2.3 圆锥曲线的参数方程 2.3.1 椭圆的参数方程 2.3.2 抛物线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝b sin t __(0≤t ≤2π)t 的意义是参数t 是椭圆上一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为点M 的离心角).(2)中心不在原点，而在点(x 0，y 0)处椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋a cos t ，y ＝y 0＋b sin t 0≤t ≤2π .2.抛物线的参数方程抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt__t ∈(－∞，＋∞)，参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线斜率的倒数. 【思维导图】【知能要点】 1.椭圆的参数方程. 2.抛物线的参数方程.知识点1 椭圆的参数方程1.和圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM 的旋转角不同，椭圆参数方程⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角.2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1 (a >b >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(0≤φ≤2π).【例1】 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.解：由动点C 在该椭圆上运动，故据此可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6，0)，B (0，3). 由重心坐标公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3＝2＋2cos θ，y ＝0＋3＋3sin θ3＝1＋sin θ.由此消去θ得到（x －2）24＋(y －1)2＝1即为所求.【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.1.设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点.(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程. 解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4， 得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0).(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)， 线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02， 所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1，这就是线段F 1P 的中点的轨迹方程.知识点2 抛物线的参数方程抛物线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.【例2】 设飞机以匀速v ＝150 m/s 做水平飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度，重力加速度g ＝9.8m/s 2).(1)求炸弹离开飞机后的轨迹参数方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标(结果保留整数).解：(1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0，588)，B 为目标，坐标为(x 0，0).记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝588－12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，即⎩⎨⎧x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2. 这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0， 即588－4.9t 2＝0，解得t 0＝230(s). 由此得x 0＝150×230＝30030≈1 643 (m).即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题.利用抛物线的参数方程解决.2.若不计空气阻力，炮弹运行轨道是抛物线，测得我炮位A 与炮击目标B 在同一水平线上，水平距离为6 000 m ，炮弹运行的最大高度为1 200 m ，求炮弹的发射角α和发射初速度v 0(重力加速度g ＝9.8 m/s 2).解：在以A 为原点，直线AB 为x 轴的直角坐标系中，炮弹方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t cos α，y ＝v 0t sin α－12gt 2(t 为参数)，它经过最高点(3 000，1 200)和点B (6 000，0)的时间分别为t 0和2t 0，代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＝v 0t 0cos α，1 200＝v 0t 0sin α－12gt 20，0＝2v 0t 0sin α－2gt 20，消去t 0，得⎩⎨⎧v 20sin αcos α＝3 000 g ，v 20sin 2α＝2 400 g .解得：α＝38.7°，v 0＝7 1 230(m/s).知识点3 利用参数方程求圆锥曲线相交弦问题利用直线或圆锥曲线方程中参数的意义，求解有关相交弦问题更简洁，易于计算. 【例3】 已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与椭圆（x ＋1）29＋（y ＋2）216＝1交于A ，B 两点，求|AB |及P (－1，2)到A ，B 两点的距离之积与之和.将⎩⎨⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t 代入（x ＋1）29＋（y ＋2）216＝1中，得t A ＝1，t B ＝0，∴|AB |＝32＋（－4）2·|t A －t B |＝5，|P A |＝32＋（－4）2·|t A |＝5，|PB |＝32＋（－4）2·|t B |＝0.|P A |·|PB |＝0，|P A |＋|PB |＝0＋5＝5.【反思感悟】(1)注意利用直线参数方程的一般形式⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)求弦长时，弦长l ＝a 2＋b 2·|t 2－t 1|.(2)在直线参数方程中，如果直线上的点M 1，M 2所对应的参数值分别为t 1和t 2，则线段M 1M 2的中点所对应的参数值为t 中＝12(t 1＋t 2).3.已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y－6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.课堂小结1.椭圆和双曲线的参数方程中，参数φ的几何意义都是曲线上点M 的离心角；抛物线参数方程中参数t 的几何意义是抛物线上的点(除顶点外)和顶点连线斜率的倒数.2.圆锥曲线的参数方程可以有不同的形式，求曲线的参数方程可根据具体问题选取角度、长度、斜率、时间等作为参数.随堂演练1.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数). 解：由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2 θ＝1＋2x 得y 2＝2x ＋1.∵－12≤12sin 2θ≤12，∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2，∴－2≤y ≤ 2. 故所求普通方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12，－2≤y ≤2，图形为抛物线的一部分，如图所示.2.如图所示，过不在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任一点P 作两条直线l 1，l 2分别交椭圆于A ，B 和C ，D 四点，若l 1，l 2的倾斜角为α，β且满足α＋β＝π.求证：A ，B ，C ，D 四点共圆.证明：设P (x 0.y 0)，直线l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，直线l 2⎩⎨⎧x ＝x 0＋p cos β，y ＝y 0＋p sin β(p 为参数)，分别代入椭圆方程得(b 2cos 2α＋a 2sin 2α)t 2＋2(b 2x 0cos α＋a 2y 0sin α)t ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2＝0；(b 2cos 2β＋a 2sin 2β)p 2＋2(b 2x 0cos β＋a 2y 0sin β)p ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2＝0.∵α＋β＝π，∴cos 2α＝cos 2β，sin 2α＝sin 2β，∴t 1t 2＝p 1p 2，即|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |.由平面几何知识知，A ，B ，C ，D 四点共圆.基础达标1.椭圆⎩⎨⎧x ＝a cos α，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0，2π]，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝( )A.πB.π2C.2πD.32π 答案：A解析：将(－a ，0)代入参数方程，得⎩⎨⎧－a ＝a cos θ，0＝b sin θ，∴⎩⎨⎧cos θ＝－1，sin θ＝0.∵θ∈[0，2π]，∴θ＝π. 2.下列在曲线⎩⎨⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12C.(2，3)D.(1，3)答案：B解析：转化为普通方程：y 2＝1＋x (|y |≤2)，把选项A 、B 、C 、D 代入验证得，选B.3.P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A.36B.6C.26D.25 答案：A解析：借助于曲线的参数方程，(x －5)2＋(y ＋4)2 ＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2 ＝－6cos α＋8sin α＋26＝10sin(α－φ)＋26， ∵sin(α－φ)∈[－1，1]， ∴(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36.4.曲线⎩⎨⎧x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是______________. 答案：(1，0)，(－5，0)解析：将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1或x ＝－5.5.过抛物线⎩⎨⎧y ＝2t ，x ＝t 2(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6.则|AB |＝________. 答案：8解析：把参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，p ＝2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 6.在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离的最小值. 解：设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝2 3 sin θ，d ＝|4cos θ－43sin θ－12|5＝455|cos θ－3sin θ－3|＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3当cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1时，d min ＝455，此时所求点为(2，－3).综合提高7.若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则|PF |等于( )A.2B.3C.4D.5 答案：C解析：抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.8.椭圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为( )A.21B.2 21C.29D.229 答案：B解析：由椭圆的参数方程知：a ＝5，b ＝2，∴c ＝25－4＝21. ∴2c ＝2 219.二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________.答案：(－4，0)解析：题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4，0).10.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________. 答案：(2，－4)解析：将极坐标方程、参数方程转化为普通方程，联立求得交点坐标，或只将直线的极坐标方程转化为普通方程，再把曲线的参数方程代入直线的普通方程求交点坐标.由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2得x ＋y ＝－2.法一：由⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，得y 2＝8x ，联立⎩⎨⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4).法二：把⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t代入x ＋y ＋2＝0得t 2＋22t ＋2＝0，解得t ＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4).11.设抛物线y 2＝4x 有内接△OAB ，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长.解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，F 为△OAB 的垂心，所以x 轴⊥AB ，A 、B 关于x 轴对称.设A (4t 2，4t )(t ＞0)，则B (4t 2，－4t )，所以k AF ＝4t 4t 2－1，k OB＝－4t 4t 2＝－1t . 因为AF ⊥OB ，所以，k AF ·k OB ＝4t 4t 2－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t ＝－1. 所以t 2＝54，由t ＞0得t ＝52，所以A (5，25)，B (5，－25)，所以|AB |＝45，|OA |＝|OB |＝35， 这个三角形的周长为10 5.12.(创新拓展)过点M (3，2)作椭圆（x －2）225＋（y －1）216＝1的弦. (1)求以M 为中心的弦所在直线的方程；(2)如果弦的倾斜角不大于90°，且M 到此弦的中心距离为1，求此弦所在直线的方程.解：(1)设过点M (3，2)的直线参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t ·cos αy ＝2＋t ·sin α(t 为参数α为倾斜角) 将其代入椭圆方程得t 2(16cos 2α＋25sin 2α)＋2t (16cos α＋25sin α)－359＝0.∵M 为弦的中点，∴t M ＝t 1＋t 22＝0.∴16cos α＋25sin α＝0，得tan α＝－1625.故此弦所在直线的方程为16x ＋25y －98＝0.(2)∵点M 到弦中点的距离为|t 1＋t 22|，且0≤α≤π2，∴16cos α＋25sin α16cos 2α＋25sin 2α＝1， 即16cos α＋25sin α＝16cos 2α＋25sin 2α.∵cos α≥cos 2α，sin α≥sin 2α，∴等式成立的充要条件是cos α＝cos 2α，且sin α＝sin 2α，从而倾斜角α只能为0°到90°，故此时过点M (3，2)的弦所在直线的方程分别为y ＝2或x ＝3.。
