自动控制原理第三章答案

第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案

3-1 已知系统脉冲响应t25.1e0125.0)t(k，试求系统闭环传递函数)s(。

解 )25.1s/(0125.0)t(kL)s(

3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程)t(r)t(r)t(c)t(cT

近似描述，其中，1)T(0。试求系统的调节时间st。

解 设单位阶跃输入ssR1)(

当初始条件为0时有：1Ts1s)s(R)s(C

1TsTs1s11Ts1s)s(C T/teTT1)t(h)t(c

T)0(h，1)(h，20TT)]0(h)(h[05.0

求 st

T/tsseTT1)0(h)]0(h)(h[95.0)t(h

3T05.ln0Tts

3-2 一阶系统结构如图所示。要求单位阶跃输入

时调节时间4.0tss（误差带为5%），稳态

输出为2，试确定参数21k,k的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数

1kksk1kkskskk1sk)s(212211211

闭环增益2k1k2， 得：5.0k2

令调节时间4.0kk3T3t21s，得：15k1。 3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 下图（a）和（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。

解 （1）对（a）系统：

1s1011s10K)s(Ga， 时间常数 10T

 632.0)T(h （a）系统达到稳态温度值的63.2%需要10秒；

对（b）系统：1s10110101100101s10100)s(b， 时间常数 10110T

 632.0)T(h （b）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099秒。

（2）对（a）系统： 1)s(N)s(C)s(Gn

1.0)t(n时，该扰动影响将一直保持。

对（b）系统： 101s101s101s1010011)s(N)s(C)s(n

1.0)t(n时，最终扰动影响为001.010111.0，比开环控制好得多。

3-5 给定典型二阶系统的设计指标：超调量0<%32.4%，调节时间

s5.0ts，峰值时间s1tp，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。

解 依题 %5%， )45(707.0； (1) 若)t(1)t(r，0)t(n两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需

多长时间？(2) 当有阶跃扰动1.0)t(n时，求扰动对两种系统的温度的影响。

5.05.3tns， 7n；

npt211， 14.312n

综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图所示。

3-6 电子心脏起博器心律控制系统结构如图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。

解 依题，系统传递函数为

2nn22n2s2s05.0Ks05.01s05.0K)s(

nn205.0105.0K

令 5.0可解出

2020Kn

将 s1t代入二阶系统阶跃响应公式

t1sin1e1)t(hn22tn

可得 min00145.60s000024.1)1(h次次

5.0时，系统超调量 %3.16%，最大心速为

min78.69s163.1163.01t(hp次次） （1） 若5.0对应最佳响应，问起博器增益K应取多大？

（2） 若期望心速为60次/min，并突然接通起博器，问1s钟后实际心速为多少？瞬时最大心速多大？

3-7 机器人控制系统结构如图所示, 试确定

参数21k,k值，使系统阶跃响应的峰值时间

5.0tps，超调量%2%。

解 依题，系统传递函数为

2nn22n12121211s2sKKs)KK1(sK)1s(s)1sK(K1)1s(sK)s(

由

5.01t02.0en2p1oo2 联立求解得 1078.0n

比较)(s分母系数得

146.0K12K100K1n22n1

3-8 下图(a)所示系统的单位阶跃响应如图(b)所示。试确定系统参数,k12k，a和闭环传递函数)s(。

解 由系统阶跃响应曲线有

oooop3.333)34(1.0t3)(h

系统闭环传递函数为

2nn22n21221s2sKKassKK)s(

（1）由

oo1oon2p3.33e1.01t2 联立求解得

28.3333.0n

由式（1）222a1108Kn2n1

另外 3KKassKKlims1)s(slim)(h212210s0s

56.110796s.21s68.3322)s(2

3-9 已知系统的特征方程为D(s)，试判断系统的稳定性，并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。

（1） 0100s24s8s)s(D23

（2） 02ss5s10s3)s(D234

(3) 010s11s4s2s2s)s(D2345

(4) 048s32s24s12s3s)s(D2345

(5) 05s2s4s2s)s(D234

解 （1） 0100s24s8s)s(D23

Routh： s3 1 24

s2 8 100

s1 92

s0 100 第一列同号，所以系统稳定。 （2） 02ss5s10s3)s(D234

Routh： s4 3 5 2

s3 10 1

s2 47 20

s1 -153

s0 20

第一列元素变号两次，有2个正实部根。

（3）1011422)(2345ssssssD=0

Routh： S5 1 2 11

S4 2 4 10

S3  6

S2 124 10

S 27224

S0 10

第一列元素变号两次，有2个正实部根。

（4）483224123)(2345ssssssD=0

Routh： s5 1 12 32

s4 3 24 48

s3 3122434 32348316 0

s2 424316412 48

s 1216448120 辅助方程 124802s,

s 24 辅助方程求导：024s

s0 48

第一列没有变号，系统没有正实部根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 2js2,1，系统不稳定。

(5) 05s2s4s2s)s(D234

Routh： s4 1 4 -5

s3 -2 2

s2 10 -10

s1 0 辅助方程 010s102

s1 20 辅助方程求导 0s20

s0 -10

第一列元素变号3次，有3个正实部根,系统不稳定。.

解辅助方程得:s1=-1，s2=+1，由长除法得s3=+1+j2，s4=+1-j2

3-10 单位反馈系统的开环传递函数)5s)(3s(sk)s(G，试判断系统稳定性；若要求系统特征根的实部不大于1，试确定k的取值范围。

解 特征方程为：

0ks15s8s)s(D23

Routh ： S3 1 15

S2 8 k

S 120-k

S0 k

120k0时系统稳定。

做代换 1ss 有：

0)8k(s2s5sk)1s(15)1s(8)1s()s(D2323

Routh ： S3 1 2

S2 5 k-8

S 18-k 18k

S0 k-8 8k

系统特征根的实部不大于1的k值范围为： 18k8

3-11 下图是船舶横摇镇定系统结构图，为增加船只的阻尼引入了内环速度反馈。

(1) 动力矩对船只倾斜角的传递函数)s(M)s(N；

(2) 单位阶跃时倾斜角的终值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求2k、1k和3k应满足的方程。

解 （1）

)KK5.01(s)KK5.02.0(s5.01s2.0sKK5.01s2.0ssKK5.011s2.0s5.0)s(M)s(213222a12322N（2）由题意知：

1.0KK5.015.0)s(M)s(s1slim)s(M)s()s(Mslim)(21N0sNN0s

得8KK21。 由 )s(M)s(N 有：

5.025.02.05.013221nnKKKK， 可得

55.015.02.02132KKKK 最终得：072.44.05232kk

3-12 温度计的传递函数为11Ts，用其测量容器内的水温，1min才能显示出该温度的98%的数值。若加热容器使水温按10ºC/min的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？

解法一 依题意，温度计闭环传递函数

1Ts1)s(，由一阶系统阶跃响应特性可知：oo98)T4(h，因此有

min1T4，得出 min25.0T。

视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为

Ts1)s(1)s()s(G 1vT1K

用静态误差系数法，当t10)t(r 时，C5.2T10K10ess。