图像纹理小波分析方法研究
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项目总结报告
项目名称 图像纹理小波分析方法研究
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图像纹理小波分析方法研究
摘要：纹理是一种区域特征，是对于图像各像元之间的空间分布的一种描述。纹理是图像中普遍存在而又难以描述的特征，因此研究纹理有着重要的理论和应用价值。而波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。本文对基于小波变换的图像纹理提取方法进行综述，分别对Gabor小波、Contourlet和Curvelet进行介绍，并对其进行比较分析。最后展望了小波变换在图像纹理特征提取领域的应用前景。
关键词：图像特征；图像纹理；小波变换
一.引言
小波变换继承和发展短时傅立叶局部变换思想，但是它在时域与频域具有良好的局部化性质。因此小波变换又优于傅里叶变换。小波变换通过多分辨率分析给出信号更好的表示。小波变换计算复杂度上也更小，只需要O(N)时间，而不是快速傅里叶变换的 O(N log N)，其中N代表数据大小。小波变换克服了傅里叶变换窗口大小不随频率变化等缺点，提供了一个随频率改变的时间-频率窗口。因此，小波变换在很多领域得到应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。
所以本文针对图像纹理小波分析方法进行综述，主要介绍基于Gabor变换、多进制小波变换、树型小波变换、Ridgelet变换、Curvelet变换和Contourlet变换的图像特征提取方法。
二．发展历史
1807年 Fourier 提出傅里叶分析 ， 1822年发表 “热传导解析理论”论文，1910年 Haar 提出最简单的小波。1964年，Gabor提出了窗口傅立叶变换，1910年Haar提出最早的Haar小波规范正交基，开辟了通往小波的道路。1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年
Mallat 提出的多分辨度分析理论（MRA），统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。1994年，Xu等人提出了一种基于空域相关性的噪声去除方法啪1，即根据信号与噪声的小波变换系数在相邻尺度之间的相关性进行滤波。1998年Dowinc和Silvcrman提出了多小波的通用阈值公式，同年Bui和Chcn把平移不变小波去噪推广到多小波的情形。Nowak等人1999年提出了针对光子图像系统的小波域滤波算法啪1，用来去除图像的Poisson噪声。2000年，在基于无噪图像小波系数服从广义高斯分布的假设前提下，Chang等人提出一种针对图像的BayesShrink阈值去噪方法。迄今为止，数学上主要从三个方面来研究图像纹理处理：概率统计，小波分析和偏微方程。近年来研究者们结合时频分析，分行学，神经网络等数学方法对纹理提出大量的创新和改进的方法，很大程度上提高了纹理分析的精度。
三．小波分析方法
在具体应用中，广泛采用Mallet算法，其变换方式常被称为金字塔结构的小波变换。在图像处理的应用中，通常采用可分离的二维小波，在实际应用时利用一维小波变换进行逐行、逐列的分解，最终达到二维小波分解 。纹理图像分割实质是确定每个像素点的纹理属性，然后根据像素点纹理的不同，提取出想要的图像，对图像进行分割。因此，要求特征抽取过程对每一个象素点都抽取一个特征描述向量。
小波变换的基本思想：小波变换是通过一个母函数在时间和尺度上进行平移和伸缩，这样能获得自适应的有效的信号分析。小波变换是时间和频率的局域变换，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。小波变换的窗口大小是固定不变的，但是其形状可变，是一种时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化方法。即高频部分具有较高时间分辨率和较低频率分辨率，在低频部分具有较高频率分辨率和较低时间分辨率，在很适合探测正常信号中夹带的瞬时反常现象并展示其成分，能更加有效的提取和分析局部信号。
用小波变换的方法提取图像纹理特征时，如果纹理尺寸较小或对比度不高，通常采用较高的分辨率；如果尺寸较大或对比度很强，只需要较低的分辨率。因此，当纹理尺寸大小不一、对比度有强有弱时，用小波变换的方法提取纹理特征参数有较大的优势，也符合纹理识别的特点。
1）Gabor小波
如今Gabor小波在计算机视觉、纹理分析和目标识别等领域已得到了广泛的应用。Daugman在1985年提出了二维Gabor滤波器理论，并指出二维Gabor滤波器可以同时在空域、频域和方向上获得最佳的分辨率。Daugman认为：尽管Gabor滤波器的基函数不能构成一个完备的正交集，但Gabor滤波器仍可以看作是一种小波滤波器。
由于图像纹理具有准周期性的统计特性，并且图像纹理有一个主要频率和其他的一些次要频率分量，其频带宽度一般狭窄，同时由于Gabor小波在空间域和频率域都有较好的分辨能力，并且其方向选择和频率选择的特性比较明显，所以适合用于分析和处理纹理图像。二维Gabor函数的脉冲响应表达式如下所示：
222222()exp()(exp()exp())22kkkPxxikX ⑴
式中，k为特征小波向量；为尺度因子；i为复数单位。
由式⑴可以看出，二维Gabor函数是一个复函数。展开式⑴可以得到它的实部函数和虚部函数
222222exp()coscossinexp22realuuKKGxKxy ⑵
22222exp()sincossin2imaguuKKGxKxy ⑶
式中，为尺度因子；K为调制频率；u为旋转角度。0,1,,4u；0,1,,7。
实际应用中，选择适当的、K和u来使Gabor小波滤波器对不同纹理区域的主要频率分量有较大的响应，以便获得所需的纹理特征值。
2）Contourlet变换
Contourlet变换是2002年，M.N. Do和M. Vetterli提出的。Contourlet变换继承了小波多尺度分析思想，所以它是一种非自适应的方向多尺度分析方法。即Countourlet变换能在任意尺度上实现任意方向的分解，并且能很好的描述图像中的轮廓和方向性纹理信息，这样就弥补了小波变换的不足。
Contourlet变换是从Curvelet变换发展得到的，它们都具有各向异性尺度关系，Contourlet变换是一种近似的Curvelet变换的数字实现方式。与Curvelet和小波变换等其他的变换方式不同的是，Contourlet的提出首先是在离散域的数字变换，然后才被推广到连续域，并在连续域分析其性质的。而其他的变换很多都是最初提出于连续域，之后才有对离散取样数据的数字实现。
Donoho和Vetterli构造了离散域上多分辨率、多方向的基函数，他们利用不可分滤波器组进行构造该基函数。由于利用类似于轮廓段的基本结构灵活的多尺度、多方向局部地表示图像，因此被称为Contourlet变换。下面从Contourlet变换的基本思想和性质两个方面进行介绍。
(1) Contourlet变换的基本思想
Contourlet变换首先分解捕捉边缘奇异点，利用的方法是类似小波的多尺度方法。然后奇异点的方向信息将位置相近的奇异点汇集成轮廓段。Contourlet变换选用拉普拉斯塔式滤波器结构对图像进行多分辨率分解来捕捉奇异点。
(2) Contourl变换的性质
在介绍Contourlet变换的性质之前，首先看一下Contourlet变换的滤波器结构。Contourlet变换是二层滤波器组结构，这种结构是由LP结构和DFB结构结合而成的。因此Contourlet变换既有LP和DFB的性质，也有组合结构的性质。下面就介绍一下Contourlet变换的一些重要性质。
在LP和DFB都是用完全重建滤波器的情况下，Contourlet能够完全重建原始图像，即能够提供一个框架。如果LP和DFB都是用正交滤波器，则Contourlet提供框架界为1的紧框架。Contourlet的冗余来自于LP，并且和LP的冗余度相同，上限为4/3。若将LP第j塔层分解得到的高通子带输入jl级二叉树DFB结构(j=1,2,„, J,其中j=1对应最小尺度)，得到的PDFB基图像支撑集宽为2j且长为22jjI。如果用有限充激响应(FIR)滤波器，Contourlet对N像素图像的计算复杂度为()ON。
3) Curvelet变换
Curvelet变换理论是E.J. Candes和D.L. Donoho在1999年提出的，就是第一代Curvelet变换。
Curvelet变换是由Candes在其博士论文中提出的Ridgelet变换演变而来。Curvelet变换的基本思想是：首先对曲线奇异加窗分割，在分割的过程中要使包含于每个子窗内的曲线段几乎是直的，然后对分割后的线段进行局部Ridgelet变换，这样能得到很好的逼近效果。即Curvelet变换通过对图像滤波并对带通图像加窗局部实现Ridgelet变换，具体的实现步骤是：首先对图像进行滤波，分解得到一系列的图像子带。其次，把分解到的图像子带分割成尺度合适的子块，具体方法是基于每个子带的中心频率进行加窗。最后，对分割成的这些子块进行多尺度的Ridgelet变换。
Curvelet变换的关键是使Curvelet基的支撑集服从曲线各向异性尺度关系：2widthlength，方法是调整窗口规格和子带频率。Curvelet变换对具有2C曲线奇异的分片光滑图像f的M阶非线性逼近CurvelMf产生的失真满足1/22()(log)CurveletCurveletMeMffCMM。除去因子1/2(log)M，由此可以看出Curvelet变换的逼近性能几乎是最优的。
四．方法比较
(1) Gabor小波变换的优点是：具有良好的时频局部化特征。即非常容易地调整Gabor滤波器的方向、基频带宽及中心频率从而能能够最好地兼顾信号在时空域和频域中的分辨能力。多分辨率特性及变焦能力。即采用多通道滤波技术，将一组具有不同时频域特性的Gabor小波采用于图像变换，每个通道都能够得到输入图像的某种局部特征，这样可以根据需要在不同粗细粒度上分析图像。Gabor小波变换具有较好的方向辨别性能，但是它的特征向量维数偏高，计算量太大。
