第四节 空间中的垂直关系．直线与平面垂直一条直线都垂直，那么称这条直线和这个任何()定义：如果一条直线和一个平面内的平面垂直． ()定理：，就说这两个平面互相垂直．直二面角()定义：两个平面相交， 如果所成的二面角是 ()定理：辨明三个易误点()注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交． ()注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．()注意对平面与平面垂直性质的理解．．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) ()直线与平面α内的无数条直线都垂直，则⊥α.( ) ()垂直于同一个平面的两平面平行．( )()若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )()若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) 答案：()× ()× ()× ()×．(教材习题改编)设α，β是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且α，β( ) ．若⊥β，则α⊥β ．若α⊥β，则⊥ ．若∥β，则α∥β ．若α∥β，则∥解析：选∵⊥β，α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故正确．．“直线与平面内的无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的( ) ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选根据直线与平面垂直的定义知“直线与平面的无数条直线都垂直”不能推出“直线与平面垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．．如图，∠＝°，⊥平面，则在△和△的边所在的直线中，与垂直的直线有；与垂直的直线有．解析：∵⊥平面， ∴垂直于直线，，； ∵⊥，⊥，∩＝，。
§8．４垂直关系１．直线与平面垂直（１）判定直线和平面垂直的方法１定义法．２利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．３推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．（２）直线和平面垂直的性质１直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．２垂直于同一个平面的两条直线平行．３垂直于同一条直线的两平面平行．２．二面角的有关概念（１）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．（２）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．３．平面与平面垂直（１）平面与平面垂直的判定方法１定义法．２利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．（２）平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. （×）（２）若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．（√）（３）异面直线所成的角与二面角的取值范围均为（0，错误!]．（×）（４）直线a⊥α，b⊥α，则a∥b. （√）（５）若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. （×）（6）a⊥α，aβ⇒α⊥β. （√）２．（２0１３·广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）Ａ．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nＢ．若α∥β，mα，nβ，，则m∥nＣ．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βＤ．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，mα，nβ，故C错误；故D正确．３．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是（）Ａ．a⊥c，b⊥cＢ．α⊥β，aα，bβＣ．a⊥α，b∥αＤ．a⊥α，b⊥α答案C解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.４．将图１中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD（如图２），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（）Ａ．相交且垂直Ｂ．相交但不垂直Ｃ．异面且垂直Ｄ．异面但不垂直答案C解析在题图１中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图２，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.１若mβ，α⊥β，则m⊥α；２若α∥β，mα，则m∥β；３若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；４若m∥α，m∥β，则α∥β.其中正确命题的序号是________．答案２３解析根据题意若mβ，α⊥β，则mα＝P或m∥α，故１错误；若α∥β，mα，则m∥β，故２正确；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故３正确；若m∥α，m∥β，则α∥β或α∩β＝l，故４不正确.题型一直线与平面垂直的判定与性质例１如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：（１）CD⊥AE；（２）PD⊥平面ABE.思维启迪第（１）问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第（２）问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．证明（１）在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.（２）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由（１），知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.思维升华（１）证明直线和平面垂直的常用方法：１判定定理；２垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；３面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；４面面垂直的性质．（２）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．（３）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.（１）求证：SD⊥平面ABC；（２）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明（１）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.（２）因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由（１）知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例２（２0１３·北京）如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝２AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．求证：（１）PA⊥底面ABCD；（２）BE∥平面PAD；（３）平面BEF⊥平面PCD.思维启迪（１）平面PAD⊥底面ABCD，可由面面垂直的性质证PA⊥底面ABCD；（２）由BE∥AD可得线面平行；（３）证明直线CD⊥平面BEF.证明（１）∵平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.∴PA⊥底面ABCD.（２）∵AB∥CD，CD＝２AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.（３）∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．∴BE⊥CD，AD⊥CD.由（１）知PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD.思维升华（１）判定面面垂直的方法：１面面垂直的定义；２面面垂直的判定定理（a⊥β，aα⇒α⊥β）．（２）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．（２0１２·江西）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝１２，AD＝５，BC＝４错误!，DE＝４．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.（１）求证：平面DEG⊥平面CFG；（２）求多面体CDEFG的体积．（１）证明因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形．由GD＝５，DE＝４，得GE＝错误!＝３．由GC＝４错误!，CF＝４，得FG＝错误!＝４，所以EF＝５．在△EFG中，有EF２＝GE２＋FG２，所以EG⊥GF.又因为CF⊥EF，CF⊥FG，所以CF⊥平面EFG.所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG.又EG平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG.（２）解如图，在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于点H，则GH＝错误!＝错误!.因为平面CDEF⊥平面EFG，所以GH⊥平面CDEF，所以V多面体CDEFG＝错误!S矩形CDEF·GH＝１6．题型三直线、平面垂直的综合应用例３如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝２AD＝8，AB＝２DC＝４错误!.（１）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（２）求四棱锥P—ABCD的体积．思维启迪（１）因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD.（２）四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离．（１）证明在△ABD中，∵AD＝４，BD＝8，AB＝４错误!，∴AD２＋BD２＝AB２.∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.（２）解过P作PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为４的等边三角形，∴PO＝２错误!.在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝２DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为错误!＝错误!，此即为梯形的高．∴S四边形ABCD＝错误!×错误!＝２４．∴V P—ABCD＝错误!×２４×２错误!＝１6错误!.思维升华垂直关系综合题的类型及解法（１）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．（２）垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．（３）垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．（２0１３·江西）如图，直四棱柱ABCD—A１B１C１D１中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝２，AD＝错误!，AA１＝３，E为CD上一点，DE＝１，EC＝３．（１）证明：BE⊥平面BB１C１C；（２）求点B１到平面EA１C１的距离．（１）证明过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝错误!，EF＝AB—DE＝１，FC＝２．在Rt△BFE中，BE＝错误!.在Rt△CFB中，BC＝错误!.在△BEC中，因为BE２＋BC２＝9＝EC２，故BE⊥BC.由BB１⊥平面ABCD得BE⊥BB１，所以BE⊥平面BB１C１C.（２）解三棱锥E—A１B１C１的体积V＝错误!AA１·S△A１B１C１＝错误!.在Rt△A１D１C１中，A１C１＝错误!＝３错误!.同理，EC１＝错误!＝３错误!，A１E＝错误!＝２错误!.故S△A１C１E＝３错误!.设点B１到平面A１C１E的距离为d，则三棱锥B１—A１C１E的体积V＝错误!·d·S△A１C１E＝错误!d，从而错误!d＝错误!，d＝错误!.题型四线面角、二面角的求法例４如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．（１）求PB和平面PAD所成的角的大小；（２）证明：AE⊥平面PCD；（３）求二面角A—PD—C的正弦值．思维启迪（１）先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；（２）可以利用线面垂直根据二面角的定义作角．（１）解在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝４５°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为４５°.（２）证明在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.（３）解过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由（２）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知，可得∠CAD＝３0°.设AC＝a，可得PA＝a，AD＝错误!a，PD＝错误!a，AE＝错误!a.在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，则AM＝错误!＝错误!＝错误!a.在Rt△AEM中，sin∠AME＝错误!＝错误!.所以二面角A—PD—C的正弦值为错误!.思维升华求线面角、二面角的常用方法．（１）线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（２）二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有１定义法；２垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．（２0１２·浙江）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为２错误!的菱形，∠BAD＝１２0°，且PA⊥平面ABCD，PA＝２错误!，M，N分别为PB，PD的中点．（１）证明：MN∥平面ABCD；（２）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．（１）证明连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.又因为MN平面ABCD，BD平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.（２）解如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝１２0°，得AC＝AB＝BC＝CD＝DA，BD＝错误!AB.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD.所以PB＝PC＝PD.所以△PBC≌△PDC.而M，N分别是PB，PD的中点，所以MQ＝NQ，且AM＝错误!PB＝错误!PD＝AN.取线段MN的中点E，连接AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ为二面角A—MN—Q的平面角．由AB＝２错误!，PA＝２错误!，故在△AMN中，AM＝AN＝３，MN＝错误!BD＝３，得AE＝错误!.在Rt△PAC中，AQ⊥PC，得AQ＝２错误!，QC＝２，PQ＝４．在△PBC中，cos∠BPC＝错误!＝错误!，得MQ＝错误!＝错误!.在等腰△MQN中，MQ＝NQ＝错误!，MN＝３，得QE＝错误!＝错误!.在△AEQ中，AE＝错误!，QE＝错误!，AQ＝２错误!，得cos∠AEQ＝错误!＝错误!.所以二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为错误!.立体几何证明问题中的转化思想典例：（１２分）如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A１B１C１D１的棱AB，CD，C１D１的中点．求证：（１）AN∥平面A１MK；（２）平面A１B１C⊥平面A１MK.思维启迪（１）要证线面平行，需证线线平行．（２）要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．规范解答证明（１）如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A１B１C１D１中，∵四边形AA１D１D，DD１C１C都为正方形，∴AA１∥DD１，AA１＝DD１，C１D１∥CD，C１D１＝CD. [２分]∵N，K分别为CD，C１D１的中点，∴DN∥D１K，DN＝D１K，∴四边形DD１KN为平行四边形．[３分]∴KN∥DD１，KN＝DD１，∴AA１∥KN，AA１＝KN.∴四边形AA１KN为平行四边形．∴AN∥A１K. [４分]∵A１K平面A１MK，AN平面A１MK，∴AN∥平面A１MK. [6分]（２）如图所示，连接BC１.在正方体ABCD—A１B１C１D１中，AB∥C１D１，AB＝C１D１.∵M，K分别为AB，C１D１的中点，∴BM∥C１K，BM＝C１K.∴四边形BC１KM为平行四边形．∴MK∥BC１. [8分]在正方体ABCD—A１B１C１D１中，A１B１⊥平面BB１C１C，BC１平面BB１C１C，∴A１B１⊥BC１.∵MK∥BC１，∴A１B１⊥MK.∵四边形BB１C１C为正方形，∴BC１⊥B１C. [１0分]∴MK⊥B１C.∵A１B１平面A１B１C，B１C平面A１B１C，A１B１∩B１C＝B１，∴MK⊥平面A１B１C.又∵MK平面A１MK，∴平面A１B１C⊥平面A１MK. [１２分]温馨提醒（１）线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；（２）线线关系是线面关系、面面关系的基础．证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；（３）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．方法与技巧１．证明线面垂直的方法（１）线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；（２）判定定理１：错误!⇒l⊥α；（３）判定定理２：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；（４）面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；（５）面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒a⊥β.２．证明线线垂直的方法（１）定义：两条直线所成的角为90°；（２）平面几何中证明线线垂直的方法；（３）线面垂直的性质：a⊥α，bα⇒a⊥b；（４）线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.３．证明面面垂直的方法（１）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；（２）判定定理：aα，a⊥β⇒α⊥β.４．转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．失误与防范１．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．２．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）Ａ．l∥m，l⊥αＢ．l⊥m，l⊥αＣ．l⊥m，l∥αＤ．l∥m，l∥α答案C解析设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.２．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（）Ａ．PA＝PB>PCＢ．PA＝PB<PCＣ．PA＝PB＝PCＤ．PA≠PB≠PC答案C解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.３．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是（）Ａ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γＢ．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mＣ．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nＤ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β答案D解析对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题．综上所述，选Ｄ．４．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于（）Ａ．A′C′ Ｂ．BDＣ．A′D′ Ｄ．AA′答案B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.５．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：１BC⊥PC；２OM∥平面APC；３点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是（）Ａ．１２Ｂ．１２３Ｃ．１Ｄ．２３答案B解析对于１，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC平面PAC，∴BC⊥PC；对于２，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于３，由１知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故１２３都正确．二、填空题１PA⊥BC；２PB⊥AC；３PC⊥AB；４AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案３解析如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7．在正三棱锥P—ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：１AC⊥PB；２AC∥平面PDE；３AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．答案１２解析如图，∵P—ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE平面PDE，A C⃘平面PDE，∴AC∥平面PDE.故１２正确．8．正方体ABCD—A１B１C１D１中，BB１与平面ACD１所成角的余弦值为________．答案错误!解析画出图形，如图，BB１与平面ACD１所成的角等于DD１与平面ACD１所成的角，在三棱锥D—ACD１中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD１内的射影为等边三角形ACD１的垂心即中心H，连接D１H，DH，则∠DD１H为DD１与平面ACD１所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD１H＝错误!＝错误!.三、解答题9．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝２，AB＝３，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．（１）求证：平面DEC⊥平面BDE；（２）求点A到平面BDE的距离．（１）证明因为四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝２，AB＝３，所以BD＝错误!，又因为BC＝7，CD＝6，所以根据勾股定理可得BD⊥CD，因为BE＝7，DE＝6，同理可得BD⊥DE.因为DE∩CD＝D，DE平面DEC，CD平面DEC，所以BD⊥平面DEC.因为BD平面BDE，所以平面DEC⊥平面BDE.（２）解如图，取CD的中点O，连接OE，因为△DCE是边长为6的正三角形，所以EO⊥CD，EO＝３错误!，易知EO⊥平面ABCD，则V E—ABD＝错误!×错误!×２×３×３错误!＝３错误!，又因为直角三角形BDE的面积为错误!×6×错误!＝３错误!，设点A到平面BDE的距离为h，则由V E—ABD＝V A—BDE，得错误!×３错误!h＝３错误!，所以h＝错误!，所以点A到平面BDE的距离为错误!.１0．（２0１２·江苏）如图，在直三棱柱ABC—A１B１C１中，A１B１＝A１C１，D，E 分别是棱BC，CC１上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B１C１的中点．求证：（１）平面ADE⊥平面BCC１B１；（２）直线A１F∥平面ADE.证明（１）因为ABC—A１B１C１是直三棱柱，所以CC１⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC１⊥AD.又因为AD⊥DE，CC１，DE平面BCC１B１，CC１∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC１B１.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC１B１.（２）因为A１B１＝A１C１，F为B１C１的中点，所以A１F⊥B１C１.因为CC１⊥平面A１B１C１，且A１F平面A１B１C１，所以CC１⊥A１F.又因为CC１，B１C１平面BCC１B１，CC１∩B１C１＝C１，所以A１F⊥平面BCC１B１.由（１）知AD⊥平面BCC１B１，所以A１F∥AD.又AD平面ADE，A １F平面ADE，所以A１F∥平面ADE.B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（）Ａ．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直Ｂ．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直Ｃ．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直Ｄ．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案C解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．２．（２0１２·江苏）如图，在长方体ABCD—A１B１C１D１中，AB＝AD＝３cm，AA１＝２cm，则四棱锥A—BB１D１D的体积为________ cm３.答案6解析连接AC交BD于O，在长方体中，∵AB＝AD＝３，∴BD＝３错误!且AC⊥BD.又∵BB１⊥底面ABCD，∴BB１⊥AC.又DB∩BB１＝B，∴AC⊥平面BB１D１D，∴AO为四棱锥A—BB１D１D的高且AO＝错误!BD＝错误!.∵S矩形BB１D１D＝BD×BB１＝３错误!×２＝6错误!，∴VA—BB１D１D＝错误!S矩形BB１D１D·AO＝错误!×6错误!×错误!＝6（cm３）．３．如图，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝２AB，则下列结论中：１PB⊥AE；２平面ABC⊥平面PBC；３直线BC∥平面PAE；４∠PDA＝４５°.其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）．答案１４解析由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴AE⊥PB，１正确；∵平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，２错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD平面PAD，B C⃘平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，３错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝２AB，∴∠PDA＝４５°，∴４正确．４．如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝２，AC＝BC＝错误!，等边三角形ADB以AB为轴转动．（１）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；（２）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解（１）取AB的中点E，连接DE，CE.∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，∵平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝错误!，EC＝１．在Rt△DEC中，CD＝错误!＝２．（２）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：１当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.２当D不在平面ABC内时，由（１）知AB⊥DE.又∵AC＝BC，∴AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE.由CD平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.５．如图１所示，在边长为４的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图２所示．（１）求证：BD⊥平面POA；（２）当PB取得最小值时，求四棱锥P—BDEF的体积．（１）证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD平面ABFED，所以PO⊥BD.因为AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.（２）解设AO∩BD＝H.因为∠DAB＝60°，所以△BDC为等边三角形．故BD＝４，HB＝２，HC＝２错误!.设PO＝x，则OH＝２错误!—x，OA＝４错误!—x.连接PH，OB，由OH⊥BD，得OB２＝（２错误!—x）２＋２２.又由（１）知PO⊥平面BFED，则PO⊥OB.所以PB＝错误!＝错误!＝错误!.当x＝错误!时，PB min＝错误!，此时PO＝错误!＝OH，所以V四棱锥P—BDEF＝错误!×S梯形BDEF×PO＝错误!×（错误!×４２—错误!×２２）×错误!＝３．。
