理论力学第五章

刚体绕定点运动时，刚体内任一点的速度等于绕瞬轴 转动的角速度与矢径的矢量积；该点的加速度等于绕瞬轴 的向轴加速度与绕角加速度矢的转动加速度的矢量和。
a r v
例 5－1 已知：行星锥齿轮的轴OA以匀角速度 1 ,绕铅直轴OB 转动 设 OA=l，AC=r。 求：齿轮上点M 的速度和加速度。
螺旋率可写成
ds p d
一般情况下，螺旋率为一恒值，上式积分2π p
s表示刚体转过一周沿轴前进的距离－－螺距。
（3）平移速度矢与转动角速度矢成任意角的情形
刚体以角速度 绕动轴 O z 转动， 同时又以速度 vO 平移， vO 和 之间的夹角为θ 。 刚体的运动成为以 v 2 的平移，和以 绕瞬轴CC 的转动
解： 齿轮中心点A 的速度为
vA OA sin
点A 绕定点O 在水平面内作圆周运动 vA OA 1 绕瞬轴OC 转动的角速度的大小为 1 =常量 sin 它沿着OC 指向如图所示
点M 的速度为
1 1 vM ME 2r cos 2l sin 2l1 sin sin 指向如图 它的方向垂直于平面 OMC
由于牵连运动为平移， 自由刚体内任一点的加速度合成式为
其中 ae aO
a a ae a r
ar 为刚体绕基点 O 转动的瞬时角加速度
自由刚体内任一点的加速度公式为
ar ar r r r
aM aO a1 a2 ， a1 ar r ， a2 r r
e与 r 同向的情形如图
vO2 e O1O2 a O2C
齿轮绕瞬轴转动的角速度为
O1O2 a r e a e O2C O2C 方向根据 O2 的方向确定 O1O2 O1C O2 C 当刚体同时绕两平行轴同向转动时，刚体的合成运动 为绕瞬轴的转动，绝对角速度等于牵连角速度与相对角速 度的和；瞬轴的位置内分两轴间的距离，内分比与两个角 速度成反比。 vO2

y
va ve
vr
y

x
O
x
加速度合成定理
例题一
动点
y
y
动系
绝对运动

x
O
x
相对运动
牵连运动
加速度合成定理
y
aa
例题一
y
ae

n aa
x
x O
ar
加速度 方 大 小
n aa
a
a
ar
铅垂
ae
水平
向 由A指向O OA 偏向上方
OA 2
y’ z x x’ O’
O
y
§5-1 点的合成运动的基本概念
动点：P点
定系：Oxy
绝对运动
动系：O’x’y’
相对运动
牵连运动
§5-1 点的合成运动的基本概念
牵连点
§5-1 点的合成运动的基本概念
va ve
ar vr ae
§5-2 点的合成定理
选择动点、动系的原则：
动点与动系不能在同一个物体上。 动点与动系一定要有相对的运动。 动点的相对运动的轨迹要明显、
（*）沿凸轮轮廓线在A点的切线
y
A
x
b
顶杆AB的速度为： vAB =va ve tan OA tan b tan
偏心凸轮
偏心凸轮
偏心凸轮
§5-3 点的加速度合成定理
牵连运动是平动时的加速度合成定理
z’ z
M
r
rO
O
x
r
k’ O’
r rO ' r r rO ' xi yj zk

p
Ay

Ax
o
y
x
p
已知: A Ax i Ay j Az k ，B B x i B y j B z k 1. 两矢量的和与差 A B ( Ax Bx )i ( Ay B y ) j ( Az Bz )k
矢量叉乘可以写成行列式
i A B Ax Bx j Ay By k Az Bz
六、矢量的微商和积分（略）
第 五章
一 基本概念
点的运动
§5.1 点的运动和刚体的基本运动
(一).参考体: 要确定某物体在空间的位置,必须选取另一 不变形的物体作为参考体. 如:书和黑板擦放在讲台上,书 在运动,选黑板擦为“参考体”.
的大小 C
C的方向垂直 A 与 B 构成的平面， 指向由右手螺旋法则确定
C AB sin
C

B
A
性质：
(1) A B ( 2) A B
(3)
C 0 C AB A B B A
k
j
单位矢量的叉乘
i i j j k k 0 i j j i k j k k j i k i i k j
动点相对两个 点的复合运动 参考系运动量关系 用复合运动研究 刚体平面运动 刚体上两点运动关系
运动学研究的对象： ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系 为后续课打基础及直接运用于工程实际。 运动学学习目的：
四. 要求 1.能选用合适的方法描述点的运动和刚体的基本 运动。能熟练的计算速度和加速度,角速度和角 加速度; 2.能正确的分析刚体的平面运动,能熟练地确定速 度瞬值，计算刚体角速度,熟练的选用不同的方 法求平面图形上各点的速度和角速度; 3.正确地选择动点和动系，应用合成运动的方法 求点的速度和加速度。

理论力学题库——第五章一、填空题1. 限制力学体系中各质点自由运动的条件称为 。

质点始终不能脱离的约束称为 约束，若质点被约束在某一曲面上，但在某一方向上可以脱离，这种约束称为 约束。

2. 受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是 ，此即 原理。

3. 基本形式的拉格朗日方程为 ，保守力系的拉格朗日方程为 。

4. 若作用在力学体系上的所有约束力在任意虚位移中所作的虚功之和为零，则这种约束称为 约束。

5. 哈密顿正则方程的具体形式是 和 。

5-1. n 个质点组成的系统如有k 个约束，则只有 3n - k 个坐标是独立的. 5-2.可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别，合称为 完整约束 .5-3自由度可定义为：系统广义坐标的独立 变分数目 ，即可以独立变化的 坐标变更数 . 5-4.广义坐标就是确定力学体系空间位置的一组 独立坐标 。

5-5.虚位移就是 假想的 、符合约束条件的、无限小的、 即时的 位置变更。

5-6.稳定约束情况下某点的虚位移必在该点曲面的 切平面上 。

5-7.理想、完整、稳定约束体系平衡的充要条件是 主动力虚功之和为零 . 5-8.有效力（主动力 + 惯性力）的总虚功等于 零 。

5-9.广义动量的时间变化率等于 广义力 （或：主动力+拉氏力）。

5-10.简正坐标能够使系统的动能和势能分别用 广义速度 和 广义坐标 的平方项表示。

5-11.勒让德变换就是将一组 独立 变数变为另一组 独立 变数的变换。

5-12.勒让德变换可表述为：新函数等于 不要的变量 乘以原函数对该变量的偏微商的 和 ，再减去原函数。

5-13.广义能量积分就是 t 为循环坐标时的循环积分。

5-14. 泊松定理可表述为：若21),,(,),,(c t p q c t p q ==ψϕ是正则方程的初积分，则 []3c ,=ψϕ 也是正则方程的初积分.5-15.哈密顿正则方程的泊松括号表示为： ],[H p pαα= ； ],[H q q αα= 。