重点高中自主招生数学试题
一、选择题
1.若函数$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$, 当$x$趋近于无穷大时，$f(x)$的值趋近于
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
2.已知函数$f(x)$的定义域为$x \in (-\infty, 2)$, 那么函数$g(x)=f(e^{2x})$的定义域是
A. $x \in (-\infty, \ln4)$ B. $x \in (-\infty, 2)$
C. $x \in (-\infty, \ln2)$ D. $x \in (-\infty, \ln\frac{1}{4})$
3.已知函数$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$，则$f(x+1)$等于
A. $f(x)$ B. $f(x)+1$ C. $f(x-1)$ D. $\frac{1}{f(x)}$
二、填空题
1.设$a$为正整数，若$a^3-4a^2+5a-2=0$有一个正整数解，则$a$的值是\anst{2}。
2.设等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=5$，$a_9=29$，则$a_{15}$的值是\anst{47}。
3.已知$\frac{3^x+3^{-x}}{3^x-3^{-x}}=7$，则$x$的值是\anst{1}。
三、解答题
1.解方程：$\log_3(x^2+2x)-2\log_3(x+1)=\log_3(x+2)-2$ 解答：首先，我们可以利用对数的性质进行简化。将题目中的等式两边都取对数底为3，得到：
$\log_3(x^2+2x)-\log_3(x+1)^2=\log_3(x+2)-1$
然后，利用对数的运算相关规律合并右侧表达式：
$\log_3\left(\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\right)=\log_3(x+2)-1$
进一步简化为：
2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷
1
．20242025
2024202363030
301030×+
=
−×____________．
2
．方程
2299
3232x
xxxx+=
+−−−的正数解为____________．
3．等腰ABC△
的底边AC
长为30，腰上的高为24，则ABC△
的腰长为____________．
4．已知实数m，n满足2
202410mm++=，2
24200nn++=且1mn≠
，则60
1n
mn=
+
____________．
5．若x
为全体实数，则函数2
23yxx=−+
与2
243yxx=−+
的交点有____________个．
6．若0abc≠
，1abc
bccaab++
=
+
++，则222
abc
bccaab++=
+++____________．
7．K为ABC△
内一点，过点K作三边的垂线KM，KN
，KP，若3AM=
，5BM=
，4BN=
，
2CN=
，4CP=
，则2
AP=
____________．
8．记a，b，c的最小值为{}
min,,abc
，若{}
()min41,2,24fxxxx=++−+
的最大值为M，则6M=
____________．
9．已知正方形OBAC
，以OB
为半径作圆，过A的直线交O
于M，Q，交BC
与P，R为PQ中点，若
18AP=
，7PR=
，则BC
=____________．
10．若a，b，c，d，e为两两不同的整数，则22222
()()()()()abbccddeef−+−+−+−+−
的最小值
为____________．
11．PA，PB分别为
1O
和
2O
的切线，连接AB交
1O
于C交
2O
于D，且ACBD=
，已知
1O
和
2O
的半径分别为20和24
，则2
180PA
PB
=
____________．
12．已知a，b，c
正整数，且只要111
1
abc++<
，则111
m
abc++≤，设m
的最小值为r
s
（r
s为最简分
数），则rs+=
____________．
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重点高中自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．
1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A． m＞3 B． m≥3 C． m≤3 D． m＜3
解答： 解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选C．
2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（ ）
A． B． C． 0.3 D．
分析： 本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．
解答： 解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，
∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，
∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x， AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，
∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．
3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（ ）
A． 到CD的距离保持不变 B． 位置不变
C． 等分 D． 随C点移动而移动
分析： 连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．
—1
—2024初升高自主招生数学模拟试卷（一）
1.方程43||||xxxx
实数根的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
2.如图，△ABC中，点D在BC边上，已知AB=AD=2，AC=4，且BD：DC=2：3，则△ABC是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
3.已知G是面积为24的△ABC的重心，D、E分别为边AB、BC的中点，则△DEG的面积为（）
A.1B.2C.3D.4
4.如图，在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC，则△ABC的周长为（）
A.35B.40C.81D.84
5.已知2()6fxxaxa
，()yfx
的图象与x轴有两个不同的交点(x
1，0)，(x
2，0)，且
12123
83
(1)()1)(16)(16)a
a
xxaxax
，则a的值是（）
A.1B.2C.0或1
2D.1
2
6.如图，梯形ABCD中，AB//CD，AB=a，CD=b.若∠ADC=∠BFE，且四边形ABFE的面积与四边形CDEF
的面积相等，则EF的长等于（）
A.
2ab
B.ab
C.2ab
abD.22
2ab—2
—7.在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E.若BE+CD=BC，则∠A的
度数为（）
A.30°B.45°C.60°D.90°
8.设23a
，26b
，212c
.现给出实数a、b、c三者之间所满足的四个关系式：
①2acb
；②23abc
；③23bca
；④21bac
.其中，正确关系式的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
9.已知m、n是有理数，方程20xmxn
有一个根是52
，则m+n=.
10.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的
值最小，则PB=.
11.已知xy
，22()()3xyzyzx
.则2()zxyxyz
