高中数学必修四学案：1.2.1任意角的三角函数(二)Word版

§1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数(一)课时目标1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号．1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号一、填空题1．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝________.2．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．3．若sin α<0且tan α>0，则α是第____象限角．4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________．5．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是________．6．α是第一象限角，P (x ，5)为其终边上一点且cos α＝24x ，则x ＝________.7．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 8．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．9．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________． 10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且OP ＝10，则m －n ＝________. 二、解答题11．确定下列各式的符号：(1)tan 120°·sin 273°；(2)tan 108°cos 305；(3)sin 5π4·cos 4π5·tan 116π.12．已知角α终边上一点P(－3，y)，且sin α＝34y，求cos α和tan α的值．能力提升13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是________．①sin θ2；②cosθ2；③tanθ2；④cos 2θ；⑤sin 2θ.14．已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0)，求α的各三角函数值．1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．§1.2任意角的三角函数1．2.1任意角的三角函数(一)知识梳理 1.y r x r y x 作业设计1．－713 2.－ 33．三解析 ∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角． 4．3解析 r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∵α的终边经过点P ，cos α＝－35，∴α为第二象限角， ∴b >0，∴b ＝3. 5．{－1,3}解析 若x 为第一象限角，则f (x )＝3； 若x 为第二、三、四象限，则f (x )＝－1. ∴函数f (x )的值域为{－1,3}． 6. 3解析 r ＝x 2＋5，cos α＝xx 2＋5，由2x 4＝x x 2＋5(x >0)，解得x ＝ 3. 7．－2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 8．负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<32π，∴tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 9.7π4解析 由任意角三角函数的定义，tan θ＝yx ＝cos 34πsin 34π＝－2222＝－1.∵sin 34π>0，cos 34π<0，∴点P 在第四象限．∴θ＝74π.10．2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴OP ＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.11．解 (1)∵120°是第二象限角，∴tan 120°<0. ∵273°是第四象限角，∴sin 273°<0. 从而tan 120°·sin 273°>0，∴式子符号为正． (2)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.从而tan 108°cos 305°<0，∴式子符号为负．(3)∵5π4是第三象限角，4π5是第二象限角，11π6是第四象限角，∴sin 5π4<0，cos 4π5<0，tan 11π6<0，从而sin 5π4·cos 4π5·tan 11π6<0，∴式子符号为负．12．解 sin α＝y 3＋y 2＝34y .当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y2＝3y 4，解得y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎫－3，213，r ＝433.∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433，∴cos α＝－34，tan α＝73.13．③⑤解析 ∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z ，4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z .sin 2θ>0.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4(n ∈Z )．∴θ2为第一象限角， ∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0.当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角， ∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0，从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ，cos 2θ有可能取负值．14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ，∴r ＝(－15a )2＋(8a )2＝17|a | (a ≠0)．(1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.1．2.1 任意角的三角函数(二)课时目标1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.会用三角函数线比较三角函数值的大小．1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是________；余弦函数y ＝cos x 的定义域是________；正切函数y ＝tan x 的定义域是________________． 2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段________、________、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.一、填空题 1.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是________．①正弦线PM ，正切线A ′T ′；②正弦线MP ，正切线A ′T ′；③正弦线MP ，正切线AT ；④正弦线PM ，正切线AT . 2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为________．3．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为______．4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是________(用“>”连接)． 5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________.6．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是________．7．如果π4<α<π2，那么sin α，tan α，cos α按从小到大的顺序排列为________．8．不等式tan α＋33>0的解集是______________．9．已知α，β均为第二象限角，若sin α<sin β，则tan α与tan β的大小关系是tan α____tan β.10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 二、解答题11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．能力提升13．求下列函数的定义域．f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22.14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.1．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．1．2.1 任意角的三角函数(二)知识梳理1．R R {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }2．MP OM AT MP OM AT 作业设计 1．③ 2.3π4或7π4解析 角α终边落在直线y ＝－x 上． 3.⎣⎡⎦⎤π6，5π64．sin 1.5>sin 1.2>sin 1解析 ∵1,1.2,1.5均在⎝⎛⎭⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭⎫0，π2内随α的增大而逐渐增大， ∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.5.⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π6.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 7．cos α<sin α<tan α 解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.8.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z 解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .9．>解析 作出符合题意的正弦线后，再作出α，β的正切线得tan α>tan β.10.⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3，k ∈Z 解析 如图所示．∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )． 即x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3 (k ∈Z )． 11．解 (1)图1作直线y ＝32交单位圆于A 、B ，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)图2作直线x ＝－12交单位圆于C 、D ，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }．12．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k ∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2 (k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2.当2k π＋5π4<θ2<2k π＋32π (k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2.13．解 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0. 即⎩⎨⎧sin x >22，cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .14．证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP＝12sin α， S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.1．2.2 同角三角函数关系课时目标 1．理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：________________.(2)商数关系：________________(α≠k π＋π2，k ∈Z )2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝________；cos 2α＝________； (sin α＋cos α)2＝________________； (sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________； sin α·cos α＝____________＝__________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________；cos α＝____________.一、填空题1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是________．2．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝______.3．若sin α＋sin 2α＝1，，则cos 2α＋cos 4α＝________.4．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于________．5．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值为________．6．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为________．7．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝______.8．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝________.9．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．10．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝____. 二、解答题11．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 2 2x ＝1－tan 2x1＋tan 2x.能力提升 13．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．14．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )． (1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”． 2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．1．2.2 同角三角函数关系知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22 cos αtan α sin αtan α作业设计1．1 2.－513 3.1 4.－435．－13解析 1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.6．－8解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.7.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.8．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 9.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1，∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.10．2解析 方法一 由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1. 化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0 ∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255.∴cos α＝－5－2sin α＝－55.∴tan α＝sin αcos α＝2.方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5， ∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5， ∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5，∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.11．解 原式＝(1－cos 4α)－sin 4α(1－cos 6α)－sin 6α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 12．证明 左边＝cos 2 2x ＋sin 2 2x －2sin 2x cos 2xcos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x ) ＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x ＝右边． ∴原等式成立．13．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2 αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α ＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α ＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋sin 2α，右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α ∴左边＝右边，∴原式成立．14．解 (1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a . ∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2＝1＋2a . 解得：a ＝1－2或a ＝1＋ 2 ∵sin θ≤1，cos θ≤1， ∴sin θcos θ≤1，即a ≤1， ∴a ＝1＋2舍去．∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ) ＝a (1－a )＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a ＝11－2＝－1－ 2.1．2.3 三角函数的诱导公式(一)课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.相关角 终边之间的对称关系 π＋α与α 关于________对称 －α与α 关于________对称 π－α与α 关于________对称2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝________， cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z . (2)公式二：sin(－α)＝________， cos(－α)＝________， tan(－α)＝________.(3)公式三：sin(π－α)＝________， cos(π－α)＝________， tan(π－α)＝________.(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______， tan(π＋α)＝________.一、填空题 1．sin 585°的值为________．2．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________.3．若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是________．4．三角函数式cos (α＋π)sin 2(α＋3π)tan (α＋π)cos 3(－α－π)的化简结果是______.5．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________.6．tan(5π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．7．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝________.(用k 表示)8．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是______．9．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 011)＝1，则f (2 012)＝____.10．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为________． 二、解答题11．若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 能力提升13．化简：sin[(k＋1)π＋θ]·cos[(k＋1)π－θ]sin(kπ－θ)·cos(kπ＋θ)(其中k∈Z)．14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．1．诱导公式 作用公式一 将角转化为0～2π求值 公式二将负角转化为正角求值公式三将角转化为0～π2求值公式四将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值2.这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．1．2.3 三角函数的诱导公式(一)知识梳理1．原点 x 轴 y 轴 2．(1)sin α cos α tan α (2)－sin α cos α －tan α (3)sin α －cos α －tan α (4)－sin α －cos α tan α 作业设计1．－22 2.－33 3.tan α4．tan α解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3(α＋π)＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α. 5．－32解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32 (α为第四象限角)．6．3解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.7．－1－k 2k解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.8．－1解析 原式＝1＋2sin (180°＋110°)·cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 110°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 9．3解析 f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＋2＝a si n(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2 ＝2－(a sin α＋b cos β)＝1， ∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3.10．－53解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝232log 2-＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α＝－1－49＝－53.11．解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α ＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α) ＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23，∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53，∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±52.12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2 (k ∈Z )，∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立．13．解 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1. ∴原式的值为－1.14．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.1．2.3 三角函数的诱导公式(二)课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________； cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________.以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________； cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．一、填空题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为______．2．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α＝________. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于________． 5．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为________． 6．代数式sin 2(A ＋15°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝______. 8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.二、解答题11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式统一成“k ·π2±α(k ∈Z )”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．1．2.3 三角函数的诱导公式(二)知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α2．异名 符号作业设计1．－12解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 2．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 3．－12解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α＝－12. 4．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 5．－3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 6．1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.7．－ 3解析 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， 得sin φ＝－32， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 8．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23. 9.892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 10．2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 11．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．12．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 13．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解 由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

§1.2.1第二课时任意角的三角函数（二）【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x 轴交x 轴于点M ，则请你观察: 根据三角函数的定义：|||||sin |MP y ；|||||cos|OM x 随着在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x 同理,当角的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sinMP y 4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment ）. 5.如何用有向线段来表示角的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有O x ya 角的终P TMAtany AT x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线. 6.探究：（1）当角的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．已知42，试比较,tan ,sin ,cos 的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念. (2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】二、作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器) (1)sin15、tan15（2）'cos15018、cos121（3）5、tan 52．练习三角函数线的作图.。

1. 2.1任意角的三角函数【教学目标】（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； （2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【教学重难点】重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 【教学过程】 一、【创设情境】提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那 (,)P a b ,它与原么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点点的距离220r a b =+>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP bOP r α==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.P 在α的终边思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.二、【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?yP （a ，b ）rαO Ma 的终边P(x,y)Oxy如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； （3）y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22r x y =+,那么22sin y x yα=+,22cos x x yα=+,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义域第一象限 第二象限 第三象限 第四象限角度制弧度制 sin αcos αtan α5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=6.三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .oxy MP A xyo M TPA由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====MP cos 1x x x OM r α====OM tan y MP ATx OM OAα====AT我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

第二课时三角函数线及其应用[提出问题]在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，过A(1,0)作AT⊥x轴，交终边或其反向延长线于点T.问题1：根据上面的叙述画出α分别取135°，30°，225°和－60°时的图形．提示：问题2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？提示：可以，|sin α|＝|MP|，|cos α|＝|OM|，|tan α|＝|AT|.[导入新知]1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线三角函数线的四个注意点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．[例1] 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．[解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .[类题通法] 三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .[活学活用]作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线．解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .[例2] 分别比较sin 3与sin 5；cos 3与cos 5；tan 3与tan π5的大小．[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x 轴非负半轴为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox ，垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT .同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′.由图形可知，MP >M ′P ′，符号相同，则sin2π3>sin 4π5；OM >OM ′，符号相同，则cos 2π3>cos 4π5；AT <AT ′，符号相同，则tan 2π3<tan 4π5.[类题通法]利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．[活学活用] 设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？解：如图所示，当π4<α<π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT >MP >OM ；当π2<α<3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′>M ′P ′>OM ′.[例3] (1)sin α<－12；(2)cos α>32.[解] (1)如图①，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6，故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z .(2)如图②，过点⎝⎛⎭⎪⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos ∠xOP ′＝32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6， 故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z .[类题通法]利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．[活学活用]利用三角函数线求满足tan α≥33的角α的范围． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k ²π＋π6≤α<k ²π＋π2，k ∈Z2.三角函数线的概念[典例] 已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．y 轴的非负半轴上 B ．y 轴的非正半轴上 C ．x 轴上 D ．y 轴上[解析] 由题意可知，sin α＝±1，故角α的终边在y 轴上． [答案] D [易错防范]1．本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有向线段时，sin α＝1，从而误选A. 2．若搞错正弦线和余弦线的位置，则易错选C.3．解决此类问题要正确理解有向线段的概念，既要把握好有向线段是带有方向的线段，有正也有负，同时也要把握准正弦线和余弦线的位置．[成功破障]已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上 答案：C[随堂即时演练]1．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、四象限的角平分线上D ．第一、三象限的角平分线上 答案：C2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM答案：D3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________． 答案：14．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________． 答案：sin 1>cos 15．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，利用单位圆证明：sin θ＋cos θ＞1.证明：如图所示，设角θ的终边交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M .因为sin θ＝MP ＝|MP |，cos θ＝OM ＝|OM |，所以sin θ＋cos θ＝|MP |＋|OM |＞|OP |，而|OP |＝1，所以sin θ＋cos θ＞1.[课时达标检测]一、选择题1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定答案：C2．已知α的余弦线是单位长度的有向线段，那么α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y ＝x 上 D ．以上都不对 答案：A3．若π4＜θ＜π2，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．tan θ＜cos θ＜sin θB ．sin θ＜tan θ＜cos θC ．cos θ＜tan θ＜sin θD ．cos θ＜sin θ＜tan θ答案：D4．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b答案：C5．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]答案：A 二、填空题6．利用单位圆，可得满足sin α＜22，且α∈(0，π)的α的集合为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 7．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，22 三、解答题9．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线和正切线．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线和正切线．解：如图：α＝7π6的余弦线、正弦线和正切线分别为OM ，MP 和AT .10．利用单位圆中的三角函数线，求满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0的x 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ＞12.如图所示，由三角函数线可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π k ∈Z ，2k π－π3<x ＜2k π＋π3 k ∈Z .此交集为图形中的阴影重叠部分，即2k π≤x ＜2k π＋π3(k ∈Z)．故x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z .11．试利用单位圆中的三角函数线证明：当0<α<π2时，sinα<α<tan α.证明：如图，单位圆与α的终边OP 相交于P 点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，连接AP ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作AT ⊥x 轴交OP 于点T ，则sin α＝MP ，α＝AP ，tan α＝AT ，由S 扇形OAP <S △OAT，即12OA ²AP <12OA ²AT ，所以AP <AT .又MP <PA <AP ，因此MP <AP <AT ，即sin α<α<tanα.。