分式运算常见错误示例易错点剖析.docx

分式运算常见错误示例一、概念记不准
例 1 下列哪些是分式 ? 哪些是整式 ?
① x 2 1② 1
3 ③
3 a4
错解：①，③是分式 ,②是整式 . ①在代数式x
2
1
中, 因为在分母
中含有字母,所以是分式 ; ②在代数式1
3 中,因为它是二项式 , a
属于整式；3
是分式 . 4
错解分析：分式的定义就是形如A
, 其中 A 和 B 都为整式 ,分母 B B
中要含有字母，① x
2
1
中的分母是常数 ,而不是字母 ; ②1 3 中
a
的1
是分式 ,加 3 后,仍然属于分式 ; ③把分式和分数混淆了 . a
正解：①, ③是整式 ,②是分式.
二、直接将分式约分
例2 x为何值时 , 分式x
2
3
x9
有意义 ?
错解 :x3x31
x29x 3x3x 3
. 要使分式有意义 , 必须满足x+3≠0,即x≠-3.
错解分析 : 错误的原因是将x-3 约去 , 相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式 , 无意中扩大了字母的取值范围 , 当x=3 时, 分式无意义的条件漏掉了 .
正解 : 要使分式有意义 , 必须满足x2 -9 ≠0, 解得x≠± 3. ∴当x≠
±3 时,分式x
2
3
有意义 . x9
三、误以为分子为零时 , 分式的值就为零
例 3
当 x 为何值时 , 分式
x
2
2x 4
的值为零 ?
错解 : 由题意 , 得| x | - 2=0, 解得 x =±2. ∴当 x =±2 时,
分式
x
2
的值为零 .
2x 4
错解分析 : 分式值为零的条件是分子为零而分母不为零
. 本题当
x =-2 时, 分母 2x +4=2×(-2)+4=0, 分式无意义 , 应舍去 .
正解 : 由题意 , 得 | x | - 2=0, 解得 x =±2. 当 x =2 时, 分母 2x +4≠0; 当 x =-2 时, 分母 2x +4=2×(-2)+4=0, 分式无意义 . ∴当 x =2 时, 分式
x
2
的值为零 .
2x 4
四、分式通分与解方程去分母混淆
例 4
化简 x 2
- x -2.
x
2
错解 : 原式 =x 2 - x ( x -2) - 2( x -2) = x 2 - x 2 +2x -2 x +4=4.
错解分析 : 上述错误在于进行了去分母的运算 , 当成了解方程 ,
而本题是分式的加减运算 , 必须保持分式的值不变 .
正解 : x
2
- x -2=
x 2
-( x +2)=
x
2
-
x
2 x 2 = x 2
(x 2 4) =
x 2
x
2 x 2
x
2 x 2
4
.
x 2
五、颠倒运算顺序
例 5 计算 a ÷b × 1 .
b
错解 : a ÷b × 1
= a ÷1=a .
b
错解分析 : 乘法和除法是同级运算 , 应按从左到右的顺序进行 .
错解颠倒了运算顺序 , 造成运算错误 .
正解 : a ÷b × 1 = a × 1 = a
.
b b
b b 2
六、化简不彻底
例 6
计算
2 1
.
x 2
4 2x
4
错解 : 原式 =
2
1
=
4 x 2
x 2 x 2 2 x 2
2 x 2 x 2 2 x 2 x 2
=
4 x 2
=
x 2
.
2 x 2
x 2 2 x 2
x 2
错解分析 : 上面计算的结果 , 分子、分母还有公因式 ( x -2) 可约分 ,
应继续化简 .
正解 : 原式 =
2
1
=
4
x 2
x 2 x 2
2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2
=
4 x 2 =
x 2
=
1
.
2 x 2 x 2
2 x 2 x 2
2 x 2
七、忽视“分母等于零无意义”致错
1. 错在只考虑了其中的一个分母
例 7 x 为何值时 ,
分式
1
有意义 ?
1
1
x
1
错解：当 x + 1 ≠ 0, 得 x ≠ - 1. 所以当 x ≠ - 1
时, 原分式有
意义 .
错解分析：上述解法中只考虑了分式
1 中的分母 , 没有注意整个分
1
.
x
1
式的大分母 1
x 1
正解：由 x + 1 ≠ 0, 得 x ≠ - 1.
1
由1
x 1
≠ 0, 得 x ≠ 0 ，因
此， 当 x ≠0 且 x ≠ - 1 时, 原分式有意义 .
2.错在没有把方程的两个解带到分母中去检验
例 8 先化简 ,再求值 :x 2x x21,其中 x 满足 x2- 3x + 2=
x1x22x1
0.
错解： x2x
x2x 21= x( x1)(x1)( x1)= x .
x 12x 1x 1( x 1)2
∵x 2- 3 x+ 2= 0,∴( x- 2) (x- 1) = 0.∴x= 1或 x= 2，原式=1 或 2.
错解分析：只要把本题中的 x=1代入到 (x - 1)2中可知 , 分母等于 0,所以原式无意义 . 故原式只能等于 2.
正解：x 2x x 21x(x1) (x1)(x 1)
x ，·
2
2x 1
·
(x 1)2
x 1 x x 1
由x2-3 x+2=0，
解得 x1=2, x2=1，
当x=2时， x+1≠0，x2-2 x+1≠0，
当x=1时， x2-2 x+1=0，
故x 只能取2，
则原式 =x=2.
3.错在没有考虑除式也不能为零
例 9先化简1x,再选择一个恰当的 x 值代入并求值.
1
1x2
x1
错解：11x=x 1 1 ( x 1)( x 1)= x+ 1.
x 1x2x1x
1
∵ x- 1≠0, x 2- 1≠0,∴x ≠±1.
当取 x= 0时代入 x+1,原式= 1.
错解分析： 本题若取 x = 0,
则除式 x 颠倒到分母上时 , 分式就变得
无意义了 , 显然是不正确的 , 所以 x ≠- 1, 0, 1.
其他值代入均可
求.
正解： 1
1 x 2
x = x ·(x 1)(x 1)
x 1,
x 1
1 x 1
x
∵ x -1 ≠0, x 2
-1 ≠0,
x
为除数不为 0，即 x ≠0,
x 2
1
∴x ≠± 1 且 x ≠0,
当取 x =2 时,
原式 =x +1=2+1=3.
4. 错在“且”与“或”的混用
例 10 x 为何值时 , 分式
1
有意义 ?
( x 2)( x 3)
错解：要使分式有意义 , x 必须满足分母不等于零 ,
即( x - 2) ( x -
3) ≠0, 所以 x ≠2 或 x ≠3.
错解分析：“且”与“或”是两个完全不同的联结词 , 两件事情至少一
件发生用“或”，两件事情同时发生用“且” .
正解：要使分式有意义 , x 必须满足 ( x - 2) ( x - 3) ≠0, 所以 x ≠
2 且 x ≠3.
八、忽视分数线具有双重作用
例 11 化简：
x 2 1
x
x
1
错解： 原式 = x 2
x 1 x 2 (x 1)(x 1) 2 x 1 .
x
11
x 1
x 1
错解分析：分数线具有除号和括号的双重作用 ,
在添分数线时 , 如果
分数线前面是负号 , 那么所添各项都要变号 .
正解：原式 =x2x 1x2( x1)( x 1) 1 .
x 11x1x 1。