分式运算常见错误示例易错点剖析

分式运算常见错误示例
一、概念记不准
例1 下列哪些是分式? 哪些是整式? ①2x 1-π
② 31+a ③43 错解：①，③是分式, ②是整式.①在代数式2x 1-π
中, 因为在分母中含有字母π, 所以是分式; ②在代数式31+a 中, 因为它是二项式,属于整式； 43是分式.
错解分析：分式的定义就是形如B
A , 其中A 和
B 都为整式, 分母B 中要含有字母，①2x 1-π中的分母π是常数, 而不是字母; ② 31+a 中的a 1是分式, 加3 后, 仍然属于分式; ③把分式和分数混淆了. 正解：①,③是整式, ②是分式.
二、直接将分式约分
例2 x 为何值时,分式
239x x --有意义? 错解: ()()2331333
9x x x x x x --==+-+-.要使分式有意义,必须满足x +3≠0,即x ≠-3.
错解分析: 错误的原因是将x -3约去,相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式,无意中扩大了字母的取值范围,当x =3时,分式无意义的条件漏掉了.
正解:要使分式有意义,必须满足2x -9≠0,解得x ≠±3.∴当x ≠±3时, 分式239
x x --有意义.
三、误以为分子为零时,分式的值就为零
例3 当x 为何值时,分式2
24x x -+的值为零?
错解: 由题意,得|x |-2=0,解得x =±2. ∴当x =±2时, 分式2
24x x -+的值为零.
错解分析: 分式值为零的条件是分子为零而分母不为零.本题当x =-2时,分母2x +4=2×(-2)+4=0,分式无意义,应舍去.
正解: 由题意,得|x |-2=0,解得x =±2. 当x =2时,分母2x +4≠0; 当x =-2时, 分母2x +4=2×(-2)+4=0,分式无意义.∴当x =2时, 分式2
24x x -+的值为零.
四、分式通分与解方程去分母混淆
例4 化简22
x x --x -2. 错解:原式=2x - x (x -2) -2(x -2) =2x -2x +2x -2x +4=4.
错解分析: 上述错误在于进行了去分母的运算,当成了解方程,而本题是分式的加减运算,必须保持分式的值不变.
正解:22x x --x -2= 22x x --(x +2)= 22x x --()()222
x x x +--=22(4)2x x x ---= 42
x -. 五、颠倒运算顺序
例5 计算a ÷b ×1b
.
错解: a ÷b ×1b = a ÷1=a .
错解分析: 乘法和除法是同级运算,应按从左到右的顺序进行.
错解颠倒了运算顺序,造成运算错误.
正解:a ÷b ×1b =a b ×1b =
2a b
. 六、化简不彻底
例6 计算221244x x ---. 错解:原式=
()()()212222x x x -+--=()()()()42222222x x x x x +-+-+- =()()()42222x x x -++-=()()
2222x x x -++-. 错解分析: 上面计算的结果,分子、分母还有公因式(x -2)可约分,应继续化简.
正解: 原式=
()()()212222x x x -+--=()()()()42222222x x x x x +-+-+- =()
()()42222x x x -++-=()()2222x x x -++-=()
122x -+. 七、忽视“分母等于零无意义”致错
1.错在只考虑了其中的一个分母
例7 x 为何值时, 分式1111
+-x 有意义?
错解：当x + 1 ≠ 0, 得x ≠ - 1. 所以当x ≠ - 1时, 原分式有意义.
错解分析：上述解法中只考虑了分式
11+x 中的分母, 没有注意整个分式的大分母1
11+-x . 正解：由x + 1 ≠ 0, 得x ≠ - 1.由111+-
x ≠ 0, 得x ≠ 0，因此， 当x ≠0 且x ≠ - 1 时, 原分式有意义.
2.错在没有把方程的两个解带到分母中去检验
例8 先化简, 再求值: 1
211222+--∙+-x x x x x x , 其中x 满足x 2 - 3x + 2= 0. 错解：1211222+--∙+-x x x x x x =2)
1()1)(1(1)1(--+∙+-x x x x x x = x . ∵x 2- 3x + 2= 0,∴( x - 2) ( x - 1) = 0. ∴x = 1 或x = 2， 原式=1或2.
错解分析：只要把本题中的x = 1 代入到 ( x - 1) 2 中可知, 分母等于0, 所以原式无意义. 故原式只能等于2. 正解：2222
x x x 1x(x 1)(x 1)(x 1)x x 1x 2x 1x 1(x 1)----+==+-++-··， 由x 2-3x +2=0，
解得x 1=2,x 2=1，
当x =2时， x +1≠0，x 2-2x +1≠0，
当x =1时，x 2-2x +1=0，
故x 只能取2，
则原式=x =2.
3. 错在没有考虑除式也不能为零
例9 先化简1
1112-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x x , 再选择一个恰当的x 值代入并求值. 错解：11112-÷⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+x x x =x x x x x )1)(1(111-+⨯-+-= x + 1. ∵ x - 1 ≠0, x 2 - 1 ≠ 0, ∴x ≠± 1.
当取x = 0 时代入x +1,原式= 1.
错解分析：本题若取x = 0, 则除式x 颠倒到分母上时, 分式就变得无意义了, 显然是不正确的, 所以x ≠- 1, 0, 1. 其他值代入均可求. 正解：11112-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x x =x (x 1)(x 1)x 1x 1
x -+=+-·, ∵ x -1≠0, x 2-1 ≠0,
2x x 1-为除数不为0，即x ≠0, ∴x ≠±1且x ≠0,
当取x =2 时, 原式=x +1=2+1=3.
4.错在“且”与“或”的混用
例10 x 为何值时, 分式)
3)(2(1--x x 有意义? 错解：要使分式有意义, x 必须满足分母不等于零, 即( x - 2) ( x -
3) ≠0, 所以x ≠2 或x ≠3.
错解分析：“且”与“或”是两个完全不同的联结词,两件事情至少一件发生用“或”，两件事情同时发生用“且”.
正解：要使分式有意义, x 必须满足( x - 2) ( x - 3)≠0, 所以x ≠2 且x ≠3.
八、忽视分数线具有双重作用
例11 化简： 11
2
---x x x 错解： 原式= 1
121)1)(1(11122--=----=---x x x x x x x x x . 错解分析：分数线具有除号和括号的双重作用, 在添分数线时, 如果分数线前面是负号, 那么所添各项都要变号.
正解：原式= 111)1)(1(11122-=--+-=+--x x x x x x x x .。