第42课时 圆的认识(含答案)

- 1 - 第42课时 圆的认识

◆考点聚焦

1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一．

2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、•弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点．

3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、•四边形等结合的题型也是中考热点．

◆备考兵法

“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．

◆识记巩固

1．到定点的距离等于______的点的轨迹叫做圆，其中________叫圆心，______叫半径．

2．圆既是________图形，又是_______图形，圆心是_________，•任意一条直径所在的直线是________．

3．垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且_______这条弦所对的两条弧；平分________的直径垂直于弦，并且平分_______．如图：①AB为圆心；②AB⊥CD；•③CE=DE；④ACAD；⑤BCBD．其中，任意满足两个结论，均可推出其余三个结论成立．

4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角，_______，_______（或

- 2 - _______）中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等．

5．圆圆角及定理：顶点在______，角的两边都与_____相交的角叫圆周角．在同圆或等圆中，________所对的圆周角相等，都等于它所对的_______；相等的圆周角所对的________•相等；••_________•所对的圆周角是直角；••90•°的圆周角所对的弦是________．

识记巩固参考答案：

1．定长 定点 定长 2．轴对称 中心对称 对称中心 对称轴

3．平分 平分 非直径弦 这条弦所对的两条弦

4．两条弧 两条弦 弦心距

5．圆上 圆 •同弧或等弧 圆心角的一半 弧 直径 直径

◆典例解析

例1 （2008，贵州贵阳）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB=13，BC=5．

（1）求sin∠BAC的值；

（2）如果OD⊥AC，垂足为点D，求AD的长；

（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1）

解析 （1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴sin∠BAC= 513BCAB．

（2）在Rt△ABC中，AC= 2222135ABBC =12．

又∵OD⊥AC于点D，

∴AD=12AC=6．

（3）∵S半圆=12×（2AB）2=12×1694=1698．

- 3 - S△ABC=12AC×BC=12×12×5=30，

∴S阴影=S半圆－S△ABC =1698－30≈36.3

点评 “直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视．

例2 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC•交⊙O于点F．

（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？

（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．

解析 （1）AB=AC，理由如下：

（方法一）连结DO，

则OD是△ABC的中位线，

∴OD∥CA．

∵∠ODB=∠C，

∴DO=BO．

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠OBD=∠ACB，

∴AB=AC．

（方法二）连结AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC．

又∵BD=CD，

∴AB=AC．

（方法三）连结DO，

则OD是△ABC的中位线，

∴OD=12AC，OB=OD=12AB，

- 4 - ∴AB=AC．

（2）连结BF．

∵AB是⊙O的直径．

∴∠ADB=90°，

∴∠B<∠ADC=90°，∠C<∠ADB=90°．

∴∠B，∠C为锐角．

又∵∠A<∠BFC=90°．

∴△ABC为锐角三角形．

点评 一题多解是培养我们发散思维的极好方式，•我们应在习题中加以运用与发展．

例3 （2008，四川泸州）如图，在气象台A的正西方向240千米的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20千米的速度沿北偏东60°的BD•方向移动，•在距离台风中心130千米内的地方都要受其影响．

（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？

（2）台风中心在移动过程，气象台将受台风影响，•求台风影响气象台的时间会持续多长？

解析 （1）如图，过点A作AE⊥BD于点E．

∵∠DBA=90°－60°=30°，

∴AE=12AB=12×240=120（km）．

∴台风中心与气象台的最短距离是120km．

（2）连结AC，则AC=130km．

∴CE=2222130120ACAE=50（km）．

∴CD=2CE=100km．

∴影响时间=100÷20=5（小时）．

点评 台风的影响范围是一个图形区域．该区域半径为130km，所以在BD上离A点130km的C处开始A受影响．一直持续至距A也是130km的D处结束．

- 5 - ◆中考热身

1．（2008，山东枣庄）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=5，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）

A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5

2．（2008，四川宜宾）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD=_______．

3．（2008，四川泸州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是AC的中点，BD交AC于点E．

（1）求证：AD2=DE·DB．

（2）若BC=52，CD=52，求DE的长．

- 6 - 4．（2008，山东枣庄）如图，已知在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM>MC，连结DE，DE=15．

（1）求证：AM·MB=EM·MC；

（2）求EM的长；

（3）求sin∠EOB的值．

◆迎考精练

一、基础过关训练

1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）

A．45° B．60° C．75° D．90°

(第1题) (第2题) (第3题)

2．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN的中点，P•是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）

A．22 B．2 C．1 D．2

- 7 - 3．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④AE的长是DE的2倍；⑤AE=BC．•其中正确结论的序号是_______．

4．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交BC于点D．

（1）请写出四个不同类型的正确结论；

（2）连结CD，设∠CDB=，∠ABC=，写出与之间的一种关系式，并给予证明．

二、能力提升训练

5．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，•求EF的长．

- 8 - 6．在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC于点D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当AB的长等于多少时，⊙O的面积最大？并求出最大值．

7．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，且AB=AC=4，P为AB上一点，过点P作PE•⊥AB分别交BC，OA于点E，F．

（1）设AP=1，求△OEF的面积．

（2）设AP=a（0

①若S1=S2，求a的值；

②若S=S1+S2，是否存在一个实数a，使得S<153？若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．

- 9 - 参考答案

中考热身

1．C 2．8

3．（1）证明：∵D是AC的中点，∴∠ABD=∠EAD．

又∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA．

∴ADDEBDAD，∴AD2=DE·DB．

（2）∵ADCD，∴AD=CD=52．

又∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°．

∴BD=222255()()22BCCD=5．

∵AD2=DE·DB（已证），

∴DE=225()5245ADDB．

4．（1）连结AC，EB，则∠CAM=∠BEM．

又∠AMC=∠EMB，

∴△AMC∽△EMB．

∴EMMBAMMC，即AM·MB=EM·MC．

（2）∵DC为⊙O的直径，∴∠DEC=90°，

∴EC=22228(15)DCDE=7．

∵OA=OB=4，M为OB的中点．

∴AM=6，BM=2．

设EM=x，则CM=7－x．

又AM．MB=EM．MC，∴6×2=x（7－x）．