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k k ,2/)]2(t ψ1+⊃j j V V图2.2 Mallat重构示意图三、常用小波函数介绍在小波分析理论在数学和工程领域中一个很重要的问题就是小波基的选择，选择一个最优的小波基，可以使图像处理更加优化。
在小波分析理论中有很多种的小波函数，下面介绍一些常用的小波基函数：3.1 Haar小波Haar小波是Haar于1990年提出的一种正交小波，它是小波理论分析发展过程中最早用到的的小波。
Haar小波是由一组互相正交归一的函数集，即Haar函数衍生产生的，是具有紧支撑的正交小波函数，其定义如下[5]：1012()1121tt tψ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他(3.1)Haar小波是一个最简单的时域不连续的小波，它类似一个阶梯函数，由于它的紧支撑性和正交性，使得Haar小波的应用很普遍。
图3-1所示为Haar波的函数图像。
图3-1 Haar小波函数图像由于Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。
但也有自己的优点：①计算简单；②在2ja=的多分辨率系统中Haar小波构成一组最简单的正交归一的小波族。
因为()tψ不但与(2),()j t j Zψ∈正交，而且与自己的整数位移正交。
③()tψ的傅里叶变换是：24()sin()2j e jaψΩΩ=-ΩΩ(3.2)3.2Mexican hat(墨西哥草帽)小波Mexican Hat 小波又被称Marr 小波。
Marr 小波函数就是高斯函数的二阶导数，其表达式为：222()(1)t t t e ψ-=- (3.3)222()2e ωψωπω= (3.4)因为它的形状像墨西哥帽的截面，所以也称为墨西哥帽函数。
墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足0)(=⎰∞∞-dx x ψ (3.5)由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。
其波形如图3-2所示。
Marr 小波的时域、频域都有很好的局部特性，但由于它的正交性尺度函数不存在，所以不具有正交性，主要用于信号处理和边缘检测。
基于MA TLAB的小波变换在图象压缩中的应用研究【摘要】:图像压缩是用最少的数据量来表示尽可能多的原图像信息的一个过程。
本文先从理论角度分析了小波变换及多尺度分析的性质,又从实验的角度用Matlab实现了图像的压缩并对程序中用到的主要函数给予了说明,较直观的探讨了小波变换在图像压缩中的应用。
【关键词】:小波变换、图像压缩、小波分解1.引言小波变换是近十几年新发展起来的一种数学工具,是继一百多年前的傅里叶(Fourier)分析之后的又一个重大突破,它对无论是古老的自然学科还是新兴的高新应用技术学科均产生了强烈的冲击。
小波变换是一种全新的变换技术,与传统纯频域分析的傅里叶方法不同,小波变换是一种时频分析方法,它在时频和域频同时具有良好的局部化性质。
小波变换对于不同的频率成分在时域上的取样步长是调节性的,高频者小、低频者大,因此在实际应用中完全可以根据需要将图像或信号分解到一些合适的尺度成分上,然后再根据不同的要求作适当的编码。
因此,小波变换是一种能够获得较好图像复原质量与压缩比的、能够适应未来发展的变换技术,已经成为当今图像压缩编码的主要研究方向。
2.小波变换理论及多尺度分析2.1小波变换小波变换的基本思想是将任意函数f表示为小波的叠加,这种函数f的小波叠加表示就是将函数f分解为不同的尺度级.在每一个尺度级,函数f又在与这一尺度级对应的分辨率下被分解.尺度级对应着频率,且频率越高,对应的分辨率越高.在实际应用中,经常需要将函数f写为离散的叠加形式,即求和而不是积分,一个离散化的方法是设a=a0m,b=nb0m。
其中,m,n∈Z,a0>1,b0>0(a0,b0为常数)。
函数f的小波分解为:(1)其中,)对于a0=2,b0=1,因为存在!,使得!m,n组成一个正交基,所以,可以得到(2)Stromberg,Meyer,Lemarie,Battle和Daubechies构造了许多不同的如式(2)所示的小波正交基,但所有这些正交小波基分解都对应着一种Mallat提出的多尺度分析(MRA,Multiresolution Analy-sis).2.2多尺度分析多尺度分析是用小波函数的二进伸缩和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂的表现形式,它重点处理整个函数集,而非侧重处理作为个体的函数。
小波分析在图像处理中的应用研究随着时代的变迁，人们对于图像的处理需求越来越多。
在此背景下，小波分析技术应运而生，成为图像处理领域中的一项重要技术。
小波分析技术的特点是能够将频域和时域结合起来，从而更全面、更准确地描述物理规律。
它可以将复杂的图像分解成多个频段，并针对不同的频段进行处理，从而提高图像的质量。
本文将对小波分析在图像处理中的应用进行研究，并深入探讨其具体应用。
一、小波分析技术的基本概念小波分析技术是一种基于小波变换的信号分析方法，其基本思想是将信号分解成高频和低频两个部分，然后对其进行处理。
与传统的傅立叶变换相比，小波分析技术更加精细，在处理图像时可以更好地保留细节信息。
同时，小波分析技术能够进行多尺度分析，即在不同的频段上分别进行分析，从而更加全面地描述物理规律。
二、小波分析在图像去噪中的应用由于图像的采集过程中可能会受到噪声的干扰，因此在进行图像处理时需要先进行去噪处理。
小波分析技术由于能够将图像分解成多个频段，因此可以针对不同频段进行不同的处理，从而实现更好的去噪效果。
例如，对于较高频段的图像，可以采用高通滤波来减小其强度；对于较低频段的图像，则可以采用低通滤波来增强其细节。
在图像处理中，去噪是一个非常重要的步骤，而小波分析技术正是一种有效的去噪方法。
三、小波分析在图像压缩中的应用在图像传输和存储时，往往需要将图像进行压缩，以减少其占用的空间并提高传输速度。
小波分析技术能够将图像分解成多个频段，因此可以将不同频段的数据进行不同的压缩处理。
例如，对于较高频段的图像，可以采用更高的压缩比；对于较低频段的图像，则需要采用较小的压缩比来保留其细节。
在图像压缩中，小波分析技术可以得到更好的压缩效果，并且能够更好地保留图像的信息。
四、小波分析在图像增强中的应用图像增强是指在改善图像质量的同时保留或增强图像的重要细节信息。
小波分析技术由于可以对不同频段的图像进行不同的处理，因此适用于图像增强。
小波分析应用于图像处理的研究近年来，随着计算机技术的不断发展，图像处理的重要性越来越被重视。
图像处理技术可以应用于各个领域，比如医学、工业、国防等等。
而小波分析则被广泛应用于图像处理中。
本文旨在探讨小波分析在图像处理中的应用及其研究进展。
一、小波分析简介小波分析是一种信号处理技术，在20世纪80年代发展起来。
它可以将任意信号分解成不同频率区间内的成分。
与傅里叶变换不同，小波分析将时间轴和频率轴同时处理，可以获取更加精细的分析结果。
二、小波分析在图像处理中的应用1. 图像压缩图像处理领域中一个重要的问题就是图像的压缩。
在传输和存储图像时，压缩可以减少所需的带宽和存储空间。
小波分析可以将图像分解成不同频率区间和空间区域的成分，这样可以在保证图像质量的同时，大幅度减小图像数据量。
2. 图像恢复图像恢复是指在图像损失或分解后对其进行重建。
小波分析可以根据不同频率区间和空间区域的成分，对损失或分解后的图像进行重建，恢复其原始的图像质量。
3. 边缘检测图像处理中的另一个重要问题是边缘检测。
边缘检测可以将图像中物体的边缘提取出来，有助于图像分割和特征提取。
小波分析可以有效地提取图像中的边缘信息，对图像处理提供了有力的支持。
三、小波分析在图像处理中的研究进展1. 多尺度小波分析多尺度小波分析是在小波分析的基础上发展起来的技术。
通过不同的尺度分解，多尺度小波分析可以更加精细地分析图像中的各种成分。
此外，多尺度小波分析还可以应用于图像的超分辨率重建和去噪等方面。
2. 小波神经网络小波神经网络结合了小波分析和神经网络技术，可以对图像进行更加准确的分析和处理。
小波神经网络可以应用于图像的分类、识别和跟踪等方面。
3. 应用于医学图像处理小波分析广泛应用于医学图像处理领域。
在医学图像处理中，获得精确的边缘信息和不同区域内的成分信息非常重要。
小波分析可以提取医学图像中的不同组成成分和精确的边缘信息，对医学图像的分析和处理提供了重要的支持。
目录摘要 (1)ABSTRACT (3)前言 (3)1概述 (3)1.1研究背景 (3)1.2研究内容 (4)1.3 MA TLAB的概况 (4)1.4 MA TLAB的语言特点 (5)2小波分析的基本理论 (6)2.1傅里叶变换 (6)2.2小波变换 (7)2.2.1连续小波变换 (7)2.2.2离散小波变换 (8)2.2.3小波包分析 (9)3小波分析在图像处理中的应用 (9)3.1小波分析用于图像压缩 (9)3.2小波分析用于图像去噪 (13)3.3小波分析用于图像增强 (18)3.3.1图像钝化 (20)3.3.2图像锐化 (23)3.4小波分析用于图像融合 (25)4 总结 (29)致谢 (29)基于Matlab的小波分析与设计学生：王磊指导老师：贾群淮南师范学院电气信息工程学院摘要：小波分析是指用有限长或快速衰减的、称为母小波的振荡波形来表示信号。
该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。
小波变换分成两个大类：离散小波变换和连续小波变换。
两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。
小波分析理论作为新的时频分析工具，在信号分析和处理中得到了很好的应用。
平面图像可以看成是二维信号，因此，小波分析很自然地应用到了图像处理领域。
图像压缩、去噪、、增强、融合是图像预处理中应用非常广泛的技术，小波变换由于其自身的优良特性而在图像处理中得到了越来越多的应用。
本文从基本理论出发，首先对小波变换进行了详尽而深刻的阐述。
循序渐进地介绍了从概念到小波分析等一系列相关内容，包括连续小波变换、离散小波变换和小波包分析。
最终引出小波分析在Matlab中的应用的方法。
对小波变换在图像处理中的应用本文作了重点研究。
关键词:小波分析；图像压缩；图像去噪；图像增强；图像融合；matlabWavelet analysis and design based on MATLABNane:wangleiTutor:jiaqunHuainan Normal University School of electrical and Information Engineering ABSTRACT:Wavelet analysis is the use of limited length or fast attenuation, known as mother wavelet representation of a signal waveform. The waveform is zooming and panning to match the input signal. Wavelet transform is divided into two categories: discrete wavelet transform and continuous wavelet transform. The essential difference between both is, continuous transformation in all possible zooming and panning operation, and discrete transform using all values of a specific subset of zooming and panning. The theory of wavelet analysis as a new time-frequency analysis tool in signal analysis and processing, has a very good application. Planar image can be viewed as a two-dimensional signal, therefore, wavelet analysis naturally is applied to the image processing field. Image compression, denoising, enhancement, fusion, image pre-processing is very extensive application of the technology of wavelet transform, because of itsexcellent characteristics in image processing has been applied more and more. In this paper, starting from the basic theory of wavelet transform, the first detailed and profound development. Gradual introduction from concept to the wavelet analysis and a series of related content, including continuous wavelet transform, discrete wavelet transform and wavelet packet analysis. Eventually lead to wavelet analysis application in Matlab method. The wavelet transform application in image processing this paper focuses on the study of.Keywords: wavelet analysis; image compression; image denoising; image enhancement; image fusion; Matlab前言传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
基于Matlab软件的小波变换在图像去噪中的应用作者：张俊, 朱凯荣来源：《电脑知识与技术》2011年第26期摘要：在图像处理过程中，图像噪声对图像的后续处理和清晰度影响较大。
因此，对图像的降噪至关重要。
随着小波变换的不断优化，小波变换广泛应用在图像降噪方面。
该文基于软阈值的小波图像增强方法，通过实验论述小波变换在图像去噪中的应用。
关键词：软阈值；小波变换；图像；去噪；应用中图分类号：TP18文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)26-6491-01在通信及计算机过程控制系统中，对信号进行实时采样是很重要的环节。
但由于信号在激励、传输和检测过程中，可能不同程度地受到随机噪声的污染，特别在小信号采集和测量中，图像噪声对图像的后续处理和清晰度影响较大。
因此，如何消除实际信号中的噪声，在图像处理过程中对图像的降噪至关重要。
小波变换是一种信号的时频分析，他具有多分辨率的特点，可以方便地从混有强噪声的信号中提取原始信号，被誉为分析信号的显微镜。
随着小波变换的不断优化，小波变换广泛应用在图像降噪方面。
1982年， Mathwork公司推出的一套高性能的数值计算可视化软件Matlab软件，用于解决实际工程和数学问题，实现小波消噪的仿真。
使用 MATLAB，您可以较使用传统的编程语言（如 C、C 和 Fortran）更快地解决技术计算问题。
1 小波降噪的基本原理设含噪的一维信号模型表示如下：s(k)=f(k)+sigma*e(k) sigma为常数， k=0,1,2,......,n-1式中s(k)为含噪信号，f(k)为有用信号，e(k)为噪声信号。
这里假设e(k)是一个高斯白噪声，通常表现为高频信号，而工程实际中f(k)通常为低频信号或者是一些比较平稳的信号。
一般讲，一维信号的消噪过程如下：一维信号的小波分解-小波分解高频系数的阈值量化-一维小波重构。
2 试验分析2.1 由matlab产生的试验信号及含高斯白噪声的信号如图1所示。
小波变换在数字图像处理中的应用王剑平;张捷【摘要】小波变换在数字图像处理中的应用是小波变换典型的应用之一.由信号分析中傅里叶变换的不足引出小波变换,然后简单介绍了小波变换的定义和种类,分析了小波变换的性质和Mallat算法,总结了小波变换在数字图像处理中的四种应用:基于小波变换的图像压缩、图像去噪、图像增强和图像融合,分析了四种应用的过程及特点,同时进行了相应的Matlab试验与仿真.试验结果表明,小波变换在数字图像处理中的应用切实可行、简单方便、效果好、有很强的实用价值,有较好的应用前景.%The application of wavelet transform in digital image processing is one of the typical applications of wavelet transform.The wavelet transform is introduced for the lack of Fourier transform in the signal analysis, the definition and types of the wavelet transform are proposed briefly, and its properties and Mallat algorithm are analyzed.Four kinds of applications of wavelet transform in digital image processing are summarized(image compression, image denoising, image enhancement and image fusion based on wavelet transform) , the processes and characteristics of this four kinds of applications are analyzed , meanwhile the corresponding Matlab experiment and simulation are made.Experimental results show that it is practical, simple, convenient and effective, and has a strong practical value and a good application prospects for the wavelet transform in digital image processing.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2011(034)001【总页数】4页(P91-94)【关键词】小波变换;马拉特算法;图像处理;Matlab【作者】王剑平;张捷【作者单位】西北工业大学电子信息学院,陕西西安,710129;中国人民解放军95037部队,湖北武汉430060;西北工业大学电子信息学院,陕西西安,710129【正文语种】中文【中图分类】TN911-340 引言在经典的信号分析理论中，傅里叶理论是应用最广泛、效果最好的一种分析手段。
clear % 清理工作空间load wbarb; % 装入图像figure; % 新建窗口image(X); % 显示图像colormap(map) % 设置色彩索引图title('原始图像'); % 设置图像标题axis square % 设置显示比例disp('压缩前图像X的大小'); % 显示文字whos('X') % 显示图像属性%对图像用小波进行层小波分解[c,s]=wavedec2(X,2,'bior3.7'); %提取小波分解结构中的一层的低频系数和高频系数cal=appcoef2(c,s,'bior3.7',1); %水平方向ch1=detcoef2('h',c,s,1); %垂直方向cv1=detcoef2('v',c,s,1); %斜线方向cd1=detcoef2('d',c,s,1);%各频率成份重构a1=wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1);h1=wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);v1=wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1);d1=wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);c1=[a1,h1;v1,d1];%显示分频信息figure; % 新建窗口image(c1); % 显示图像colormap(jet) % 设置色彩索引图axis square; % 设置显示比例title ('分解后低频和高频信息'); % 设置图像标题ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0);%改变图像高度并显示ca1=0.5*ca1;figure; % 新建窗口image(ca1); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图axis square; % 设置显示比例title('第一次压缩图像'); % 设置图像标题disp('第一次压缩图像的大小为：'); % 显示文字whos('ca1') % 显示图像属性%保留小波分解第二层低频信息进行压缩ca2=appcoef2(c,s,'bior3.7',2);%首先对第二层信息进行量化编码ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);%改变图像高度并显示ca2=0.25*ca2;figure; % 新建窗口image(ca2); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图axis square; % 设置显示比例title('第二次压缩图像'); % 设置图像标题disp('第二次压缩图像的大小为：'); % 显示文字whos('ca2') % 显示图像属性clear; % 清理工作空间load wbarb; % 装入图形信号figure; % 新建窗口image(X); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图axis square; % 设置显示比例title('原始图像'); % 设置图像标题disp('压缩前图像的大小'); % 显示文字whos('X'); % 显示图像属性axis square; % 设置显示比例%对图像用db3小波进行二层小波分解[c,s]=wavedec2(X,5,'db3');[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('cmp','wv',X);[Xcomp,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp('gbl',c,s,'db3',5,thr,sorh,keepapp); figure; % 新建窗口image(Xcomp); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图axis square; % 设置显示比例title(' 压缩后的图像'); % 设置图像标题disp('压缩后图像的大小'); % 显示文字whos('Xcomp') % 显示图像属性disp('小波分解系数中值为0的系数个数百分比'); % 显示文字disp(perf0); % 显示数值disp('压缩后剩余能量百分比'); % 显示文字disp(perfl2); % 显示数值load wbarb; % 装载原始图像figure; % 新建窗口image(X); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图title('原图'); % 设置图像标题axis square; % 设置显示比例%生成含噪图像init=2055615866; % 初始值randn('seed',init) % 随机值x=X+38*randn(size(X)); % 添加随机噪声figure; % 新建窗口image(x); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图title('含噪声图像'); % 设置图像标题axis square; % 设置显示比例% 下面对图像消噪，首先利用sym4函数对图像进行2层分解[c,s]=wavedec2(x,2,'sym4'); % 分解a1=wrcoef2('a',c,s,'sym4',1); % 图像第一层的重构逼近信号 figure; % 新建窗口image(a1); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图title('第一层重构图像'); % 设置图像标题axis square; % 设置显示比例a2=wrcoef2('a',c,s,'sym4',2); % 图像第二层的重构逼近信号figure; % 新建窗口image(a2); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图title('第二层重构图像'); % 设置图像标题axis square; % 设置显示比例load wbarb; % 装载原始图像figure; % 新建窗口image(X); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图title('原始图像'); % 设置图像标题axis square; % 设置显示比例,生成含噪图像并图示init=2055615866; % 初始值randn('seed',init); % 随机值XX=X+8*randn(size(X)); % 添加随机噪声figure; % 新建窗口image(XX); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图title('含噪图像'); % 设置图像标题axis square; %用小波函数coif2对图像XX进行2层分解[c,l]=wavedec2(XX,2,'coif2'); % 分解n=[1,2]; % 设置尺度向量p=[10.28,24.08]; % 设置阈值向量,对高频小波系数进行阈值处理%nc=wthcoef2('h',c,l,n,p,'s');%nc=wthcoef2('v',c,l,n,p,'s');nc=wthcoef2('d',c,l,n,p,'s');X1=waverec2(nc,l,'coif2'); % 图像的二维小波重构figure; % 新建窗口image(X1); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图title('第一次消噪后的图像'); % 设置图像标题axis square; % 设置显示比例,再次对高频小波系数进行阈值处理%mc=wthcoef2('h',nc,l,n,p,'s');mc=wthcoef2('v',nc,l,n,p,'s');%mc=wthcoef2('d',nc,l,n,p,'s');X2=waverec2(mc,l,'coif2'); % 图像的二维小波重构figure; % 新建窗口image(X2); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图title('第二次消噪后的图像'); % 设置图像标题axis square; % 设置显示比例load sinsinfigure; % 新建窗口image(X); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图title('原始图像'); % 设置图像标题axis square; % 设置显示比例,生成噪声图像init=2055615866; % 初始值randn('state',init); % 随机值x = X + 18*randn(size(X));figure; % 新建窗口image(x); % 显示图像colormap(map); % 设置色彩索引图title('含噪图像'); % 设置图像标题axis square; % 设置显示比例,查找默认值 (参见函数ddencmp).[thr,sorh,keepapp] = ddencmp('den','wv',x); % 使用全局阈值选项进行图像降噪处理。
基于Matlab 的小波分析在图像处理中的应用摘要:本文先介绍了小波分析得基本理论，包括连续小波变换、离散小波变换和小波包分析。
小波变换具有时频局部化的特点,因此不但能对图像提供较精确的时域定位,也能提供较精确的频域定位。
经过小波变换的图像具有频谱划、方向选择、多分辨率分析和天然塔式数据结构特点。
基于小波变换这些特性，讨论了MATLAB 语言环境下图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强的基本方法。
关键词:小波分析；图像压缩；图像去噪；图像融合；图像分解；图像增强1 引言小波分析诞生于20世纪80年代, 被认为是调和分析即现代Fourier 分析发展的一个崭新阶段。
众多高新技术以数学为基础,而小波分析被誉为“数学显微镜”,这就决定了它在高科技研究领域重要的地位。
目前, 它在模式识别、图像处理、语音处理、故障诊断、地球物理勘探、分形理论、空气动力学与流体力学上的应用都得到了广泛深入的研究,甚至在金融、证券、股票等社会科学方面都有小波分析的应用研究。
在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。
但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor 变换，时频分析，小波变换等。
其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。
换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。
所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。
而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。
本文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。
然后研究了小波分析在图像处理中的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。
2 小波分析的基本理论2.1 连续小波变换定义：设)()(2R L t ∈ψ，其傅立叶变换为)(ˆωψ，当)(ˆωψ满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）⎰=Rd C ωωωψψ2)(ˆ< ∞ (1)时，我们称)(t ψ为一个基本小波或母小波。
将母函数)(t ψ经伸缩和平移后得 )(1)(,abt at b a -=ψψ 0;,≠∈a R b a (2) 称其为一个小波序列。
其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。
对于任意的函数)()(2R L t f ∈的连续小波变换为dt abt t f a f b a W Rb a f )()(,),(2/1,->==<⎰-ψψ (3) 其重构公式（逆变换）为⎰⎰∞∞-∞∞--=dadb ab t b a W a C t f f)(),(11)(2ψψ(4) 由于基小波)(t ψ生成的小波)(,t b a ψ在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以)(t ψ还应该满足一般函数的约束条件⎰∞∞-dt t )(ψ〈∞ (5)故)(ˆωψ是一个连续函数。
这意味着，为了满足完全重构条件式，)(ˆωψ在原点必须等于0，即0)()0(ˆ==⎰∞∞-dt t ψψ(6) 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波)(t ψ的傅立叶变化满足下面的稳定性条件：∑∞∞--≤≤B A j 2)2(ˆωψ(7) 式中0〈A ≤B 〈∞。
2.2 离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。
因此，有必要讨论连续小波)(,t b a ψ和连续小波变换),(b a W f 的离散化。
需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的。
这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。
在连续小波中，考虑函数：)()(2/1,ab t a t b a -=-ψψ这里R b ∈，+∈R a ，且0≠a ，ψ是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a 只取正值，这样相容性条件就变为 ∞<=⎰∞ωωωψψd C 0)(ˆ (8) 通常，把连续小波变换中尺度参数a 和平移参数b 的离散公式分别取作j a a 0=，0b ka b j =，这里Z j ∈，扩展步长10≠a 是固定值，为方便起见，总是假定10>a （由于m可取正也可取负，所以这个假定无关紧要）。
所以对应的离散小波函数)(,t k j ψ即可写作)()()(002/00002/0,kb t a a a b ka t a t j j jj j k j -=-=---ψψψ (9) 而离散化小波变换系数则可表示为>=<=⎰∞∞-k j k j k j f dt t t f C ,*,,,)()(ψψ (10)其重构公式为∑∑∞∞-∞∞-=)()(,,t C C t f k j k j ψ (11)C 是一个与信号无关的常数。
然而，怎样选择0a 和0b ，才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应尽可能密（即0a 和0b 尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数)(,t k j ψ和离散小波系数k j C ,就越少，信号重构的精确度也就会越低。
2.3 小波包分析短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。
多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分（具有等Q 结构）。
小波包分析能够为信号提供一种更精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。
关于小波包分析的理解，我们这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树如图图1 小波包分解树图1中，A 表示低频，D 表示高频，末尾的序号数表示小波分解的层树（也即尺度数）。
分解具有关系：S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAA3+ADD3+DDD33 常用小波基介绍(1)Haar 小波Haar 于1990年提出一种正交函数系,定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧-=011H ψ 其它12/12/10<≤≤≤x x (12)这是一种最简单的正交小波，即0)()(=-⎰∞∞-dx n x t ψψ ,2,1±±=n …(2)Daubechies （dbN ）小波系该小波是Daubechies 从两尺度方程系数{}k h 出发设计出来的离散正交小波。
一般简写为dbN ，N 是小波的阶数。
小波ψ和尺度函数吁中的支撑区为2N-1。
ϕ的消失矩为N 。
除N ＝1外(Haar 小波)，dbN 不具对称性〔即非线性相位〕；dbN 没有显式表达式(除N ＝1外)。
但{}k h 的传递函数的模的平方有显式表达式。
假设∑-=+-=101)(N k k k N k y C y P ，其中，k N k C +-1为二项式的系数，则有)2(sin )2(cos )(2220ωωωP m N = (13)其中 ∑-=-=120021)(N k ik keh m ωω(3)Biorthogonal （biorNr.Nd ）小波系Biorthogonal 函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。
通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。
Biorthogonal 函数系通常表示为biorNr.Nd 的形式：Nr=1 Nd=1，3，5 Nr=2 Nd=2，4，6，8 Nr=3 Nd=1，3，5，7，9 Nr=4 Nd=4 Nr=5 Nd=5 Nr=6 Nd=8其中，r 表示重构，d 表示分解。
(4)Coiflet （coifN ）小波系coiflet 函数也是由Daubechies 构造的一个小波函数，它具有coifN （N=1，2，3，4，5）这一系列，coiflet 具有比dbN 更好的对称性。
从支撑长度的角度看，coifN 具有和db3N 及sym3N 相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN 具有和db2N 及sym2N 相同的消失矩数目。
(5)SymletsA （symN ）小波系Symlets 函数系是由Daubechies 提出的近似对称的小波函数，它是对db 函数的一种改进。
Symlets 函数系通常表示为symN （N=2，3，…，8）的形式。
(6)Morlet （morl ）小波Morlet 函数定义为x Ce x x5cos )(2/2-=ψ，它的尺度函数不存在，且不具有正交性。
(7)Mexican Hat （mexh ）小波Mexican Hat 函数为2/24/12)1(32)(x e x x ---=ψπ (14) 它是Gauss 函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。
墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足0)(=⎰∞∞-dx x ψ由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。
(8)Meyer 小波Meyer 小波函数ψ和尺度函数ϕ都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=ψ--0))123(2cos()2())123(2sin()2()(ˆ2/2/12/2/1ωπυππωπυππωωωj j ee ]38,32[38343432ππωπωππωπ∉≤≤≤≤ (15) 其中，)(a υ为构造Meyer 小波的辅助函数，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--0))123(2cos()2()2()(ˆ2/12/1ωπυπππωφ 34343232πωπωππω>≤≤≤(16) 4 小波分析在图像处理中的应用4.1 小波分析用于图像压缩4.1.1 基于小波变换的图像局部压缩基于离散余弦变换的图像压缩算法，其基本思想是在频域对信号进行分解，驱除信号点之间的相关性，并找出重要系数，滤掉次要系数，以达到压缩的效果，但该方法在处理过程中并不能提供时域的信息，在我们比较关心时域特性的时候显得无能为力。
