【学海导航】高考数学一轮总复习 第49讲 空间中的垂直关系同步测控 文
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第49讲 空间中的垂直关系
1.直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有( )
A．0条 B．1条
C．无数条 D．α内的所有直线
2.若三个平面α，β，γ之间有α⊥γ，β⊥γ，则α与β( )
A．垂直 B．平行
C．相交 D．以上三种可能都有
3.设α、β、γ为不同平面，a、b为不同直线，给出下列条件：①a⊥α，a∥β；
②α⊥γ，β⊥γ；③a⊥α，b⊥β，a⊥b；④a⊂α，b⊂β，a⊥b.
其中能使α⊥β成立的条件的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4.如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，则图中所有互相垂直的平面共
有( )
A．8对
B．7对
C．6对
D．5对
5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和
B
的动点，且PC⊥AC，则BC与AC的位置关系是____________．
6.α、β是两个不同的平面，m、n为平面α及β之外的两条不同直线，给出四个
论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作
为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．
7.(2011·江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠
BAD
＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
1.平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，
则动点C的轨迹是( )
A．一条直线 B．一个圆
C．一个椭圆 D．双曲线的一支
2.如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点
A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC
.
其中正确命题的序号是__________．
3.(2012·全国新课标卷)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，
AC＝BC＝12AA1，D是棱AA
1
的中点．
(1)证明：平面BDC⊥平面BDC1；
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
第49讲
巩固练习
1．C 2.D 3.B
4．B 解析：平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，
平面PAD⊥平面PDC，平面PAC⊥平面ABCD，
平面PAC⊥平面PBD.
5．垂直
解析：因为PB⊥α，所以PB⊥AC.
又因为PC⊥AC，且PC∩PB＝P，
所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.
6．①③④⇒②
7．解析：(1)因为E、F分别是AP、AD的中点，
所以EF∥PD，又因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
(2)因为AB＝AD，∠BAD＝60°，F是AD的中点，所以BF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，
所以，平面BEF⊥平面PAD.
提升能力
1．A 解析：选A，直线AC⊥AB，由C为动点，则直线AC运动时构成一个平面β，则
AB⊥β，而α与β的交线即为点C
的轨迹．
2．①②③
解析：因为PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，
所以CB⊥AC，CB⊥PA，CB⊥平面PAC.
又AF⊂平面PAC，所以CB⊥AF.
又因为E，F分别为点A在PB，PC上的射影，
所以AF⊥PC，AE⊥PB，所以AF⊥平面PCB.
故①③正确．
所以PB⊥平面AEF，故②正确．
而AF⊥平面PCB，所以AE不可能垂直于平面PBC，故④错．
3．解析：(1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又因为DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC，
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，
又因为DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC，
因为DC1⊂平面BDC1，
所以平面BDC⊥平面BDC1.
(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1，
由题意得，V1＝13×1＋22×1×1＝12，
由三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝12×1×1×2＝1，
所以(V－V1)∶V1＝1∶1，
所以平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1∶1.
