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对一类有理真分式函数不定积分求解方法的简略思考

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第３卷第１期　
２０１１年１月　
赤峰学院学报（科学教育版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｆｅｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｌｙ（ｓｃｉｅｎｃｅ＆ｅｄｕｃａｔｉｏｎ）　
Ｖｏ１．３　Ｎｏ．１　

Ｊａｎ．２０ｌ１　

对一类有理真分式函数不定积分求解方法的简略思考　
范云晔　
（无锡市广播电视大学，江苏无锡２１４０１１）　
摘要：通过两种缩放配凑法进行转换，对有理真分式函数的不定积分中无法直接分化为各个简单分　
式进行不定积分的一类有理真分式函数进行有效不定积分．　
关键词：有理真分式函数不定积分；缩放配凑法；乘（除）缩放配凑法；加（减）缩放配凑法　
中图分类号：Ｏ１７４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—３２３１（２０１　１）Ｏｌ一０００７－０２　

在数学分析中，不定积分的学习主要是为计算　
定积分服务．而在不定积分的知识中，有理分式函　数的不定积分具有非常重要的作用．譬如三角函数　的不定积分中有些题目可以通过万能公式转化为　有理函数不定积分，无理函数的不定积分也可以通　过根式有理化转换为有理函数不定积分．　般情况下，有理分式函数的不定积分总能　“积”出来．在研究有理分式函数的不定积分时，一　般都转化为研究多项式或有理真分式的不定积分．　而对有理真分式的不定积分，是经过对有理真分式　的分解，最后变成对各个简单分式进行积分．任何　有理真分式的积分都可归结为求以下两种比较简　单的有理真分式不定积分的形式（ｎＥＮ‘）：　（１）Ｊ而ｄｘ；（２）Ｊ　Ｍｐｘｘ＋＋Ｎｑ）　ｄｘ（ｐ　ｑ＜０）　而这两类不定积分最终可以得出下面丽种情　况：　ｒ　。　ｌ　ｌｎｌｘ－ａｌ＋Ｃ，ｎ＝ｌ　ｎ）Ｊ　－１　＋Ｃ，　（２）　Ｍ　ｘ＋Ｎ　ｄｘ＝』　ｄｘ　《（ｘ＋｝）＋ｑ一｝ｊ　即有理真分式函数不定积分总能用有理函数、　对数函数、反正切函数这三种初等函数表示．　有理真分式函数的不定积分中，有一类函数譬　如Ｊ　ｘ１％）（　１　１）ｄｘ无法直接分解成简单分式进行　积分，需要进行适当的改变才可以．笔者在这里就　简单的对这类有理函数的积分谈谈自己的一些简　单想法：通过对有理真分式进行适当的缩放配凑，　便得该有理真分式分解成看十简单分式，最终求出　其不定积分．　
对于这样的不定积分的求法，笔者称之为有理　
真分式函数不定积分的缩放配凑法．这种方法主要　
分两类形式：（１）乘（除）缩放配凑法；（２）加（减）缩　
放配凑法．下面笔者就通过具体例子来介绍这两类　
情况．　
１乘（除）缩放配凑法　
对于不定积分Ｊ＿　ｆｘｄ－ｘ０＋３１，我们发现无法直接　

将被积分式函数　分解成所需的简单分式，　
但是观察分母不难发现若将ｘ变为ｘ．ｏ，则函数　
显然就可以分解　｝（　一丽１　）。因　

此，我们只需将被积函数的分子、分母同乘以Ｘ９，就　
可以得到所需变化。即作出这样的变化：』　ｄｘ　

Ｉ　。ｏ（ｘｘＭ。０＋ｘ　，而后利用换元积分法求出该不定积　
分．具体求解过程如下：　
解Ｊ　ｄ　ｘ　

ｆ　Ｙ９ｄＹ　１　ｆ　ｄＹ１０　
Ｊ　Ｊ　酉　

＝
击『（　一南　

＝　
１　Ｉ
ｎｘｌ　击ｌｎ（ｘｌ０＋１）＋Ｃ　

＝丁１　ｌｎｌｘｌ－　一１ｎ　ｌ０＋１）＋Ｃ　
以上这种利用缩放配凑求解不定积分的方法，　
７＿＿　
ＲｌＪ力　埋具分式啪叛小足枞分的乘（除）缩放酉己凑　
法．　
２加（减）缩放配凑法　

对于不定积分』　Ｉ　１）１　ｄｘ，我们不仅无法　Ｉｘ—ｌｌｘ　＋Ｉ　
直接将其分解成若干个简单分式不定积分的组合，　
同时利用乘（除）缩放配凑法也无法求出其的不定　
积分．但是仔细比较分子与分母的特点，发现如果　

将分子上的多项式减加ｌ，］］［Ｊ【ｘｘ
４
ＩＪ１【　
＋
２　

再分离该　

分式就可以得到分式专　＋　２Ｘ　Ｘ　１　Ｘ　１－这样，我们　Ｉ—Ｊ　Ｉ　Ｉ—Ｊｌ　＋Ｉ　

就只需考虑　的不定积分，而对于不定积　
分Ｊ　二Ｔ　可以利用待定系数法分解出若干　
简单分式求出其不定积分，具体求解过程如下：　
解Ｊ　

ｆ　ｘ￣而－１＋２　ｄｘ　（ｘ—１）（ｘ　＋１）…　
』　ｘ２－１　ａｘ＋　２　ｄｘ　

＝
Ｊ（ｘ＋１）ｄｘ＋Ｊ　２　ｄｘ　
拳＋ｘ＋，　
利用待定系数法可求出ｌ，　
（　一１）

２
丽＝　Ａ　

＋
要｝　｛ｃ—Ｂ＝ｏ　ｊ｛Ｂ一１　
ｌＡ－Ｃ＝２　ＩＣ＝－Ｉ　
则一＝『（　一嘉～）ｄｘ　

¨　一ｉ『一斋一）ｄｘ　
』　，）一』　｛』ｉ『ｄｘ２　
ｌｎｌｘ－ｌ　ｌ—ａＩ℃ｔａｎｘ－１　ｌ
ｎ（ｘ　＋１）＋Ｃ　

原式：季＋ｘ＋ｌｎｌｘ—ｌＩ－ａｒｃｔａｎｘ－２１－－－１ｎ（ｘ２＋１）＋ｃ　

这种缩放配凑求解不定积分的方法，即为有理　
真分式函数不定积分的乘（除）缩放配凑法．　

对于不定积分ｊ而言，被积函数在形式　，　
Ｙ．４－ｌ　
』＝．看似很简单，但要求出它的不定积分也需要利用　

加【减）缩放配凑法．其进行配凑的是分母多项式，　
将该多项式转化成平方差形式，即将分母加减２ｘ：，　
其过程为：　

解Ｊ　

ｆ　ｄｘ　
Ｊ　ｘ　＋ｌ＋２ｘ２－２ｘ　

ｆ　一　
（ｘ　＋１）＋、／　ｘ）（（ｘ　＋１）一、／　ｘ）　

』　（　一Ｘ一２＋　

而后分别求出不定积分Ｊ　一　一　ｄｘ　
２Ｖ２　ｘ（ｘ　一、／２　ｘ＋ｌ１　

和Ｊ——＝—　—＝二二——ｄｘ．这样，原来的不定积分　
２ｘ／２　ｘ（ｘ　＋、／２　ｘ＋ｌ１　‘　

』　的也就可以得出，为　Ｉｎ　ｘ２＋　Ｖ￣　－ｘ＋Ｉ　

＋
孚ｒａｃｔａｎ　Ｖ￣－－ｘ＋Ｃ．　
加（减）缩放配凑法求有理真分式函数不定积　
分的实质，就是将有理真分式的分子或分母的多项　
式经过加减某项配凑成平方差的形式，进而分解成　
若干较简单的分式，最终得出其不定积分．　
以上就是笔者对这一类有理真分式函数不定　
积分求解方法的简略思考．　

参考文献：　
［１］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（上册）．高等教育　
出版社．　
［２］同济大学，天津大学，浙江大学，重庆大学．高等　
数学扁等教育出版社　
［３￣．Ｙ－茂南，曹菊生．高等数学习题课教程．苏州大学　
出版社．

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数学分析(下)8-3有理函数和可化为有理函数的不定积分

数学分析(下)8-3有理函数和可化为有理函数的不定积分

§3 有理函数和可化为一、有理函数的部分分式分解本节给出了求有理函数等有关类型的四、某些无理函数的不定积分三、三角函数有理式的不定积分二、有理真分式的递推公式有理函数的不定积分不定积分的方法与步骤.返回C x B +i A(ii),p t x =+令22,,p pL r q N M =-=-则2,k 时³111æö432x x x x24910 -++-11d x12x +21(22)1 x x--+对三角函数有理式的不定积分, 在某些条件下还可(iii)(,)(,),tan .R u v R u v t x --==若可作变换(i)(,)(,),cos ;R u v R u v t x -=-=若可作变换(ii)(,)(,),sin ;R u v R u v t x -=-=若可作变换?为什么以上变换可使不定积分简化(i),R 若满足条件由代数学知识可知,存在有理函0,R 数使得选用如下三种变换, 使不定积分简化.因此=--ò2(1cos ,cos )d(cos )R x x x 20(,)(,).R u v R u v u =0(ii),,R R 若满足条件则存在有理函数使得20(,)(,).R u v R u v v =类似可得2(1,)d .R t t t =--ò=òò2(sin ,cos )d (sin ,cos )sin d R x x x R x x x x2sin òx.)0(,d òab x32 31129 x t t-+33d òx22d223 x x x--注1对于本题来说,方法2 显然比方法1 简捷.作业P200：1（2)、（3）、（6）；2（1）、（3）、（5）。

有理分式不定积分

有理分式不定积分




2(n

M 1)(t 2

a 2 )n1
b
1 (t 2 a2 )n dt.
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
14
1
例4 求不定积分 x( x 1)2dx.
解
1
x( x 1)2 dx
dx

1 4

1 sin
x
dx

1 4

1 cos2
x
dx


1 4

1 cos2
x
d(cos
x)

1 4

1 sin
x
dx

1 4

1 cos2
x
dx

1 4cos
x

1 ln tan 4
x 2

1 tan 4
x

C.
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
25
3、特殊变换
根据三角有理式 R(sin x,cos x) 的特殊性，介绍几个 特殊的积分变换公式.
u2
du )

2u 1 u2 1 u2 (1 u)(1 u2 ) du
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
19

(1 u)2 (1 u2 ) (1 u)(1 u2 ) du
1 u
1
1

u2 du

1

du u
arctan u 1 ln(1 u2 ) ln | 1 u | C
有理函数的不定积分

有理函数的不定积分

4 2 3 2
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
总结不定积分的求解方法

总结不定积分的求解方法

总结不定积分的求解方法不定积分在微积分中是一个十分重要且常见的概念，它主要用于求解函数的原函数。

对于一些简单的函数，我们可以很容易地求解其不定积分，但是对于复杂的函数，则需要运用一些特定的方法来求解。

下面我们将总结一些常用的方法来求解不定积分。

首先，我们要介绍的是基本求积法。

基本求积法是求解不定积分最基础的方法，它主要是根据导数的反函数关系来进行求解。

通过观察导数的形式，我们可以大致猜测出原函数的形式，然后验证是否正确。

这种方法主要适用于一些简单的函数，例如多项式函数、三角函数等。

其次，我们要介绍的是换元积分法。

在求解一些复杂函数的不定积分时，常常可以通过进行合适的变量替换来简化问题。

这种方法也被称为反链法，其思想是通过引入新的变量，使得原函数的形式更容易求解。

在使用换元积分法时，我们需要注意选择合适的变量替换，以及如何求解替换后的函数的导数。

另外，我们还要介绍的是分部积分法。

分部积分法是求解不定积分中常用的一种方法，其公式为\int u \, dv = uv - \int v \, du。

通过选择合适的u和dv，我们可以将原函数转化为另一种形式，从而更容易求解。

在使用分部积分法时，我们需要注意选择合适的u和dv，以及如何求解du 和v。

此外，我们还要介绍的是三角代换法。

三角代换法是求解含有平方根的不定积分中常用的一种方法。

通过引入三角函数，我们可以将含有平方根的函数转化为三角函数的形式，从而更容易求解。

在使用三角代换法时，我们需要注意选择合适的三角函数替换，以及如何转化原函数。

最后，我们要介绍的是有理函数的分解法。

在求解有理函数的不定积分时，通常需要将有理函数进行部分分式分解。

通过将分式展开为更简单的形式，我们可以更容易地求解原函数。

在使用有理函数的分解法时，我们需要注意如何进行合适的分解，以及如何求解每一部分的不定积分。

让我们总结一下本文的重点，我们可以发现，求解不定积分是微积分中的重要内容，我们可以通过基本求积法、换元积分法、分部积分法、三角代换法和有理函数的分解法等多种方法来进行求解。