解说、演板、归纳表格．四、教课过程(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今日我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思虑两个问题：问题 1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被以为是抛射物体的运转轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题 2：在二次函数中研究的抛物线有什么特色？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y 轴、张口向上或张口向下两种情况．指引学生进一步思虑：假如抛物线的对称轴不平行于y 轴，那么就不可以作为二次函数的图象来研究了．今日，我们打破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回首平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹，当 0 ＜e＜1 时是椭圆，当 e＞1 时是双曲线，那么当 e=1 时，它又是什么曲线？2．简单实验如图 2-29 ，把一根直尺固定在绘图板内直线l 的地点上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边沿；把一条绳索的一端固定于三角板另一条直角边上的点 A，截取绳索的长等于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳索另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳索，紧靠着三角板的这条直角边把绳索绷紧，而后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．频频演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义这样，能够把抛物线的定义归纳成：平面内与必定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 ( 定点 F 不在定直线 l 上 ) ．定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0) ．下边，我们来求抛物线的方程．如何选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生谈论一下，教师巡视，启迪指导，最后简单小结成立直角坐标系的几种方案：方案 1：( 由第一组同学达成，请一优等生演板．)以 l 为 y 轴，过点 F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴成立直角坐标系 ( 图 2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的会合为： p={M||MF|=|MD|} ．化简后得： y2=2px-p 2(p ＞0) ．方案 2：( 由第二组同学达成，请一优等生演板)以定点 F 为原点，平行 l 的直线为 y 轴成立直角坐标系 ( 图 2-31) ．设动点 M 的坐标为 (x ， y) ，且设直线 l 的方程为 x=-p ，定点 F(0 ， 0) ，过 M作 MD⊥l 于 D，抛物线的会合为：p={M||MF|=|MD|}．化简得： y2=2px+p2(p ＞0) ．方案 3：( 由第三、四组同学达成，请一优等生演板．)取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴， x 轴与 l 交于 K，以线段 KF的垂直均分线为 y 轴，成立直角坐标系 ( 图 2-32) ．抛物线上的点M(x，y) 到 l 的距离为 d，抛物线是会合p={M||MF|=d} ．化简后得： y2=2px(p ＞ 0) ．比较所得的各个方程，应当选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？指引学生剖析出：方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不单拥有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍．因为焦点和准线在座标系下的不一样散布状况，抛物线的标准方程有四种情况( 列表如下) ：将上表画在小黑板上，解说时出示小黑板，并讲清为何会出现四种不一样的情况，四种情况中 P＞0；并指出图形的地点特色和方程的形式应联合起来记忆．即：当对称轴为 x 轴时，方程等号右端为± 2px，相应地左端为 y2；当对称轴为 y 轴时，方程等号的右端为± 2py，相应地左端为 x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题： (1) 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0 ， -2) ，求它的标准方程．方程是 x2=-8y ．练习：依据以下所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是 F(3 ，0) ；(3)焦点到准线的距离是 2．由三名学生演板，教师予以校正．答案是： (1)y 2=12x；(2)y 2=-x ；(3)y 2=4x，y2=-4x ，x2=4y，x2=-4y ．这时，教师小结一下：因为抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数 p，所以只需给出确立 p 的一个条件，就能够求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定此后，它的标准方程就独一确立了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、部署作业到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？2．求以下抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x 2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y 2+5x=0；(4)y2-6x=0．3．依据以下条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)极点在原点，对称轴是 x 轴，并且极点与焦点的距离等于 6；(2)极点在原点，对称轴是 y 轴，并经过点 p(-6 ，-3) ．4．求焦点在直线3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程．作业答案：3．(1)y2=24x，y2=-2x(2)x 2=-12y(图略)4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，进而可得抛物线方程为 x2=-12y 或 y2=16x六、板书设计一、教课目的(一)知识教课点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，进而培育学生剖析、归纳、推理等能力．(三)学科浸透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系观点的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材剖析1．要点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决方法：指引学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决方法：经过几个典型例题的解说，使学生掌握几何性质的应用．) 3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决方法：指引学生证明并加以记忆．)三、活动设计发问、填表、解说、演板、口答．四、教课过程(一)复习1．抛物线的定义是什么？请一起学回答．应为：“平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一起学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px (p ＞ 0) ，y2=-2px(p ＞0) ，x2=2py(p ＞0) 和 x2=-2py(p ＞0) ．下边我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p ＞ 0) 出发来研究它的几何性质．(二)几何性质如何由抛物线的标准方程确立它的几何性质？以y2=2px(p ＞0) 为例，用小黑板给出下表，请学生对照、研究和填写．填写完成后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质对比，抛物线的几何性质有什么特色？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，固然它也能够无穷延长，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与极点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个极点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为 1．注意：这样不单引入了抛物线离心率的观点，并且把圆锥曲线作为点的轨迹一致起来了．(三)应用举例为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法绘图的基本方法，给出以下例1．例 1 已知抛物线对于 x 轴对称，它的极点在座标原点，并且经过点解：因为抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点，并且经过点程是 y2=4x．后一部分由学生演板，检查一放学生对用描点法绘图的基本方法掌握状况．第一象限内的几个点的坐标，得：(2)描点作图描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就能够画出抛物线的另一部分( 如图 2-33) ．例 2已知抛物线的极点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点 M(-3 ，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y =-2px(p ＞0) ，则准线方2因为抛物线上的点M(-3， m)到焦点的距离 |MF| 与到准线的距离得 p=4．所以，所求抛物线方程为y2=-8x ．又点 M(-3 ，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3) ．解法二：由题设列两个方程，可求得p 和 m．由学生演板．由题意在抛物线上且 |MF|=5 ，故本例小结：(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离 ( 即此点的焦半径 ) 等于此点到准线的距离．可得焦半径公式：设 P(x 0，这个性质在解决很多相关焦点的弦的问题中常常用到，所以一定娴熟掌握．(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设 AB是过抛物线焦点的一条弦 ( 焦点弦 ) ，若 A(x 1，y1) 、B(x 2，y2) 则有 |AB|=x 1+x2+p．特别地：当 AB⊥x 轴，抛物线的通径 |AB|=2p( 详见课本习题 ) ．例 3 过抛物线 y2=2px(p ＞0) 的焦点 F 的一条直线与这抛物线订交于 A、B 两点，且 A(x 1，y1) 、B(x 2，y2)( 图 2-34) ．证明：(1) 当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是 A、 B 两点的纵坐标，则有y1y2=-p 2．或 y1=-p ，y2=p，故 y1y2=-p 2．综合上述有y1y2=-p 2又∵ A (x 1，y1) 、B(x 2，y2) 是抛物线上的两点，本例小结：(1)波及直线与圆锥曲线订交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，获得对于另一变量的一元二次方程，而后用韦达定理求解，这是解决这种问题的一种常用方法．(2)本例命题 1 是课本习题中结论，要修业生记忆．(四)练习1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求 |AB| 的值．由学生练习后口答．由焦半径公式得：|AB|=x 1+x2+p=82．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．请一起学演板，其余同学练习，教师巡视．证明：可设抛物线方程故抛物线 y2=2px 与平行于其轴的直线只有一个交点．(五)全课小结1．抛物线的几何性质；2．抛物线的应用．五、部署作业1．在抛物线y2=12x 上，乞降焦点的距离等于9 的点的坐标．2．有一正三角形的两个极点在抛物线y2=2px上，另一极点在原点，求这个三角形的边长．3．图2-35是抛物线拱桥的表示图，当水面在l 时，拱顶高水面2m，水面宽4m，水降落 11m后，水面宽多少？4．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切．作业答案：3．成立直角坐标系，设拱桥的抛物线方程为x2=-2py ，可得抛物线4．由抛物线的定义不难证明六、板书设计你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
2．4.1抛物线的标准方程●三维目标1．知识与技能(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导．(2)明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．2．过程与方法(1)通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系．(2)熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力．3．情感、态度与价值观引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美．●重点难点重点：抛物线的定义及其标准方程的推导．通过学生自主建系和对方程的讨论突出重点．难点：抛物线概念的形成．通过条件e＝1的画法设计、标准方程与二次函数的比较突破难点．●教学建议从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率e＝1的特例．另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化．本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图像遥相呼应，体现了数学的和谐之美．教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则．为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，易采用“引导探究”式的教学模式，在课堂教学中，始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学的全过程．本节课在实验画法的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、对比并形成抛物线的概念，构建自己的知识体系，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦．●教学流程设置情景，导入新课．上课开始，用计算机出示太阳系九大行星运行图，以天文学热点事件“冥王星”的降级引入新课：同学们，最近在我们的太阳系发生了一件重大的事件，你们知道吗？⇒引导探究，获得新知(1)复习椭圆、双曲线的第二定义，椭圆和双曲线的离心率e 的取值范围各是什么？(2)离心率e＝1是什么含义？你能据此设计一种方案，画出一个这样的点吗？(3)这条曲线是什么？⇒由学生自主建系，求出抛物线的标准方程．并根据焦点位置的不同，写出四种不同的标准方程．归纳标准方程、焦点坐标、准线方程的内在联系和对应关系．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握抛物线标准方程的求法，先定位，再定量，利用待定系数法求抛物线的标准方程．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由标准方程求其焦点坐标和准线方程，达到数与形的准确转换．弄清一次项变量系数与焦点同名坐标的四倍关系，焦点坐标与准线方程的相反关系．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握抛物线定义和标准方程的综合应用，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，二者可以灵活转化，在此基础上数形结合，解证有关问题．⇒通过易错易误辨析，体会抛物线标准方程的不同形式，焦点位置有多个，就会有不同的标准方程．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程．(重点)2．抛物线标准方程与定义的应用．(难点)3．抛物线标准方程、准线、焦点的对应．(易错点)抛物线的标准方程1．用《几何画板》画图，如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？【提示】点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．2．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简单？【提示】根据抛物线的几何特征，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立直角坐标系xOy(如图所示)．图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)F(p2，0)x＝－p2y2＝－2px(p>0)F(－p2，0)x＝p2x2＝2py(p>0)F(0，p2)y＝－p2 x2＝－2py(p>0)F(0，－p2)y＝p2求抛物线的标准方程已知抛物线的顶点在原点，试求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；(3)焦点到准线的距离为52.【思路探究】对于(1)，需要确定p的值和开口方向两个条件，∵点(－3,2)在第二象限，∴抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)；对于(2)，∵标准方程下抛物线的焦点在坐标轴上，∴求出直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点(4,0)和(0，－2)，即为所求抛物线两种情况下的焦点；而对于(3)，由题意知，p＝52，下一步需要讨论抛物线的开口方向．【自主解答】(1)∵点(－3,2)在第二象限，∴抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)．把点(－3,2)的坐标分别代入y2＝－2px(p>0)和x2＝2py(p>0)，得4＝－2p·(－3)或9＝2p·2，即2p＝43或2p＝92.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4.∴2p ＝16，此时抛物线方程为y 2＝16x . 当焦点为(0，－2)时，p2＝2.∴2p ＝8，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52，∴2p ＝5.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .1．只有顶点有原点，焦点在坐标轴上的抛物线才能将方程写成标准方程．2．求抛物线的标准方程，应当先定位，再定量，即先根据焦点位置设出方程形式，再利用题目条件求出待定字母的值．另外，若只知道焦点在x 轴上，可设抛物线标准方程为y 2＝mx 的形式，若只知道焦点在y 轴上，可设抛物线标准方程为x 2＝ny 的形式，避免分类讨论．一抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则其准线方程为y ＝p2.由抛物线的定义知点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离， ∴p2－(－3)＝5，即p ＝4. ∴所求抛物线的方程为x 2＝－8y .由标准方程求抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2＝20x ；(2)2y 2＋5x ＝0；(3)y ＝ax 2(a ≠0)． 【思路探究】抛物线方程化为标准形式→求p →求焦点坐标→求准线方程【自主解答】 (1)由方程可得抛物线开口向右，且2p ＝20，即p ＝10，所以抛物线的焦点坐标为(5,0)，准线方程为x ＝－5.(2)将方程2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x ，焦点在x 轴的负半轴上，又2p ＝52，所以p ＝54，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.(3)将方程y ＝ax 2(a ≠0)化为x 2＝1ay ，焦点在y 轴上．当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y ＝－14a；当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y 1＝－14a.1．本例中y ＝ax 2不是抛物线的标准方程，容易被误认为是标准形式，而将焦点写为F (a4，0)．2．求焦点坐标与准线方程的基本方法：(1)一般思路是先将已知方程整理为标准方程，再求解，不可与初中二次函数混淆． (2)此类问题中无论a 取正与负，拋物线y 2＝ax 的焦点坐标均为(a4，0)，准线均为x ＝－a 4.无论a 取正与负，拋物线x 2＝ay 的焦点坐标均为(0，a 4)，准线均为y ＝－a 4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y ＝－18x 2；(2)x 2＝ay (a ≠0)．【解】 (1)方程可化为：x 2＝－8y ，∴F (0，－2)，准线y ＝2. (2)F (0，a 4)，准线y ＝－a4.抛物线标准方程及定义的应用图2－4－1如图2－4－1，已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l为其准线，点M 在抛物线上移动，问M 的坐标是什么时，MA ＋MF 取得最小值，最小值是多少？【思路探究】 如图，过M 向准线l 引垂线ME ，则MF ＝ME ，转化为求MA ＋ME 的最小值．【自主解答】 由题意知，抛物线y 2＝8x 的准线l 的方程为x ＝－2，过M 作ME ⊥l ，垂足为E ，由抛物线的定义知，ME ＝MF ，此时MA ＋MF ＝MA ＋ME ，当M 在抛物线上移动时，MA ＋ME 的值在变化，显然M 移动到与A ，E 共线时，MA ＋ME 取得最小值．此时，AM ∥x 轴，把y ＝－2代入y 2＝8x 得x ＝12，∴M 点的坐标为(12，－2)，距离最小值为6.1．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．2．数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么PF＝________.【解析】如图，由直线AF的斜率为－3，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF ＝60°.又由抛物线的定义知PA＝PF，∴△PAF为等边三角形，由HF＝4得AF＝8，∴PF＝8.【答案】8忽略对焦点位置的讨论而漏解顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，求抛物线的方程．【错解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，因此设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为AB＝2p＝8，所以所求抛物线的方程为y2＝8x.【错因分析】错解中只考虑焦点在x轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x 轴的负半轴上的情况，故出现漏解．【防范措施】抛物线有四种标准方程，每一种所对应的焦点，准线都不相同．因此，在求抛物线方程的有关问题时，要充分考虑各种情况，以免漏解．【正解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，因此设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)．因为AB＝|2a|＝8，所以2a＝±8.故所求抛物线的方程为y2＝±8x.1．求抛物线的标准方程，一般利用待定系数法，求解时一般分两步，即先定位，再定量．2．由抛物线的方程求焦点坐标和准线方程，若方程不是标准形式应先化成标准形式，然后求焦点坐标和准线方程，应注意方程中一次变量是谁，焦点就在相应坐标轴上，且焦点的同名坐标是一次变量系数的14.3．抛物线的定义可将抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离相互转化，从而求解与抛物线有关的定值与最值问题.1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是________． 【解析】 ∵p ＝2，∴F (1,0)． 【答案】 F (1,0)2．抛物线y ＝4x 2的准线方程为________． 【解析】 x 2＝14y ，∴2p ＝14，p ＝18，∴准线方程为y ＝－116.【答案】 y ＝－1163．抛物线y 2＝2px的准线经过双曲线x 23－y 2＝1的左焦点，则p ＝________.【解析】 双曲线c 2＝3＋1＝4，∴c ＝2，∴F 1(－2,0)， ∴抛物线准线为x ＝－2，∴－p2＝－2，∴p ＝4.【答案】 44．若圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心恰是抛物线的焦点，求抛物线的标准方程及准线方程． 【解】 圆心为(3,0)，∴p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线标准方程为y 2＝12x ，准线方程为x ＝－3.一、填空题1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是________． 【解析】 ∵p ＝4，∴准线方程为x ＝－2. 【答案】 x ＝－22．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线经过点(2,2)，则此抛物线的方程为________． 【解析】 设抛物线方程为y 2＝mx ，将(2,2)代入得m ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝2x . 【答案】 y 2＝2x3．抛物线y 2＝2x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是________． 【解析】 准线x ＝－12，∴x M ＋12＝1，∴x M ＝12.【答案】 124．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，中点(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x y 0＝2y ＋1.∵y 0＝2x 20＋1，∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，∴y ＝4x 2.【答案】 y ＝4x 25．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．【解析】 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.【答案】 6 6．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．【解析】 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，所以p2＝2，解得p ＝4.【答案】 47．已知直线y ＝3(x －2)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若AF →＝λFB →，(|AF →|>|FB →|)，则λ＝________.【解析】 如图，设AF ＝n ，BF ＝m ，AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FN ⊥AA 1于N ，BM ⊥x 轴于M .则AN ＝n －4，FM ＝4－m .又∠AFN ＝∠FBM ＝30°，∴⎩⎨⎧ n －4＝n 24－m ＝m 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8m ＝83，∴λ＝n m ＝3. 【答案】 38．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________．【解析】 将抛物线方程化成标准方程为x 2＝－4y ，可知焦点坐标为F (0，－1)，因为－3<－14，所以点E (1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点E 作EQ ⊥l 于点Q ，过点M 作MP ⊥l 于点P ，所以MF ＋ME ＝MP ＋ME ≥EQ ，又EQ ＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.【答案】 4二、解答题9．求适合下列条件的拋物线方程．(1)顶点在原点，准线x ＝4；(2)拋物线的顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，焦点是双曲线的左顶点．【解】 (1)由题意p 2＝4，∴p ＝8. ∴拋物线方程为y 2＝－16x .(2)双曲线中心为(0,0)，左顶点为(－3,0)，∴拋物线顶点为(0,0)，焦点为(－3,0)，∴拋物线方程为y 2＝－12x .图2－4－210．如图2－4－2所示，动圆P 与定圆C ：(x －1)2＋y 2＝1外切且与y 轴相切，求圆心P 的轨迹．【解】 设P (x ，y )，动圆P 的半径为r .∵两圆外切，∴PC ＝r ＋1.又圆P 与y 轴相切，∴r ＝|x |(x ≠0)，即x －12＋y 2＝|x |＋1，整理得y 2＝2(|x |＋x )．当x >0时，得y 2＝4x ；当x <0时，得y ＝0.∴点P 的轨迹方程是y 2＝4x (x >0)和y ＝0(x <0)，表示一条抛物线(除去顶点)和x 轴的负半轴．11．(1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试给出FP 1，FP 2，FP 3之间的关系式；(2)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，求|FA →|＋|FB →|＋|FC →|.【解】 (1)由抛物线方程y 2＝2px (p >0)得准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义得FP 1＝x 1＋p 2，FP 2＝x 2＋p 2，FP 3＝x 3＋p 2，则FP 1＋FP 3＝x 1＋p 2＋x 3＋p 2＝x 1＋x 3＋p ，因为x 1＋x 3＝2x 2，所以FP 1＋FP 3＝2x 2＋p ＝2(x 2＋p 2)＝2FP 2，从而FP 1，FP 2，FP 3之间的关系式为FP 1＋FP 3＝2FP 2.(2)设点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，由题意知2p ＝4，p ＝2，F (1,0)，又FA →＋FB →＋FC →＝0，则有x A －1＋x B －1＋x C －1＝0，即x A ＋x B ＋x C ＝3.由抛物线的定义可知，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x A ＋p 2)＋(x B ＋p 2)＋(x C ＋p 2)＝(x A ＋x B ＋x C )＋3×p 2＝3＋3＝6.已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．【思路探究】 设点P 的坐标为(x ，y )，利用圆P 与圆A 外切及与直线l 相切建立x ，y 的方程，化简即得．【自主解答】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )，圆P 半径为r ，由条件知AP ＝r ＋1， 即x ＋22＋y 2＝|x －1|＋1，化简，整理得y 2＝－8x .所以点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .法二 如图，作PK 垂直直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直直线x ＝2，垂足为Q ，则KQ ＝1，所以PQ ＝r ＋1.又AP ＝r ＋1，所以AP ＝PQ ，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和定直线x＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线．所以p 2＝2，所以p ＝4.所以点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .1．法一是利用直接法求曲线方程的方法确定点P 的轨迹方程，法二是利用抛物线的定义确定轨迹为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程，即定义法，显然法二较为简洁．2．动圆圆心轨迹问题是一类常见问题，求解时一定要审清题意，究竟是外切，内切还是相切，都可能引起结果的不同．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1，求动点P的轨迹C的方程．【解】设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x－12＋y2－|x|＝1，化简得y2＝2x ＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．。
