高三数学一轮复习单元练习题基本初等函数(含答案)

第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第二节 函数的单调性与最值A 级·基础过关 |固根基|1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上是增函数． 2．如果函数f(x)＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f(x)＝2x －3在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x ＝－1a ，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 所以a<0，且－1a ≥4，解得－14≤a<0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 所以0≤2x－1<13，解得12≤x<23.4．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f(－3)>f(－2)B ．f (π)>f(－2)>f(－3)C ．f (π)<f(－3)<f(－2)D ．f (π)<f(－2)<f(－3) 解析：选A 因为f(x)是偶函数， 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)． 又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．5．函数y ＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(log a x)(0<a<1)的单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1 ]解析：选B 由图象，知f(x)在(－∞，0)和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．又因为当0<a<1时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(log a x)单调递减，则需log a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即0≤log a x ≤12，解得x∈[a ，1]．6．定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x －2； 当1<x≤2时，f(x)＝x 3－2.因为f(x)＝x 3－2，f(x)＝x －2在定义域内都为增函数，且f(1)<f(2)， 所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x≥1，2x ，x<1的值域为________．解析：当x≥1时，log 12x≤0；当x<1时，0<2x<2，故f(x)的值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．函数f(x)＝x ＋2x －1 的值域为________． 解析：由2x －1≥0，得x≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 又函数f(x)＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9．已知f(x)＝xx －a(x≠a)． (1)若a ＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任取x 1<x 2<－2， 当a ＝－2时，f(x 1)－f(x 2)＝ x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任取1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.∵a>0，x 2－x 1>0，∴要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a 的取值范围是(0，1]．10．(2019届福建师大附中模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件： ①对任意正数a ，b ，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)； ②当x>1时，f(x)<0； ③f(2)＝－1. (1)求f(1)的值；(2)用单调性的定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f(3x －1)>2的x 的取值集合．解：(1)由f(a)＋f(b)＝f(ab)，得f(1)＋f(1)＝f(1)，则f(1)＝0. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f(x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＝f(x 2)，所以f(x 2)－f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. 由x 2x 1>1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0，即f(x 2)<f(x 1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(3)∵f(2)＝－1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－2，又f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f(1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2.又f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －1<14，3x －1>0，解得13<x<512. 故满足要求的x 的取值集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，512.B 级·素养提升 |练能力|11.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f(x)＝a x在R 上为减函数，则有0<a<1；若函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上为增函数，则有2－a>0，即a<2，所以“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选A ．12．已知在函数f(x)＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a>1>b>0，且a ＝b ＋1，那么f(x)>1的解集为( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，10)D ．(10，＋∞) 解析：选B 由a x－b x>0，a>1>b>0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1，解得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为a>1>b>0，所以y ＝a x单调递增，y ＝－b x单调递增，所以t ＝a x－b x单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f(x)＝lg(a x－b x)＋x 为(0，＋∞)上的增函数．而f(1)＝lg(a －b)＋1＝lg 1＋1＝1，所以当x>1时，f(x)>1，故f(x)>1的解集为(1，＋∞)．故选B ．13．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D 因为函数f(x)＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．又当x≥1时，f （x ）x ＝12x ＋32x －1，令g(x)＝12x ＋32x －1(x≥1)，则g′(x)＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g′(x)≤0，得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．故选D ． 14．定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy≥0，y ，xy<0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x －x 2)的最大值为________．解析：由已知，得f(x)＝x2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x 2（2x －x 2）≥0，2x －x 2，x 2（2x －x 2）<0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x≤2，2x －x 2，x<0或x>2，易知函数f(x)的最大值为4. 答案：4。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷二函数与基本初等函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东潍坊高三期中)若函数f(x)=axx+a的定义域是{x|x∈R,x≠2},则函数f(x)的值域为()A.(-∞,-2)∪(-2,+∞)B.(-∞,2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)2.(2021天津和平高三期中)若2a=3b=6,则1a2+1ab+1b=()A.1B.16C.32D.653.(2021江苏南京高三月考)函数y=4x-6·2x+8的所有零点的和等于()A.8B.6C.3D.24.(2021湖南师大附中高三期中)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(-12)-f(4)等于()A.-2B.2C.-1D.15.(2021广东佛山高三月考)已知函数f(x)=ln|x|+e x+e-x,则f-13,f12,f14的大小关系是()A.f-13>f14>f12B.f14>f-13>f12C.f12>f-13>f14D.f12>f14>f -136.已知函数f (x )=x 2-2ax+a 在区间[0,3]上的最小值为-2,则实数a 的值为( ) A.-2 B.-2或115 C.-2或1D.±27.(2021山东省实验中学高三二模)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”:一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切割成有限多块,这有限多块经过移动再组合成另一个图形,则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理,解决下面问题:已知函数f (x )满足f (4-x )=f (x ),且当x ∈[0,2]时的解析式为f (x )={-log 2(2-x),0≤x ≤1,log 2x,1<x ≤2,则函数y=f (x )在[0,4]上的图象与直线y=-1围成的封闭图形的面积是( ) A.2 B.2log 23 C.4D.4log 238.(2021湖北宜昌高三期末)已知函数f (x )=ln(x-2)+ln(4-x ),则( ) A.f (x )的图象关于直线x=3对称 B.f (x )的图象关于点(3,0)对称 C.f (x )在(2,4)上单调递增 D.f (x )在(2,4)上单调递减9.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A.y=x 3B.y=ln 1|x| C.y=2|x|D.y=cos x10.定义一种运算:a b={a,a ≥b,b,a <b,设f (x )=(5+2x-x 2) |x-1|,则下列结论错误的是( )A.f (x )的图象关于直线x=1对称B.f (x )的图象与直线y=5有三个公共点C.f (x )的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3]D.f(x)的最小值是211.已知函数y=a x(a>0且a≠1)的图象如图,则下列四个函数图象与函数解析式对应错误的是()12.设函数f(x)=sinπxx2-x+1,则下列说法错误的是()A.f(x)的最大值为43B.|f(x)|≤5|x|C.曲线y=f(x)存在对称轴D.曲线y=f(x)存在对称中心二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021福建三明高三三模)能够说明“若ax >ay,a<0,则x>y”是假命题的一组整数x,y的值依次为.14.函数f(x)=a x+5-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为.15.(2021辽宁锦州高三模拟)函数y=21−x的图象与函数y=4sin πx(-4≤x≤6)的图象所有交点的横坐标之和为.16.(2021山东济南高三期中)已知函数f(x)=x,g(x)=ax2-x,其中a>1.若∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,3],使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,则实数a=.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江苏镇江高三月考)已知幂函数f(x)=(m-1)2x m2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求实数m的值;(2)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.18.(12分)(2021山东烟台高三期中)已知函数f(x)={log14(x+3),−3<x≤1,(12)x+a,x>1,(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为[-1,+∞),求实数a的取值范围.19.(12分)已知命题p:函数f(x)=|x+2c|在[-1,+∞)上单调递增;命题q:函数g(x)=cxx2+1-a(a>0)有零点.(1)当a=2时,命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;(2)若“p为真命题”是“q为真命题”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20.(12分)(2021上海格致中学高三三模)“弗格指数f=log a x+bx-b”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标,其中b是该地区的最低保障收入系数,a是该地区收入中位系数,x是该地区收入均值系数.经换算后,a,b,x都是大于1的实数,当f∈(1,2)时,该地区收入均衡性最为稳定.(1)指出函数g(x)=f=log a x+bx-b的定义域与单调性(不用证明),并说明其实际意义.经测算,某地区的“弗格指数”为0.89,收入均值系数为3.15,收入中位系数为2.17,则该地区的最低保障收入系数为多少(参考数据:2.170.89≈2)?(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,求该地区收入均值系数的取值范围(用a,b表示).21.(12分)(2021浙江高三月考)已知函数f(x)=(x-1)·|x-a|.(1)若a=2,求f (x )在0,52上的最大值;(2)已知函数g (x )=f (x )+|x-a|-x+a-m ,若存在实数a ∈(-1,2],使得函数g (x )有三个零点,求实数m 的取值范围.22.(12分)(2021山东淄博高三期末)已知函数f (x )=log a (a x+1)+bx (a>0且a ≠1,b ∈R )是偶函数,函数g (x )=a x(a>0且a ≠1). (1)求实数b 的值;(2)若函数h (x )=f (x )-12x-a 有零点,求实数a 的取值范围.单元质检卷二 函数与基本初等函数1.A 解析:由x+a ≠0得x ≠-a ,因此a=-2,所以f (x )=-2-4x -2,由于4x -2≠0,因此-2-4x -2≠-2,即函数f (x )的值域为(-∞,-2)∪(-2,+∞),故选A .2.A 解析:由于2a=3b=6,所以a=log 26,b=log 36,因此1a =log 62,1b =log 63,则1a +1b =1,于是1a 2+1ab +1b =1a 1a+1b +1b =1a +1b =1,故选A . 3.C 解析:令y=4x-6·2x+8=0得(2x-4)(2x-2)=0,所以2x=4或2x=2,解得函数的零点为x 1=2,x 2=1,故零点之和等于3.4.C 解析:若f (x )是R 上周期为5的奇函数,则f (-x )=-f (x ),f (x+5)=f (x ),所以f (-12)=-f (12)=-f (2)=-2,f (4)=f (-1)=-f (1)=-1,所以f (-12)-f (4)=-2-(-1)=-1,故选C .5.C 解析:由f (-x )=ln |-x|+e -x+e-(-x )=ln |x|+e x +e -x =f (x )且f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),即f (x )为偶函数,所以当x>0时,f (x )=ln x+e x +e -x ,则f'(x )=1x +e 2x -1e x>0,即f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以f -13=f13,而14<13<12,故f14<f -13<f12,故选C .6.D 解析:函数f (x )=x 2-2ax+a=(x-a )2-a 2+a ,当a ≤0时,函数在区间[0,3]上单调递增,函数的最小值f (0)=a=-2,符合题意;当0<a<3时,函数在区间[0,3]上的最小值f (a )=-a 2+a=-2,解得a=-1(舍)或a=2,所以a=2;当a ≥3时,函数在区间[0,3]上单调递减,函数的最小值f (3)=9-6a+a=-2,解得a=115,不合题意,综上可知a=±2,故选D .7.C 解析:由题意知f (x )关于直线x=2对称,而f (x )={-log 2(2-x),0≤x ≤1,log 2x,1<x ≤2,且f (0)=f (4)=-1,f (2)=1,所以在[0,4]上函数f (x ),f (4-x )及y=-1的图象如图.将所围成的图形在x 轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x 轴上半部分阴影区域,可得到由x 轴,y 轴,y=1,x=4所围成的矩形的面积,所以函数y=f (x )在[0,4]上的图象与直线y=-1围成的封闭图形的面积为4,故选C .8.A 解析:f (x )的定义域为(2,4).对于A,因为f (x+3)=ln(x+1)+ln(1-x )=f (3-x ),所以f (x )的图象关于x=3对称,因此A 选项正确;对于B,由A 知f (x+3)≠-f (3-x ),所以f (x )的图象不关于点(3,0)对称,因此B 选项错误;对于C,f (x )=ln(x-2)+ln(4-x )=ln(-x 2+6x-8),函数y=-x 2+6x-8=-(x-3)2+1在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此f (x )在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此C 选项,D 选项错误,故选A .9.B 解析:对于A,函数是奇函数,不满足题意;对于B,因为ln 1|-x|=ln 1|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=-ln x ,函数单调递减,满足题意;对于C,因为2|-x|=2|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=2x ,函数单调递增,不满足题意;对于D,函数是偶函数,在区间(0,+∞)上不单调,不满足题意,故选B .10.B 解析:由题意,f (x )=(5+2x-x 2) |x-1|={5+2x -x 2,-1≤x ≤3,|x -1|,x <−1或x >3,作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f (x )的图象关于直线x=1对称,故A 正确;函数f (x )的图象与直线y=5有四个公共点,故B 错误;函数f (x )的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3],故C 正确;函数f (x )的最小值是2,故D 正确,故选B .11.C 解析:由图可得a 1=2,即a=2,y=a -x=12x单调递减且过点(-1,2),故A 正确;y=x -a =x -2为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B 正确;y=a |x|=2|x|={2x ,x ≥0,2-x ,x <0为偶函数,结合指数函数图象可知不符合题意,故C 错误;y=|log a x|=|log 2x|,根据“上不动、下翻上”可知D 正确,故选C .12.D 解析:对于选项A,因为sin πx ∈[-1,1],x 2-x+1=x-122+34≥34,所以f (x )=sin πx x 2-x+1≤134=43,故A 正确;对于选项B,由于f(x)x=sin πx πx·π(x -12) 2+34≤43π<5,所以|f (x )|≤5|x|,故B 正确;对于选项C,因为直线x=12是曲线y=sin πx 的对称轴,也是曲线y=x 2-x+1=x-122+34的对称轴,所以直线x=12是曲线y=f (x )的对称轴,故C 正确;对于选项D,因为f (a-x )+f (a+x )不可能为常数,所以曲线y=f (x )不存在对称中心,即D 错误,故选D .13.-1,1(答案不唯一) 解析:当a x >a y ,a<0时,可得1x <1y ,①当x ,y 同号时,可得x>y ;②当x ,y 异号时,y>0>x ,故取整数x ,y 满足y>0>x 即可.14.(-5,-1) 解析:当x+5=0,即x=-5时,y=a 0-2=-1,即f (-5)=-1,故函数图象恒过定点(-5,-1),即点P 的坐标为(-5,-1).15.12 解析:设f (x )=21−x ,g (x )=4sin πx ,当x ≠1时,f (2-x )=21−(2−x)=2x -1=-f (x ),即f (2-x )+f (x )=0,所以函数f (x )=21−x 的图象关于点(1,0)中心对称,g (2-x )=4sin[π(2-x )]=4sin(2π-πx )=-4sin πx=-g (x ),即g (2-x )+g (x )=0,所以,函数g (x )=4sin πx 的图象也关于点(1,0)中心对称,作出函数y=21−x与函数y=4sin πx (-4≤x ≤6)的图象如图:由图象可知,两个函数图象共有12个交点,形成6对关于点(1,0)对称的点对,因此两个函数所有交点的横坐标之和为6×2=12.16.43 解析:∀x 1∈[1,3],∃x 2∈[1,3],使得f (x 1)f (x 2)=g (x 1)g (x 2)成立,即为g(x 1)f(x 1)=f(x 2)g(x 2),即ax 1-1=1ax 2-1成立.由于a>1,可得ax 1-1在[1,3]上的值域为[a-1,3a-1],1ax 2-1在[1,3]上的值域为13a -1,1a -1,由题意可得在[1,3]内,ax 1-1的值域为1ax 2-1的值域的子集,因此13a -1≤a-1<3a-1≤1a -1,所以(a-1)(3a-1)=1,解得a=43.17.解(1)依题意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去. 当m=0时,f (x )=x 2在(0,+∞)上单调递增,满足题意. 故m 的值为0.(2)由(1)知f (x )=x 2,在区间[1,2]上,f (x ),g (x )均单调递增, 所以A=[1,4],B=[2-k ,4-k ], 因为A ∪B=A ,得到B ⊆A , 所以{2−k ≥1,4−k ≤4,解得0≤k ≤1.故实数k 的取值范围为[0,1].18.解(1)当x ∈(-3,1]时,f (x )=lo g 14(x+3)单调递减,当x ∈(1,+∞)时,f (x )=12x+a 单调递减.所以要使函数f (x )在定义域上是单调函数,应满足lo g 14(1+3)≥121+a ,即a+12≤-1,解得a ≤-32.故实数a 的取值范围是-∞,-32.(2)当x ∈(-3,1]时,f (x )=lo g 14(x+3)∈[-1,+∞),当x ∈(1,+∞)时,f (x )=12x+a ∈a ,a+12,由于函数f (x )的值域为[-1,+∞),所以a ,a+12⊆[-1,+∞), 因此a ≥-1,即实数a 的取值范围是[-1,+∞). 19.解由于f (x )=|x+2c|={x +2c,x ≥−2c,-x -2c,x <−2c,所以f (x )的单调递增区间是[-2c ,+∞).又因为f (x )在[-1,+∞)上单调递增,所以-2c ≤-1, 解得c ≥12.即命题p 为真命题时,c 的取值范围是12,+∞.(1)当a=2时,g (x )=cxx 2+1-2有零点,所以方程cxx 2+1-2=0有实数根,即2x 2-cx+2=0有实数根,因此c 2-16≥0,解得c ≥4或c ≤-4.即命题q 为真命题时c 的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞). 故当命题p 和q 均为真命题时,应有{c ≥12,c ≥4或c ≤−4,即c ≥4.故实数c 的取值范围是[4,+∞).(2)函数g (x )=cx x 2+1-a 有零点,则方程cxx 2+1-a=0有实数根, 即ax 2-cx+a=0有实数根,所以c 2-4a 2≥0,解得c ≥2a 或c ≤-2a. 由于“p 为真命题”是“q 为真命题”的充分不必要条件, 所以12>2a , 解得0<a<14.故实数a 的取值范围是0,14.20.解(1)要使函数g(x)有意义,须使x+bx-b>0, 又因为x>1且b>1,解得x>b,所以函数g(x)的定义域为(b,+∞).令t=x+bx-b(x>b),则f=log a t.因为t=x+bx-b =1+2bx-b,所以当x∈(b,+∞)时,函数t=x+bx-b单调递减;又因为a>1,所以f=log a t在(0,+∞)上单调递增,故f=log a x+bx-b在定义域(b,+∞)上是减函数.其实际意义是当该地区收入均值系数x大于该地区的最低保障收入系数b时,收入均值系数x越大,弗格指数f越小.将f=0.89,x=3.15,a=2.17代入函数得0.89=log2.173.15+b3.15−b,所以3.15+b3.15−b =2.170.89≈2⇒b≈3.15-6.33=1.05.故该地区的最低保障收入系数为1.05.(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,则f∈(1,2),即1<log a x+bx-b<2.又因为a>1,所以a<x+bx-b<a2,即a-1<2bx-b<a2-1.又因为x>b,a>1,所以1a2-1<x-b2b<1a-1,解得a 2b+ba2-1<x<ab+ba-1.即该地区收入均值系数x的取值范围是a 2b+ba2-1,ab+ba-1.21.解(1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|.若x ∈[0,2],则f (x )=-(x-1)(x-2)=-x-322+14, 所以f (x )max =f 32=14. 若x ∈2,52,则f (x )=(x-1)(x-2)=x-322-14,f (x )在区间内单调递增,所以f (x )max =f 52=34.综上f (x )在0,52上的最大值为34.(2)由题设,令g (x )=x|x-a|-(x-a )-m=0.所以x|x-a|-(x-a )=m 在a ∈(-1,2]上有三个根, 即h (x )={x 2-(a +1)x +a,x ≥a,-x 2+(a -1)x +a,x <a 与y=m 有三个交点.当-1<a<1时,h (x )在-∞,a -12,a+12,+∞上单调递增,在a -12,a+12上单调递减,此时,h a+12<m<h a -12,可得-(a -1)24<m<(a+1)24,故-1<m<1;当1≤a ≤2时,h (x )在-∞,a -12,(a ,+∞)上单调递增,在a -12,a 上单调递减,此时,0<m<h a -12,可得0<m<(a+1)24∈1,94,故0<m<94.综上,实数m 的取值范围为-1,94.22.解(1)因为f (x )为偶函数,所以∀x ∈R ,有f (-x )=f (x ). 即log a (a -x+1)-bx=log a (a x+1)+bx 在R 上恒成立.所以log a (a -x +1)-log a (a x+1)=2bx 在R 上恒成立.所以2bx=-x ,故b=-12.(2)若函数h (x )=f (x )-12x-a 有零点,所以log a (a x+1)-x=a 有解,即log a 1+1a x =a 有解.令p (x )=log a 1+1a x ,则函数y=p (x )图象与直线y=a 有交点.当0<a<1时,因为1+1a x >1,p(x)=log a1+1a x<0,所以log a1+1a x=a无解.当a>1时,因为1+1a x >1,p(x)=log a1+1a x>0,由log a1+1a x=a有解可知a>0,所以a>1.故a的取值范围是(1,+∞).。

第1节 指数及运算【基础知识】1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数； 3. 1(0,,,)nm nm n a a m n N ma -+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 4．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n个 (n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1a p (a ≠0，p ∈N *)． ④正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)． ⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n＝1n a m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)． ⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r 、s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．【规律技巧】指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．【典例讲解】例1、 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1；(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值． 【探究提高】根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．【变式探究】计算下列各式的值：(1)⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45； (3)a 3b 23ab 2a 14b 124a －13b 13(a >0，b >0)．【针对训练】1、化简34]的结果为（ ） A ．5 B ．C ．﹣D ．﹣5 【答案】B2、1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________. 【答案】23、已知11223a a-+=，求下列各式的值. （1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++ 【答案】(1)7;(2)47;(3)6.4、已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【练习巩固】1【答案】22、1.5－13×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋80.25＋)6 【答案】1103、已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x yx y -+的值.【答案】4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于 ( ) A.10B ．10C ．20D ．100【答案】A 【解析】∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.∴m ＝10.5、计算下列各式的值．（1（2；（3；（4)a b>.,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，不注意n 是导致错误出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用．温馨提醒：(1) n中实数a的取值由n的奇偶性确定，只要n有意义，其值恒等于a，即n a=；(2) n的奇偶性限制，a R∈n的奇偶性影响.6、已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.。

第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。