变点统计分析

变异设计基础知识点总结一、什么是变异设计？变异设计是一种统计学方法，用于评估某个因素对实验结果的影响。

通过对试验对象中的一部分进行有目的的变异（即处理），并与未经变异的对象（对照组）进行比较，可以确定因素对试验结果的影响程度。

二、变异设计的基本原理变异设计基于以下基本原理：1. 处理与对照组的比较：变异设计通过对试验对象进行处理，并与未经处理的对照组进行比较，以评估处理对结果的影响。

2. 随机分组：为了避免因个体差异而引入偏差，变异设计常采用随机分组的方式将试验对象分为处理组和对照组。

3. 重复测试：为了提高结果的可靠性和统计显著性，变异设计需要对每个处理进行重复测试。

4. 控制其他因素：为了确保变异设计的准确性，需要控制和记录其他可能影响实验结果的因素，以排除其干扰。

三、常见的变异设计类型根据实验目的和设计要求，常见的变异设计类型包括：1. 完全随机化设计：试验对象通过随机分组分为处理组和对照组，每个组内的个体接受不同的处理。

适用于基本情况下的处理比较。

2. 阻滞设计：试验对象按照一定规则分为处理组和对照组，以避免处理效应和时间效应相互干扰。

适用于长期观察和复杂条件下的处理比较。

3. 因子设计：根据实验目的，考虑多个因素对试验结果的综合影响，通过对试验对象进行多重处理，以评估多个因素的效应。

适用于需要同时研究多个因素的情况。

四、变异设计的统计分析变异设计通常采用方差分析（ANOVA）进行统计分析。

通过对处理组和对照组之间的差异进行比较，可以确定处理对实验结果的影响是否显著。

五、变异设计的优势与局限1. 优势：- 可以评估处理对实验结果的直接影响，有利于确定因素的效应大小。

- 可以通过随机分组和重复测试来控制个体差异和结果的变异。

- 可以同时考虑多个因素的综合效应，有利于综合评估实验结果。

2. 局限：- 变异设计无法解释因果关系，只能确定因素对实验结果的统计显著性。

- 变异设计可能受到其他未考虑的因素的干扰，导致结果的偏差。

Excel数据分析中常用的统计图表类型与应用场景Excel是一款功能强大的数据分析工具，广泛应用于各行各业。

在Excel中，统计图表是一种直观、易于理解的数据展示方式，能够帮助我们更好地理解数据、发现规律、做出决策。

本文将介绍Excel数据分析中常用的统计图表类型及其应用场景。

一、柱状图柱状图是一种用于比较不同类别之间数据差异的图表类型。

它通过柱形的高度来表示数据的大小，可以清晰地展示数据的分布情况。

柱状图适用于展示不同时间点、不同地区、不同产品等之间的数据对比。

例如，在销售数据分析中，我们可以使用柱状图来比较不同产品的销售额，从而找出销售额最高的产品，有针对性地制定销售策略。

二、折线图折线图是一种用于展示数据随时间变化趋势的图表类型。

它通过连接各个数据点的线段来表示数据的变化情况，可以直观地展示数据的趋势和周期性。

折线图适用于展示销售额、股票价格、气温等随时间变化的数据。

例如，在股票分析中，我们可以使用折线图来观察股票价格的波动情况，判断股票的走势，做出投资决策。

三、饼图饼图是一种用于展示数据占比的图表类型。

它通过扇形的面积来表示数据的比例，可以直观地展示各个类别的重要性和占比。

饼图适用于展示不同产品销售额占比、不同地区人口比例等。

例如，在市场份额分析中，我们可以使用饼图来展示各个竞争对手的市场份额，从而了解市场竞争格局。

四、散点图散点图是一种用于展示两个变量之间关系的图表类型。

它通过绘制数据点在坐标系中的位置来表示两个变量的关系，可以帮助我们发现变量之间的相关性。

散点图适用于研究变量之间的相关性、趋势和异常值。

例如，在销售数据分析中，我们可以使用散点图来观察广告投入和销售额之间的关系，判断广告对销售的影响。

五、雷达图雷达图是一种用于展示多个变量之间相对关系的图表类型。

它通过绘制多边形的边来表示各个变量的取值，可以直观地比较不同变量的重要性和差异。

雷达图适用于比较多个指标的得分、评估不同方案的优劣等。

统计概率新泰一中 闫辉例1 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？ （2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？ 解 （1）依题意知第三组的频率为1464324+++++=51，又因为第三组的频数为12， ∴本次活动的参评作品数为5112=60.（2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×1464326+++++=18（件）.（3）第四组的获奖率是1810=95，第六组上交的作品数量为 60×1464321+++++=3（件），∴第六组的获奖率为32=96，显然第六组的获奖率高.例2（14分）某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min 抽取一包产品，称其重量，分别 记录抽查数据如下： 甲：102， 101， 99， 98， 103， 98， 99； 乙：110，115，90，85，75，115，110.（1）这种抽样方法是哪一种？ （2）将这两组数据用茎叶图表示；（3）将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定. 解 （1）因为间隔时间相同，故是系统抽样.2分（2）茎叶图如下：5分（3）甲车间： 平均值：1x =71（102+101+99+98+103+98+99）=100，7分 方差：s 12=71［（102-100）2+（101-100）2+…+（99-100）2］≈3.428 6.9分乙车间：平均值：2x =71（110+115+90+85+75+115+110）=100，11分 方差：s 22=71［（110-100)2+（115-100)2+…+（110-100)2］≈228.571 4.13分 ∵1x =2x ，s 12＜s 22,∴甲车间产品稳定.14分1.为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.（1）求第四小组的频率；（2）参加这次测试的学生人数是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？解 （1）第四小组的频率=1-(0.1+0.3+0.4)=0.2. (2)设参加这次测试的学生人数是n , 则有n =第一小组频率第一小组频数=5÷0.1=50（人）.（3）因为0.1×50=5,0.3×50=15,0.4×50=20,0.2×50=10，即第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5、15、20、10，所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.2.从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：（单位：分） ［40，50），2；［50，60），3；［60，70），10；［70，80），15； ［80，90），12；［90，100］，8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图；（3）估计成绩在［60，90）分的学生比例； （4）估计成绩在85分以下的学生比例.解 （1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图所示.（3）成绩在［60，90）的学生比例即为学生成绩在［60，90）的频率，即为（0.20+0.30+0.24）×100%=74%. （4）成绩在85分以下的学生比例即为学生成绩不足85分的频率. 设相应的频率为b . 由808560.0--b =809060.084.0--，故b =0.72.估计成绩在85分以下的学生约占72%.一、填空题1.下列关于频率分布直方图的说法中不正确的是 . ①直方图的高表示取某数的频率②直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 ③直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值④直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值 答案 ①②③2.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…… 第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ,成绩大于等于15秒且小于17秒的学 生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 . 答案 0.9,353.(2009·启东质检)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎，部分数据丢失，但知道前四组的频数成等比数列，后六组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视 力在4.6到5.0之间的学生数为b ,则a ,b 的值分别为 .答案 0.27，784.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则x 甲 x 乙， 比 稳定. 答案 ＜ 乙 甲 二、解答题5.在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）求这两个班参赛的学生人数是多少？（3）这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？（不必说明理由）解 （1）各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05. ∴第二小组的频率为：1.00-（0.30+0.15+0.10+0.05）=0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高=组距频率=1040.0=0.04.则补全的直方图如图所示.（2）设九年级两个班参赛的学生人数为x 人. ∵第二小组的频数为40人，频率为0.40， ∴x40=0.40，解得x =100（人）.所以九年级两个班参赛的学生人数为100人.（3）因为0.3×100=30,0.4×100=40,0.15×100=15,0.10×100=10,0.05×100=5,即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.6.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ （3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由. 解 （1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为：391517424+++++=0.08.又因为频率=样本容量第二小组频数，所以样本容量=第二小组频率第二小组频数=08.012=150.（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为39151742391517++++++++×100%=88%.（3）由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.7.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50； 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，59. （1）制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较；（2）计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和稳定性； （3）能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么？ 解 （1）制作茎叶图如下：从茎叶图上可看出，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.（2）x 甲=33，2甲s ≈127.23，x 乙=27，2乙s ≈199.09，∴x 甲＞x 乙, 2甲s ＜2乙s ，∴甲运动员总体水平比乙好，发挥比乙稳定.（3）不能说甲的水平一定比乙好，因为上述是甲、乙某赛季的得分情况，用样本估计总体也有一定的偶然性，并不能说一定准确反映总体情况.线性回归方程1.为了考察两个变量x 、y 之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l 1和l2.已知在两人的试验中发现变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ,变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t ,那么下列说法中正确的是 （填序号）. ①直线l 1,l 2有交点（s ,t )②直线l 1,l 2相交，但是交点未必是(s ,t ) ③直线l 1,l 2由于斜率相等，所以必定平行 ④直线l 1,l 2必定重合 答案 ① 2.下列有关线性回归的说法，正确的是 （填序号）. ①相关关系的两个变量不一定是因果关系 ②散点图能直观地反映数据的相关程度③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 ④任一组数据都有回归直线方程 答案 ①②③ 3.下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线yˆ=b ˆx +a ˆ及回归系数b ˆ,可以估计和预测变量的取值和变化趋势. 其中正确命题的序号是 . 答案 ①②③4.已知回归方程为yˆ=0.50x -0.81,则x =25时，y ˆ的估计值为 . 答案 11.691.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据.（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程yˆ=b ˆx +a ˆ； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？基础自测（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解 （1）散点图如下图:（2）x =46543+++=4.5,y=45.4435.2+++=3.5∑=41i iiy x=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.∑=412i ix=32+42+52+62=86∴bˆ=24124144xx yx y xi i i i i-∙-∑∑===25.44865.45.345.66⨯-⨯⨯-=0.7aˆ =y -bˆx =3.5-0.7×4.5=0.35. ∴所求的线性回归方程为yˆ=0.7x +0.35. （3）现在生产100吨甲产品用煤 y =0.7×100+0.35=70.35，∴降低90-70.35=19.65(吨)标准煤.2.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ （3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？解 （1）n =6，∑=61i ix=21，∑=61i iy=426，x =3.5,y=71,∑=612i ix =79，∑=61i ii yx =1 481，bˆ=26126166xxyx y xi ii i i-∙-∑∑===25.3679715.364811⨯-⨯⨯-=-1.82.aˆ=y-bˆx =71+1.82×3.5=77.37. 回归方程为yˆ=a ˆ+b ˆx =77.37-1.82x . （2）因为单位成本平均变动bˆ=-1.82＜0,且产量x 的计量单位是千件,所以根据回归系数b 的意义有: 产量每增加一个单位即1 000件时,单位成本平均减少1.82元. (3)当产量为6 000件时,即x =6,代入回归方程:yˆ=77.37-1.82×6=66.45（元） 当产量为6 000件时，单位成本为66.45元.1.（2009.湛江模拟）某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y (cm)与年龄x (岁)的回归模型为yˆ=8.25x +60.13,下列叙述正确的是 .①该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm ②该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm ③该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm④利用这个模型可以准确地预算该地区每个2～9岁儿童的身高 答案 ②2.已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元），有如下统计资料：若y 对x 呈线性相关关系，则回归直线方程yˆ=b ˆx +a ˆ表示的直线一定过定点 . 答案 （4，5）统计案例例1 （14分）调查339名50岁以上人的吸烟习惯与患慢性气管炎的情况，获数据如下：试问：（1）吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关？ （2）用假设检验的思想给予证明. （1）解 根据列联表的数据，得到χ2=))()()(()(2c d b d c a b a bc ad n ++++- 2分=13428356205)1316212143(3392⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=7.469＞6.635 6分 所以有99%的把握认为“吸烟与患慢性气管炎有关”.9分（2）证明 假设“吸烟与患慢性气管炎之间没有关系”，由于事件A ={χ2≥6.635}≈0.01，即A 为小概率事件，而小概率事件发生了，进而得假设错误，这种推断出错的可能性约有1%.14分1.某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由.解 （1）随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18+6=24人，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P 1=5024=2512，又因为不太主动 参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P 2=5019.（2）由2χ统计量的计算公式得2χ=25252624)761918(502⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈11.538，由于11.538＞10.828，所以可以有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”.2.某种书每册的成本费y （元）与印刷册数x （千册）有关，经统计得到数据如下：检验每册书的成本费y 与印刷册数的倒数x1之间是否具有线性相关关系，如有，求出y 对x 的回归方程.解 首先作变量置换，令u =x1,题目所给数据变成如下表所示的10对数据：然后作相关性检验.经计算得r ≈0.999 8＞0.75，从而认为u 与y 之间具有线性相关关系.由公式得aˆ≈1.125,b ˆ≈8.973, 所以yˆ=1.125+8.973u , 最后回代u =x1,可得y ˆ=1.125+x973.8,这就是题目要求的y 对x 的回归曲线方程.回归曲线的图形如图所示，它是经过平移的反比例函数图象的一个分支.1.工人月工资y （元）依劳动生产率x (千元）变化的回归方程为yˆ=50+80x ，下列判断正确的是 . ①劳动生产率为1 000元时，工资为130元 ②劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高80元 ③劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高130元 ④当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元 答案 ②2.下面是2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为 . 答案 52，743.在一次对性别与说谎是否有关的调查中，得到如下数据：根据表中数据，得到如下结论中不正确的是 . ①在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关 ②在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关 ③在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关 ④在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关 答案 ①②③ 答案 5%4.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天的结果如下表所示：进行统计分析时的统计假设是: . 答案 小白鼠的死亡与剂量无关 二、解答题5.在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况，其二维条形图如图： （1）写出2×2列联表； （2）判断晕机与性别是否有关？ 解 （1）（2）2χ=80309020)10702010(1102⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈6.366＞5.024，故有97.5%的把握认为“晕机与性别有关”.6.在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关？你所得到的结论在什么范围内有效？解 根据题目所给的数据作出如下的列联表：根据列联表作出相应的二维条形图：从二维条形图来看，在男人中患色盲的比例为48038，要比女人中患色盲的比例5206大.其差值为520648038-≈0.068，差值较大.因而，我们可以认为“患色盲与性别是有关的”. 根据列联表所给的数据可以有a =38,b =442,c =6,d =514,a +b =480,c +d =520, a +c =44,b +d =956,n =1 000, 由2χ=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-=95644520480)442651438(00012⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈27.1.由27.1＞10.828，所以我们有99.9%的把握认为患色盲与性别有关系，这个结论只对所调查的480名男人和520名女人有效.7.（16分）从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm ） 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 1644 27 44 16 40 40 16 40问：（1）哪种玉米的苗长得高？ （2）哪种玉米的苗长得齐？ 解 （1）x 甲=101（25+41+40+37+22+14+19+39+21+42）=101×300=30 （cm ）,x乙=101（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=101×310=31(cm).∴x 甲＜x 乙，即乙种玉米的苗长得高.（2）2甲s =101［（25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2］=101 (25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)=101×1 042=104.2 (cm 2),2乙s =101［（27-31)2×2+（16-31)2×3+（44-31)2×2+（40-31)2×3］=101×1 288=128.8 (cm 2).∴2甲s ＜2乙s .即乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐.。

统计基础分析知识点总结导论统计基础分析是用来描述、收集、整理和分析数据的一种数学方法。

统计基础分析是一种非常实用的技术，可以帮助人们理解数据的含义和趋势，并做出合理的推断和决策。

在现代社会中，统计基础分析被广泛应用于各种领域，包括商业、科学、医疗保健、金融等等。

统计基础分析主要包括描述统计和推断统计两个方面。

描述统计是指对数据进行整理、汇总和展示，以便更好地理解数据的特征。

推断统计是指在对一个或多个总体的特征进行推断时所依据的方法和技术。

在统计基础分析中，常用的方法包括频数分布、均值、标准差、相关性分析、回归分析等等。

在进行统计基础分析时，需要遵循一些基本原则。

首先，要选择适当的分析方法，根据数据的性质和要解决的问题来选择合适的统计方法。

其次，要注意数据的质量，确保数据的准确性和完整性。

另外，还需要注意数据的解释和推断，避免在数据分析中出现问题。

描述统计描述统计是对数据进行整理、汇总和展示，以便更好地理解数据的特征。

常用的描述统计方法包括频数分布、均值、标准差、相关性分析、回归分析等。

频数分布是对数据进行分组和计数的一种方法，通过频数分布可以直观地看出数据的分布情况和规律。

频数分布可以通过直方图、饼图等图表来展示，从而更好地理解数据的规律。

均值是一组数据的平均值，是数据集中趋势的一种描述。

均值可以用来表示数据的集中程度，在一些情况下也可以用来比较不同数据集之间的差异。

标准差是对数据集合中数据分散程度的一种度量，可以表示数据的离散程度。

相关性分析是用来研究两个或多个变量之间关系的一种统计方法，通过相关性分析可以了解变量之间的相关程度。

相关性分析常用的指标包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数等。

回归分析是用来研究两个或多个变量之间的因果关系的一种统计方法，通过回归分析可以建立变量之间的数学模型。

回归分析常用的方法包括线性回归、非线性回归等。

推断统计推断统计是在对一个或多个总体的特征进行推断时所依据的方法和技术。

高低点法的计算方法例题 -回复高低点法是一种常用于统计分析中的计算方法，主要用于确定某个数据序列中的最高点和最低点。

通过计算数据的波动情况，可以帮助我们更好地理解数据的趋势和变化规律。

本文将以一个具体的例题来介绍高低点法的计算方法，并提供详细的步骤和解释。

某公司在过去一年的时间里，每个月都记下了其销售额（以万元为单位）。

现在需要使用高低点法来计算该公司一年内销售额的最高点和最低点。

Step 1：收集数据首先，我们需要收集该公司过去一年内每个月的销售额数据。

假设数据如下表所示：月份销售额（万元）Step 2：找出最高点和最低点根据高低点法，我们需要找出数据序列中的最高点和最低点。

最高点表示销售额最高的月份，而最低点表示销售额最低的月份。

首先，我们可以一步步地查找数据序列中的最高点。

1月销售额为15万元，我们将其暂时标记为当前最高点。

2月销售额为12万元，小于当前最高点，不做任何操作。

3月销售额为18万元，大于当前最高点，更新最高点为18万元。

以此类推，直到遍历完整个数据序列。

接下来，我们再找出数据序列中的最低点。

1月销售额为15万元，我们将其暂时标记为当前最低点。

2月销售额为12万元，小于当前最低点，更新最低点为12万元。

以此类推，直到遍历完整个数据序列。

Step 3：计算结果经过以上两个步骤，我们已经找到了该公司一年内销售额的最高点和最低点。

根据例题数据，最高点为22万元，出现在8月；最低点为10万元，出现在4月。

通过以上例题的计算，我们可以发现高低点法在确定数据序列最高点和最低点方面的有效性。

通过查找并比较各数据，我们可以准确地找出最高和最低值，有助于我们更好地理解数据的波动情况和趋势。

高低点法的优势在于简单易懂，适用于各种类型的数据序列分析。

然而，需要注意的是，高低点法只能确定局部的最高点和最低点，并不能完全代表整个数据序列的波动情况。

因此，在进行数据分析时，我们还需要结合其他方法和工具来获得更全面的数据分析结果。

第84讲成对数据的统计分析知识梳理知识点一、变量间的相关关系1、变量之间的相关关系当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫相关关系．由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用．我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断．注意：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2、散点图将样本中的n 个数据点(,)(1,2,,)i i x y i n =⋅⋅⋅描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图．根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系．（1）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关，如图（1）所示；（2）如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关，如图（2）所示．3、相关系数若相应于变量x 的取值i x ，变量y 的观测值为(1)i y i n ≤≤，则变量x 与y的相关系数()nnii iixx y y x ynx yr ---==∑∑通常用r 来衡量x 与y 之间的线性关系的强弱，r 的范围为11r -≤≤．（1）当0r >时，表示两个变量正相关；当0r <时，表示两个变量负相关．（2）r 越接近1，表示两个变量的线性相关性越强；r 越接近0，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系．当||1r =时，所有数据点都在一条直线上．（3）通常当0.75r >时，认为两个变量具有很强的线性相关关系．知识点二、线性回归1、线性回归线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法．对于一组具有线性相关关系的数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），其回归方程y bx a =+ 的求法为1122211()()nni i i ii i nni i i i x x y y x ynx yb x x x nxa y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 其中，11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑，（x ，y ）称为样本点的中心．2、残差分析对于预报变量y ，通过观测得到的数据称为观测值i y ，通过回归方程得到的 y 称为预测值，观测值减去预测值等于残差，ˆi e称为相应于点(,)i i x y 的残差，即有ˆi e =ˆi i y y -．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．（1）残差图通过残差分析，残差点()ˆ,i i x e比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适．（2）通过残差平方和21ˆ()ni i i Q y y==-∑分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反之，不合适．（3）相关指数用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：22121ˆ()1()nii i n ii yyR yy ==-=--∑∑．2R 越接近于1，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好．知识点三、非线性回归解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将陌生的非线性回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程．求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误．1、建立非线性回归模型的基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）；（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；（6）消去新元，得到非线性回归方程；（7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．知识点四、独立性检验1、分类变量和列联表（1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．（2）列联表：①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．②2×2列联表．一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{1x ，2x }和{1y ，2y }，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为1y 2y 总计1x aba b2x cd c d+总计a c+b d+n a b c d=+++从22⨯列表中，依据a a b +与cc d+的值可直观得出结论：两个变量是否有关系．2、等高条形图（1）等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征．（2）观察等高条形图发现a a b +与cc d+相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．3、独立性检验计算随机变量22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++利用2χ的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为χ2独立性检验．α0．100．050．0100．0050．001x α2．7063．8416．6357．87910．828【解题方法总结】常见的非线性回归模型（1）指数函数型x y ca =（0a >且1a ≠，0c >）两边取自然对数，()ln ln x y ca =，即ln ln ln y c x a =+，令ln y yx x '=⎧⎨'=⎩，原方程变为ln ln y c x a ''=+，然后按线性回归模型求出ln a ，ln c ．（2）对数函数型ln y b x a=+令ln y y x x'=⎧⎨'=⎩，原方程变为y bx a ''=+，然后按线性回归模型求出b ，a ．（3）幂函数型ny ax =两边取常用对数，()lg lg n y ax =，即lg lg lg y n x a =+，令lg lg y y x x'=⎧⎨'=⎩，原方程变为lg y nx a ''=+，然后按线性回归模型求出n ，lg a ．（4）二次函数型2y bx a=+令2y y x x'=⎧⎨'=⎩，原方程变为y bx a ''=+，然后按线性回归模型求出b ，a ．（5）反比例函数型b y a x=+型令1y y x x '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，原方程变为y bx a ''=+，然后按线性回归模型求出b ，a ．必考题型全归纳题型一：变量间的相关关系例1．（2024·河北·高三校联考期末）下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是（）A ．B．C．D ．例2．（2024·天津蓟州·高三校考开学考试）对两个变量x ，y 进行线性相关检验，得线性相关系数10.8995r =，对两个变量u ，v 进行线性相关检验，得线性相关系数20.9568r =-，则下列判断正确的是（）A ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关，变量x 与y 的线性相关性较强B ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关，变量x 与y 的线性相关性较强C ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关，变量u 与v 的线性相关性较强D ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关，变量u 与v 的线性相关性较强例3．（2024·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）在如图所示的散点图中，若去掉点P，则下列说法正确的是（）A．样本相关系数r变大B．变量x与变量y的相关程度变弱C．变量x与变量y呈正相关D．变量x与变量y的相关程度变强变式1．（2024·四川成都·高三统考阶段练习）已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着重要意义．某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果．相关指数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好．依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（）A．相关指数误差平方和均方根值0.9498.4910.499B．相关指数误差平方和均方根值0.933 4.1790.436C．相关指数误差平方和均方根值0.997 1.7010.141D．相关指数误差平方和均方根值0.997 2.8990.326变式2．（2024·高三课时练习）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表:甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则能体现A，B两变量有更强的线性相关性的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁变式3．（2024·河北石家庄·统考三模）观察下列四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（）A．B．C．D．变式4．（2024·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数r，则线性相关程度最高的是（）甲乙丙丁r0.870.910.580.83A．甲B．乙C．丙D．丁变式5．（2024·全国·高三专题练习）给出下列有关线性回归分析的四个命题：x y；①线性回归直线未必过样本数据点的中心()②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；r 时，两个变量正相关；③当相关系数0④如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1.其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题方法总结】判定两个变量相关性的方法（1）画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．（2）样本相关系数：当r >0时，正相关；当r <0时，负相关；|r |越接近于1，相关性越强．（3）经验回归方程：当ˆ>0b时，正相关；当ˆ<0b 时，负相关．题型二：一元线性回归模型例4．（2024·天津蓟州·高三校考开学考试）为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数(x 天)3456繁殖个数(y 千个)2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为 0.7y x a=+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（）A ．4.9B ．5.25C ．5.95D ．6.15例5．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计：年份20182019202020212022年份代码x 12345年人均借阅量y （册）1y 2y 162228（参考数据：5190i i y ==∑）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量y 关于年份代码x 的回归分析模型为 5y x m =+，则2024年的年人均借阅量约为（）A ．31B ．32C ．33D ．34例6．（2024·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知x ，y 的对应值如下表所示：x2468y 11m +21m +33m +11若y 与x 线性相关，且回归直线方程为 1.60.6y x =+，则m =（）A ．2B ．3C ．4D ．5变式6．（2024·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数x （单位：箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 102030406080y1y 2y 3y 4y 5y 6y (1)根据散点图可以认为x 与y 之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出线性回归方程ˆˆˆybx a =+（ˆa ，ˆb 用分数表示）(2)某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200元/箱的价格销售给当地小商贩．据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为110，15，12，15，根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情况．（最后结果精确到个位）附：()()61790i i i x x y y =--=∑，6154i i y ==∑，在线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+中()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．变式7．（2024·江西·高三统考开学考试）某新能源汽车销售部对今年1月至7月的销售量进行统计与分析，因不慎丢失一些数据，现整理出如下统计表与一些分析数据：月份1月2月3月4月5月6月7月月份代号x1234567销售量y （单位：万辆）15.6m ns37.739.644.5其中31.2y =.(1)若m ，n ，s 成递增的等差数列，求从7个月的销售量中任取1个，月销售量不高于27万辆的概率；(2)若()721670.48i i y y =-=∑，x 与y 的样本相关系数0.99r =，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测今年8月份的销售量（ˆb 精确到0.1）.附：相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii niix x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.2.65≈25.89≈.变式8．（2024·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6~22℃℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数y （颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8~14℃℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：其中24y =，71()()70i i i x x y y =--=∑，721()=176i i y y =-∑．(1)运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并预测在19℃的温度下，种子的发芽的颗数．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑y bx a =+$$$，其中121((niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$8.77≈．变式9．（2024·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积花分为400个区块，从中随机抽取40个区块，得到样本数据(),i i x y （1,2,,40i = ），部分数据如下：x … 2.7 3.6 3.2 3.9…y…50.663.752.154.3…经计算得：401160==∑i i x ，4012400==∑i i y ，()4021160=-=∑i i x x ，()()4011280=--=∑i i i x x y y .(1)利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；(2)该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致.设前者与后者的斜率分别为1k ，2k ，比较1k ，2k 的大小关系，并证明.附：y 关于x 的回归方程 y abx =+ 中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-$$，ni ix y nx yr -=∑【解题方法总结】求经验回归方程的步骤题型三：非线性回归例7．（2024·湖南·校联考模拟预测）若需要刻画预报变量w 和解释变量x 的相关关系，且从已知数据中知道预报变量w 随着解释变量x 的增大而减小，并且随着解释变量x 的增大，预报变量w 大致趋于一个确定的值，为拟合w 和x 之间的关系，应使用以下回归方程中的（0b >，e 为自然对数的底数）（）A ．w bx a=+B ．ln w b x a=-+C ．w a=-D ．e xw b a-=+例8．（2024·全国·高三专题练习）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x 的关系可以用模型21e c xy c =（其中e 为自然对数的底数）拟合，设ln z y =，得到数据统计表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模y /千万元7.4112036.666.7ln z y=22.433.64由上表可得经验回归方程0.52z x a =+，则2025年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为（）A ． 5.08e B ． 5.6e C ． 6.12e D ． 6.5e例9．（多选题）（2024·福建厦门·厦门一中校考三模）在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（）A ．212y c x c x=+B ．12x c y x c +=+C ．()12ln y c x c =++D ．21x c y c e+=变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知变量的关系可以用模型e mx y k =拟合，设ln z y =，其变换后得到一组数据如下．由上表可得线性回归方程3z x a =+，则k =（）x 12345z2451014A ．3e -B ．2e -C ．2e D ．3e 变式11．（2024·全国·高三专题练习）某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y a bx =+B ．()20y a bx b =+>C ．e xy a b =+D ．ln y a b x=+变式12．（2024·全国·高二专题练习）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格（单位：Q 元/千克）与上市时间t （单位：天）的数据如下表所示：时间t /（单位：天）102070销售价格Q （单位：元/千克）10050100根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q 与上市时间t 的变化关系：2,,,log t b Q at b Q at bt c Q a b Q a t =+=++=⋅=⋅.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为（）A ．6月5日B ．6月15日C ．6月25日D ．7月5日变式13．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x （单位：mg ），体内抗体数量为y （单位：AU/mL ）.101i ii t z=∑101ii t=∑101ii z=∑1021ii t=∑29.2121634.4(1)根据经验，我们选择d y cx =作为体内抗体数量y 关于抗体药物摄入量x 的回归方程，将d y cx =两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，可以看出ln x 与ln y 具有线性相关关系，试根据参考数据建立y 关于x 的回归方程，并预测抗体药物摄入量为25mg 时，体内抗体数量y 的值；(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z 大幅提高，经试验统计得z 服从正态分布()20.48,0.03N :，那这种抗体药物的有效率z 超过0.54的概率约为多少？附：①对于一组数据()(),1,2,,10i i u v i =L ，其回归直线 vu a β=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ1221ni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑， av u β=- ；②若随机变量()2~,Z N μσ，则有()0.6826P Z μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+≈，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+≈；③取e 2.7≈.变式14．（2024·江西赣州·高三校考阶段练习）为了研究某种细菌随天数x 变化的繁殖个数y ，收集数据如下：天数x 123456繁殖个数y612254995190(1)在图中作出繁殖个数y 关于天数x 变化的散点图，并由散点图判断ˆˆy bxa =+（ ˆ,ab 为常数）与 21e ˆc xc y =（ 12,c c 为常数，且 120,0c c >≠）哪一个适宜作为繁殖个数y 关于天数x 变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程 21e ˆc xc y =（ 12,c c 为常数，且 120,0c c >≠），令ln z y =，可以得到繁殖个数的对数z 关于天数x 具有线性关系及一些统计量的值．xyz()621ii x x =-∑()()61ii i xx y y =--∑()()61ii i xx z z =--∑3.5062.83 3.5317.50596.5712.09（ⅰ）证明：“对于非线性．．．回归方程 21e ˆc x c y =，令ln z y =，可以得到繁殖个数的对数z 关于天数x 具有线性．．关系（即ˆˆˆ,ˆˆ,z x βαβα=+为常数）”；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线方程ˆˆˆvu βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑．变式15．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在正常生产条件下，根据经验，可以认为化肥的有效利用率近似服从正态分布2(0.54,0.02)N ，而化肥施肥量因农作物的种类不同每亩也存在差异.(1)假设生产条件正常，记X 表示化肥的有效利用率，求(0.56)PX ≥；(2)课题组为研究每亩化肥施用量与某农作物亩产量之间的关系，收集了10组数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值.其中每亩化肥施用量为x （单位：公斤），粮食亩产量为y （单位：百公斤）参考数据：101i ii x y =∑101ii x =∑101ii y =∑1021ii x=∑101ii i t z =∑101ii t =∑101ii z =∑1021ii t=∑65091.552.51478.630.5151546.5ln i i t x =，ln (1i zi y i ==，2，⋯，10).（i ）根据散点图判断，y a bx =+与d y cx =，哪一个适宜作为该农作物亩产量y 关于每亩化肥施用量x 的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；（ii ）根据（i ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y 的值.(e 2.7)≈附：①对于一组数据(,)(1i i u v i =，2，3，⋯，)n ，其回归直线ˆˆˆvu βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121ˆni i i nii u v nuvunu β==-=-∑∑，ˆˆˆv u αβ=-；②若随机变量2(,)X N μσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈.变式16．（2024·重庆·高三校联考开学考试）某公司为了解年研发资金投入量x （单位:亿元）对年销售额y （单位:亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量xi 和年销售额yi 的数据，进行了对比分析，建立了两个模型:①2ˆˆy x αβ=+，②ˆˆe x t y λ+=$，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令()2,,l 1n ,2,3,,12i i i i x i u v y =⋅⋅⋅==，经计算得如下数据:xy()1221i i x x =-∑()1221i i y y=-∑uv20667724604.20()1221ii uu=-∑()()121iii u u y y =--∑()1221ii v v =-∑()()121iii x x v v =--∑312502153.0814(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?(2)（ⅰ）根据分析及表中数据，建立y 关于x 的回归方程;（ⅱ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元?附:①相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆy abx =+$中公式分别为()()()1122211ˆˆˆ，n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybay b x x x xnx====---⋅===-⋅--∑∑∑∑;②参考数据： 4.499830849.4868,e 90=⨯≈≈.变式17．（2024·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数y 与温度x 有关，现将收集到的温度i x 和产卵数()1,2,,10i y i = 的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.101ii x=∑101ii t=∑101ii y=∑101ii z=∑()1021ii x x =-∑36054.5136044384()1021ii tt=-∑()()101ii i tt y y =--∑()()101iii x x zz =--∑()()101iii x x y y =--∑3588326430表中1011ln ,10i i i ii t z y z z ====∑(1)根据散点图判断，,y a bx y n =+=+21e c xy c =哪一个适宜作为y 与x 之间的回归方程模型并求出y 关于x 回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.附：对于一组数据()()()1122,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑.变式18．（2024·广西南宁·南宁三中校考一模）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018－2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1-5．年份代码x12345车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0(1)由上表数据知，可用指数函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程；(2)根据上述数据求得y 关于x 的回归方程后，预测2024年的中国车载音乐市场规模．参考数据：v51i ii x v=∑0.524e 0.472e 71.61.9433.82 1.7 1.626.84其中ln i i v y =，5115i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，L ，(),n n u v 其回归直线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121ni ii ni i u v nu vu nuβ==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．变式19．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G 网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G 作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D ）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G 网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x （单位：元）与购买人数y （单位：万人）的数据如下表：套餐A B C D E F 月资费x （元）384858687888购买人数y （万人）16.818.820.722.424.025.5对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表：61iii v ω=∑61ii v=∑61ii ω=∑621ii v=∑75.324.618.3101.4其中ln ,ln i i i i v x y ω==，且绘图发现，散点()(),16i i v i ω≤≤集中在一条直线附近.(1)根据所给数据，求出y 关于x 的回归方程；(2)已知流量套餐受关注度通过指标()36x T x y +=来测定，当()8568,7e 5e T x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v v v ωωω ，其回归方程bv a ω=+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为()()()121ˆˆ,niii ni i v v ba bvv v ωωω==-⋅-==--∑∑.【解题方法总结】换元法变成一元线性回归模型题型四：列联表与独立性检验例10．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（）A ．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B ．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C ．样本中选择物理学科的人数较多D ．样本中男生人数少于女生人数例11．（2024·全国·高三专题练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的33+模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人）选物理不选物理总计男生340110450女生140210350总计480320800表一选生物不选生物总计男生150300450女生150200350总计300500800表二试根据小概率值0.005α=的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（）附:()222.n ad bc n a b c d P x a b c d a c b d αχαχ-==+++=≥++++（），（）（）（）（）α0.150.100.050.0250.010.0050.001ax 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．选物理与性别有关，选生物与性别有关B ．选物理与性别无关，选生物与性别有关C ．选物理与性别有关，选生物与性别无关D ．选物理与性别无关，选生物与性别无关例12．（2024·全国·高三专题练习）通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有16的男大学生“不看”，有13的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（）A ．150B ．170C ．240D ．175变式20．（2024·全国·高三专题练习）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为()*5m m ∈N 人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的45，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的35.零假设为0H ：喜欢短视频和性别相互独立.若依据0.05α=的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则m 的最小值为（）附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，附表：α0.050.01x α3.841 6.635A ．7B ．8C ．9D ．10变式21．（2024·全国·高三专题练习）在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表：优秀非优秀合计甲班人数50乙班人数20。

dic散斑点数统计程序一、引言散斑是指光束经过不规则的介质后，光的波前发生了畸变，形成了空间上的一系列亮暗相间的斑点。

在许多科学研究和工程应用中，对散斑点数进行统计是非常重要的。

本文将介绍一种名为dic散斑点数统计程序的方法，用于自动统计和分析散斑点数。

二、程序原理dic散斑点数统计程序基于Digital Image Correlation（DIC）算法，通过分析散斑图像中的亮暗相间的斑点，来获得散斑点的数目。

该程序包含以下几个步骤：1. 图像预处理：对散斑图像进行预处理，包括去噪、图像增强等，以提高后续分析的准确性和稳定性。

2. 特征提取：利用DIC算法，提取散斑图像中的特征点。

DIC算法是一种基于亮度信息的图像匹配算法，能够准确地匹配图像中的特征点。

3. 点数统计：根据提取到的特征点，进行点数统计。

程序将自动识别散斑点，并计算其数量。

4. 数据分析：将统计得到的散斑点数进行分析，如计算平均点数、点数分布等。

5. 结果输出：将统计和分析得到的结果输出为文本文档或图表形式，以便进一步的使用和研究。

三、程序优势dic散斑点数统计程序具有以下几个优势：1. 自动化：该程序能够自动识别和统计散斑点数，减少了人工统计的工作量和可能的误差。

2. 高效性：利用DIC算法，特征点的提取和匹配过程非常高效，能够在很短的时间内完成点数统计。

3. 准确性：DIC算法能够准确地匹配图像中的特征点，保证了统计结果的准确性。

4. 灵活性：该程序可以适用于不同类型的散斑图像，无论是单张图像还是连续图像序列。

5. 可扩展性：该程序可以根据需要进行功能扩展和改进，以满足不同应用场景的需求。

四、应用领域dic散斑点数统计程序在许多领域都有广泛的应用，包括材料科学、光学工程、地震学等。

以下是一些具体的应用案例：1. 材料科学：在材料的拉伸、压缩等力学性能测试中，散斑点数统计可以用于评估材料的变形和应变情况，进而分析材料的力学性质。