函数单调性课件ppt

解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(

)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)

（4）当a>2时，由图可知，f（x）在［0，2］上单调递减， 所以f（x）min＝f（2）＝3-4a，f（x）max＝f（0）＝-1.
高中数学 必修第一册 配套江苏版教材
高中数学 必修第一册 配套江苏版教材
（5）在f（x），g（x）的公共单调区间上，有如下结论：
f（x）
g（x）
f（x）+g（x）
高中数学 必修第一册 配套江苏版教材
【方法总结】 利用单调性比较大小的方法或解不等式的方法
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值大小的问题时，要注意将 对应的自变量转化到同一个单调区间上. （2）相关结论. ①正向结论：若y＝f（x）在给定区间上是增函数，则当x1<x2时，f（x1）<f（x2）；当x1>x2时， f（x1）>f（x2）. ②逆向结论：若y＝f（x）在给定区间上是增函数，则当f（x1）<f（x2）时，x1<x2；当f（x1）> f（x2）时，x1>x2. 当y＝f（x）在给定区间上是减函数时，也有相应的结论.
增
增
增
增
减
不能确定单调性
减
减
减
减
增
不能确定单调性
（6）当f（x），g（x）都是增（减）函数时， 若两者都恒大于零，则f（x）g（x）也是增（减）函数； 若两者都恒小于零，则f（x）g（x）是减（增）函数.
f（x）-g（x） 不能确定单调性
增 不能确定单调性
减
高中数学 必修第一册 配套江苏版教材
高中数学 必修第一册 配套江苏版教材
［1，+∞）
高中数学 必修第一册 配套江苏版教材
典例剖析
高中数学 必修第一册 配套江苏版教材

3 x 证明：令 f ( x) sin x x , 则 f (0) 0, 3!
x2 f ( x) cos x 1 , 2
f ( x) sin x x.
当x 0时, sin x x, 故在 (0,)内 f ( x) 0,
因此 , f ( x)在[0,)单调上升 , 又 f (0) 0,
六、教学过程设计
问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图 象，并且观察函数变化规律？
y
2 1 -2 -1 O 1 2
y=2x y= -2x
x
-2 -1
y
2 1 O 1 2
y
y=x2+1
1
x
-1 -2
-1 -2
O
1
x
增函数、减函数 问题2 ？ ？
单调性是局部性质
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是:
⑴ 确定 f ( x) 的定义域；
⑵ 求 f ( x ) ，令 f ( x) 0 求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间；
⑷ 判别 f ( x ) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
f (0) 0, f ( x) e x 1.
当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0); 当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0).
从而得证.
x3 例4. 证 明 当 x 0时, sin x x . 3!
∴函数
2
2 1
f ( x) x 2 1

①当1<x<4时，f’(x)>0; ②当x>4,或x<1时，f’(x)<0; ③当x=4,或x=1时，f’(x) =0. 试画出函数f(x)图象的大致形状。
y y=f(x)
O1
4
x
7/20/2024
例2 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的单调区间
解： f '(x) 6x2 6x 12
7/20/2024
例1
设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
c 右图所示,则 y f ( x) 的图象最有可能的是( )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '( x)
o 1 2x o 1 2x
(A)
y y f (x)
(B)
o
2x
y y f (x)
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上有单调性。
G 称为单调增（减少）区间
新授 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y x2
y x3
y1 x
y
y
y
ox
ox
o
x
（-∞，0） （0，+∞）
（- ∞ ，+∞） （-∞，0） （0，,+∞）
为增区间； （4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分
为减区间．
7/20/2024
课堂练习 求下列函数的单调区间。
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) x3 3x