黑龙江省大庆实验中学2017届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高一（上）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角α的终边经过点P（﹣1，3），则tanα的值为（）A．B．﹣3 C．D．2．化简=（）A．±cos40°B．cos40°C．﹣cos40°D．±|cos40°|3．函数，则f（f（f（π）））=（）A．1 B．0 C．πD．π+14．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．y=x2+cosx D．5．已知a=sin21°，b=cos72°，c=tan23°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．已知A（1，2），B（3，7），=（x，﹣1），∥，则（）A．x=，且与方向相同 B．x=﹣，且与方向相同C．x=，且与方向相反 D．x=﹣，且与方向相反7．向量满足，，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．要得到y=tan2x的图象，则只需将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log3（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|﹣1＜x≤3} 10．如图，正六边形ABCDEF中，点Q为CD边中点，则下列数量积最大的是（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=2|x+a|满足f（3+x）=f（3﹣x），且f（x）在（﹣∞，m]上单调递减，则实数m的最大值等于（）A．﹣2 B．1 C．2 D．312．如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150°，点P在弧BC上运动，，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为．14．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则的值为．15．函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则a+b=．16．如图，半径为2的圆圆心的初始位置坐标为（0，2），圆上一点A坐标为（0，0）．圆沿x轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（4，2）时，A点坐标为．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+6x+m）的定义域为集合B．（1）当m=﹣5时，求A∩∁U B；（2）若A∩B={x|﹣1＜x≤4}，求实数m的值．18．已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx﹣cosx，其中x∈（0，π）．（1）若，求tanθ的值；（2）若，求tanθ的值．19．已知函数的最小值为1．（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和对称轴方程．20．设，其中ω＞0．（1）求函数y=f（x）的值域；（2）若y=f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．21．已知定义在R上的单调递增函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（1）求f（0）的值及f（x）的解析式；（2）若f（k•4x﹣1）＜f（3•4x﹣2x+1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．22．已知二次函数f（x）=x2+mx+n．（1）若f（x）是偶函数且最小值为1，求f（x）的解析式；（2）在（1）的前提下，函数，解关于x的不等式g（2x）＞2x；（3）函数h（x）=|f（x）|，若x∈[﹣1，1]时h（x）的最大值为M，且M≥k对任意实数m，n恒成立，求k的最大值．2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角α的终边经过点P（﹣1，3），则tanα的值为（）A．B．﹣3 C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值，正切值为纵坐标与横坐标的商．【解答】解：由定义若角α的终边经过点P（﹣1，3），∴tanα=﹣3故选B．2．化简=（）A．±cos40°B．cos40°C．﹣cos40°D．±|cos40°|【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据同角三角函数关系式sin2θ+cos2θ=1即可化简．【解答】解：由sin2140°+cos2140°=1，可得：=|cos|=|﹣cos40°|=cos40°故选：B．3．函数，则f（f（f（π）））=（）A．1 B．0 C．πD．π+1【分析】先求出f（π）=0，从而f（f（π））=f（0）=π，进而f（f（f（π）））=f（π），由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（π）=0，f（f（π））=f（0）=πf（f（f（π）））=f（π）=0．故选：B．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．y=x2+cosx D．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】对选项弦求出定义域，再计算f（﹣x），与f（x）比较，由奇偶性的定义，即可判断．【解答】解：对A，函数定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+=2x+=f（x），即为偶函数；对B，函数定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=sin（﹣x）﹣=﹣（sinx+）=﹣f（x），即为奇函数；对C，y=x2+cosx的定义域为R，f（﹣x）=cos（﹣x）+（﹣x）2=cosx+x2=f（x），即为偶函数；对D，函数定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=﹣x+≠f（x），且≠﹣f（x），即为非奇非偶函数．故选：D．5．已知a=sin21°，b=cos72°，c=tan23°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】先判定a＞b，再判定c＞a，即可得出结论．【解答】解：a=sin21°，b=cos72°=sin18°，∴a＞b，c=tan23°＞tan21°＞sin21°，∴c＞a，∴c＞a＞b，故选D．6．已知A（1，2），B（3，7），=（x，﹣1），∥，则（）A．x=，且与方向相同 B．x=﹣，且与方向相同C．x=，且与方向相反 D．x=﹣，且与方向相反【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】求出AB向量，利用斜率平行求出x，然后判断两个向量的方向即可．【解答】解：A（1，2），B（3，7），可得=（2，5）=（x，﹣1），∥，可得5x=﹣2，解得x=﹣．=（﹣，﹣1），与方向相反．故选：D．7．向量满足，，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对向量的模平方，化简求解即可得到向量的数量积的值．【解答】解：向量满足，，可得：，，两式相减可得：=4．解得=1．故选：A．8．要得到y=tan2x的图象，则只需将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】化简=tan2（x+），然后推出选项．【解答】解：=tan2（x+），要得到y=tan2x的图象，则只需将的图象向右平移个单位，得到y=tan2（x+﹣）=tan2x．故选D．9．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log3（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|﹣1＜x≤3}【考点】函数单调性的性质．【分析】根据图象求出f（x）的解析式，即可求f（x）≥log3（x+1）的解集．【解答】解：由图象可得f（x）是分段函数，由两段直线构成．设f（x）=kx+b，当﹣1≤x≤0时，图象过（﹣1，0）（0，3），解得k=3，b=3当0≤x≤3时，图象过（0，3）（0，3），解得k=﹣1，b=3∴f（x）=那么：不等式f（x）≥log3（x+1）当﹣1≤x≤0时，3（x+1）≥log3（x+1），解得：x＞﹣1当0≤x≤3时，3﹣x≥log3（x+1），解得，x≤2，对数y=log3（x+1）图象恒过（0，0），如图，数形结合法，可得答案．综上可得：不等式f（x）≥log3（x+1）的解集为{x|﹣1＜x≤2}．故选B10．如图，正六边形ABCDEF中，点Q为CD边中点，则下列数量积最大的是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，然后以FC所在直线为x轴，以FC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，求出所用点的坐标，得到向量的坐标，求其数量积得答案．【解答】解：设正六边形的边长为2，以FC所在直线为x轴，以FC的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则A（﹣1，），B（1，﹣），C（2，0），D（1，），E（﹣1，），Q（）．，，，，．则=5，=12，=14，=9．∴最大．故选：C．11．若函数f（x）=2|x+a|满足f（3+x）=f（3﹣x），且f（x）在（﹣∞，m]上单调递减，则实数m的最大值等于（）A．﹣2 B．1 C．2 D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得函数f（x）关于x=3对称，可知f（x）又关于x=﹣a对称，求得a=﹣3，可知（﹣∞，m]⊆（﹣∞，3]，即可得到m的最大值．【解答】解：函数f（x）=2|x+a|满足f（3+x）=f（3﹣x），可得函数关于x=3对称，又函数f（x）=2|x+a|关于x=﹣a对称，则﹣a=3，可知a=﹣3，f（x）=2|x﹣3|在（﹣∞，3]递减，f（x）在（﹣∞，m]上单调递减，可知（﹣∞，m]⊆（﹣∞，3]，即有m≤3，则m的最大值为3．故选：D．12．如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150°，点P在弧BC上运动，，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，求出向量坐标，设P（cosθ，sinθ），根据向量坐标的运算得到m=cosθ+sinθ，n=2sinθ，则=2sin（θ+60°），根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图：P（cosθ，sinθ），0°≤θ≤150°，则A（0，0），B（1，0），C（﹣，），∵，∴（cosθ，sinθ）=m（1，0）+n（﹣，）=（m﹣n，），∴cosθ=m﹣n，sinθ=，∴m=cosθ+sinθ，n=2sinθ，∴=cosθ+3sinθ﹣2sinθ=cosθ+sinθ=2sin（θ+60°），∵0°≤θ≤150°，∴60°≤θ+60°≤210°，∴当θ=30°时，的最大值为2，故选：C．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin（80°﹣20°）=sin60°=．故答案为：．14．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则的值为．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】先用待定系数法求出幂函数的解析式，再由代入法，求函数的值即可．【解答】解：设幂函数y=xα（α∈R），其函数图象经过点（4，2），∴4α=2，解得α=，∴y=f（x）=x；∴f（）=（）=．故答案为：．15．函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则a+b=．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】由题意对底数a讨论函数f（x）=a x+b的单调性即可求值域．【解答】解：由题意，当a＞1时，函数f（x）=a x+b是增函数，其定义域和值域都是[﹣2，0]，可得：，此时a无解．当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b是减函数，其定义域和值域都是[﹣2，0]，可得：，解得：b=﹣3，a=那么a+b=．故答案为：．16．如图，半径为2的圆圆心的初始位置坐标为（0，2），圆上一点A坐标为（0，0）．圆沿x轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（4，2）时，A点坐标为（4﹣2sin2，2﹣2cos2）．【考点】圆的参数方程．【分析】设滚动后的圆的圆心为O'，切点为C（4，0），连接O'A，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（6，2），设∠BO'A=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标，再根据圆的圆心从（0，2）滚动到（4，2），算出θ，结合三角函数的诱导公式，化简可得A的坐标．【解答】解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为C（4，0），连接O'A，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（6，2），设∠BO'A=θ，∵⊙O'的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2=4，∴根据圆的参数方程，得A的坐标为（4+2cosθ，2+2sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，2），圆滚动到圆心位于（4，2）∴可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到A的坐标为（4﹣2sin2，2﹣2cos2）．故答案为（4﹣2sin2，2﹣2cos2）三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+6x+m）的定义域为集合B．（1）当m=﹣5时，求A∩∁U B；（2）若A∩B={x|﹣1＜x≤4}，求实数m的值．【考点】交、并、补集的混合运算；全集及其运算．【分析】（1）由偶次根号下被开方数大于等于零列出不等式求出A，由真数大于零列出不等式求出B，由补集的运算求出∁U B，由交集的运算求出A∩∁U B；（2）由条件、交集的运算、一元二次不等式的解法，列出关于m的方程，求出实数m的值．【解答】解：（1）由﹣x2+2x+8≥0得﹣2≤x≤4，∴集合A=[﹣2，4]，当m=﹣5时，g（x）=lg（﹣x2+6x+m）=lg（﹣x2+6x﹣5），由﹣x2+6x﹣5＞0得1＜x＜5，∴集合B=（1，5），则∁U B=（﹣∞，1]∪[5，+∞）∴A∩C U B=[﹣2，1]；（2）∵A=[﹣2，4]，A∩B={x|﹣1＜x≤4}=（﹣1，4]，且集合B={x|﹣x2+6x+m＞0 }，∴﹣1是方程﹣x2+6x+m=0其中一个根，则﹣1﹣6+m=0，解得m=7，∴实数m的值是7．18．已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx﹣cosx，其中x∈（0，π）．（1）若，求tanθ的值；（2）若，求tanθ的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）（2）根据同角三角函数关系式化简后，即可求值．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx﹣cosx，其中x∈（0，π）．（1），即sinθ+cosθ=，又∵sin2θ+cos2θ=1，解得：sinθ=，cosθ=﹣，则tanθ=，（2），即=，可得：，∴tanθ=．19．已知函数的最小值为1．（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和对称轴方程．【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【分析】（1）利用两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式．结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值，可求常数a的值．（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间，结合三角函数的性质可得对称轴方程．【解答】解：（1）函数化简可得：f（x）=sinxcos+cosxsin+sinxcos﹣cosxsin+cosx+a=sinx+cosx+a=2sin（x+）+a．∵f（x）的最小值为1．即﹣2+a=1∴解得：a=3（2）由（1）可得f（x）=2sin（x+）+3．令x+是单调递增，解得：，∴单调增区间；令+2kπ≤x+是单调递减，解得：∴单调减区间；令x+=解得：∴对称轴方程是20．设，其中ω＞0．（1）求函数y=f（x）的值域；（2）若y=f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，即得到f（x）的值域．（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；在区间上为增函数，即可ω的范围，可得ω最大值．【解答】解：设，其中ω＞0．化简可得：f（x）=2sinωxcosωxcos+2sin2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+（cos2ωx）+cos2ωx=sin2ωx+∵sin2ωx∈[﹣1，1]∴f（x）∈即函数f（x）值域是．（2）由（1）可得f（x）=sin2ωx+∵y=f（x）在区间上为增函数∴﹣且，（k∈Z）解得：∵ω＞0．∴．21．已知定义在R上的单调递增函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（1）求f（0）的值及f（x）的解析式；（2）若f（k•4x﹣1）＜f（3•4x﹣2x+1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）f（x）是R上的奇函数得f（0）=0．令x＜0，则﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣'由此能求出f（x）的解析式．（2）利用函数的奇偶性和单调性对不等式进行转化，把恒成立问题转化为最值问题．【解答】解：（1）∵f（x）时R上的奇函数f（﹣x）=﹣f（x），∴f（0）=0．令x＜0，则﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣f（x）=（2）∵f（x）时R上的奇函数，单调递增函数．∴f（k•4x﹣1）＜f（3•4x﹣2x+1）对任意x∈R恒成立⇔k•4x﹣1＜3•4x﹣2x+1令2x=t，t＞0，则k•4x﹣1＜3•4x﹣2x+1⇔kt2﹣1＜3t2﹣2t⇒k＜﹣+3，，∴k＜2，即实数k的取值范围为：（﹣∞，2）．22．已知二次函数f（x）=x2+mx+n．（1）若f（x）是偶函数且最小值为1，求f（x）的解析式；（2）在（1）的前提下，函数，解关于x的不等式g（2x）＞2x；（3）函数h（x）=|f（x）|，若x∈[﹣1，1]时h（x）的最大值为M，且M≥k对任意实数m，n恒成立，求k的最大值．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（1）利用偶函数的定义和函数的最值即可求出函数的解析式，（2）设t=2x，t＞0，原不等式化为t＜，即可求出不等式的解集，（3）分别赋值x=0，﹣1，1时，即可求出k的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴x2﹣mx+n=x2+mx+n，∴m=0，∵f（x）是偶函数且最小值为1，∴n=1∴f（x）=x2+1，（2）∵=，g（2x）＞2x，设t=2x，t＞0，∴＞t，∴t2＜5，∴t＜，∴2x＜，解得x＜log25，故解集是（3）令x=1，则|1+m+n|≤M，则﹣M≤1+m+n≤M①令x=﹣1，则|1﹣m+n|≤M，则﹣M≤1﹣m+n≤M②令x=0，则|n|≤M，则﹣M≤n≤M③由①+②﹣2×③得，．当且仅当时等号成立．因此．2017年2月28日。

2020届黑龙江省实验中学2017级高三上学期期末考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题,共60分）1. 若集合{}1,3A =,{}0,2B =-,则集合{}|,,z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】C【解析】根据题意求出{}{}|,,1,1,3z z x y x A y B =+∈∈=-即可得解.【详解】集合{}1,3A =,{}0,2B =-,则集合{}{}|,,1,1,3z z x y x A y B =+∈∈=-共三个元素.故选：C2. 在复平面内与复数21iz i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ,则A 对应的复数为（）A. 1i --B. 1i -C. 1i +D. 1i -+【答案】D【解析】根据复数的运算法则求出1z i =+,即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标,写出复数. 【详解】由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,在复平面对应的点为（1,1）,关于虚轴对称点为（-1,1）,所以其对应的复数为1i -+.故选：D3. 已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,给出下列命题：①α∥β⇒l m ⊥ ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是（ ）A. ①③B. ②③④C. ①②③D. ②④ 【答案】A【解析】利用线面、面面平行的性质和判断以及线面、面面垂直的性质和判断可得结果.【详解】②若αβ⊥,则l 与m 不一定平行,还可能为相交和异面；④若l m ⊥,则α与β不一定平行,还可能是相交.故选A.4. 设D 为ABC ∆所在平面内一点,若3BC CD =,则下列关系中正确的是（ ）A . 1433AD AB AC =-+ B. 1433AD AB AC =- C. 4133AD AB AC =+ D. 4133AD AB AC =- 【答案】A【详解】∵3BC CD =∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −13AB . 故选A.5. 程大位是明代著名数学家,他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛,底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图,求得该垛果子的总数S 为（ ）。

2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1}D．{0}2．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零3．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项4．若两个正数a，b满足2a+b＜4，则的取值范围是（）A．{z|﹣1≤z≤1}B．{z|﹣1≥z或z≥1} C．{z|﹣1＜z＜1}D．{z|﹣1＞z或z＞1}5．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]6．a，b，c∈R+，设S=，则下列判断中正确的是（）A．0＜S＜1 B．1＜S＜2 C．2＜S＜3 D．3＜S＜47．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．8．如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则=（）A．B．C．D．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．410．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面ACDEC．三棱锥′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b12．函数f（x）=+的性质：①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）A．①③B．③④C．②③D．②④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知与的夹角为60°，且，求．14．在等式++=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是．15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′分别交于M，N两点，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②直线AC∥平面MENF始终成立；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常数；以上结论正确的是．16．关于x的不等式（ax﹣1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．18．已知命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，BD⊥CF，且FA⊥AD，EF∥AD，EF=AF=a．（Ⅰ）求证：平面ADEF垂直于平面ABCD；（Ⅱ）若P、Q分别为棱BF和DE的中点，求证：PQ∥平面ABCD；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．21．函数f（x）=x2+mln（x+1）．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=﹣1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜成立．22．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1}D．{0}【考点】交集及其运算．【分析】利用特殊角的三角函数值确定出A中的元素，求出B中方程的解得到x的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={cos0°，sin270°}={1，﹣1}，B={x|x2+x=0}={x|x（x+1）=0}={﹣1，0}，∴A∩B={﹣1}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，由此得出结论．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，故应假设的内容是：a、b、c三个实数中至少有两个小于零．故选：C．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．3．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n ＞2）”时的过程中，由n=k 到n=k +1时，不等式的左边（ ）A ．增加了一项B ．增加了两项C ．增加了两项，又减少了一项D ．增加了一项，又减少了一项【考点】数学归纳法．【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“++…+＞（n ＞2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n 项，当由n=k 到n=k +1时，项数也由k 变到k +1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．【解答】解：，=故选C【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设P （n ）是关于自然数n 的命题，若1）（奠基） P （n ）在n=1时成立；2）（归纳） 在P （k ）（k 为任意自然数）成立的假设下可以推出P （k +1）成立，则P （n ）对一切自然数n 都成立．4．若两个正数a ，b 满足2a +b ＜4，则的取值范围是（ ）A ．{z |﹣1≤z ≤1}B ．{z |﹣1≥z 或z ≥1}C ．{z |﹣1＜z ＜1}D ．{z |﹣1＞z 或z ＞1}【考点】基本不等式．【分析】如图所示，画出可行域即为2z=表示可行域内的点P （a ，b ）与Q（1，﹣2）所在直线的斜率的2倍．分别求出直线OQ ，BQ 的斜率即可．【解答】解：由，即为2z=表示可行域内的点P（a，b）与Q（1，﹣2）所在直线的斜率的2倍，∵k OQ=﹣2，k QB==2，∴z＜﹣1或z＞1，故选：D．【点评】本题考查了线性规划的可行域、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的能力，属于中档题．5．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx==，由题意知，则T=π，∴ω=，∴，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．6．a，b，c∈R+，设S=，则下列判断中正确的是（）A．0＜S＜1 B．1＜S＜2 C．2＜S＜3 D．3＜S＜4【考点】反证法与放缩法．【分析】要判断所给的式子的范围，观察式子的特点，分母是一个利用四个字母中的三个做分母的题目，采用放缩法把三个字母的和变化为这四个字母的和，在把所得的结果相加，得到结论，同时以两个为一组，进行放缩，得到式子小于2，得到结果．【解答】解：＞=即S＞1，，，，得，即，得S＜2，所以1＜S＜2．故选B．【点评】本题考查放缩法求解一个式子的取值范围，是一个典型的放缩法，两端都可以变化，可大可小，这种问题经常出现在高考卷中的大型综合题目中．7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．【考点】等差数列的性质．【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则=（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【分析】根据图象的规律可得出通项公式a n，根据数列{}的特点可用列项法求出=，将n=2014代入可得答案．【解答】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即a n=3n﹣3，令S n==++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴=，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和求和问题．属基础题．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．4【考点】棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．【分析】本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．【解答】解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．【点评】本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．10．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面ACDEC．三棱锥′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确．【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查了空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查了空间想象能力．11．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+xf′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．【点评】本题考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．12．函数f（x）=+的性质：①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）A．①③B．③④C．②③D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①因为函数不是奇函数，所以错误．②利用函数对称性的定义进行判断．③利用两点之间线段最短证明．④利用函数的值域进行判断．【解答】解：①因为f（﹣x）=+≠﹣f（x），所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称，所以错误．②因为f（3﹣x）=+=+，所以f（x）的图象关于x=对称，所以②正确．③由题意值f（x）≥f（），而f（）=+=，所以f（x）≥，即函数f（x）的值域为[，+∞），正确．④设f（x）=t，则方程f[f（x）]=1+，等价为f（t）=1+，即t=0，或t=3．因为函数f（x）≥，所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，所以④错误．故正确的说法为：②③故选：C【点评】本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的分析能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知与的夹角为60°，且，求0或2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把两边平方，代入已知化为关于||d 的一元二次方程求解．【解答】解：由与的夹角为60°，且，得，即，∴，得，解得||=0或||=2．故答案为：0或2．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础题．14．在等式++=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是 64 ．【考点】基本不等式．【分析】设依次填入的三个数分别为x 、y 、z ，根据柯西不等式，即可得到（x +y +z ）（++）≥（1+3+4）2=64，问题得以解决．【解答】解：设依次填入的三个数分别为x 、y 、z ，则根据柯西不等式，得 （x +y +z ）（++）≥（1+3+4）2=64．∴x=8，y=24，z=32时，所求最小值为64．故答案为：64．【点评】本题考察了柯西不等式，掌握柯西不等式是关键，属于基础题．15．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′分别交于M ，N 两点，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′； ②直线AC ∥平面MENF 始终成立；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常数；以上结论正确的是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．【分析】利用直线与平面垂直的判定定理判断①的正误；直线与平行判断②的正误；分析说明函数的单调性判断③的正误；求出几何体的体积即可判断④的正误．【解答】解：对于①：显然，EF⊥BD，又EF⊥DD′，∴EF⊥平面BDD′B′，∴平面MENF⊥平面BDD′B′；∴①正确；对于②：由已知条件，E、F是所在棱的中点，则EF∥ac，且EF⊂平面MENF，AC⊄平面MENF，∴直线AC∥平面MENF始终成立，故②正确；对于③：M在A时，N在D′，MENF的周长最大，MN在所在棱的中点时，MENF的周长最小，M在B′，N在B时，MENF的周长最大，四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]不是单调函数．故③不正确；对于④：连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常函数，所以④正确．综上，正确的有①②④．故答案为：①②④．【点评】本题重点考查了空间中平行和垂直关系的判断和性质等知识，命题真假的判定，属于中档题16．关于x的不等式（ax﹣1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是a≤﹣或a=e．【考点】函数恒成立问题．【分析】分类讨论，将不等式转化，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：a＜0，则lnx+ax≤0，令y=lnx+ax，则y′=+a，∴0＜x＜﹣时，y′＞0，x＞﹣时，y′＜0∴x=﹣时，函数取得最大值ln（﹣）﹣1，∵lnx+ax≤0，∴ln（﹣）﹣1≤0，∴a≤﹣；a=0时，则lnx≤0，在（0，+∞）上不恒成立，不合题意；a＞0时，或，a=e，综上，a≤﹣或a=e．【点评】本题考查求实数a的取值范围，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【考点】余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）①又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（2）=sin（ωx﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴∴ω=2∴f（x）=sin（2x﹣）∴f（A）=sin（2A﹣）∵＜A＜，∴0＜2A﹣＜∴0＜sin（2A﹣）≤1∴0＜f（A）≤．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．△＞0，可得f（﹣2）f（2）≤0，解得a范围．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解，可得a≤．由命题“p且q”是假命题，可得p与q都是假命题．即可得出．【解答】解：命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．△=a2+8＞0，∴f（﹣2）f（2）=（2﹣2a）（2+2a）≤0，解得a≥1，或a≤﹣1．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解，∴a≤=﹣3．∵命题“p且q”是假命题，∴p与q都是假命题．∴，解得﹣1＜a＜1．∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出b n．（Ⅲ）=n（3n+1）=n3n+n，所以T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②②﹣①得：，=2（3n+1+1），b n+1故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（Ⅲ）=n（3n+1）=n3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…∴数列{c n }的前n 项和…【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．20．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，BD ⊥CF ，且FA ⊥AD ，EF ∥AD ，EF=AF=a ．（Ⅰ）求证：平面ADEF 垂直于平面ABCD ；（Ⅱ）若P 、Q 分别为棱BF 和DE 的中点，求证：PQ ∥平面ABCD ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC ，推导出BD ⊥AC ，从而FA ⊥平面ADEF ，由此能证明平面ADEF 垂直于平面ABCD ．（Ⅱ）作PS ⊥AB ，QT ⊥AD ，EM ⊥AD ，S ，T ，M 是垂足，推导出四边形PSTQ 是平行四边形，从而PQ ∥ST ，由此能证明PQ ∥平面ABCD ．（Ⅲ）多面体ABCDEF 的体积V 多面体ABCDEF =V F ﹣ABCD +V C ﹣DEF ，由此能求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，AF ⊥AD ，平面ABCD ∩平面ADEF=AD ，∴FA ⊥平面ADEF ，∴平面ADEF 垂直于平面ABCD ． （Ⅱ）作PS ⊥AB ，QT ⊥AD ，EM ⊥AD ，S ，T ，M 是垂足，在△ABF 中，PS ：AF=BP ：BF=1：2，PS=AF ，在直角梯形ADEF 中，QT=EM=AF ，∴PSQT ，∴四边形PSTQ 是平行四边形，∴PQ ∥ST ， ∵ST ⊂平面ABCD ，∴PQ ∥平面ABCD ． 解：（Ⅲ）多面体ABCDEF 的体积： V 多面体ABCDEF =V F ﹣ABCD +V C ﹣DEF==．【点评】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．函数f （x ）=x 2+mln （x +1）．（1）若函数f （x ）是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若m=﹣1，试比较当x ∈（0，+∞）时，f （x ）与x 3的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式e 0+e ﹣1×4+e ﹣2×9+…+e ＜成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【分析】（1）分f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立两种情况；（2）令m=﹣1，通过求导，得g（x）=f（x）﹣x3在（0，+∞）上单调递减，从而得证；（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），变形为（x ∈（0，+∞）），相加计算即可．【解答】解：（1）根据题意，由=，可知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．下面分两种情况讨论：①当f′（x）=≥0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≥在（﹣1，+∞）上恒成立，故m≥；②当f′（x）=≤0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≤在（﹣1，+∞）上恒成立．∵在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数m使f′（x）＜0在（﹣1，+∞）上恒成立．综上所述，实数m的取值范围是[）；（2）当m=﹣1时，即函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．令g（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），则=，显然，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）＜g（0）=0，即f（x）﹣x3＜0恒成立，故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），所以，即（x∈（0，+∞）），当x取自然数时，有（n∈N*），所以e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）=1×n+1+2+3+4+…+n==．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．22．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1求出函数的导数，利用切线与已知直线垂直，列出方程，即可求解a的值．（2）求出g'（x），列出求解函数的极值点的方程，利用韦达定理，化简g（x1）﹣g（x2），构造新函数，通过新函数的导数求解函数的最值．【解答】解：（1）直线x+2y=0的斜率为﹣；故在x=1处的切线的斜率为2；f′（x）=1+，故f′（1）=1+a=2；解得，a=1．（2）=x+lnx+x2﹣bx，x＞0∴g′（x）=1++x﹣b=令g′（x）=0，得x2﹣（b﹣1）x+1=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∴g（x1）﹣g（x2）=（x1+lnx1+x12﹣bx1）﹣（x2+lnx2+x22﹣bx2）=ln+（x12﹣x22）﹣（b﹣1）（x1﹣x2）=ln+（﹣），∵0＜x1＜x2，设t=，（0＜t＜1）设h（x）=lnt﹣（t﹣），则h′（x）=﹣（1+）=﹣＜0∴（x1+x2）2==t++2≥∵0＜t＜1，∴9t2﹣82t+9≥0解0＜≤t，∴h（t）≥h（）=ln﹣（﹣9）=﹣ln9∴g（x1）﹣g（x2）的最小值﹣ln9【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法韦达定理以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。

大庆铁人中学高三年级上学期期末考试数学试题（文）命题人：李冬梅 薄海波 审题人：车卫东试卷说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.请将答案写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。

一．选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）1．已知集合2{|1}=<A x x ，2{|log 1}=<B x x ，则=I A B （ ） A ．{}11x x -<< B ．{}01x x << C ．{}02x x << D ．{}-12x x <<2．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足273110a a a --=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =， 则68b b =( )（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．下图给出的是计算111124610+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A ．5>iB ．5<iC ．6i >D ．6i <6．在区间[]-3,5上随机取一个实数a ，则使函数()224f x x ax =++无零点的概率是（ ）A.13 B.12 C ．14 D.187．已知实数x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数=m （ ）A ．6B ．5C ． 4D ．38．用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标， 以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ） A ．0.85B ．0.8C ．0.75D ．0.79．给出下列五个结论：①从编号为001,002,,500L 的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从 小到大依次为007,032,,L 则样本中最大的编号是482；②命题",x R ∀∈均有2320"x x -->的否定是：0",x R ∃∈使得200320"x x --≤； ③将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图像向右平移6π后，所得到的图像关于y 轴对称； ④,m R ∃∈使()()2431m m f x m x-+=-⋅是幂函数，且在(0,)+∞上递增；⑤如果{}n a 为等比数列，2121n n n b a a -+=+，则数列{}n b 也是等比数列.其中正确的结论为 （ ） A ．①②④ B ．②③⑤ C. ①③④ D ．①②⑤10．已知点12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A B 、两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．4 C ．13D ．15 11．三棱锥P ABC -中,,22AB BC AB BC PA PC ⊥====，,AC 中点为M ，3cos PMB ∠=，则此三棱锥的外接球的表面积为 （ ） A ．32πB ．2πC ．6πD ．6π12．若函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当[]0,1x ∈时,()f x x =.若在区间(]-1,1内,()()2g x f x mx m =--有两个零点,则实数m 的取值范围是 ( )A ．103m <<B ．113m <≤C ．113m <<D ．103m <≤第二部分（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D内一动点，则三棱锥P ABC -的正(主)视图与侧(左)视图 的面积的比值为______________.222212222214C :1(0,0),:1(0,0)x y x y a b C a b a b a b+=>>-=>>．已知椭圆双曲线03=±y x 的渐近线方程_______,21的离心率之积为与则C C .15．设n 是正整数，()111123f n n =++++L ，计算得()322f =，()42f >，()582f >，()163f >，观察上述结果，按照上面规律，可以推测()2048f >______________.么实数m 的取值范围是__________________.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2)1(4+=n n a S . （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11+⋅=n n n a a b，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的范围．18．(本小题满分12分)已知向量,1)4x m =u r ，2(cos ,cos )44x x n =r ，()f x m n =⋅u r r（1）若()1f x =，求cos()3x π+的值；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足1cos 2a C cb +=， 求函数()f B 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，125AC BC AA ==， D 是棱1AA 上的点,114AD DA =且. （1）证明：平面1BDC BDC ⊥平面；（2）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20．（本小题满分12分）CBADC 1A 1B 1已知抛物线()220y px p =>上点()3,M n 到焦点F 的距离为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）点P 为准线上任意一点，AB 为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线,,PA PB PF 的斜率为123,,k k k ，问是否存在实数λ，使得123k k k λ+=恒成立.若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()2ln 1f x x x ax =+-，且(1)1f '=-.（1）求()f x 的解析式；（2）若对于任意(0,)x ∈+∞，都有1()f x mx --≤，求m 的最小值； （3）证明：函数2()e xy f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方.22.（本小题满分10分） 选修4—4：极坐标与参数方程 平面直角坐标系中，直线l的参数方程是,x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB .文科数学试题答案一．选择题BBBBA BBCDC CD 二．填空题 ：15.132 16.(][)2,22,2Y--三．解答题17.解：(1)因为(a n ＋1)2＝4S n ，所以S n ＝(an ＋1)24，S n ＋1＝(an ＋1＋1)24.所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(an ＋1＋1)2－(an ＋1)24，即4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，∴2(a n ＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．．．．．．．．．．．．．．．4分 因为a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列．由(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1．．．．．．．．．．．．．．6分 (2)由(1)知b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎪⎭⎫⎝⎛+--121121n n ，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-1211211211215131311n n n Λ＝12－12(2n ＋1).．．．．．．．．．．．．．．8分 ∵T n ＋1－T n ＝12－12(2n ＋3)－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-)12(2121n ＝12(2n ＋1)－12(2n ＋3) ＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＞0，∴T n ＋1＞T n .∴数列{T n }为递增数列，．．．．．．．．．．．．．．10分∴T n 的最小值为T 1＝12－16＝13.所以2131<≤n T ．．．．．．．．．．．．．．12分18．解：(1)()2111cos cos cos sin ,4442222262x x x x x x f x m n π⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭Q 而()11,sin .262x f x π⎛⎫=∴+=⎪⎝⎭21cos cos 212sin .326262x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．6分(2)22211cos ,,222a b c a C c b a c b ab +-+=∴⋅+=Q 即2221,cos .2b c a bc A +-=∴= 又()0,,3A A ππ∈∴=Q 又20,,36262B B ππππ<<∴<+<Q ()31,.2f B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．(1)由题意 11,,BC CC BC AC CC AC C ⊥⊥=I , 所以11BC ACC A ⊥面,又11DC ACC A ⊂面, 所以1DC BC ⊥．又11A DC ADC ∆∆和为直角三角形,计算易知1DC DC ⊥DC BC C =I , 所以1DC BDC⊥面BDC BDC BDC DC 面所以面面⊥⊂111,．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分⑵设棱锥1B DACC -的体积为1V ,2AC =, 则有1115=22=432V +⨯⨯⨯,又11110ABC A B C V -=,所以1BDC 分此棱柱的体积比为3：2．或2：3．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．解：⑴抛物线)0(22>=p px y 的焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p ，准线为2p x -=，由抛物线的定义可知：2,234=∴+=p p∴抛物线的标准方程为x y 42=．．．．．．．．．．．．．．．．4分⑵由于抛物线x y 42=的焦点F 为()0,1，准线为1-=x设直线AB l ：1+=my x ，联立⎩⎨⎧=+=xy my x 412消x 得0442=--my y设()()()t P y x B y x A ,1,,,,2211-4,42121-==+y y m y y易知23tk -=，而()()()()()()111111************++-++-+=+-++-=+x x t y x t y x x t y x t y k k=()()()32222212211222444414141414k t m m t y y t y y t y y =-=++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 2=∴λ．．．．．．．．．．．．．．．．12分21. （Ⅰ）解：对()f x 求导，得()1ln 2f x x ax '=++， …………1分所以(1)121f a '=+=-，解得1a =-，所以2()ln 1f x x x x =--. ……………3分 （Ⅱ）解：由1()f x mx --≤，得20ln x x x mx --≤，因为(0,)x ∈+∞，所以对于任意(0,)x ∈+∞，都有ln m x x -≤. ………4分 设()ln g x x x =-，则 1()1g x x'=-.令 ()0g x '=，解得1x =. ……5分当x 变化时，()g x 与()g x '的变化情况如下表：所以当1x =时，max ()(1)1g x g ==-. ………………7分 因为对于任意(0,)x ∈+∞，都有()m g x ≤成立，所以 1m -≥. 所以m 的最小值为1-. …………………8分（Ⅲ）证明：“函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方”等价于“2()e 210x f x x x x -+++<”，即要证ln e 20x x x x x -+<，所以只要证ln e 2x x <-.由（Ⅱ），得1()ln g x x x -=-≤，即1ln x x -≤（当且仅当1x =时等号成立）. 所以只要证明当(0,)x ∈+∞时，1e 2x x -<-即可. …………………10分 设()(e 2)(1)e 1x x h x x x =---=--，所以()e 1x h x '=-，令()0h x '=，解得0x =.由()0h x '>，得0x >，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数. 所以()(0)0h x h >=，即1e 2x x -<- 所以ln e 2x x <-. 故函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方. ………………12分 22.()分的直角坐标方程为消去参数得直线231K K K x y l =xy y x 3sin cos =⎩⎨⎧==代入把θρθρ分即得5)(3,cos 3sin K K K R ∈==ρπθθρθρ()分得703-3-303sin 2sin cos 22222K K K =⎪⎩⎪⎨⎧==--+ρρπθθρθρθρ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛3,,3,21πρπρB A 设()分则10154212121K K K =-+=-=ρρρρρρAB。