[精品][高中数学]二次函数经典习题集

可编辑修改精选全文完整版10．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A 出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．①当PQ⊥AC时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．11．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是_________三角形；（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．12．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．13．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．14．如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q．（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ 是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．15．（2012•衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．16．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．11．（2012•陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是等腰三角形；（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题。

二次函数练习题及答案二次函数是高中数学中的一个重要知识点，也是数学建模和应用题中常见的内容。

在学习二次函数的过程中，练习题是必不可少的。

通过大量的练习，可以加深对二次函数的理解，提高解题能力。

本文将给出一些常见的二次函数练习题及答案，希望对读者的学习有所帮助。

题目一：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（1,3），且在x轴上的截距为4，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：3=a+b+c0=a+4b+16c解方程组得：a=2，b=-6，c=7题目二：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-2,5），且在x轴上的截距为6，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：5=4a-2b+c0=36a+6b+c解方程组得：a=-1/6，b=1/3，c=1/2题目三：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（3,2），且在x轴上的截距为5，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：2=9a+3b+c0=25a+5b+c解方程组得：a=-1/5，b=2/5，c=0题目四：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-3,4），且在x轴上的截距为7，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：4=9a-3b+c0=49a+7b+c解方程组得：a=-1/7，b=2/7，c=4/7通过以上四道题目的练习，我们可以发现，已知二次函数的图象经过一个点和在x轴上的截距，可以得到一个含有三个未知数的方程组，通过解方程组可以求解出a，b，c的值。

这是二次函数的基本应用之一。

除了已知图象经过一个点和在x轴上的截距，还有其他常见的二次函数练习题类型，如已知顶点坐标、已知对称轴、已知与其他函数的关系等。

通过大量的练习，可以熟练掌握这些题型，并且在实际应用中能够灵活运用。

二次函数练习题的答案不仅仅是求出a，b，c的值，更重要的是理解解题过程。

在解题过程中，我们需要灵活运用二次函数的性质，如顶点坐标公式、对称性、判别式等。

二次函数习题1.如图：△ABC 是边长为4的等边三角形,AB 在X 轴上,点C 在第一象限,AC 与Y 轴交于点D,点A 的坐标为（-1,0）(1)求 B 、C 、D 三点的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过B 、C 、D 三点,求它的解析式；2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（1,0）（0,3）,对称轴x= -1. (1)求函数解析式；(2)若图象与x 轴交于A 、B （A 在B 左）与y 轴交于C,顶点D,求四边形ABCD 的面积.3.已知：抛物线m x x y +--=232与X 轴分别交于A 、B 两点（点A 在B 的左边）,点P 为抛物线的顶点,(1)若抛物线的顶点在直线313+=x y 上,求抛物线的解析式； (2)若AP ∶BP ∶AB=1∶1∶2,求抛物线的解析式.4.已知二次函数y=x 2-(m 2+8)x+2(m 2+6),设抛物线顶点为A,与x 轴交于B 、C 两点,问是否存在实数m,使△ABC 为等腰直角三角形,如果存在求m;若不存在说明理由.5.已知：抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （-1,4）,其顶点的横坐标是1/2,与X 轴分别交于B （x 1,0）,C（x 2,0）两点（其中x 1<x 2）,且x 12+x 22=13. (1)求此抛物线的解析式及其顶点E 的坐标；(2)设此抛物线与y 轴交于点D,点M 是抛物线上的点,若ΔMBO 的面积为ΔDOC 的面积的2/3倍,求点M 的坐标.6.已知：抛物线4)343(2++-=x m mx y 与X 轴交于两点A 、B,与Y 轴交于C 点,若△ABC 是等腰三角形,求抛物线的上解析式.7.已知抛物线c bx ax y ++=2经过P （-2,-2）,且与X 轴交于点A,与Y 轴交于点B,点A的横坐标是方程1114=--x x 的根,点B 的纵坐标是不等式组⎩⎨⎧>-≥-034012x x 的整数解,求抛物线的解析式.8.抛物线c bx ax y ++=2的顶点为A （2,-3）,与直线13+-=x y 有一个交点且该交点的横坐标为1.⑴求它的解析式；⑵设抛物线对称轴与x 轴交于B 点,抛物线与y 轴交于C 点,求△ABC 的面积.9.已知：抛物线62++=mx x y 与X 轴相交于点A 、B,点P 是抛物线的顶点,(1)当△PAB 的面积为81时,求抛物线的解析式；(2)是否存在实数m,能使△PAB 为正三角形,若存在,求出m 的值；若不存在,说明理由.10.已知抛物线y=ax2+bx+c 与y 轴交于点A （0,3）,与x 轴分别交于B （1,0）,C （5,0）两点(1)求此抛物线的解析式(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点,求直线DC 的解析式(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发,先到达x 轴上的某点（设为点E ）,在到达抛物线的对称抽上某点（设为点F ）,最后运动到点A,求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标,并求出这个最短总路径的长11.如图,已知点,,,且,,抛物线经过A 、B 、C 三点,点是抛物线与直线的一个交点． (1)求抛物线的解析式； (2)对于动点,求的最小值；(3)若动点在直线上方的抛物线上运动,求的边AP 上的高的最大值．(10)A -，(30)B ，(0)C t ，0t >tan 3BAC ∠=(2)P m ，:(1)l y k x =+(1)Q n ，PQ QB+M l AMP △h O ACBxy12.如图3,已知直线112y x=+与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为 (1,0).(1)求该抛物线的解析式；(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P.(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使||AM MC-的值最大,求出点M的坐标.13.如图4,已知二次函数cbxxy++-=221(0)c<的图象与x轴的正半轴相交于点A、B,与y 轴相交于点C,且OBOAOC⋅=2．(1)求c的值；(2)若△ABC的面积为3,求该二次函数的解析式；(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点,试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．14.已知y是x的二次函数,且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位,当x=3时,y取得最小值-2.(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P,使ΔPAB的面积等于12个平方单位,求P点坐标.15.如图,二次函数c bx x y ++=2的图象经过点M （1,—2）、N （—1,6）. (1)求二次函数c bx x y ++=2的关系式. (2)把Rt △ABC 放在坐标系内,其中∠CAB = 90°,点A 、B 的坐标分别为（1,0）、（4,0）,BC = 5.将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在抛物线上时,求△ABC 平移的距离.16.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM 为12米.现以O 点为原点,OM 所在直线为X 轴建立直角坐标系（如图所示）. (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数解析式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB,使A 、D 点在抛物线上,B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.17.正方形ABCD 边长为4,M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点,当M 点在BC 上运动时,保持AM 和MN 垂直.(1)证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；(2)设BM=x,梯形ABCN 的面积为y,求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时,四边形ABCN 面积最大,并求出最大面积； (3)当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN,求此时x 的值.O M PD C B AyxDB AM CNABCOxy 18.如图,抛物线的顶点为A （2,1）,且经过原点O,与x 轴的另一个交点为B ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点M,使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；(3)连结OA,AB,在x 轴下方的抛物线上是否存在点N,使△OBN 与△OAB 相似？若存在,求出N 点的坐标；若不存在,说明理由．19.如图,函数b x k y +=11的图象与函数)0(22>=x xk y 的图象交于点A(2,1)、B,与y 轴交于点C(0,3)．(1)求函数1y 的表达式和点B 的坐标； (2)观察图象,比较当x ＞0时1y 与2y 的大小．20.如图,抛物线k x y ++=2)1(与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,－3)． (1)求抛物线的对称轴及k 的值；(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA ＋PC 的值最小,求此时点P 的坐标； (3)点M 是抛物线上一动点,且在第三象限．① 当M 点运动到何处时,△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标； ② 当M 点运动到何处时,四边形AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标．x yO CAB y xO AB,0）两点,与y轴交于点C(0,3),抛物线的21.如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0),B（3顶点为P,连结AC．(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,且直线DC与x轴交于点Q,求点D的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得S△MAP=2S△ACP,若存在,求出M点坐标；若不存在,请说明理由．。

(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、已知a >0，b >0且ab ＝1，不等式12a +12b +ma+b ≥4恒成立，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥2B ．m ≥4C ．m ≥6D ．m ≥8 答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a +b 的范围，化简不等式可得m ≥4(a +b )−(a+b )22，利用二次函数性质求4(a +b )−(a+b )22的最大值，由此可求m 的取值范围. 不等式12a+12b+m a+b≥4可化为a+b 2ab+m a+b≥4，又a >0，b >0，ab ＝1，所以m ≥4(a +b )−(a+b )22，令a +b =t ，则m ≥4t −t 22，因为a >0，b >0，ab ＝1，所以t =a +b ≥2√ab =2，当且仅当a =b =1时等号成立， 又已知m ≥4t −t 22在[2,+∞)上恒成立，所以m ≥(4t −t 22)max因为4t −t 22=12(8t −t 2)=−12(t −4)2+8≤8，当且仅当t =4时等号成立，所以m ≥8，当且仅当a =2−√3，b =2+√3或a =2−√3，b =2+√3时等号成立， 所以m 的取值范围是[8,+∞)， 故选：D.2、若对任意x >0,a ≥2xx 2+x+1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−1,+∞)B ．[3,+∞)C ．[23,+∞)D ．(−∞,1]答案：C分析：依题意a ≥(2xx 2+x+1)max，利用基本不等式求出2xx 2+x+1的最大值，即可得解；解：因为x >0，所以2x x 2+x+1=2x+1x+1≤2√x⋅1x+1=23，当且仅当x =1x即x =1时取等号，因为a ≥2x x 2+x+1恒成立，所以a ≥23，即a ∈[23,+∞)；故选：C3、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x (x ≥1)，所以x +4x ≥2√x ×4x =4，当且仅当x =4x 即x =2时等号成立. 所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4.故选：C.4、若不等式组{x −1>a 2x −4<2a的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−1,3)B ．(−∞,−1)∪(3,+∞) C ．(−3,1)D ．(−∞,−3)∪(1,+∞) 答案：A分析：分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解．由题意{x >a 2+1x <2a +4，∴a 2+1<2a +4，即a 2−2a −3<0，解得−1<a <3．故选：A ．小提示：本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题． 5、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A．7B．4√3C．9D．2√3答案：C分析：利用基本不等式即可求解.解：∵x>53，∴3x−5>0，则3x+43x−5=(3x−5)+43x−5+5≥2√(3x−5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x−5=2时，等号成立，故3x+43x−5的最小值为9，故选：C．6、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，则下列说法正确的是（）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+ bx+c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B7、设m，n为正数，且m+n=2，则4m+1+1n+1的最小值为（）A ．134B ．94C ．74D ．95答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1 =(4m+1+1n+1)(m+14+n+14) =n+1m+1+m+14(n+1)+54≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54 =94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即 m =53，n =13时等号成立. 故选：B .8、某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a 匀速跑，后半程以速度b 匀速跑；选手乙前一半时间以速度a 匀速跑，后一半时间以速度b 匀速跑（注：速度单位m s ⁄），若a ≠b ，则（ ） A ．甲先到达终点B ．乙先到达终点C ．甲乙同时到达终点D ．无法确定谁先到达终点 答案：B解析：设马拉松全程为x ，得到甲用的时间为12(x a +x b )，乙用的时间为x a+b 2=2xa+b ，做差比较大小可得答案.设马拉松全程为x ，所以甲用的时间为12(x a +x b )，乙用的时间为x a+b 2=2xa+b ，因为a ≠b ， 所以12(xa +xb )−2xa+b =bx (a+b )+ax (a+b )−4abx2ab (a+b )=(a−b )2xab (a+b )>0，所以12(xa +xb )>2xa+b ，则乙先到达终点. 故选：B.小提示：比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小； （3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.9、若正数x ，y 满足3x +1y =5，则3x +4y 的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．25答案：C分析：由3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果. ∵3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(13+3x y+12y x)≥15(13+2√3x y ⋅12y x)=5（当且仅当3x y =12y x，即x =2y =1时取等号）， ∴3x +4y 的最小值为5. 故选：C.10、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0 或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{b a =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可.解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a，即{ba=−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+c a −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3． 故选：A11、不等式x (2x +7)≥−3的解集为（ ） A ．(−∞,−3]∪[−12,+∞)B ．[−3,−12]C ．(−∞,−2]∪[−13,+∞)D ．[−2,−13]答案：A分析：解一元二次不等式即可.x (2x +7)≥−3可变形为2x 2+7x +3≥0， 令2x 2+7x +3=0，得x 1=−3，x 2=−12，所以x ≤−3或x ≥−12，即不等式的解集为(−∞,−3]∪[−12,+∞). 故选：A.12、关于x 的方程x 2+(m −2)x +2m −1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12,32]B ．(12,23]C ．[12,2)D ．(12,23]∪{6−2√7} 答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x 2+(m -2)x +2m -1=0对应的二次函数设为：f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1 因为方程x 2+(m -2)x +2m -1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足： ①f (0)⋅f (1)<0，(2m -1)(3m -2)<0，解得：12<m <23；②函数f (x )刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)， 把点(0,0)代入f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1，解得：m =12，此时方程为x 2-32x =0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去 把点(1,0)代入f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1，解得：m =23，此时方程为3x 2-4x +1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，Δ=(m -2)2-8m +4=0，解得m =6±2√7， 经检验，当m =6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内; 综上：实数m 的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D 填空题13、若正数a 、b 满足a +b =1，则13a+2+13b+2的最小值为________.答案：47分析：由a +b =1可得(3a +2)+(3b +2)=7，将代数式(3a+2)+(3b+2)7与13a+2+13b+2相乘，展开后利用基本不等式可求得13a+2+13b+2的最小值.已知正数a 、b 满足a +b =1，则(3a +2)+(3b +2)=7，所以，13a+2+13b+2=(3a+2)+(3b+2)7⋅(13a+2+13b+2) =17(3b+23a+2+3a+23b+2+2)≥17(2√3b+23a+2⋅3a+23b+2+2)=47， 当且仅当a =b =12时，等号成立.因此，13a+2+13b+2的最小值为47. 所以答案是：47.小提示：本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查了1的妙用，考查计算能力，属于基础题. 14、已知正数a,b 满足a +3b +3a +4b =18，则a +3b 的最大值是___________. 答案：9+3√6分析：设t =a +3b ，表达出t (18−t )，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可. 设t =a +3b ，则3a +4b =18−t ， 所以t (18−t )=(a +3b )(3a +4b )=15+9b a+4a b≥15+2√9b a ⋅4a b=27，当且仅当2a =3b 时取等号.所以t 2−18t +27⩽0，解得9−3√6⩽t ⩽9+3√6，即a +3b 的最大值9+3√6，当且仅当2a =3b ，即a =3+√6，b =2+2√63时取等号. 所以答案是：9+3√615、已知正数x,y 满足x 2+4y 2+2xy =1，则xyx+2y 的最大值为____. 答案：√312分析：先根据条件x 2+4y 2+2xy =1结合基本不等式求解出0<x +2y ≤2√33，然后利用基本不等式可求xyx+2y的最大值.因为x 2+4y 2+2xy =1，所以(x +2y )2−2xy =1，即(x +2y )2−1=2xy ；因为2xy ≤(x+2y 2)2，所以(x +2y )2−1≤(x+2y 2)2，当且仅当x =2y 时，等号成立，解得0<x +2y ≤2√33； 所以xyx+2y=2xy 2(x+2y)≤x+2y 8≤√312，当且仅当x =2y 时，即x =√33,y =√36时， xy x+2y取到最大值.所以答案是：√312. 16、函数f(x)=4x 2+1x(x >0)取得最小值时x 的取值为__________．答案：12分析：将函数化为f (x )=4x +1x ，根据“一正，二定，三相等”的原则即可得到答案.x >0,f (x )=4x +1x≥2√4x ⋅1x=4，当且仅当4x =1x⇒x =12时取“=”.所以答案是：12.17、用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m ． 答案：32##1.5分析：首先设框架的宽为x ，再表示框架的面积，利用基本不等式求最值，即可求框架的宽. 设框架的宽为x ，则其高为6−2x ，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S 最大，S =x (6−2x )=2x (3−x )≤2×[x+(3−x )2]2=92，当且仅当x =3−x ，即x =32时等号成立，故框架的宽为32m ．所以答案是：32解答题18、已知1≤a +b ≤4，-1≤a -b ≤2，求4a -2b 的取值范围. 答案：[−2,10]分析：令4a -2b =x (a +b )+y (a -b )，利用待定系数法求得x ，y ，再利用不等式的基本性质求解. 令4a -2b =x (a +b )+y (a -b )， 所以4a -2b =(x +y )a +(x -y )b .所以{x +y =4，x -y =−2，解得{x =1，y =3.因为1≤a +b ≤4，-1≤a -b ≤2， 所以-3≤3(a −b )≤6 所以-2≤4a -2b ≤10.19、已知命题p ：∀x ∈R,x 2+2mx +3>0，命题q ：∃x ∈R,x 2−2mx +m +2<0. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；（3）若命题p 、q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围.答案：（1）−√3<m <√3；（2）m <−1或m >2；（3）m <√3或m >2. 解析：（1）p 为真命题，可得判别式Δ<0； （2）q 为真命题，可得判别式Δ>0；（3）m的范围为（1）和（2）中m的并集.（1）若命题p：∀x∈R,x2+2mx+3>0为真命题，则Δ=(2m)2−12<0，解得−√3<m<√3.（2）若命题q：∃x∈R,x2−2mx+m+2<0为真命题，则Δ=4m2−4(m+2)>0，解得m<−1或m>2.（3）若命题p、q至少有一个为真命题，则−√3<m<√3，或m<−1，或m>2，∴m<√3或m>2.20、已知不等式ax2−3x+b>4的解集为(−∞,1)∪(2,+∞)(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2−(ac+2)x+2c<0.答案：(1)a=1，b=6(2)答案见解析分析：（1）依题意可得x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得原不等式可化为(x−c)(x−2)<0，再对参数c分类讨论，即可得解；（1）解：因为不等式ax2−3x+b>4的解集为{x|x<1或x>2}，所以x=1或x=2是方程ax2−3x+b−4=0的根，根据韦达定理{3a=1+2b−4 a =1×2，解得a=1，b=6（2）解：由（1）可知不等式化为x2−(c+2)x+2c<0，即(x−c)(x−2)<0当c>2时，不等式的解集为{x|2<x<c}，当c=2时，不等式的解集为∅，当c<2时，不等式的解集为{x|c<x<2}。