2018届高考专题复习矩阵与变换专题

2
-1
考点51矩阵与变换
■■■ t 、3t t 为参数，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 C 2的极坐标方程是 卜=2，则G 与C 2交点的直角坐标为
x _ t
J3T 消去t 得x 2 = 3y 2(x 3 0, y 玉0)，由P = 2得x 2 + y 2广4，解方程组 y = 3
"x 2 + y 2 =4
厂
2 2 得G 与C 2的交点坐标为(J3,1).
x =3y 答案：（.3,1）
【误区警示】 解答本题时容易出现的问题是消去 3t 中的参数t 时出现错误。

2. （ 2014 •福建高考理科21）（本小题满分7分）选修4— 2:矩阵与变换 已知矩阵A 的逆矩阵A ^fx 1
^. 尽认 1 2丿 A
（1）
求矩阵A ; （2）
求矩阵A 」的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 ■ 7W \
1
3
2
3」
令f （ ） = 0 ,得矩阵A ，的特征值为• • =1或■、= 3 ,
、选择题
1. （2014 •湖北高考理科 16）（选修4-4 :坐标系与参数方程）
【解析】（1厂・矩阵 A 是矩阵A 的逆矩阵，且A ，
=2 2-1 1 W,…2 分 ⑵矩阵A 4的特征多项式为 f() -2 -1 二■ ■-4 3 = (' -1)(' -3), 已知曲
线C 的【解析】由
2 3 1 3
是矩阵A」的属于特征值■ = 1的一个特征向量,
是矩阵A」的属于特征值<—-3的一个特征向量
2。

一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记 （ 为 T： , y ) x, y )， (x （ 或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫 做反射变换，其中（2）叫做中心反射， 其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴， 定点称为反射点.
M(l1+l2b) l1M+l2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线 l1+l2b 变成直线 l1M+l2Mb. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做线 性变换。
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 k 0 1 确定的变换通常叫做切变变换,
二阶单位矩阵一般记为E
1 M 垂直伸压变换矩阵： 0
0 1 2
2 N 0
0 1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作 沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿 y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵. 伸压变换：

选修4－2 矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(对应学生用书(理)189～191页)1. 设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1012，求MN . 解：MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01210. 2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a，求a 、b 的值．解：由题意，知MM－1＝E ，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3.3. 求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12－12的特征多项式． 解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[ 1 6－2－6]的特征值．解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－6－5λ－2＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得N 的特征值为λ1＝－3，λ2＝8， 当λ1＝－3时⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 故特征值λ1＝－3的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1；当λ2＝8时⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5，故特征值λ2＝8的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型1 求逆矩阵与逆变换例1 用解方程组的方法求下列矩阵M 的逆矩阵．(1) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101； (2) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221. 解：(1) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝0，d ＝1，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－10 1. (2) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝23，d ＝－13，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 23 23－13. 备选变式（教师专享） 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：依题意，由M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，则M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴ A 点坐标为(2，－3)．题型2 求特征值与特征向量 例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4a ＝3.(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.变式训练已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤17，计算M 5β. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2) ＝4(λ51α1)－3(λ52α2) ＝4×35⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤975969. 题型3 根据特征值或特征向量求矩阵 例3矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102有特征向量为e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， (1) 求e 1和e 2对应的特征值； (2) 对向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤41，记作α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接计算M 4α，M 10α.解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为λ1、λ2，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， 故λ1＝2，λ2＝1，即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，所以M 4α＝M 4(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4e 2＝λ41e 1＋3λ42e2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1916， M 10α＝M 10(e 1＋3e 2)＝M 10e 1＋3M 10e 2＝λ101e 1＋3λ102e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210＋3210.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1有特征向量e 1→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，求M 100α→.解：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1变换的意义知M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1， 又Me 1→＝λ1e 1→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2→＝λ2e 2→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝x e 1→＋y e 2→，所以M 100α→＝M 100(x e 1→＋y·e 2→)＝xM 100e 1→＋yM 100e 2→＝xλ1001e 1→＋yλ2100e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2100x y .1. 求函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cosx sinx －1的值域．解：f(x)＝－2－sinxcosx ＝－2－12sin2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32.2. 已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，求矩阵A 的特征值．解：∵ A －1A ＝E ，∴ A ＝(A －1)－1.∵ A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，∴ A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321.∴ 矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3. (2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.∴ 矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，∴ A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 0 3. 4. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1) 求实数a 、b 的值； (2) 求A 2的逆矩阵．解：(1) 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是P′(x′，y ′)，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝[]axbx ＋y，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y.因为P′(x′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上， 所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，化简可得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1， 依题意可得a 2＋b 2＝2，2b ＝2a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1，而由a>0可得a ＝b ＝1.(2) 由(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1021|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－21. 1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1，若点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵A 的特征值．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－8，得a ＋1＝－8， 所以a ＝－9. (2) 由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－91，则矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.2. 已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，求二阶方阵X ，使MX ＝N .解：(解法1)设X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，据题意有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，根据矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，2y －w ＝－1，－4x ＋3z ＝－3，－4y ＋3w ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝－1，z ＝5，w ＝－1，所以X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. (解法2)因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221.所以X ＝M－1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. 3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a 的值；并求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－40，∴ 2－2a ＝－4a ＝3.∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4. 当λ＝－1时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b (其中a>0，b>0)．(1) 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2) 若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解：(1) 设矩阵M 的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2，则MN －1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120013.(2) 设曲线C 上任意一点P(x ，y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，by ＝y′.又点P′(x′，y ′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1，则a 2x 24＋b 2y2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .(2) 对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d (ad －bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x 、y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc. 若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD，y ＝DyD .请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。

考点48 矩阵与变换
一、选择题
1.(2015·福建高考理科·T21)(1)(本小题满分7分)选修4-2;矩阵与变换
已知矩阵A=,B=
. ①求A 的逆矩阵A -1.
②求矩阵C,使得AC=B.
【解题指南】利用矩阵与逆矩阵的关系直接求解.
【解析】①因为=2×3-1×4=2, 所以13131222242212
2A --⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪== ⎪ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ②由AC=B 得(A -1A)C=A -1B,
故13111C ==220121A B -⎛⎫⎛-⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪ -⎝⎭-⎝⎭⎝二、解答题
2．(2015·江苏高考·T21已知x,y ∈R,向量α=11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A=10x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的属性特征值-2的一个特征向量,求矩阵A 以及它的另一个特征值.
【解题指南】由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y 的方程组,再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值.
【解析】由已知,得Αα=-2α,即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
则12,2,
x y -=-⎧⎨=⎩ 即1,2,x y =-⎧⎨=⎩
所以矩阵Α=1120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
从而矩阵Α的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),所以矩阵Α的另一个特征值为1.
2。