第一章习题
1.画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和
配位数。
(1)氯化钾；（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）铍；（8）钼；（9）铂。解：
名称分子式结构惯用元胞
布拉菲
格子初基元胞
中原子数
惯用元胞
中原子数
配位数
氯化钾KCl NaCl结构
fcc 2 8 6
氯化钛TiCl CsCl结构
sc 2 2 8
硅Si 金刚石
fcc 2 8 4
砷化镓GaAs 闪锌矿
fcc 2 8 4
碳化硅SiC 闪锌矿
fcc 2 8 4
钽酸锂
LiTaO 3
钙钛矿
sc
5
5
2、6、12
O 、Ta 、Li
铍
Be
hcp
简单
六角
2
6
12
钼 Mo
bcc
bcc 1 2 8
铂 Pt
fcc
fcc 1 4 12
2. 试证明：理想六角密堆积结构的
1
2
8 1.6333c a ??== ???。如果实际的c
a
值比这个数值大得多，可以把晶体视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。
证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a ，而相邻两层的最近邻原子间距为：2
1
2
243???? ??+=c a d 。
当d =a 时构成理想密堆积结构，此时有：2
1
2
2
43???
? ??+=c a a ，
由此解出：633.1382
1
=?
?
?
??=a c 。
若
633.1>a
c
时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大， 因此层间堆积不够紧密。
3. 画出立方晶系中的下列晶向和晶面：[101]、[110]、[112]、[121]、（110）
、（211）、（111）、（112）。 解：
4. 考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。若采用初基
原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？
解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标
系中，在1、2、3三个基矢坐标上的截距为
(
)
2,,2∞，则晶面
指数为（101）。同理，（001）晶面在初基原胞基矢坐标系1a 、2a 、
3上的截距为
(
)
∞,2,2，则晶面指数为（110）。
5. 试求面心立方结构（100）、（110）、（111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于
上述各晶面的轴线是什么对称轴？ 解：
6. 对于二维六角密积结构，初基原胞基矢为：12a a i j →??= ???
，22a a i j →→??
=- ???，k c c =。求
其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。
解：由倒格基失的定义，可计算得：Ω?=→
→→
3212a a b π=
a π2)3
1(→
→+j i ，
→
→
→→→
+-=Ω?=j i a a a b )3
1
(22132ππ，→→
→→
=Ω?=k c a a b ππ22213（未在图中画出）
正空间二维初基原胞如图（A ）所示，倒空间初基原胞如图（B ）所示
（1）由→
→
21b b 、组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有C 6操作对称性，而C 6对称性是六角晶系的特征。
（2）由→
→
21a a 、构成的二维正初基原胞，与由→
→
21b b 、构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。
（3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。
7. 用倒格矢的性质证明，立方晶系的[hkl ]晶向与（hkl ）晶面垂直。
证明：由倒格矢的性质，倒格矢→
→→→++=321b l b k b h G hkl 垂直于晶面（hkl ）。由晶向指数[hkl ]，晶向可用矢
量表示，则：→
→→++=321a l a k a h 。 倒格子基矢的定义：Ω?=
→→→
)(2321a a b π；Ω?=→→→
)(2132a a b π；Ω
?=→
→→
)
(2213a a b π
在立方晶系中，可取→
→
→
321a a a 、、
==
，则可得知a a a ，
==
m =（为常值，且有量纲，即不为纯数），
则 m a l a k a h m G h k l ）＝321(++=→
→→，即hkl 与平行;也即晶向[hkl ] 垂直于晶面（hkl ） 8. 考虑晶格中的一个晶面（hkl ），证明：(a ) 倒格矢123h G hb kb lb =++垂直于这个晶面；(b ) 晶格中相
邻两个平行晶面的间距为2hkl
h d G π
=；(c ) 对于简单立方晶格有()2
2
222a d h k l =++。 证明：（a ）晶面（hkl ）在基矢321上的截距为l
a k a h a 32
1、
、 。作矢量： k h m 211-=
，l k m 322-=，h
l m 1
33-= 显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl ）晶面上（如右图），且
()
()()()
0222321321321213
21211=?
?
???
?++????? ??-=++????
?
??-=?k k h l k h k h h πππ
同理，有02=?h ，03=?h 所以，倒格矢()hkl h ⊥晶面。 （b ）晶面族（hkl ）的面间距为：
hkl h h d 11=
==
（c ）对于简单立方晶格：
()
2
1
2
222l
k h a ++??
? ??=π
2
222
2
l k h a d ++=
9. 用X 光衍射对Al 作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54?，反射角为θ=19.20，求面间距d 111。 解：由布拉格反射模型，认为入射角＝反射角，由布拉格公式：2dsin θ=λ，可得
θ
λ
sin 2n d =
（对主极大取n =1）
)(34.22
.19sin 254
.10
A d =?= 10. 试证明：劳厄方程与布拉格公式是等效的。
证明：由劳厄方程：πμ2)(0=-?k k R l 与正倒格矢关系：πμ2=?h l G R 比较可知：
若0k k G h -=成立，即入射波矢0k ，衍射波矢k 之差为任意倒格矢h G ，则k 方向产生衍射光，
h -=式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。
现由倒空间劳厄方程出发，推导Blagg 公式。
=。由倒格子性质，倒格矢h 垂直于该 晶面族。所以，h 的垂直平分面必与该晶面族平行。
θλ
π
θsin 4sin 2=
=k (A)
d
π
2=
不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性：
n d
π
2=
= （B ） 比较（A ）、（B ）二式可得： 2dSin θ＝n λ 即为Blagg 公式。 11. 求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为： ()??
?
????? ????? ????? ????? ????? ?????
??434341434143414343414141212102102102121000， ， ， ， ， ， ， 结构因子：()
∑
=++=
m
i
j lw kv hu i j hkl j
j j e
f S πα2
()()()
()()()()??
????++++++=+++++++++++l k h i l k h i l k h i l k h i l h i l k i k h i e e e e e e e f 33233233221πππππππα
前四项为fcc 的结构因子，用F f 表示从后四项提出因子)(2
l k h i e
++π
[]
()
()??
????
+=+=++++=+++++++++l k h i f l k h i
f f l k i l h i k h i l k h i f hkl e F e
F F e e e
e
f F S 22
)()()
()(112
π
π
πππαπ
因为衍射强度2
hkl S
I ∝，
[][]
()()??
????
++=++=++-++++-++l k h i l k h i f
l k h i l k h i f
hkl
e e F e
e
F S
222)()(22
21·12
2
π
πππ
用尤拉公式整理后：??
?
??
?+++=)(2cos
122
2l k h F S f hkl π
讨论：1、当h 、k 、l 为奇异性数（奇偶混杂）时，0=f F ，所以02
=hkl S ；
2、当h 、k 、l 为全奇数时，2
22232)4(22ααf f F S f l k h =?==??；
3、当h 、k 、l 全为偶数，且n l k h 4=++（n 为任意整数）时，
2222..64164)11(2ααf f F S f l k h =?=+=
当h 、k 、l 全为偶数，但n l k h 4≠++，则()122+=++n l k h 时，
0)11(22
2..=-=αF S l k h
12.
证明第一布里渊区的体积为()c
V 3
2π，其中V
c 是正格子初基原胞的体积。
证明：根据正、倒格子之间的关系：
Ω?=
→→→
)(2321a a b π，Ω?=→→→
)(2132a a b π；Ω
?=→
→→
)(2213a a b π
V c 是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即
(
)
()[]
()[]()[]
()c c
c c V
V
V V 3
1231233
2113323
3
222)()(2πππ
=???????
? ??=????????
? ??=??=
第二章 习 题
1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成：n
m r
b
r a r U +-
=)(，求： ⑴ 晶体平衡时两原子间的距离；⑵ 平衡时的二原子间的互作用能；
⑶ 若取m =2，n =10，两原子间的平衡距离为3?，仅考虑二原子间互作用则离解能为4eV ，计算a 及b 的值；
⑷ 若把互作用势中排斥项
n b
r 改用玻恩－梅叶表达式exp r p λ??- ???
，并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。
解：(1) 由n
m r
b r a r U +-
=)(，平衡时：0)(10100=-=??----n m r bnr amr r r U ， 得： am bn r
m
n =-0
，化简后得：m
n am
bn r -=1)(0。 (2) 平衡时把r 0表示式代入U (r )中：
m
n m
n
m n m
n n
m
m
n b
am n a
bn m am
bn b am bn a r U m
n n m n m --
---??
? ??+???
??-=+-=--)()()(0。
（3）由r 0表示式得： 81)5(10
310
a
b =?-
若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能＝结合能＝－互作用势能，由U (r )式的负值，得：
10
1021019
)
103()103(10
6.14---?-?+
=??b
a 化简为：8010103
9104.6-?-+
=?b
a 略去第二项计算可得： 2115238
1045.9102.7m J b m J a ??=??=--，
(4) 由题意得：n p
r br e
=-0λ *
00ln ln ln r n b p r -=-λ，λb p r r n ln ln 00+=，则： 0
0ln ln
r b p r n λ
+=
又解：*式两边对r 0求导，得：10
---
=n p
r bnr e
p
λ
，与*式比较得：
p
r n 10= 可解得：np r =0
2、N 对离子组成的Nacl 晶体相互作用势能为：???
???-=R e R
B N R U n 024)(πεα。
⑴ 证明平衡原子间距为：n e B
R n 2
01
4απε=
-； ⑵ 证明平衡时的互作用势能为：)1
1(4)(0020n
R Ne R U --=πεα；
⑶ 若试验试验测得Nacl 晶体的结合能为765kJ/mol ，晶格常数为5.63?10-10m ，计算Nacl 晶体的排斥能的幂指数n ，已知Nacl 晶体的马德隆常数是α＝1.75。
证明：（1）由：???
?
??+-=R e R B N R U n 024)(πεα
得：???
? ??-=??????---=+---120220214)1(4)()(n n R Bn R e N R e R n B N dR R dU πεαπεα
令：
0)
(0
==R R R
R dU ，即 04102002=???
?
??-+n R Bn R e N πεα 得：2
01
4e Bn
R n απε=
-。 （2）把以上结果代入U (R )式，并把R 取为R 0，则：
??
? ??--=???
?????-=--n R e N e B N R U n n e Bn e Bn e Bn 114)(4)()(002
40244011
20112020πεαπεααπεαπεαπε 若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“－”。
（3）由（2）之结论整理可得：)
(40002
2
R U R e N e N n πεαα+= 式中：23
100.6?=N N ，19
10
6.1-?=e 库仑，12
01085.8-?=ε法/米
若题中R 0为异种原子的间矩，则：m R 10
01063.55.0-??=；
mol J R U /1065.7)(50?-=U （平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值）
马德隆常数：75.1=α，将这些一致数据代入n 的表达式中，则：
8.81056.275.1100.61065.71082.21085.814.3411
)(41138
235
10122000≈???????????-
=-=
---e N R U R n απε 3、如果把晶体的体积写成：V ＝N βR 3，式中N 是晶体中的粒子数；R 是最近邻粒子间距；β是结构因子，试求下列结构的β值：⑴fcc ；⑵bcc ；⑶NaCl ；⑷金刚石。 解：取一个惯用元胞来考虑：
结构 V 0 N 0 R 0
β
fcc
a 3
4
a 22
2
2 bcc
a 3
2
a 2
3 2
33
4
NaCl a 3 8 2a 1
金刚石
a 3
8
a 4
3 2
33
8
4、证明：由两种离子组成的间距为R 0的一维晶格的马德隆常数2ln 2α=。[已知()
1
1
1ln 21n n n
-∞
==
-∑] 证明：由马德隆常数的定义：∑±
=
j
j
a 1
α，其中同号离子取“－”，异号离子取“＋”。 若以一正离子为参考点，则：
??
?
??++++-??? ?
?+-+
+++=......21......6141212......121 (5)
13112n n α (A) 又由已知()
1
1
1
ln 21n n n
-∞
==
-∑，代入（A ）式，则：2ln 2=α 5、假定由2N 个交替带电荷为q ±的离子排布成一条线，其最近邻之间的排斥势为
n b
r
，试证明在平衡间距下有：()20002ln 2114Nq U R R n πε??
=-- ???。
证明：由???
?
??+-=R q R B N R U n 024)(πεα，得：
???
? ??-=??????---=+---120220214)1(4)()(n n R Bn R q N R q R n B N dR R dU πεαπεα
令：
0)
(0
==R R R
R dU ，即 04102002=???
? ??-+n R Bn R q N πεα
得：2
01
4q Bn
R n απε=
-。把该式代入U (R )式，并把R 取为R 0，则： ??? ??--=???
?????-=--n R q N q B N R U n n q Bn q Bn q Bn 114)(4)()(002402
4401120112020πεαπεααπεαπεαπε (A)
由马德隆常数的定义：∑±
=
j
j
a 1
α，其中同号离子取“－”，异号离子取“＋”。 若以一正离子为参考点，则：
??
?
??++++-??? ?
?+-+
+++=......21......6141212......121 (5)
13112n n α (B) 又由已知()
1
1
1
ln 21n n n
-∞
==
-∑，代入（B ）式，则：2ln 2=α。将α代入(A) 式，得： ()20002ln 2114Nq U R R n πε??
=-- ???
。
6、试说明为什么当正、负离子半径比37.1/>+-r r 时不能形成氯化铯结构；当41.2/>+-r r 时不能形成氯化钠结构。当41.2/>+-r r 时将形成什么结构？已知RbCl 、AgBr 及BeS 中正、负离子半径分别为：
晶 体 r +/nm r -/nm RbCl AgBr BeS
0.149 0.113 0.034
0.181 0.196 0.174
若把它们看成是典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？若近似地把正、负离子都看成是硬小球，请计算这些晶体的晶格常数。
解：通常+->r r ，当组成晶体时，可以认为正、负离子球相互密接。
对氯化铯结构，如图（a ）所示，8个正离子组成立方体，负离子处在立方体的中心，所以立方体的对角线+-+=r r d 22，立方体的边长为： ()+-+=
=
r r d a 3
23
为了能构成氯化铯结构晶体，负离子的直径-r 2必须小于立方体的边长a ，即 ()+--+=
22，由此可得：37.11 31/=-< + -r r 。 即为了能构成氯化铯结构晶体，+-r r /必须小于1.37。 （a ） （b ） （c ） 对于氯化钠结构，如图（b ）所示为氯化钠结构的一个惯用原胞（100）面的离子分布情况，这里设正离子处在顶角，由图可见， ()-+-+= 21/=-< +-r r 。 所以，构成氯化钠结构+-r r /必须小于2.41。 对于闪锌矿结构，如图（c ）所示为闪锌矿结构的一个惯用原胞（110）面的离子分布，这里设负离子处在面心立方位置，由图可见， a r r 4 3 = ++-，a r 24=-，-=r a 22 -+-?== +r a r r 224 343， 则：41.245.4/>=+-r r 所以，构成氯化钠结构+-r r /必须大于2.41。 晶 体 r +/nm r -/nm +-r r / 晶体结构 晶格常数a /nm RbCl AgBr BeS 0.149 0.113 0.034 0.181 0.196 0.174 1.214 1.734 5.118 氯化铯 氯化钠 闪锌矿 0.381 0.618 0.492 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52 体心立方3π/ 8 ≈0.68 面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密排2π/ 6 ≈0.74 金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格 的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线 根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。 第十一章固体中的元激发 什么是元激发，举出三种元激发，并加以简要说明，以及所满足的统计特性 元激发：能量靠近基态的低激发态与其他激发态相比，情况比较简单，这种低激发态可以看出是独立的基本激发单元的集合，这些基本激发单元称为元激发（准离子）。 分为集体激发的准离子和单粒子激发的准粒子。 声子：晶体中原子振动的简正坐标是一系列格波，格波表示原子的一种集体运动，每个格波的能量取值是量子化的，体系的激发态可以看成是一些独立基本激发单元的集合，激发单元就是声子。声子是玻色型准粒子。 磁振子：铁磁材料在T=0K时基态的原子磁矩完全平行排列，基态附近的低激发态相应于少数自旋取向的反转，由于原子之间的相互耦合，自选反转不会局限在个别原子上，而是在晶体内传播形成自选波，自选波表示自旋系统的集体激发，能量是量子化的，体系激发态可以表示成一些独立基本激发单元的集合，即磁振子。遵循玻色统计。 金属中电子和空穴：系统激发态可以看成电子能量和空穴能量之和。电子和空穴都是单粒子元激发。金属中电子系统的激发态可以看成是电子、空穴准粒子的集合。 半导体中电子空穴对：半导体中电子从价带激发到导带形成电子空穴对。费米型元激发。激子：电子和空穴之间由于库伦作用形成激子。玻色型元激发。 极化激元：离子晶体长光学波与光学波形成的耦合振动模，其元激发称为极化激元。 在相互作用电子系统中可能存在玻色元激发吗？举一例说明 等离激元：电子气相对于正电背景的等离子体振荡，振荡的能量是量子化的，元激发即等离激元。玻色型元激发。 第十二章晶体中的缺陷和扩散 分析说明小角晶界的角度和位错间距关系，写出表达式。 相互有小角度倾斜的两部分晶体之间的小角晶界可以看成是一系列刃位错排列而成， D=b/θ，D是小角晶界位错相隔的距离，θ是两部分倾角，b是原子间距。 简述晶体中位错种类及位错方向和滑移方向的关系，哪种位错对体生长有重要影响。 刃位错：位错方向与晶体局部滑移方向垂直。 螺位错：位错方向与晶体局部位移方向平行。螺位错对晶体生长有重要影响。 简述晶体中主要缺陷类型（至少回答三种） 空位：空位是未被占据的原子位置。晶体中的原子围绕其平衡位置做热振动，原子可能获得较大的能量脱离平衡位置，在晶体中形成一个空位 间隙原子：间隙原子是进入点阵间隙的原子。杂质的半径较小可以在点阵中形成间隙原子，格点上的原子也可能获得能量离开而进入晶格形成间隙原子。 位错：由于晶体局部的滑移或者位移，在一定区域原子的排列是不规则的，这个原子错配的过渡区域就是位错。 解释具有点缺陷的离子晶体的导电机制。 离子晶体中的点缺陷（空位和间隙原子）是带有一定的电荷，正空格点、负空格点、正填隙原子、负填隙原子，原来晶体是电中性的，格点失去一个电子而形成空位，使该处多了一个相反的电荷。在没有外电场时，这些缺陷做无规则的布朗运动，不产生宏观电流，有外电场 一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性， 它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。 10.布喇菲原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞) 答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间 划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 12. 简单晶格 答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表 该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子。 13.复式格子 答：当基元包含2 个或2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格 点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。 14.晶面指数 答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢123,,a a a r u u r u u r ，末端分别落 在离原点距离为123d 、d 、h h h d 的晶面上，123、、h h h 为整数，d 为晶面间距，可以证明123、、h h h 必是互质的整数，称123、、h h h 3为晶面指数，记为()123h h h 。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。 15.倒格子(倒易点阵) 《固体物理学》部分习题解答 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。 解 由倒格子定义2311232a a b a a a π?=??v v v v v v 3121232a a b a a a π?=??v v v v v v 12 3123 2a a b a a a π?=??v v v v v v 体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+v v v v v v v v v v v v 倒格子基矢231123022()()22 a a a a b i j k i j k a a a v ππ?== ?-+?+-??v v v v v v v v v v v v 202()()4 a i j k i j k v π=?-+?+-v v v v v v 2()j k a π=+v v 同理31212322()a a b i k a a a a ππ?== +??v v v v v r r r 32()b i j a π=+v v v 可见由123,,b b b v v v 为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢 123()/2 ()/2()/2 a a j k a a k i a a i j =+=+=+v v v v v v v v v 倒格子基矢23 11232a a b a a a π?=??v v v v v v 12()b i j k a π=-++v v v v 同理22()b i j k a π=-+v v v v 32()b i j k a π=-+v v v v 可见由123,,b b b v v v 为基矢构成的格子为体心立方格子 1.4 证明倒格子原胞的体积为0 3 (2)v π，其中0v 为正格子原胞体积 证 倒格子基矢23 11232a a b a a a π?=??v v v v v v 31 21232a a b a a a π?=??v v v v v v 12 31232a a b a a a π?=??v v v v v v 倒格子体积*0 123()v b b b =??v v v 1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱. 一·简答题 1.晶格常数为a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8） （1）体心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j k a i j k a i j k ααα=+-=-++=-+，体积：31 2a ，最近邻格点数：8 （2）面心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j a j k a k i ααα=+=+=+，体积：31 4a ，最近邻格点数：12 2.习题、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 证明： 因为33121323 ,a a a a CA CB h h h h = -=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ?=，容易证明 12312300 h h h h h h G CA G CB ?=?= 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 3.习题、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足： 22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长； 解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π ?=??，3121232a a b a a a π?=??，123123 2a a b a a a π?=?? 倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ = == 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h i k j l k a a a πππ =++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G π= 2221 ()()()h k l a a a = ++ 4.习题、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。 解：(111) （1）、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。 （2）、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢： 《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级 2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。 (2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ??? 固体物理经典复习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 1 一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空 间无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同 的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶 体可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢 11级第一次(作业) 请充分利用网络、本校及外校图书馆的相关资料，同时联系相关专业的老师，调查关于固体物理的简史、发展趋势以及当代的热门前沿课题(针对自己感兴趣的某个方面)，形成一份报告，阐述自己的看法，要求2000字以上。(已经在第一次课布置，11月1日前后上交) 11级固体物理第2次习题和思考题 1.在结晶学中，我们课堂上讲的单胞，也叫元胞，或者叫结晶学原胞，也叫晶胞，试回忆一下晶胞是按晶体的什么特性选取的？ 答：在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。 2.解释Bravais 点阵并画出氯化钠晶体的结点所构成的Bravais 点阵。 答：晶体的部结构可以概括为由一些相同的结点构成的基元在空间有规则的作周期性的无限分布，这些结点构成点阵，如果基元只由一个结点构成，这种点阵称为Bravais 点阵。氯化钠晶体的Bravais 点阵可参照书p8的图1-13，点阵的结点由钠离子和氯离子组成。 3.说明金刚石结构是复式点阵的原因。 答：金刚石结构可这样描述：面心立方的体心向顶角引8条对角线，在互不相邻的四条对角线中点，各有一个原子。以金刚石为例，顶角和面心处的原子周围情况和对角线上的原子周围情况不相同，因而金刚石结构是复式晶格，可看作两套面心立方子晶格沿体对角线移开1/4体对角线长度而成。Bravais 点阵包含两个原子。 4.体心立方点阵和面心立方点阵互为正、倒格子，试证明之。 答：面心立方的三个基矢为： ??? ? ?????+=+=+=)(2)(2)(2321i k a a k j a a j i a a ρρρρρρρρρ 其体积为 4 3 a ，根据倒格矢的定义得： ???? ? ????-+=???=++-= ???=+-= ???=)(2)(2)(2)(2)(2)(23212 13321132321321k j i a a a a a a b k j i a a a a a a b k j i a a a a a a b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρ ρ ρρρρρρ ρρππππππ 可见，除了系数不同之外，方向正好是体心立方的晶格基矢。反之亦然。 5、翻看资料，试画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。 (1)氯化铯； (2)硅； (3)砷化镓； (4)硫化锌 答：(1)氯化铯为简单立方，氯离子处于立方的顶角组成子晶格，铯离子处于立方的顶角组成 子晶格，两套子晶格沿着体对角线移开一半体对角线长度，使得氯离子子晶格的体心 恰好有一个铯离子，铯离子子晶格的体心恰好有一个氯离子。元胞就是简单立方。一 个元胞里有一个氯离子和一个铯离子；配位数为6。 (2)硅为复式格子，硅原子组成面心立方子晶格，两套子晶格沿体对角线移开1/4体对角线长度，形 一、 填空题 （共20分，每空2分） 目的:考核基本知识。 1、金刚石晶体的结合类型是典型的 共价结合 晶体, 它有 6 支格波。 2、晶格常数为a 的体心立方晶格，原胞体积Ω为 23a 。 3、晶体的对称性可由 32 点群表征，晶体的排列可分为 14 种布喇菲格子，其中六角密积结构 不是 布喇菲格子。 4、两种不同金属接触后,费米能级高的带 正 电，对导电有贡献的是 费米面附近 的电子。 5、固体能带论的三个基本近似：绝热近似 、_单电子近似_、_周期场近似_。 二、 判断题 （共10分，每小题2分） 目的:考核基本知识。 1、解理面是面指数高的晶面。 （×） 2、面心立方晶格的致密度为π61 （ ×） 3、二维自由电子气的能态密度()1~E E N 。 （×） 4、晶格振动的能量量子称为声子。 （ √） 5、 长声学波不能导致离子晶体的宏观极化。 （ √） 三、 简答题（共20分，每小题5分） 1、波矢空间与倒格空间（或倒易空间）有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为, 而波矢空间的基矢分别为, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 , 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。 也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此, 在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。 2、在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 321 b b b 、、 32N N / / /321b b b 、、 1N 321 a a a 、、*321) (Ω=??b b b N N b N b N b * 332211)(Ω=?? 固体物理总复习题 一、填空题 1．原胞是 的晶格重复单元。对于布拉伐格子，原胞只包含 个原子。 2．在三维晶格中，对一定的波矢q ，有 支声学波， 支光学波。 3．电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有 形式，式中 在晶格平移下保持不变。 4．如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为 ；能带的表示有 、 、 三种图式。 5．按结构划分，晶体可分为 大晶系，共 布喇菲格子。 6．由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为 格子，由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做 格子。其原胞中有 以上的原子。 7．电子占据了一个能带中的所有的状态，称该能带为 ；没有任何电子占据的能带，称为 ；导带以下的第一满带，或者最上面的一个满带称为 ；最下面的一个空带称为 ；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为 。 8.基本对称操作包 括 ， ， 三种操作。 9.包含一个n 重转轴和n 个垂直的二重轴的点群叫 。 10.在晶体中，各原子都围绕其平衡位置做简谐振动，具有相同的位相和频率，是一种最简单的振动称为 。 11.具有晶格周期性势场中的电子，其波动方程为 。 12.在自由电子近似的模型中， 随位置变化小，当作 来处理。 13.晶体中的电子基本上围绕原子核运动，主要受到该原子场的作用，其他原子场的作用可当作 处理。这是晶体中描述电子状态的 模型。 14.固体可分 为，， 。 15.典型的晶格结构具有简立方结 构，，，四种结构。 16.在自由电子模型中，由于周期势场的微扰，能量函数将在 K= 处 断开，能量的突变为。 17.在紧束缚近似中，由于微扰的作用，可以用原子轨道的线性组合来描述电 子共有化运动的轨道称为，表达式 为。 18．爱因斯坦模型建立的基础是认为所有的格波都以相同的振动，忽略了频率间的差别，没有考虑的色散关系。 19．固体物理学原胞原子都在，而结晶学原胞原子可以在顶点也可以在即存在于。 20．晶体的五种典型的结合形式是、、、、。 21．两种不同金属接触后，费米能级高的带电，对导电有贡献的是 的电子。 22．固体能带论的三个基本假设是：、、 。 23．费米能量与和因素有关。 二、名词解释 1．声子；2.；布拉伐格子；3. 布里渊散射；4. 能带理论的基本假设. 5．费米能；6. 晶体的晶面；7. 喇曼散射；8. 近自由电子近似。 9.晶体；10. 布里渊散射；11. 晶格；12. 喇曼散射； 三、简述题 1．试说明在范德瓦尔斯结合、金属性结合、离子性结合和共价结合中，哪一种或哪几种结合最可能形成绝缘体、导体和半导体。 2．什么是声子？声子与光子有什么相似之处和不同之处？ 《固体物理学》习题参考 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 22 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = 32 a 那么， Rf Rb =23a a =63 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族 中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id ===g g g ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2） 把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010） 正方 a=b a^b=90° 六方 a=b a^b=120矩形 a ≠b a^b=90° 带心矩形 a=b a^b=90° 平行四边形 a ≠b 第一章 1.凝聚态物质包括哪些？-液体、固体、介于其间的软物质（液晶、凝胶等） 2.固体可分为哪些类型？-晶体、准晶体、非晶体 3.什么是晶格？什么是晶体结构？晶体中原子的规则排列称为晶格；晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构 。 4.常见的晶体结构有哪些？-简单立方晶体结构sc 、体心立方晶体结构bcc 、密堆晶体结构、金刚石晶体结构、NaCl 结构、CsCl 晶体结构、闪锌矿晶体结构、钙钛矿（ABO3）结构 5.什么是配位数？-XX 晶体结构的配位数是多少？配位数：每个原子周围最近邻原子数；简单立方晶体结构（配位数6）、体心立方结构（8）、面心立方结构（12）、六角密堆结构（12）、金刚石晶体结构（4） 6.试画出简单立方结构、体心立方结构、面心立方结构、六角密堆结构、金刚石结构等晶体结构图。 7.举例说明什么是简单晶格？什么是复式晶格？-简单晶格（布拉维格子）：所有原子完全等价，作从一个原子到另一任意原子的平移，晶格完全复原，如sc 、fcc 、bcc 结构形成的晶格；复式格子：晶格结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子，作从一个原子或离子到任意一个不等价的原子或离子的平移，晶格不能复原，如hcp 结构、金刚石结构、NaCl 结构 8.什么是基元？简单晶格和复式晶格的基元各有什么特点？-一个最小的、完全等价的基本结构单元；简单晶格的基元只含一个原子，复式晶格的基元中含两个以上的原子或离子。 9.什么是结点？什么是点阵？点阵与晶体结构的逻辑关系是什么？-就晶格的平移对称性而言，忽略结构中基元内原子分布的细节，用来代表基元的几何点成为结点；点阵是反映晶格平移对称性的分位点的无限阵列；<点阵>+<基元>=<晶体结构> 10.什么是点阵的基矢？什么是破缺的平移对称性？-对于一个给定的点阵，可以使矢量332211→→→→++=a l a l a l R l 的三个不共面的基本平移矢量a1、a2、a3；晶格并不对任意的平移不变，而只对一组离散平移矢量RL （L 为小写取整数）具有不变性的性质。 11.对于一个点阵通常可以定义哪三种元胞？-初基元胞、单胞、维格纳-塞茨元胞（W-S 元胞） 12.画图表示sc 、bcc 、fcc 点阵的基矢和元胞的选择方式。-课本P8, 13.按通常约定，写出sc 、bcc 、fcc 点阵的基矢和元胞体积。-元胞的体积：)(321→→→??=Ωa a a =a^3 sc:a1=ai,a2=aj,a3=ak; bcc:a1=a/2(-i+j+k),a2=a/2(+i-j+k),a3=a/2(+i+j-k);fcc:a1=a/2(j+k),a2=a/2(k+i),a3=a/2(i+j) P9 14.什么是单胞？什么是晶轴？什么是晶格常数？-单胞：为直观反映点阵的宏观对称性而选择的一个非初基元胞；晶轴：单胞的三条棱a 、b 、c ；晶格常数：长度a 、b 、c 15.sc 、bcc 和fcc 点阵的单胞和初基元胞有什么关系？-sc 点阵：单胞体积=初基元胞体积；bcc 点阵：单胞体积=2倍初基元胞体积；fcc 点阵：单胞体积=4倍初基元胞体积 16.简要说明维格纳-塞茨（W-S ）元胞的构造过程。-把结点同所有其他结点用直线连接起来，做这些连线的中垂面，这些面包围的最小多面体，构成W-S 元胞 17.什么是晶列？什么是晶向指数？什么是晶面？-点阵的结点看成分布在一系列相互平行的直线上，这些直线称为一族晶列；如果一个结点沿某晶列方向到最近邻结点的平移矢量为332211→→→→++=a l a l a l R l ，则记[L1L2L3]为晶向指数；点阵的结点看成分布在一系列平行且等距的平面上，这些平面称为一族晶面； 18.在sc 点阵中表示出[100]、[110]和[111]等晶向。P12 19.试在sc 点阵中标出（100）、（110）和（111）三个晶面族。P14 20.晶面指数和密勒指数有什么不同？-晶面指数：以基矢为坐标系，密勒指数：以单胞的三条棱为坐标系 21.什么是正空间？什么是倒空间？什么是正点阵？什么是倒点阵？-正空间：坐标空间；倒空间：坐标空间的傅里叶变换；正点阵：用来描述晶体正空间的性质的晶体的点阵；倒点阵：正点阵的傅里叶空间 23.证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方、面心立方的倒格子是体心立方。-倒格矢分别用b1、b2、b3表示。 把a1、a2、a3带入上式可得： 《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将错误！未找到引用源。两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将错误！未找到引用源。组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。 固体物理卷（A ） 第一部分：名词解释（每小题5分，共40分） 1.原胞：在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。 2.晶面指数：一个晶面得取向可以由这个晶面上的任意三个不共线的点确定，如果这三个点处在不同的晶轴上，则通过有晶格常量321,,a a a 表示这些点的坐标就能标定它们所决定的晶面，它们具有相同比率的最小整数称为晶面指数 3.布拉格定律：假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每个平面反射很少一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。在这种类似镜子的镜面反射中，其反射角等于入射角。当来自平行原子平面的反射发生相长干涉时，就得出衍射束。考虑间距为d 的平行晶面，入射辐射线位于纸面平面内。相邻平行晶面反射的射线行程差是2dsinx ，式中从镜面开始量度。当行程差是波长的整数倍时，来自相继平面的辐射就发生了相长干涉。 这就是布拉格定律。布拉格定律用公式表达为：2dsinx=n*λ(d 为平行原子平面的间距，λ为入射波波长，x 为入射光与晶面之夹角) ，布拉格定律的成立条件是波长小于等于2d 。 布拉格定律是晶格周期性的直接结果。 4.简述三维空间的晶系种类及其所包括的晶格类型 三斜1，单斜2，正交 4，四角 2，立方3，三角1，六角1。 5.布里渊区：在固体物理学中，第一布里渊区是动量空间中晶体倒易点阵的原胞。固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能 量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。 6.惰性气体晶体：惰性气体所形成的晶体是最简单的晶体，其晶态原子的电子分布非常接近于自由态原子的电子分布，在晶体中，这些惰性气体原子尽可能紧密地堆积在一起。惰性气体原子具有闭合电子壳层，电荷分布是对称的。 7.德拜模型：德拜模型是德拜提出的计算固体热容的原子振动模型。1912年，德拜改进了爱因斯坦模型，考虑热容应是原子的各种频率振动贡献的总和，得到了同实验结果符合得很好的固体热容公式。德拜模型把原子排列成晶体点阵的固体看作是一个连续弹性媒质，原子间的作用力遵从胡克定律，组成固体的 n个原子在三维空间中集体振动的效果相当于3n个不同频率的独立线性振子的集合。固体物理习题与答案
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