第三章傅里叶变换8-11PPT课件

第三章 离散傅立叶变换

一、离散傅立叶级数

计算题：

1．如果)(~nx是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把)(~nx看作周期为N的周期序列有)(~)(~1kXnx（周期为N）；把)(~nx看作周期为2N的周期序列有)(~)(~2kXnx（周期为2N）；试用）（kX1~表示）（kX2~。

二、离散傅立叶变换定义

填空题

2．某DFT的表达式是10)()(NkklMWkxlX，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。

3．某序列DFT的表达式是10)()(NkklMWkxlX，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。

4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。

5．采样频率为HzFs的数字系统中，系统函数表达式中1z代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(nx的序号n代表的样值实际位置是（ ）；)(nx的N点DFT)kX（中，序号k代表的样值实际位置又是（ ）。

6．用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔f为_______,数字角频率间隔w为 _______和模拟角频率间隔 ______。

判断说明题：

7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。

（ ）

计算题

8．令)(kX表示N点的序列)(nx的N点离散傅里叶变换，)(kX本身也是一个N点的序列。如果计算)(kX的离散傅里叶变换得到一序列)(1nx，试用)(nx求)(1nx。

9．序列0,0,1,1)(nx，其4点DFT)(kx如下图所示。现将)(nx按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？（尽量利用DFT的特性）

第3章傅里叶分析

傅里叶分析是利用傅里叶变换来分析信号的一种通用工具，其实质是将信号分解成若 干个不同频率的正弦波之和。它在信号处理的理论和应用中具有重要意义。

3.1傅里叶变换概述

我们知道，傅里叶变换定义了以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱 函数”之间的某种变换关系，也就是说， 傅里叶变换建立了时域和频域之间的联系。所以当

自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就形成了各种不同形式的傅里叶变换对。

一、时间连续、频率连续的傅里叶变换( FT)

其傅里叶变换公式为：

正变换 X(j「」)=j-x(t)e jtdt

反变换 x(t) 1 "X(j.^ejid^

2兀J

连续时间非周期信号 x(t)的傅里叶变换结果是连续的非周期的频谱密度函数 X(j Q )，如

图所示。

可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性， 而时域的非周期性造成频谱的连续

性。

二、时间连续、频率离散的傅里叶变换一一傅里叶级数( FS)

周期为T的周期性连续时间函数 x(t)可展开成傅里叶级数，其系数为 X(jk Q 0), X(jk Q o)

是离散频率的非周期函数。 x(t)和X(jk Q °)组成变换对，其变换公式为：

1 T/2

正变换 X(jk，S)=〒 _2X(t)e dt

反变换 x(t) = a X( j^10)ej^°t

k =JOCI

式中，k 谐波序号；

Q o=2 n /T――两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔;

x(t)和 X(jk Q °)之间的变换关系如图所示。

iztl)

可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性， 而时域函数的周期性造成频域函数

的离散化。

三、时间离散、频率连续的傅里叶变换一一序列的傅里叶变换( DTFT )

1. DTFT的定义 序列的傅里叶变换公式为: Xe(n)= 1

尹(n) 5]

X°( n) 尹(叭xE] 正变换 O0

X(ej ')二 '、x(n)e

傅⾥叶变换

傅⾥叶变换

实现图像变换的⼿段有数字和光学两种形式，它们分别对应⼆维离散和连续函数运算。数字变换在计算机中进⾏，提⾼运算速度是这种⽅式的关键。常⽤的有三种变换⽅法。①傅⾥叶变换。②沃尔什-阿达玛变换。③离散卡夫纳－勒维变换。其中傅⾥叶变换是应⽤最⼴泛和最重要的变换。它的变换核是复指数函数，转换域图像是原空间域图像的⼆维频谱，其“直流”项与原图像亮度的平均值成⽐例，⾼频项表征图像中边缘变化的强度和⽅向。为了提⾼运算速度，计算机中多采⽤傅⾥叶快速算法。它是⼀种便于运算的变换。变换核是值+1或-1的有序序列。这种变换只需要作加法或减法运算,不需要象傅⾥叶变换那样作复数乘法运算,所以能提⾼计算机的运算速度，减少存储容量。这种变换已有快速算法，能进⼀步提⾼运算速度。它是以图像的统计特性为基础的变换，⼜称霍特林变换或本征向量变换。变换核是样本图像的协⽅差矩阵的特征向量。这种变换⽤于图像压缩、滤波和特征抽取时在均⽅误差意义下是最优的。但在实际应⽤中往往不能获得真正协⽅差矩阵，所以不⼀定有最优效果。它的运算较复杂且没有统⼀的快速算法。可以⽤它完成图像分析、图像增强及图像压缩等⼯作。

⼀、离散傅⾥叶变换1.1、⼀维离散傅⾥叶变换

对于有限长序列)1,,1,0)((-=N x x f ，定义⼀维离散傅⾥叶变换对如下：[]1,1,0)()()(1

-===∑-=N u x f x f DFT

u F N x ux

W

（1-1）[]1,1,0)(1)()(1

-==

=∑

-=-N x W

u F N

u F IDFT

x f N u ux

（1-2）

式中，Nj

e

W π2-=，称为变换核。由上式可见，给定序列)(x f ，可以求出其傅⾥叶谱)(u F ；反之

亦然。因此离散傅⾥叶变换对可以简记为)()(u F x f ?。)(u F ⼀般可以写成为复数形式： )()()(u j e

u F u F ?= （1-3）

其中，称)(u F 为傅⾥叶幅度谱，)(u ?为相位谱。 1.2、⼆维离散傅⾥叶变换

表2-1 常用信号的傅里叶变换表

序 号 )(tf )(F

1 )(tuta e j1a

2 )(tutta e 2j1)(a

3 ||t 22

4 )(t 1

5 1 )(2

6 )(tu j1)(

7 )()(tut0cos 22000j2)()(

8 )()(tut0sin 220000j2)()(

9 t0cos )()(00

10 t0sin )()(00j

11 2Sa2wtw )(wD

12 )(tD 2Sa 

13 || eta 222aa

14 222e/t 0 e 2222,/

15 )(tT0

00002 2TnTn),(

表2-2 傅里叶变换的运算特性

序号 运算名称 时间函数 频谱函数

1 放大 )(tfK0 )(FK0

2 比例 )(atf aFa||1 3 时移 )(0ttf 0 jetF)(

4 频移 ttf0je)( )(0F

5 时间微分 tfdd )()(Fj

6 n次时间微分 nntfdd )()(Fnj

7 时间积分 d tf)( )()()(0j1FF

8 频率微分 )()(tftj ddF

9 n次频率微分 )()(tftnj nnFdd

10 叠加 )()(tBftAf21 )()(21BFAF

11 时间卷积 )()(tftf21 )()(21FF

12 频率卷积 )()(tftf21 )()(2121FF