定积分习题

第九章 定 积 分

练 习 题

§1定积分概念

习 题

1．按定积分定义证明：baabkkdx).(

2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集i，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：

（1）1012233)1(41:;ninnidxx提示 （2）10;dxex

（3）baxdxe; （4）12(0).(:)biiiadxabxxx提示取

§2 牛顿一菜布尼茨公式

1．计算下列定积分：

（1）10)32(dxx； （2）102211dxxx； （3）2lneexxdx；

（4）102dxeexx； （5）302tanxdx （6）94;)1(dxxx

（7）40;1xdx （8）eedxxx12)(ln1

2．利用定积分求极限：

（1）);21(1334limnnn

（2）;)(1)2(1)1(1222limnnnnnn

（3）);21)2(111(222limnnnnn

（4）)1sin2sin(sin1limnnnnnn —

欢迎下载 2 3．证明：若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F＇（x）=f(x),则有

()()().bafxdxFbFa

§3 可积条件

1．证明：若Tˊ是T增加若干个分点后所得的分割，则'.''TTiiii

2．证明：若f在[a,b]上可积，上也可积在则,,,,afbaa.

3.设f﹑g均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处,gf则当f在[a,b]上可积时，g在[a,b]上也可积，且.dgabdfab

3．设f在[a,b]上有界，,,baan.limcann证明：在[a,b]上只有,2,1nan为其间断点，则f在[a,b]上可积。

4．证明：若f在区间上有界，则

"','".supsupinfffff。

§4 定积分的性质

1.证明:若f与g都在[a,b]上可积,则

nibaiiiTdxxgxfxgf10,)()()()(lim

其中ii,是T所属小区间△i中的任意两点,i=1,2…,n.

2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小:

(1)1010;2dxxxdx与 (2)2020.sinxdxxdx与

3.证明下列不等式:

(1)202;2211sin2dxx (2)1201xedxe; —

欢迎下载 3 (3)20sin12;xdxdxx (4)4ln36.eexedxx

4.设f在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明20.bafxdx

5.设f与g都在[a,b]上可积,证明

)(),()(,)(),()(minmax,,xgxfxmxgxfxMbaxbax

在[a,b]上也都可积.

6.试求心形线20),cos1(ar上各点极径的平均值.

7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足.0)(mxf证明f1在[a,b]上也可积.

8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点ξ∈(a,b).

9.证明:若f与g都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M、m分别为 f(x)在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ(m≤μ≤M),使得

babadxxgdxxgxf.)()()(

10.证明:若f在[a,b]上连续,且babadxxxfdxxf,0)()(则在(a,b)内至少存在两点x1,x2,使f(x1)= f(x2)=0.又若badxxfx,0)(2这时f在(a,b)内是否至少有三个零点?

11.设f在[a,b]上二阶可导,且"f(x)>0.证明:

(1)badxxfabbaf;)(12 (2)又若,,,0)(baxxf则又有

.,,)(2)(baxdxxfabxfba

12.证明:

(1)11ln(1)11ln;2nnnL (2).1ln1211limnnn

§5 微积分学基本定理·定积分计算(续) —

欢迎下载 4 习 题

1． 设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f°u与f°v证明：

)()().('))(()('))(()(xvxuxuxufxvxvfdttfdxd

2．设f在[a,b]上连续，xadttxtfxF.))(()(证明F”b].[a,),()(xxfx

3．求下列极限：

（1）xxdttx020;cos1lim （2）.)(022022limdtedtextxtx

4．计算下列定积分：

（1）205;2sincosxdxx （2）102;4dxx （3）aadxxax0222);0(

（4）102/32;)1(xxdx （5）10;xxeedx （6）202;sin1cosdxxx

（7）10;arcsinxdx （8）20;sinxdxex （9）;ln1dxxee

（10）10;dxex （11）aadxxaxax02);0( （12）20.cossincosd

5.设f在[-a,a]上可积。证明：

（1）若f为奇函数，则aadxxf;0)(

（2）若f为偶函数，则aaadxxfdxxf0.)(2)(

6．设f为（-∞，+∞）上以p为周期的连续周期函数。证明对任何实数a，恒有

papadxxfdxxfa.)()(

7．设f为连续函数。证明： —

欢迎下载 5 （1）2020;)(cos)(sindxxfdxxf

（2）00.)(sin2)(sindxxfdxxxf

8．设J（m,n）20,(cossinnmxdxxnm为正整数）。证明：

),,2(1)2,(1),(nmJnmmnmJnmnnmJ

并求J(2m,2n).

9．证明：若在（0，∞）上f为连续函数，且对任何a＞0有

axxdttfxg常数)()(， ),,0(x

则cxxcxf),,0(,)(为常数。

10．设f为连续可微函数，试求

xadttftxdxd,)(')(

并用此结果求xtdttxdxd0.sin)(

11．设)(xfy为[a,b]上严格增的连续曲线（图

9-12）。试证存在ξ∈（a,b），使图中两阴影部分面积

相等。

12．设f为[0，2π]上的单调递减函数。证明：对

任何正整数n恒有

20.0sin)(nxdxxf

13．证明：当x＞时有不等式

).0(1sin2cxdttcxx

14．证明：若f在[a,b]上可积，,)(,)(,,ba上单调且连续可微在则有

badtttfdxxf.)())(()(

※15.证明：若在[a,b]上f为连续可微的单调函数，则存在,,ba使得

baabdxxfbgdxxfagdxxgxf.)()()()()()(

（提示：与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多, 因此可望有 —

欢迎下载 6 一个比较简单的,不同于9.11的证明.）

※§6 可积性理论补叙

1. 证明性质2中关于下和的不等式(3).

2. 证明性质6中关于下和的极限式STst)(lim0 .

3. 设

.,0.,)(为无理数为有理数xxxxf

试求f在[0,1]上的上积分和下积分;并由此判断f在[0,1]上是否可积.

4. 设f在[a,b]上可积,且],[.,,0)(bafbaxxf在试问上是否可积?为什么?

5. 证明:定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给TT的对于一切满足存在,0,0都有)()(TstsxiTi.

6.据理回答:

(1) 何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?

(2) 何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？

(3) 对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论？

7．本题的最终目的是要证明：若f在[a,b]上可积，则f在[a,b]内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：

（1）若T是[a,b]的一个分割，使得S（T）s(T)

（2）存在区间),,(],[111babaI使得

.1)(inf)(sup)(111xfxfIIxIxf

（3）存在区间),,(],[11222babaI使得

.21)(inf)(sup)(222xfxfIIxIxf

（4）继续以上方法，求出一区间序列),,(],[11nnnnnbabaI

.1)(inf)(sup)(nxfxfInnIxIxnf