高三一轮复习 解三角形 学案

周末复习学案：正、余弦定理及应用1. 知识要点1．正弦定理：形式一：R 2Csin cB sin b A sin a ===； 形式二：R 2a A sin ＝；R 2b B sin ＝；R2cC sin ＝；（角到边的转换）形式三：A sin R 2a ⋅=，B sin R 2b ⋅=，C sin R 2c ⋅=；（边到角的转换）形式四：B sin ac 21A sin bc 21C sin ab 21S ===；（求三角形的面积）a.解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。

b.若给出A ,b a ，那么解的个数为：无解（A sin b a <）；一解（A sin b a A sin b a ≥=或者）；两解（b a A sin b <<）； 2．余弦定理：形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=， C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）2. 典型例题例1．在△ABC 中，已知AC B AB ,66cos ,364==边上的中线BD=5，求sinA 的值.例2. 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若a 2tanB=b 2tanA ； (2)b 2sin 2C + c 2sin 2B=2bccosBcosC例3．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222abc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值例4.已知三角形的一个角为60°，面积为2，周长为20cm ，求此三角形的各边长3.课下练习一、选择题1.已知ABC V 中，30A =o，105C =o，8b =，则等于 （ ）A 4BC2.ABC V 中，45B =o，60C =o，1c =，则最短边的边长等于 （ ）A 3B 2C 12D 23.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150°4.ABC V 中，cos cos cos a b cA B C ==，则ABC V 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形5.ABC V 中，60B =o，2b ac =，则ABC V 一定是 （ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定7.ABC V 中，8b =，c =，ABCS =V A ∠等于 （ ）A 30oB 60oC 30o 或150oD 60o 或120o8.△ABC 中，若60A =o，3a =，则sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A 2B 12 C3 D 329.ABC V 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） A13 B 12 C 34D 0 10.果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 11.在△ABC 中，若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ，则此三角形为( )A 直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形二、填空题12.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。

第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节的命题重点是同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，单独命题的概率较低．本讲知识多作为工具考查三角恒等变形或研究三角函数的图像与性质，以选择题和填空题为主．本节通过同角三角函数基本关系及诱导公式考查考生的数学运算核心素养及分类讨论思想的应用．授课提示：对应学生用书第63页 知识点一 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； （2）商数关系：tan α＝sin αcos α．•温馨提醒•同角三角函数关系式的常用变形 （sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α．1．已知α为第二象限角，化简：cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α＝（ ）A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．1＋sin αD ．1－sin α解析：原式＝cos α（1－sin α）2cos 2α＋sin α（1－cos α）2sin 2α＝cos α1－sin α|cos α|＋sin α1－cos α|sin α|＝cos α·1－sin α－cos α＋sin α·1－cos αsin α＝sin α－cos α． 答案：B 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝_________．解析：因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－12．答案：－123．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为_________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3．答案：3知识点二 诱导公式组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α （k ∈Z ） π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名不变 符号看象限函数名改变，符号看象限1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝（ ） A ．－79B ．－13C ．13D ．79解析：∵⎝⎛⎭⎫α＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13． 答案：C2．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫52π＋α·sin （α－π）·cos （2π－α）的结果为_________．解析：原式＝sin αcos α·（－sin α）·cos α＝－sin 2α．答案：－sin 2α3．已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α（k ∈Z ），则A 的值构成的集合是_________．解析：当k ＝2n （n ∈Z ）时， A ＝sin （2n π＋α）sin α＋cos （2n π＋α）cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2． 当k ＝2n ＋1（n ∈Z ）时， A ＝sin （π＋α）sin α＋cos （π＋α）cos α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－1＋（－1）＝－2． 答案：{2，－2}授课提示：对应学生用书第64页题型一 三角函数的诱导公式1．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值为（ ） A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－ 3解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33． 答案：C2．（2021·某某二检）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin （π＋α）等于（ ） A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：由诱导公式可得sin 53π＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－sin π3＝－32， cos 53π＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝⎛⎭⎫－32，12． 由三角函数的定义可得sin α＝12⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫122＝12， 则sin （π＋α）＝－sin α＝－12．答案：B3．（2021·黔东南模拟）已知直线y ＝－43x ＋1的倾斜角为α，则cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin （π＋α）的值为（ ） A ．22 B ．24C ．28D ．724解析：由已知有k ＝tan α＝－43，cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin （π＋α）＝（cos α－sin α）（cos α＋sin α）22（cos α－sin α）sin α＝2·cos α＋sin αsin α＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1， 故cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin ()π＋α＝24． 答案：B4．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b解析：由已知，a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，因而b ＞a ＞c ．答案：B5．（2020·某某模拟）已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝35，那么tan α的值为（ ） A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝35化为cos α＝35，那么sin α＝±45，tan α＝±43． 答案：C6．（2021·某某模拟）化简：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝_________．解析：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝sin α＋sin αcos α（1＋cos α）tan α ＝cos α． 答案：cos α应用诱导公式的思路与技巧（1）应用诱导公式的一般思路 ①化大角为小角；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．（2）常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．题型二 同角三角函数基本关系式的应用考法（一） 知一求二问题[例1] 若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin （π－α）＝35，则tan α＝（ ） A ．－43B ．43C ．－34D ．34[解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35， 所以cos α＝－45，所以tan α＝－34．[答案] C利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．考法（二） 弦切互化[例2] （1）已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是（ ）A ．35B ．－35C ．－3D ．3（2）已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝_________． [解析] （1）由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35．（2）由（sin θ＋3cos θ）2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43．[答案] （1）A （2）－43若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型． 考法（三） sin α±cos α、sin αcos α之间的关系[例3]（2021·某某二诊）已知α为第二象限角，且sin α＋cos α＝15，则cos α－sin α＝（ ）A ．75B ．－75C ．±75D ．－15[解析] 法一：（整体代入法）由sin α＋cos α＝15两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝125，则2sinαcos α＝－2425，所以（cos α－sin α）2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925．因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＝－75．故选B ．法二：（换元法）sin α＋cos α＝15，①令cos α－sin α＝t ．②由①2＋②2，得2sin 2α＋2cos 2α＝125＋t 2，即2＝125＋t 2，整理得t 2＝2－125＝4925，解得t ＝±75．因为α为第二象限角，所以cos α－sin α<0， 故cos α－sin α＝－75．法三：（列方程法）由sin α＋cos α＝15两边同时平方，1＋2sin αcos α＝125，则2sin αcos α＝－2425，即sin αcos α＝－1225．所以sin α，cos α是方程x 2－15x －1225＝0的两根，解方程得x 1＝－35，x 2＝45．因为α是第二象限角，所以sin α＝45，cos α＝－35，所以cos α－sin α＝－75．[答案] B对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2（注意根据α的X 围选取正、负号），体现了方程思想的应用．[题组突破]1．（2021·某某模拟）已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin α＝－35，则cos （π－α）的值为（ ） A ．－45B ．45C ．35D ．－35解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin α＝－35，∴cos α＝45， ∴cos （π－α）＝－cos α＝－45．答案：A2．若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：由sin α＋cos α＝23，得（sin α＋cos α）2＝49，∴1＋2sin αcos α＝49，2sin αcos α＝－59，∵α∈（0，π），∴α为钝角． 答案：D3．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝（ ）A ．6425B ．4825C ．1D ．1625解析：tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425．答案：A同角三角函数关系式中的核心素养（一）数学抽象——分类讨论思想在化简求值中的应用[例1] 在△ABC 中，若sin （2π－A ）＝－2sin （π－B ），3cos A ＝－2cos （π－B ），则C ＝_________．[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ①，3cos A ＝2cos B ②，①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－（A ＋B ）＝712π；当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝34π，B ＝56π，不符合题意，舍去． 综上，C ＝712π．[答案]712π三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用． （二）创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题[例2] 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos 2α＝23，则|a －b |＝（ ）A ．15B ．55C ．255D ．1[解析] 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55． [答案] Bword- 11 - / 11 本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重考查了逻辑推理与数学运算核心素养．[题组突破]1．已知曲线f （x ）＝23x 3在点（1，f （1））处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝（ ） A ．12B ．2C ．35D ．－38解析：由f ′（x ）＝2x 2，得tan α＝f ′（1）＝2，所以sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35． 答案：C2．已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝_________． 解析：由sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，知cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝35． 因为θ为第四象限角，所以－θ为第一象限角，π4－θ为第一象限角或第二象限角．又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝35，所以π4－θ为第一象限角．所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝43，tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43． 答案：－43。

第一章解三角形小结与复习学案一、学习目标：熟练掌握正、余弦定理；能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题．二、自主学习1.正、余弦定理在△2.实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．三、典例精析题型一. 利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【解】设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0＜B ＜π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010.在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B －2B＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． 题型二. 判断三角形的形状【例2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形[因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.[规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能． 题型三. 与三角形面积有关的问题【例3】已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sinC . (1)若a ＝b ，求cos B ； (2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．[解] (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.[规律方法] 三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 题型四. 解三角形应用问题【例4】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.1006 [由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．]【例5】在海岸A 处，发现北偏东45°方向、距离A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西75°方向、距离A 处2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？ [解] 设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t .在△ABC 中，AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°.根据余弦定理，可得BC ＝3－2＋22－3－＝6，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝26×32＝22，∴∠ABC ＝45°，因此BC 与正北方向垂直.于是∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°，又CD sin 120°＝BCsin 30°，即103t 3＝6，得t ＝610.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时.[规律方法] 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步： (1)根据题意，画出示意图，并标出条件；(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案． 四、随堂练习1.(1)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， 且(b －c )(sin B ＋sin C )＝ (a －3c )sin A ，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°(2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ， 那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形3.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．4.江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.5.如图，从某电视塔CO 的正东方向的A 处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B 处测得塔顶的仰角为45°，AB 间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．6.如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．五、对接高考1.已知中，的对边分别为若，则 ( )A.2 B ．4＋．4—2.在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 3.在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、、，已知，且求b4.在中，角的对边分别为，（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积.5.设函数f(x)=cos(2x+)+sin x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期. （2）设A,B,C 为ABC 的三个内角，若cosB=，，且C 为锐角，求sinA.6.设函数f(x)=2在处取最小值.（1）求.的值;（2）在ABC 中,分别是角A,B,C 的对边,已知, 求角C.7.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，,，求B.ABC ∆C B A ∠∠∠,,,,a b c a c ==75A ∠=ob =ABC ∆1,2,BC B A ==cos ACAAC ABC ∆a b c 222a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =ABC ∆,,A B C ,,,3a b c B π=4cos ,5A b ==sin C ABC ∆3π2∆311()24c f =-)0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x π=x ϕ∆c b a ,,,2,1==b a 23)(=A f 23cos )cos(=+-B C A ac b =28.在ABC 中，, sinB=. （I ）求sinA 的值；(II)设，求ABC 的面积.9.△中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求.10.在中， （Ⅰ）求AB 的值。

第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数2019考纲考题考情1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z 。

2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r。

(3)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ ⎛⎪⎫180π°。

(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2。

3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)。

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。

正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。

如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。

(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。

2．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x。

一、走进教材1．(必修4P 10A 组T 7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。

答案 －5π4二2．(必修4P 15练习T 2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________。