考研数学：微积分公式汇总教材

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

考研高分必备——高等数学（微积分）公式导数公式： 基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式： ·诱导公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ曲率：.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。

下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。

数学分析高等数学微积分基本定理及公式微积分的基本定理是微积分学中最基础、最重要的定理之一，可以说是微积分的核心。

该定理由牛顿、莱布尼茨以及斯托克斯等人独立发现，奠定了微积分学的基础。

微积分的基本定理可以分为两个部分：微积分基本定理第一部分，也称为牛顿—莱布尼茨公式，描述了积分和导数之间的关系；微积分基本定理第二部分，也称为斯托克斯公式，描述了曲线积分和曲面积分之间的关系。

下面将对这两个部分进行详细介绍。

微积分基本定理第一部分，牛顿—莱布尼茨公式，可以简洁地表示为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)其中，f(x)为连续函数，F(x)为其原函数，[a,b]代表积分区间。

该公式说明了连续函数的不定积分可以通过求原函数在积分区间端点处取值之差来计算。

这个公式也可以用来计算定积分，即通过求被积函数的原函数在积分区间端点处的值之差来计算定积分的值。

微积分基本定理第二部分，斯托克斯公式，可以简洁地表示为：∫∫(S) ∇ × F · ds = ∫(C) F · dr其中，∇ × F为矢量场F的旋度，S为曲面，C为曲线，ds为曲面元素，dr为曲线元素。

该公式说明了矢量场的曲面积分可以通过计算该矢量场的旋度沿曲线的环路积分来求得。

这个公式还可以推广到高维空间中的曲面和曲线。

值得注意的是，微积分基本定理的条件之一是函数的连续性。

如果函数在积分区间内存在间断点，那么微积分基本定理并不成立，必须通过其他方法来计算积分值。

总之，微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它将微分学和积分学相统一，为计算和应用微积分提供了有力的工具。

通过这个定理，我们可以方便地计算积分，并且利用其在各种实际问题中解决数学和物理问题。

考研数学微积分基础知识点汇总微积分是考研数学中的重要组成部分，也是很多考生感到头疼的部分。

下面就为大家详细汇总一下微积分的基础知识点。

一、函数、极限与连续1、函数的概念函数是数学中的一个基本概念，表示两个数集之间的一种对应关系。

设 D 是一个非空数集，如果对于 D 中的每一个 x，按照某种确定的对应法则 f，都有唯一确定的实数 y 与之对应，则称 f 是定义在 D 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ D。

2、极限的概念极限是微积分中的一个核心概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。

当自变量 x 无限接近某个值 x₀（或者趋于无穷大）时，函数 f(x) 无限接近某个确定的常数 A，就称 A 是函数 f(x) 在 x 趋于 x₀（或趋于无穷）时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A 或lim(x→∞） f(x) ＝ A。

3、极限的性质极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性等性质。

4、极限的计算常见的极限计算方法有代入法、约分法、有理化法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。

5、函数的连续性如果函数 f(x) 在点 x₀处的极限等于函数在该点的函数值，即lim(x→x₀) f(x) ＝ f(x₀)，则称函数 f(x) 在点 x₀处连续。

二、导数与微分1、导数的定义函数 y ＝ f(x) 在点 x₀处的导数 f'（x₀) 定义为极限lim(Δx→0)f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。

导数表示函数在某一点处的变化率。

2、导数的几何意义函数在某一点的导数就是该点切线的斜率。

3、基本初等函数的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

4、导数的四则运算法则设 u(x) 和 v(x) 可导，则（u(x) ± v(x)）＇＝ u'（x) ± v'（x) ；（u(x)v(x)）＇＝ u'（x)v(x) ＋ u(x)v'（x) ；（u(x) ／ v(x)）＇＝（u'（x)v(x) u(x)v'（x)）／（v(x)）²（v(x) ≠ 0）。

微积分第一章 函数、连续、极限一、函数：1.函数的性态：有界性——区间内连续函数必有界，反之不然。

同区间内导数有界则原函数有界。

区间内有最大值（或最小值），则函数在区间内有上界（下届）。

方法：定义、结合极限、连续与导数来确定。

单调性——单调函数一定有反函数且单调性相同。

单调函数的复合函数仍然是单调函数。

单调函数的原函数和导数不一定仍为单调函数。

方法：利用导数符号分析。

周期性——f(x+T)=f(x)以T 为周期的可导函数，其导数以T 为周期，但原函数不一定为周期函数。

以T 为周期的连续函数：∫f (x )dx a+Ta=∫f(x)dx T 0=∫f (x )dx T/2−T/2∫f (x )dx =n ∫f(x)dx TnT方法：定义，利用常见函数判断（三角函数）。

奇偶性——前提：定义域关于原点对称。

奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶奇数个奇函数之积为奇函数，偶数个奇函数之积是偶函数 奇奇复合为奇，偶偶复合为偶，奇偶复合为偶。

求导后变换奇偶性。

f(x)为偶↔f`(x)为奇，f(x)为奇→f`(x)为偶。

若f(x)定义域关于原点对称，则：f(x)=12[f(x)-f(-x)]+12[f(x)+f(-x)] 式中前者为奇，后者为偶。

方法：定义2.相关：反函数——单调函数一定有反函数，反函数与直接函数单调性相同，图像关于y=x 对称 求定义域——分式中分母不为0，根式中负数不能开偶次方根，对数中底数大于0不等于1，真数大于0， arcsinx 与arccosx 中-1≤x ≤1tanx ，secx 中x ≠k π+ π2，cosx 与cscx 中x ≠k π求表达式——换元法，分段函数分段求。

二、极限1.数列的极限：定义——给定数列｛X n｝及常数a，若对于任意给定的正数ε＞0，总存在正整数N，使得当n>N时，有|X n－a|＜ε恒成立，则称常数a为数列｛X n｝的极限，或者称数列｛X n｝收敛于a，极为limn→∞Xn=a。

江苏省考研数学复习资料微积分重要定理总结微积分是数学的一门重要分支，也是考研数学中不可或缺的一部分。

在微积分的学习中，一些重要的定理是我们必须了解和掌握的。

下面是对江苏省考研数学微积分重要定理的总结：1. 极限的定义与性质- 极限的定义：设函数 f(x) 在 x0 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ(可以取任意小)，使得当0<|x-x0|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立；则称A是函数 f(x) 当x→x0 时的极限，记为lim(x→x0)f(x)=A。

- 极限的性质：极限唯一性、局部有界性、夹逼定理等。

2. 导数的定义与性质- 导数的定义：设函数 f(x) 在 x0 的某个邻域内有定义，如果极限lim(h→0)(f(x0+h)-f(x0))/h 存在，则称此极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数，记为 f'(x0)。

- 导数的性质：可导即连续性、导数的四则运算、高阶导数等。

3. 微分中值定理- 罗尔定理：若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)，则在 (a,b) 内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。

- 拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，则在 (a,b) 内至少存在一点ξ，使得 (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(ξ)。

- 柯西中值定理：若函数 f(x) 和 g(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，并且g'(x)≠0，则在 (a,b) 内至少存在一点ξ，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=(f'(ξ))/(g'(ξ))。

4. 微分学基本定理- 微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么称函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f'(x0) 为函数 y=f(x) 在点 x0 处的微商，记作dy/dx|_(x=x0) 或 df/dx|_(x=x0)。

, , , )( 就有值每给定一对而言对可积函数b a x f. d )(I 与之对应确定的定积分值⎰=ba x x f 与它的上下限的定积分这意味着 d )( )( ⎰bax x f x f. 之间存在一种函数关系 , ,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数. ],[ d )(d )()( b a x t t f x x f x xaxa∈==Φ⎰⎰一. 积分上限函数Oxya b x x)(x f yOxya b x x)(x f y =⎰xaxx f d )(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。

,d )(d )( 有由积分的性质：⎰⎰-=abb ax x f x x f ,d )(d )( ⎰⎰-=xbbxt t f t t f 所以，我们只需讨论积分上限函数..d )( 称为积分下限函数⎰bx t t f定理 1证. ]),([d )()( ]),,([)( b a C t t f x b a R x f xa∈=Φ∈⎰则若, ],[ , ],[ 则且b a x x b a x ∈∆+∈∀)()()(x x x x Φ-∆+Φ=∆Φ⎰⎰⎰∆+∆+=-=xx xx axx att f t t f t t f d )(d )(d )(.|)(| ],[ )( ]),,([)( M x f b a x f b a R x f ≤∈上有界：在故又xM t t f t t f x xx xx x x∆≤≤=∆Φ≤⎰⎰∆+∆+ d |)(| |d )(| |)(|0 于是. ]),([)( , b a C x x ∈Φ即可得的任意性由夹逼定理及点. ],[ : 1 积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理b a?积分上限函数是否可导,d )()()( ⎰∆+=Φ-∆+Φxx xt t f x x x 由, ]),,([)( 得则由积分中值定理如果b a C x f ∈, )(d )()()( x f t t f x x x x x x∆==Φ-∆+Φ⎰∆+ξ)(之间与在x x x ∆+ξxxf x x x x x x ∆∆=∆Φ-∆+Φ→∆→∆)(lim )()(lim 00ξ故)()(lim 0x f f x ==→∆ξ这说明了什么 ？定理 2],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x b a C x f xa在则若⎰=Φ∈,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x xa≤≤==Φ'⎰例2. )( , d )1sin()( 22x F t t x F x '+=⎰求设解, )()( , d )1sin()( , 222x g x F t t u g x u u=+==⎰则令xu u g x F d d )()( ⋅'='故)()d )1sin((20 2'⋅'+=⎰x t t u. )1sin(22)1sin(42x x x u +=⋅+=这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?例3解.dlim21cos2xtextx⎰-→计算2cos121cosdlimdlim22xtexte x txxtx⎰⎰-→-→-=xxe xx2)sin(lim2cos--=→.21e=罗必达法则下面再看定理 2 .定理 2],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x b a C x f xa 在则若⎰=Φ∈ ,且上可导 . )( )(d )(d d )(b x a x f t t f x x x a≤≤==Φ'⎰定理],[ ,d )()( ]),,([)( b a x t t f x b a C x f x a∈=Φ∈⎰则若. ],[ )( 上的一个原函数在为b a x f 即：而在前面已知原函数的一些性质：. )()())(( , )( x f x F C x F x F ='='+则存在若 .)()( ),()( ),()( 2121C x F x F x f x F x f x F =-='='则若 . d )( , )( ⎰ba x x f x F 就可以计算定积分若能找到这样的二. 微积分基本公式上在为则如果 ],[ )( d )( ]),,([)( b a x f t t f b a C x f x a ⎰∈.的一个原函数, )( )( 则有的原函数为若已知x f x F.)(d )(0 C x F t t f x a +=⎰. )( ,)(d )(0 , 00 a F C C a F t t f a x aa -=+===⎰故则令 , 则得到取b x =. )()(d )(d )( a F b F x x f t t f ba b a -==⎰⎰基本公式定理) (莱布尼茨公式—牛顿 ],[ )( )( ]),,([)( 上的在为若b a x f x F b a C x f ∈,则一个原函数 ).()( )(d )( a F b F x F x x f b ab a -==⎰. 函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式—牛顿例7. d 2cos 1 0⎰+πx x 计算解⎰⎰=+ππ2d cos 2 d 2cos 1 xx x x ⎰=π0 d |cos | 2xx ⎰⎰-+=πππ22d )cos ( 2d cos 2xx x x. 22 sin2 sin 2220=-=πππx x 怎么办去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)。