考研数学常用微积分公式背诵表

学习必备欢迎下载高等数学公式篇·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1·积的关系：sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t anα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)co s(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝c osα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin （π/2＋α）＝cosα cos （π/2＋α）＝－sinα tan （π/2＋α）＝－cotα cot （π/2＋α）＝－tanα sin （π/2－α）＝cosα cos （π/2－α）＝sinα tan （π/2－α）＝cotα cot （π/2－α）＝tanα sin （3π/2＋α）＝－cosα cos （3π/2＋α）＝sinα tan （3π/2＋α）＝－cotα cot （3π/2＋α）＝－tanα sin （3π/2－α）＝－cosα cos （3π/2－α）＝－sinα tan （3π/2－α）＝cotα cot （3π/2－α）＝tanα (以上k ∈Z)部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：[][][][])()()()()()()()(tan 2cos 2sin ix ix ix ix ix ix ix ix e e e e x e e x i e e x +-=+=-=，　，　泰勒展开有无穷级数：⋯++⋯+++++==!!4!3!2!11)ex p(432n zz z z z z e nz此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

考研常用八大泰勒公式泰勒公式是微积分中非常常用的工具，它可以帮助我们近似计算函数在某一点的值。

具体来说，泰勒公式可以将一个光滑函数表示为无穷级数的形式，通过截取其中有限项来进行计算。

有许多版本的泰勒公式，但在考研中常用的有以下八大泰勒公式。

它们分别是：常数项近似、线性近似、二次公式近似、三次公式近似、四次公式近似、五次公式近似、六次公式近似和七次公式近似。

首先是常数项近似，这是泰勒公式中最简单的形式。

它表示一个函数在某一点附近的值可以近似为函数在该点的值，也就是函数的常数项。

举个例子，如果我们要计算 sin(x) 在 x=0 附近的值，常数项近似告诉我们可以用 0 来近似计算。

接下来是线性近似，它在常数项近似的基础上增加了一阶导数的项。

这样近似计算的结果更加精确。

以 f(x)=sin(x) 为例，线性近似公式告诉我们可以用 x 来近似计算函数在 x=0 附近的值，即f(x)≈x。

在二次公式近似中，我们考虑了除了常数项和一阶导数项之外的二阶导数项。

这进一步提高了近似的准确性。

例如，在计算f(x)=sin(x) 在 x=0 附近的值时，二次公式近似告诉我们可以用 x-x^3/6 来近似计算。

类似地，三次公式近似引入了三阶导数项，四次公式近似引入了四阶导数项，以此类推。

每一次增加的导数项将增加近似计算的精度。

比如，四次公式近似给出了f(x)≈x-x^3/6+x^5/120。

最后两个公式是五次公式近似和六次公式近似。

它们在之前公式的基础上再增加了五阶导数和六阶导数的项。

这些高阶导数项使得近似结果的精度更高，特别是在函数曲率较大的地方。

七次公式近似又增加了七阶导数。

通过使用这八大泰勒公式，我们可以在考研中更准确地进行计算和近似。

它们为我们提供了一种逼近函数值的工具，特别是在无法直接计算函数值的情况下。

例如，当计算某一函数值的导数过于繁琐或无法获得解析解时，我们可以通过泰勒公式来进行近似计算。

需要注意的是，泰勒公式的应用需要考虑近似的范围。

o
a
x x x b x
x 0, x
( x ) f ( x ).
若x a, 取x 0, 则同理可证 (a ) f (a );
若x b, 取x 0, 则同理可证 (b) f (b).
8
定理指出: (1) 积分运算和微分运算的关系, 它把微分 和积分联结为一个有机的整体 — 微积分,
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1 2
1
2
原式 2 xdx 5dx 6.
0 1
o
1
2
x
23
max{ x , x 2 }dx. 例 求 2
2
y
解
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
x a
f ( t )dt a f ( t )dt
y
x

x x
x
f ( t )dt ,
由积分中值定理得
f ( )x , [ x , x x ],
f ( ), lim lim f ( ) x 0 x x 0 x
( x )
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
其中 s(t ) v(t )
2
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ).
T2 T1
s(t )是v(t )的原函数
原函数的定义
定义
如果在区间I上, F ( x ) f ( x )或

如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
x
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
补充 如果 f (t ) 连续，a( x )、b( x ) 可导，
1 2 0 1
o
1
2
x
例6
求 2 max{ x , x }dx.
2 2
y
解
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
y x
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
2
0 2 1 2 0 1
o
1
2
x
原式 x dx xdx x 2dx
所以F ( x ) 0 即原方程在 0,1] 上只有一个解. [
1 1
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
[ 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
证 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x )
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
F ( x ) f (t )dt c,
a
x
令
xa
F (a ) C ,