3-3有理式的不定积分与有理化方法

4
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k，其中 p2 4q 0 则分解后为
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
x
cos
x
dx.
解
由万能置换公式
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du,
1
sin sin x
x
cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
2u 1 u2 1 u2
(1 u)(1 u2 ) du
18
(1 (1
u)2 (1 u)(1
u
解
(1
1 2 x )(1
x2
)
dx
1
4
5 2x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
2 5
ln(1
2
x)
1 5
1
2
x x2
dx
1 5
1
1 x
2dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
10
例6 求积分
1
xx
x dx.
1e2 e3 e6
x
解 令 t e 6 x 6ln t,
q
dx
M ln( x2 px q) b arctan

对于有理式$frac{x^2 + 1}{x}$，可以 通过变量替换$t = x$将其转化为 $frac{t^2 + 1}{t}$，进一步得到积分 结果为$ln|t| + t + C$。
反常积分处理
总结词
处理积分区间内函数值无穷大或积分结果不收敛的情况，确保积分运算的正确性。
详细描述
在解决有理式不定积分问题时，有时会遇到被积函数在某些区间内无穷大或积分结果不收敛的情况。此时需要采用反 常积分处理方法，将被积函数分为正常和反常两部分，分别进行积分运算。
有理化分母是指将有理式的分母进行因式分解，将其转化为两个因式的乘积，以便于消去根号，简化 积分过程。例如，将$frac{sqrt{x}}{x}$有理化，得到$frac{x}{sqrt{x}}$。
复杂有理式的有理化方法
总结词
对于复杂的有理式，需要采用多种有理化方 法进行转化。
详细描述
对于复杂的有理式，可能需要同时使用分子 有理化和分母有理化的方法，或者采用其他 有理化技巧，如部分分式分解等，以便将其 转化为更易于积分的形式。例如，对于复杂 有理式$frac{x^2+1}{xsqrt{x^2+1}}$，可 以采用分子有理化和分母有理化的方法进行 转化。
三角函数的有理式形式
在解决含有三角函数的有理式不定积分问题时，需要将有理式 转化为三角函数的有理式形式，以便更好地应用三角函数的性
质和公式。
复杂有理式的部分分式法
01
复杂有理式的部分分 式法
对于一些复杂的有理式，需要使用到 部分分式法，以便将复杂的有理式分 解为若干个简单的有理式，从而更容 易地找到不定积分的解。
三角函数有理式的积分
三角函数有理式的积分

§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分一 有理函数的不定积分有理函数的一般形式为：mm m n n n b x b x b a x a x a x Q x P x R ++++++==-- 110110)()()(。

其中m n ,为非负整数，n a a a ,,,10 与m b b b ,,,10 都是常数，且000≠⋅b a 。

若n m >，则称)(x R 为真分式；若n m ≤，则称)(x R 为假分式。

结论： 假分式=多项式+真分式。

因此，对有理函数的积分，只要讨论真分式的积分即可。

重要结论：任何一个有理真分式必定可以表示为若干个形如（称为部分分式）：（1） a x A -； （2） ka x A )(-；)2(≥k （3）)04(22<-+++q p q px x B Ax ； （4）)04()(22<-+++q p q px x B Ax k )2(≥k 。

的真分式之和，其中A ，B ，,,,q p a 为常数，k 为正整数。

因此，对有理真分式的积分只要讨论上述四种形式的真分式的积分即可。

（1） C a x a x dx +-=-⎰ln 。

（2） C a x k a x dx k k +--=--⎰1))(1(1)(， )1(>k 。

（3） dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222，令2p x t +=，并记4422p q r -=，2pA B N -=，则dx p q p x B Ax dx q px x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222⎰+=22r t tdt A ⎰++22r t dt N C rt r N r t A +++=arctan )ln(222。

（4） 同（3）可得 )2(≥k ，⎰+++k q px x B Ax )(2⎰⎰+++=k k r t dt N r t tdt A )()(2222122))(1(2-+-=k r t k A ⎰++k r t dt N )(22。

4 2 3 2
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B