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分解因式完全平方公式八年级上册数学公开课人教版

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八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.2.2完全平方公式(第1课时图文详解)

八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.2.2完全平方公式(第1课时图文详解)

八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时， 老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个 孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，… （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩
子多少块糖？ a2
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
(2)(-a2+b3)2 【解析】原式= (b3-a2)2
=b6-2 a2 b3+a4 ∵(a-b)2 =(b-a)2 ∴(-a2 +b3)2 = (a2 -b3)2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例2】运用完全平方公式计算:
(1) 1022;
(2) 992.
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(4)(-2m-1)2 =4m2+4m+1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（日照·中考）由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得a+b)(a2－ ab+b2）=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即（a+b)(a2－ab+b2） =a3+b3 ①.我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( ) （A）（x+4y)(x2－4xy+16y2）=x3+64y3 （B）（2x+y)(4x2－2xy+y2）=8x3+y3 （C）（a+1)(a2＋a+1）=a3+1 （D） x3+27=（x+3)(x2－3x+9） 【解析选】C.根据乘法的立方公式（a+b）（a2－ab+b2）

人教版八上数学14.3.3因式分解—完全平方公式优质课(共35张PPT)

人教版八上数学14.3.3因式分解—完全平方公式优质课(共35张PPT)
4
（2）. 计算: 7652×17－2352 ×17.
解：7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352) =17(765+235)(765 －235) =17 ×1 000 ×530 =9 010 000.
（3）.2 0132+2 013能被2 014整除吗?
解：∵2 0132+2013 =2 013(2 013+1) =2 013 ×2 014 ∴ 2 0132+2 013能被2 014整除.
14.3 因式分解 14.3.2 完全平方公式
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如： 4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
试计算：9992 + 2×1999998×1 + 1 = (999+1)2 = 106
y
2
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为 （10x-y)2,那么k的值是（ B ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式， 那么m的值为（ B ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
3、下列各式中，能用完全平方公式

人教版初二数学上册优质课《完全平方公式PPT精品优秀课件》

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自己做
(2) (3) .
做题时要边念边写： 第一数 的平方,
减去 第一数与第二数乘积 的2倍,
加上 第二数 的平方.
随堂练习
1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？ (1). (a+b)2=a2+b2 (2). (a-b)2=a2-b2
纠 错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
歌声像气势飞鸿的激水，不断从声源 扩大到 可远可 近的周 遭。被 沉睡中 人们的 闹钟似 得扰闹 着；刺 饶着早 起人们 的进行 曲一样 ；持续 着喜宴 人们的 激奋曲 。不同 生活宿 命的人 们，被 秋意带 动着不 同的变 迁。如 同悠扬 持续的 歌声， 唤示着 一种缔 结与生 命奥义 相关的 一种联 系或者 价值。 我也曾数十次地感受着秋意带来生活 特别的 感触， 以及带 来了生 活不同 的意义 。在过 去二十 二载的 秋季之 时，不 曾以笔 绘秋， 以文摹 凉。秋 季带给 除了童 年时候 与伙伴 一起嬉 戏的情 景，不 曾认真 的感受 秋真正 的面貌 和内涵 。 我就在电脑前，听着一曲《简单爱》 。凝思 举笔， 灵慧泼 墨。于 秋的感 触中， 牵引的 情绪， 以及秋 的哲学 意义是 怎么样 ？我不 知道怎 样继续 ，才能 构成秋 的一曲 歌谣， 一首诗 颂，一 纸佳b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2

运用完全平方公式因式分解-八年级数学上册课件(人教版)

运用完全平方公式因式分解-八年级数学上册课件(人教版)

知识Байду номын сангаас一 用完全平方公式分解因式
【例1-4】把下列完全平方公式分解因式：
典型例题
(1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=(100－99)² =1.
(2)原式=(34+16)2 =2500.
本题利用完全平方 公式分解因式,可
以简化计算.
知识点一 用完全平方公式分解因式 典型例题
【例1-5】已知x2-4x+y2-10y+29=0,求x2y2+2xy+1的值.
解：∵x2-4x+y2-10y+29=0， ∴(x-2)2+(y-5)2=0. ∵(x-2)2≥0,(y-5)2≥0， ∴x-2=0,y-5=0， ∴x=2,y=5, ∴x2y2+2xy+1=(xy+1)2 =112=121.
注意：1.有公因式要先提公因式；
(2)原式=(a2+4)2-(4a)2 =(a2+4+4a)(a2+4-4a)
=(a+2)2(a-2)2.
2.要检查每一个多项式的因式,看能否继续分解.
(3)x2-12x+36； (4)4(2a+b)2-4(2a+b)+1； (5) y2+2y+1-x2. (3)原式=x2-2·x·6+(6)2=(x-6)2； (4)原式=[2(2a+b)]²-2·2(2a+b)·1+(1)²=(4a+2b-1)2； (5)原式=(y+1)²-x²=(y+1+x)(y+1-x).
(1)a2－4a+4； 是 (2)1+4a²； 不是 因为它只有两项； (3)4b2+4b-1； 不是 4b²与-1的符号不统一； (4)a2+ab+b2； 不是 因为ab不是a与b的积的2倍. (5)x2+x+0.25. 是

人教部初二八年级数学上册 完全平方公式分解因式 名师教学PPT课件

人教部初二八年级数学上册 完全平方公式分解因式 名师教学PPT课件
的值。
解: 由a(a+1)-(a2-b)=a2+a-a2+b=a+b=-2得
a2 b2 ab a2 b2 2ab (a b)2 (2)2 2
2
22Leabharlann 2(1) x2＋6x＋9 (2) x2-6x＋9
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2.
总结与反思：
a2 2abb2 a2 2abb2
1、完全平方式：两个数的平方和加上（或 减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数 的和（或差）的平方。有三项，平方项同号， 中间项是2倍首尾。
.阅读课本117页思考及下面第一段，回答下列 问题？
❖ (1)什么是完全平方式？ ❖ (2)有什么特点？ ❖ (3)你能举例子吗？
❖什么是完全平方式？
a2 2abb2
a2 2abb2
判断下列各式是不是完全平方式
(1)a2 -4a+4 (2)1＋4a2 (3) a2＋2ab-b2 (4) a2＋ab＋b2
分解因式：(2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) –x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = - (x-2y)2
分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。

最新人教版初中八年级上册数学《利用完全平方公式分解因式》精品教案

最新人教版初中八年级上册数学《利用完全平方公式分解因式》精品教案

第2课时利用完全平方公式分解因式【知识与技能】理解完全平方公式的特点，能用完全平方公式分解因式.【过程与方法】1.探索完全平方公式的结构，逐步掌握完全平方公式的应用.2.综合考察分解因式的方法，灵活运用各种方法分解因式.【情感态度】培养学生观察、分析能力.灵活根据问题特点解决实际问题.【教学重点】用完全平方公式分解因式.【教学难点】灵活应用公式分解因式.一、情境导入，初步认识引导学生由整式乘法中的完全平方公式推导出因式分解中的完全平方公式，即a2±2ab+b2=（a±b）2，用文字表述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.问题判断下列各式是不是完全平方式.【教学说明】由学生观察并充分分析式子特点，熟悉完全平方式的结构.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.（2）（4）（5）都不是.【归纳总结】完全平方公式的特点：左边是一个三项式，其中的两项同号且均为一个整式的平方，另一项是前两项幂的底数的积的2倍，符号可“+”可“-”.右边是两个整式的和（或差）的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号.二、思考探究，获取新知例1已知4x2+1+mx是关于x的完全平方式，求m2-5m+3的值.【分析】先由完全平方的结构特点确定m的值，然后再代入求代数式的值.解：由题意，得4x2+mx+1=（2x±1）2，即4x2+mx+1=4x2±4x+1，所以m=±4.当m=4时，m2-5m+3=42-5×4+3=-1.当m=-4时，m2-5m+3=（-4）2-5×（-4）+3=39.【教学说明】在求m的过程中，要考虑全面，不要忽略m=-4这种情况.例2分解因式.例3把下列各式分解因式.【分析】（1）（2）题先提公因式再运用公式；（3）题用公式后还可以再提公因式，再用公式分解.三、运用新知，深化理解1.分解因式.2.分解因式.3.用简便方法计算下列各题.【教学说明】上述三题可让学生自主探究，教师对有困难的同学加以指导，最后师生共同评析.四、师生互动，课堂小结1.表述完全平方公式的结构特征.2.交流如何对一个二次三项式进行因式分解.1.布置作业：从教材“习题14.3”中选取部分题.2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.本课时教学以引导学生认识完全平方公式的结构特征为重点，以学生自主观察、分析、归纳为主要形式，鼓励学生分组讨论，集中归纳，共同总结，充分调动学生的积极性，主动参与学习过程，接受新知识.非常感谢！您浏览到此文档。

14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册


a
b
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
利用公式把某些具有特殊 形式(如平方差式，完全平 方式等)的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做 公式法因式分解.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
判断下列各式是完全平方式吗？
a2 4a 22 (a 2)2
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例4 计算：
(1) 1002–2×100×99+99²；
解：(1)原式=(100–99)² =1.
(2) 342＋34×32＋162.
(2)原式＝(34＋16)2 ＝2500.
利用完全平方 公式分解因式， 可以简化计算.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
2a(x y)2
先纳总结 巩固提升 小结回顾
例2 因式分解
（2） 16a4 8a2b2 b4 解：原式 (4a2 )2 2 4a2 b2 (b2 )2
(4a2 b2 )2 [(2a b)(2a b)]2 (2a b)2 (2a b)2
因式分解 步骤方法
先提公因式→一提 再用公式→二用 继续分解→三查
例2 因式分解
（5） ( p 1)( p 4) p 解：原式 p2 4 p p 4 p
p2 4p 4 ( p 2)2
无提无公式， 展开合并 再观察。
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例3 已知: a2+b2+2a–4b+5=0，求 2a2+4b–3的值.
解：∵a2+b2+2a–4b+5=0
∴ 2a2+4b–3

因式分解——公式法完全平方公式人教版八年级数学上册课件


；
（2）4b2-4ab+a2= （2b-a）2
；
（3）9x2-12x+4=
（3x-2）2
；
（4）4b2-20ab+25a2=
（2b-5a）2
.
12. 下列各式中，不能用完全平方公式分解的
个数为（ C ）
①x2-10x+25；②4a2+4a-1；③x3-2x-1；
④m2-m+ ；⑤4x4-x3+ .
原式＝4x2-12xy+9y2＝（2x-3y）2．
16. 已知：△ABC 的三边分别为 a，b，c，且满 足 a2+2b2+c2=2b（a+c）. 求证：△ABC 为等
边三角形.
证明：因为a2+2b2+c2=2b（a+c）， 所以（a-b）2+（c-b）2=0. 所以a=b=c，即△ABC为等边三角形.
（1）9x2-6x+1=
（3x-1）2
；
（2）9a2+24ab+16b2= （3a+4b）2
.
7. （例 3）分解因式：
（1）5mx2-10mxy+5my2；
原式＝5m（x-y）2.
（2）-2x3+12x2-18x.
原式＝-2x（x-3）2.
方法提升：用完全平方公式分解因式的步骤： ①提取公因式；
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
二级能力提升练
13. 分解因式：
（1）x3-2x2+x；
原式＝x（x-1）2.
（2）2b2-4ab+2a2；
原式＝2（b-a）2.

人教版初二数学上册《因式分解完全平方公式PPT课件》

两个数的平方和，加上（ 或减去）这两数的积的2 倍，等于这两个数的和 （或差）的平方．
问题2：如何用符号表示完 全平方公式？
a2+2ab+b2=(a+b)2，
a2-2ab+b2=(a-b)2．
今天我们就来研究用完全平方公式分解因式
下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）4a2+2ab+ b2 （4）a2-ab+b2（5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25
B、6a-9-a2=-(a-3)2 C、1+4m-4m2=(1-2m)2 D、x2+xy+y2=(x+y)2
3、分解因式：
(1)a2-10a+25 (2)-3x2+6xy-3y2 (3)3ax2+6axy+3ay2 (4)(a+b)2-12(a+b)+36ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2(a-b)2．
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因式分解
问题1、根据学习用平方差 公式分解因式的经验和方法， 分析和推测什么叫做运用完全平 方公式分解因式？
将整式乘法的平方差公式反 过来写即是分解因式的平方差公 式．同样道理，把整式乘法的完 全平方公式反过来写即分解因式 的完全平方公式．
2、能够用完全平方公式 分解因式的多项式具有什 么特点？
= - (x-2y)2
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2-12(a+b)+36.
1、下列多项式中，是完全平方式的 是( ) A、x2-6x-9 B、a2-16a+3

新人教版初中数学八年级上册14.3.2第2课时运用完全平方公式因式分解2公开课优质课教学设计

第2课时运用完全平方公式因式分解教学目标1．使学生理解用完全平方公式分解因式的原理。

2．使学生初步掌握适合用完全平方公式分解因式的条件，会用完全平方公式分解因式。

重点难点重点：让学生会用完全平方公式分解因式。

难点：让学生识别并掌握用完全平方公式分解因式的条件。

教学过程一、引入新课我们知道，因式分解是整式乘法的反过程。

倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法；运用平方差公式法。

现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用分解因式呢？在前面我们共学过三个乘法公式：平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b2。

完全平方公式：(a±b) 2= a2±2ab+ b2.这节课，我们就要讲用完全平方公式分解因式。

二、新课讲解1．将完全平方公式倒写：a2+2ab+ b2=(a+b) 2，a2–2ab+ b2=(a–b) 2。

便得到用完全平方公式分解因式的公式。

2．分析上面两个等式的左边，它们都有三项，其中两项符号为“+”是一个整式的平方，还有一项呢，符号可“+”可“–”，它是那两项幂的底的乘积两倍。

凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方。

将它写成平方形式，便实现了因式分解。

例如 x2 + 6x + 9↓↓↘=(x) 2+2(3)(x)+(3) 2=(x+3) 2.4 x 2 – 20x + 25↓ ↓ ↘=(2x) 2 – 2(2x)(5) + (5) 2=(2x+5) 2.3．范例讲解例4 把25x 4+10x 2+1分解因式。

[教学要点]按前面的分析，让学生先找两个平方项，写出这两个二次幂：25x 4=(5x 2) 2,1=12.再将另一项写成前述两个幂的底的积的二倍：10x 2=2•（5x 2）•1，原式便可以写成(5x 2+1) 2.可以问学生，如果题中第二项前面带“–”好呢？是否可用完全平方公式：仍可用完全平方公式，得出的是(5x 2–1)的平方。

例5 把–x 2–4y 2+4xy 分解因式。

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第2课时 完全平方公式
1.利用平方差公式分解因式 a2－b2=（a+b)(a-b) 2.分解因式应注意的问题 （1）左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式.
（2）因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考虑用公式.
（3）因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.
我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，逆用 乘法公式，我们学习了因式分解的两种方法：提取公 因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还
（2）、（4）、（5）都不是
例1分解因式：(1) 16x2+24x+9
16x2+24x+9= (4x)2+ 2· 4x· 3 +32
a· b + b2 a2 + 2 ·
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32
=(4x+3)2.
例2:
分解因式：(2) –x2+4xy–4y2.
多项式 a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？
这两个多项式是两个数的平方和加上（或减去） 这两个数的积的2倍，这恰是两个数和或差的平方。
我们把 a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完
全平方式。
下列各式是不是完全平方式？ 方法总结：分解因式的完全 2 （1）a -4a+4 平方公式， （2）x2+4x+4y2 1左边是一个二次三项式，
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2
练习
把下列完全平方式分解因式：
（1）-x2-14x-49;
（2）(m+n)2－6（m +n）+9.
2.把下列多项式因式分解. （3）x2－12xy+36y2. （4）16a4+24a2b2+9b4.
（5）－2xy－x2－y2.
（6）4－12（x－y）+9（x－y）2.
有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
如何用符号表示完全平方公式？
把整式乘法的完全平方公式
(a b) 2 a 2 2ab b2 (a b) 2 a 2 2ab b2
的等号两边互换位置，就得到
a 2 2ab b2 （a b)2 a 2 2ab b2 （a - b)2
解：(2) –x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
= -[x2-2· x· 2y+(2y)2]
= - (x-2y)2
先提公因 式3a
例3: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2-12(a+b)+36.
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36 =(a+b)2-2· (a+b)· 6+62 =(a+b-6)2.
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积 的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 今天我们就来研究用完全平方公式分解因式
下列各式是不是完全平方式？ 方法总结：分解因式的 （1）a2-4a+4 完全平方公式，左边是 一个二次三项式，其中 （2）x2+4x+4y2 有两个数的平方和还有 1 （3）4a2+2ab+ 4 b2 这两个数的积的2倍或这 两个数的积的2倍的相反 （4）a2-ab+b2 数，符合这些特征，就 （5）x2-6x-9 可以化成右边的两数和 （或差）的平方．从而 （6）a2+a+0.25 达到因式分解的目的．
1 （3）4a2+2ab+ 4 b2
2有两个数的平方和 3还有这两个数的积的2倍 符合这些特征，就可以化成 右边的两数和（或差）的平 方．
（4）a2-ab+b2
（5）x2-6x-9
（6）a2+a+0.25
（2）、（4）、（5）都不是

1：如何用符号表示完全平方公式？ a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2(a-b)2． 2：完全平方公式的结构特点是什么？ 分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项 式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的 2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特 征，就可以化成右边的两数和（或差）的平 方．从而达到因式分解的目的．
课后练习
见《学练优》本课练习“课后巩固提升 ”