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2013年高考数学40个考点总动员 考点15 平面向量的线性运算和坐标运算(教师版) 新课标

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用心 爱心 专心 1 2013年新课标数学40个考点总动员 考点15 平面向量的线性运算和坐标运算（教师版）

【高考再现】

热点一 平面向量的线性运算

1.(2012年高考浙江卷理科5)设a，b是两个非零向量, 下列命题正确的是( )

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb

D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|

2.(2012年高考辽宁卷理科3)已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是( )

(A) a∥b (B) a⊥b

(C) ||=||ab (D)a+b=ab

3. (2012年高考四川卷理科7)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使||||abab成立

用心 爱心 专心 2 的充分条件是（ ）

A、ab B、//ab C、2ab D、//ab且||||ab

4.(2012年高考全国卷理科6)ABC中，AB边上的高为CD，若,,0,||1,CBaCAbabab，则AD( )

A．1133ab B．2233ab C．3355ab D．4455ab

【方法总结】

1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．

3. 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.

热点二 平面向量的坐标运算

1.(2012年高考广东卷理科3) 若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=( )

A （-2,-4） B (3,4) C (6,10 D (-6,-10)

用心 爱心 专心 3 【答案】A

【解析】BC=BA+AC=（-2,-4）,故选A.

2.(2012年高考安徽卷理科8)在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)OP，将向量OP按逆时针旋转34后，得向量OQ,则点Q的坐标是（ ）

()A(72,2) ()B (72,2) ()C (46,2) ()D(46,2)

3.（2012年高考（福建文））已知向量(1,2),(2,1)axb,则ab的充要条件是 （ ）

A．12x B．1x C．5x D．0x

【答案】D

【解析】有向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0 所以x=0 .D正确

【考点定位】考察数量积的运算和性质,要明确性质.

4.（2012年高考（江西文））设单位向量(,),(2,1)mxyb。若mb,则|2|xy____________。

用心 爱心 专心 4 【方法总结】1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算．

2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．提醒：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.

【考点剖析】

一．明确要求

1.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

2.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．

3.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．

4.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．

5.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

6.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

二．命题方向

三．规律总结

一个区别

向量坐标与点的坐标的区别：

在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)．

当平面向量OA→平行移动到O1A1→时，向量不变，即O1A1→＝OA→＝(x，y)，但O1A1→的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．

两个防范

用心 爱心 专心 5 一条规律

一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．

两个防范

【基础练习】

1．(人教A版教材习题改编)已知a1＋a2＋„＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋„＋an－1的坐标为( )．

A．(4,3) B．(－4，－3)

C．(－3，－4) D．(－3,4)

解析 a1＋a2＋„＋an－1＝－an＝(－3，－4)．

答案 C

2.(经典习题)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝( )．

A．(4,6) B．(－4，－6) C．(4，－6) D．(－4,6)

解析 设c＝(x，y)，

则4a＋(3b－2a)＋c＝0，

∴ 4－6－2＋x＝0，－12＋12＋6＋y＝0，∴ x＝4，y＝－6.

答案 C

3．(人教A版教材习题改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→等于( )．

A．－BC→＋12BA→ B．－BC→－12BA→

C.BC→－12BA→ D.BC→＋12BA→

用心 爱心 专心 6

4. (经典习题)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.

5．(经典习题)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

解析 a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，

∴2－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1.

答案 －1

【名校模拟】

一．基础扎实

1.(2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知向量，且，则点P的坐标为

A. (2,-4) B. () C.() D. (-2,4)

用心 爱心 专心 7 2.（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试文）已知向量kba,1,1,2，若baa2，则k等于

A.6 B.—6 C.12 D.—12

【答案】C

【解析】2ab(5,2k),又a(2ab)

a(2ab)25(2k)10 ， 即 k12。

3.(湖北武汉2012适应性训练理)已知OAa，OBb，OCc，ODd，且四边形ABCD为平行四边形，则

A．=+0abcd B．=+0abcd

C．=+0abcd D．=+++0abcd

（怀化2012高三第三次模拟考试文）

【答案】D

【解析】因11,22ab=，所以1111(),,02222abb，选D。

5.(成都市2012届高中毕业班第二次诊断性检测文)设向量a=(t，-6)，b=(—3，2)，若a//b，则实数t的值是________

【答案】 9

【解析】依题意得2630t，9t.

二．能力拔高

6. (浙江省2012届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考试题理)已知),,2(),,1,1(ttbttta，则||ba的最小值为

A．55 B．555 C．553 D．511

用心 爱心 专心 8

7.（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2012届第三次模文）

已知ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足PAPBPCAB，则点P与ABC的关系 .（ ）

A．P在ABC内部 B． P在ABC外部

C．P在AB边所在直线上 D． P在ABC的AC边一个三等分点上

8.(湖北省八校2012届高三第一次联考文)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若||43,||ABOAOBOCOAC则 （ ）

A．43 B．12 C．2 D．34

【答案】D

【解析】由题意得，43()3()30OAOBOCOAOBOCOBBABC，

即33()43BABCABACABABAC，所以||34||ABAC，故选D。

9.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知ABC和点M满足0MAMBMC.若存在实m使得ABACmAM成立，则m=_____ 。

10.(湖北省武汉外国语学校 钟祥一中2012届高三4月联考文)已知向量(1,2),(3,2)ab，若()//(3)kabab，则实数k的取值为 .

用心 爱心 专心 9

三．提升自我

11.（2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文）对向量12(,)aaa，12(,)bbb定义一种运算“”． 12121122(,)(,)(,)abaabbabab，已知动点P、Q分别在曲线sinyx和()yfx上运动，且OQmOPn(其中O为坐标原点)，若1(,3),(,0)26mn，则()yfx的最大值为

A．12 B．2 C．3 D．3

【答案】C

【解析】设

11(,),(,),PxyQxy1(,3),(,0)26mn，11111(,3)(,)(,3),22xmOPxyy

(,)OQmOPnxy，11(,3)2xy(,0)6，

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高考数学 15 平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理 理

高考数学 15 平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理 理

专题15 平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理

一、 考纲要求：

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.

2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.

3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

二、概念掌握及解题上的注意点： 1.平面向量的线性运算方法

①不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

②含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.

2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路

①没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.

②利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.

③比较、观察可知所求.

3.选取基向量，向量之间的相互表示，重视平行四边形法则.

4.|a＋b|与|a－b|的几何意义：以向量a，b为边所作平行四边形的两条对角线的长度.

共线向量定理的三个应用

1.证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线.

2.证明三点共线：若存在实数λ，使AB→＝λAC→，则A，B，C三点共线.

3.求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程组，求参数的值.

三、高考考题题例分析：

例1.(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则( )

A．AD→＝－13AB→＋43AC→

B．AD→＝13AB→－43AC→

C．AD→＝43AB→＋13AC→ D．AD→＝43AB→－13AC→

【答案】 A

【解析】：(1)AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13(AC→－AB→)＝43AC→－13AB→＝－13AB→＋43AC→.故选A．

例2.(2015高考新课标1)设为所在平面内一点，则（ ） （A） (B)

2013年高考数学40个考点总动员 考点23 线性规划(教师版) 新课标

2013年高考数学40个考点总动员 考点23 线性规划(教师版) 新课标

word 1 / 21 2013年新课标数学40个考点总动员 考点23 线性规划（教师版）

【高考再现】

热点一 求最值

2.(2012年高考全国卷理科13)若,xy满足约束条件1030330xyxyxy，则3zxy的最小值为.

3.（2012年高考新课标全国卷文科5）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值X围是 word

2 / 21 （A）(1－3，2) （B）(0，2) （C）(3－1，2) （D）(0，1+3)

【方法总结】

1．最优解问题

如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时(k＝k1)，其最优解可能有无数个．

2．整数解问题

若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，这时应作适当的调整，其方法是在线性目标函数的直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，也可以在用图解法所得到的近似解附近寻找．

热点二 与其它知识交汇

4.(2012年高考某某卷理科9)若直线xy2上存在点),(yx满足约束条件mxyxyx03203，则实数m的最大值为（ ）

A．21 B．1 C．23 D．2 word

3 / 21

5.(2012年高考某某卷文科10)满足约束条件22xy的目标函数zyx的最小值是. word 4 / 21 【方法总结】常见的目标函数有

(1)截距型：形如z＝ax＋by.

求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．

【专项冲击波】2013年高考数学 讲练测系列 专题05 平面向量(教师版)

【专项冲击波】2013年高考数学 讲练测系列 专题05 平面向量(教师版)

1 【专项冲击波】2013年高考数学 讲练测系列 专题05 平面向量（教师版）

【考纲解读】

1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.

2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【考点预测】

高考对平面向量的考点分为以下两类:

(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.

(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.

【要点梳理】

1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;

2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义；

3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；

4.两个向量夹角的范围是:[0,];

5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.

【考点在线】

考点一 向量概念及运算

例1. (2012年高考浙江卷理科5)设a，b是两个非零向量，下列说法正确的是（ ）

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb

第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算(教师版)

第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算(教师版)

第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算

一、考点梳理

考点1 平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

例1．（1）下面说法中，正确的是( )

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

①一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

①零向量不可作为基底中的向量；

①对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．

A．①① B．①①① C．①① D．①①①

答案 B 解析 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故①①正确，①不正确；由平面向量基本定理知①正确．综上可得①①①正确．

（2）如图所示，在①OAB中，OA→＝a，OB→＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且OM→＝13a，ON→＝12b，设AN→与BM→交于点P，用向量a、b表示OP→.

分析 利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.

解 ①OP→＝OM→＋MP→，OP→＝ON→＋NP→，

设MP→＝mMB→，NP→＝nNA→，

则OP→＝OM→＋mMB→＝13a＋m(b－13a)＝13(1－m)a＋mb， OP→＝ON→＋nNA→＝12(1－n)b＋na.

①a与b不共线，① 131－m＝n，121－n＝m，① m＝25，n＝15.①OP→＝15a＋25b.

（3）如图所示，在①ABC中，AB＝2，BC＝3，①ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若AM→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ的值为( )

A.53 B.－12 C.12 D.23