江苏省宿迁市名校联考2016-2017学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县高一（下）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．﹣20是数列{（﹣1）n+1n（n+1）}的第项．2．函数y=sinxcosx的最小正周期是．3．若sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=，则sinβ= ．4．已知{a n}是等差数列，a5=8，a9=24，则a4= ．5．不等式x2﹣5x﹣14＜0的解集为．6．已知tanθ=2，则= ．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=2，S△ABC=2，则a= ．8．不等式的解集为{x|x＜b或x＞3}，那么a﹣b的值等于．9．在等比数列{a n}中，已知第1项到第10项的和为9，第11项到第20项的和为36，则前40项的和为．10．在△ABC中，已知tanA+tanB+tanAtanB=1，若△ABC最大边的长为，则其外接圆的半径为．11．已知数列{a n}满足a1=3，且a n=a n﹣1+n+2n（n∈N*），则{a n}的前n项的和为．12．在求函数y=x2+的最小值时，某同学的做法如下：由基本不等式得y=x2+﹣a=2﹣a．因此函数y=x2+的最小值为2﹣a．若该同学的解法正确，则a的取值范围是．13．已知x＞0，y＞0，且x=4xy﹣2y，则3x+2y的最小值为．14．已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，且对任意n∈N+，a，a n+1≥2a n+1恒成立，则a n= ．二、解答题（共6小题，满分90分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+b+c）（a﹣b﹣c）+3bc=0．（1）求角A的大小；（2）若a=2c cosB，试判断△ABC的形状．16．设数列{a n}的所有项都是正数，前n项和为S n，已知点P n（a n，S n）（n∈N+）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）已知a1+a6=66，a2a5=128，求b的值．17．已知α∈（0，），且sin（）=（1）求cosα的值；投稿兼职请联系：2355394692 （2）求sin（2α﹣）的值．18．A，B两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得CA=10km，CB=10km，∠CBA=60°．（1）求A，B两地之间的距离；（2）若点C在移动过程中，始终保持∠ACB=60°不变，问当∠CAB何值时，△ABC的面积最大？并求出面积的最大值．19．直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且c为斜边的长．（1）若a，b，c成等比数列，且a=2，求c的值；（2）已知a，b，c均为正整数．（i）若a，b，c是三个连续的整数，求三角形ABC的面积；（ii）若a，b，c成等差数列，将这些三角形的面积从小到大排成一列，记第n个为S n，且T n=﹣S，求满足不等式|T n|＞3•2n的所有n的值．20．函数f（x）=x2+ax+b，其中a∈R，b∈R且（b+4）2﹣a2=4，已知对任意的x∈R不等式f（x）≥﹣2恒成立．（1）求实数a，b的值；（2）若函数g（x）=，求g（x）的值域；（3）是否存在实数m，n使得不等式m≤f（x）≤n的解集为[m，n]？若存在，求出m，n 的值；若不存在，请说明理由．投稿兼职请联系：2355394692 22015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．﹣20是数列{（﹣1）n+1n（n+1）}的第 4 项．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】令（﹣1）n+1n（n+1）=﹣20，解出即可得出．【解答】解：令（﹣1）n+1n（n+1）=﹣20，解得n=4，故答案为：4．2．函数y=sinxcosx的最小正周期是π．【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦．【分析】把函数y=sinxcosx化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函数y=sinxcosx=sin2x，它的最小正周期是： =π．故答案为：π．3．若sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=，则sinβ= ．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】直接利用两角差的正弦公式化简求得sinβ．【解答】解：由sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=，得sin[α﹣（α﹣β）]=，即sinβ=．故答案为：．4．已知{a n}是等差数列，a5=8，a9=24，则a4= 4 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的定义与性质，求出公差d，即可求出a4的值．【解答】解：等差数列{a n}中，a5=8，a9=24，∴a9﹣a5=4d=16，∴d=4，∴a4=a5﹣d=8﹣4=4．故答案为：4．5．不等式x2﹣5x﹣14＜0的解集为（﹣2，7）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣7）＜0，可得其对应方程的根，进而得出解集．3【解答】解：不等式x2﹣5x﹣14＜0可化为：（x+2）（x﹣7）＜0，解得﹣2＜x＜7；所以该不等式的解集为（﹣2，7）．故答案为：（﹣2，7）．6．已知tanθ=2，则= ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简所求，根据已知即可计算求值．【解答】解：∵tanθ=2，∴====．故答案为：．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=2，S△ABC=2，则a=2．【考点】正弦定理．【分析】利用S△ABC=bcsinA即可得出c，由余弦定理即可求a．【解答】解：在△ABC中，∵A=60°，b=2，S△ABC=2，∴2=bcsinA=，解得c=4．∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4+16﹣2×=12，∴解得：a=2故答案为：2．8．不等式的解集为{x|x＜b或x＞3}，那么a﹣b的值等于﹣．【考点】其他不等式的解法．【分析】依题意，知3是方程=1的解，从而可得a的值，解不等式求出b的值，求出a﹣b的值即可．【解答】解：依题意得3是方程=1的解，∴3a=3﹣1=2，∴a=，∴由＜1，解得：x＞3或x＜1，故b=1，投稿兼职请联系：2355394692 4故a﹣b=﹣1=﹣，故答案为：﹣．9．在等比数列{a n}中，已知第1项到第10项的和为9，第11项到第20项的和为36，则前40项的和为360 ．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的前n项和为S n，则S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30仍然成等比数列．即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的前n项和为S n，则S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30仍然成等比数列．即9，36﹣9，S30﹣36，S40﹣S30仍然成等比数列．∴272=9（S30﹣36），27（S40﹣S30）=，解得S30=117，S40=360．故答案为：360．10．在△ABC中，已知tanA+tanB+tanAtanB=1，若△ABC最大边的长为，则其外接圆的半径为．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用两角和的正切公式求得 tan（A+B）=1，可得A+B的值，从而求得C的值，再利用正弦定理求出外接圆的半径．【解答】解：△ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanAtanB=1，∴tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=1﹣tanAtanB，∴tan（A+B）=1，∴A+B=45°，∴C=135°；∴△ABC最大边的长为c=，由正弦定理得，2R====2，∴其外接圆的半径为．故答案为：．11．已知数列{a n}满足a1=3，且a n=a n﹣1+n+2n（n∈N*），则{a n}的前n项的和为．【考点】数列的求和．【分析】先求出a n，再利用累加求Tn．【解答】解：由a n=a n﹣1+n+2n（n∈N*），5…，累加求得；前n项和为T n=a1+a2+a3+…+a n，==，故答案为：12．在求函数y=x2+的最小值时，某同学的做法如下：由基本不等式得y=x2+﹣a=2﹣a．因此函数y=x2+的最小值为2﹣a．若该同学的解法正确，则a的取值范围是（0，1] ．【考点】基本不等式．【分析】由不等式求最值等号成立的条件求得a的取值范围．【解答】解：∵a＞0，∴y=x2+﹣a=2﹣a，当且仅当有实数解时上式等号成立，则x2+a=1有实数解，即x2=1﹣a有实数解，∴1﹣a≥0，即a≤1，又a＞0，∴a的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．13．已知x＞0，y＞0，且x=4xy﹣2y，则3x+2y的最小值为2+．【考点】基本不等式．【分析】变形已知式子可得+=4，整体代入可得3x+2y=（3x+2y）（+）=（8++），由基本不等式可得．投稿兼职请联系：2355394692 6【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x=4xy﹣2y，∴x+2y=4xy，故=4，即+=4，∴3x+2y=（3x+2y）（+）=（8++）≥（8+2）=2+当且仅当=时取等号，结合+=4可解得x=且y=．故答案为：2+14．已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，且对任意n∈N+，a，a n+1≥2a n+1恒成立，则a n= 2n﹣1 ．【考点】数列递推式．【分析】由a n+1≥2a n+1恒成立，利用放缩法可得a n≥2n﹣1；利用a可得a n≤2n﹣1；从而求得．【解答】解：∵a n+1≥2a n+1恒成立，∴a n+1+1≥2（a n+1）恒成立，∴a n+1≥2（a n﹣1+1）≥4（a n﹣2+1）≥…≥2n﹣1（a1+1），即a n+1≥2n，故a n≥2n﹣1；而a n+2≥2a n+1+1≥2（2a n+1）+1=4a n+3，而a，故4a n+3≤a n+3•2n，故a n≤2n﹣1；故a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．二、解答题（共6小题，满分90分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+b+c）（a﹣b﹣c）+3bc=0．（1）求角A的大小；（2）若a=2c cosB，试判断△ABC的形状．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）将（a+b+c）（a﹣b﹣c）+3bc=0化简，利用余弦定理求出cosA；（2）使用正弦定理得sinA=2sinCcosB，即sin（B+C）=2sinCcosB，化简得sin（B﹣C）=0，于是B=C．【解答】解：（1）在△ABC中，∵（a+b+c）（a﹣b﹣c）+3bc=0，∴a2﹣（b+c）2+3bc=0，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA=∴A=．（2）∵a=2ccosB，∴sinA=2cosBsinC，∴sin（B+C）=2cosBsinC，7即sinBcosC﹣cosBinC=0，∴sin（B﹣C）=0，∴B﹣C=0，即B=C．又A=，故△ABC为正三角形．16．设数列{a n}的所有项都是正数，前n项和为S n，已知点P n（a n，S n）（n∈N+）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）已知a1+a6=66，a2a5=128，求b的值．【考点】等比数列的通项公式；等比关系的确定．【分析】（1）由已知得S n=ka n+b，S n+1=ka n+1+b，从而（k﹣1）a n+1=ka n，由此能证明数列{a n}是等比数列．（2）数列{a n}的公比q=，由此推导出a1=2，a6=64，由此利用等比数列的性质能求出b．【解答】（本题满分14分）证明：（1）∵点P n（a n，S n）（n∈N+）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数，∴S n=ka n+b，…又S n+1=ka n+1+b，∴S n+1﹣S n=k（a n+1﹣a n），即（k﹣1）a n+1=ka n，…∵常数k＞1，且a n＞0，∴，（非零常数），…∴数列{a n}是等比数列．…解：（2）由（1）得数列{a n}的公比q=，∵a1+a6=66，a2a5=128=a1a6，∴a1＜a6，且a1，a6是方程x2﹣66x+128=0的两个根，解方程x2﹣66x+128=0，解a1=2，a6=64，…∴（）5=32=25，解得k=2，…又S1=ka1+b，∴2=2×2+b，解得b=﹣2．…17．已知α∈（0，），且sin（）=（1）求cosα的值；（2）求sin（2α﹣）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．投稿兼职请联系：2355394692 8【分析】（1）令t=，由已知可求范围t∈（﹣，），从而利用同角三角函数基本关系式可求cost的值，由α=t+，利用两角和的正弦函数公式即可化简求值．（2）利用角的关系，2α﹣=2（t+）﹣=2t+，根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可化简求值．【解答】（本题满分14分）解：令t=，由α∈（0，），则t∈（﹣，），又∵sin（）=即sint=，则cost===．…（1）cosα=cos（t+）…=costcos﹣sintsin…==；…（2）sin（2α﹣）=sin[2（t+）﹣]=sin（2t+）…=cos2t=cos2t﹣sin2t …=（）2﹣（）2=．…18．A，B两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得CA=10km，CB=10km，∠CBA=60°．（1）求A，B两地之间的距离；（2）若点C在移动过程中，始终保持∠ACB=60°不变，问当∠CAB何值时，△ABC的面积最大？并求出面积的最大值．【考点】解三角形的实际应用．9【分析】（1）过C作CD⊥AB于D，使用勾股定理依次解出BD，CD，AD，则AB=AD+BD；（2）利用余弦定理和基本不等式求出AC•BC的最大值，根据最大值成立的条件得出∠CAB 的度数，代入三角形面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（1）过C作CD⊥AB于D，∵∠CBA=60°，∴BD=km，CD==5km．在Rt△ACD中，AD==25km．∴AB=AD+BD=30km．（2）在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB=，∴AC2+BC2=AC•BC+AB2=AC•BC+900，∵AC2+BC2≥2AC•BC，∴AC•BC+900≥2AC•BC，∴AC•BC≤900，当且仅当AC=BC=30时取得等号．当AC=BC=30时，△ABC是等边三角形，故∠CAB=60°．∴S△ABC的最大值为=225．19．直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且c为斜边的长．（1）若a，b，c成等比数列，且a=2，求c的值；（2）已知a，b，c均为正整数．（i）若a，b，c是三个连续的整数，求三角形ABC的面积；（ii）若a，b，c成等差数列，将这些三角形的面积从小到大排成一列，记第n个为S n，且T n=﹣S，求满足不等式|T n|＞3•2n的所有n的值．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）设公比为q，则b=aq，c=aq2，由a，b，c为直角三角形的三边长，利用勾股定理能求出c．（2）（i）由已知得b=a+1，c=a+2，由勾股定理得a=3，b=4，c=5，由此能求出△ABC的面积．投稿兼职请联系：2355394692 10（ii）设a，b，c的公差为d（d∈Z），推导出a=3d，从布三角形的三边长可设为3d，4d，5d，S=6d2，，|S n|=3n2+3n，令f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）=，由此能求出满足不等式|T n|＞3•2n的所有n的值．【解答】（本题满分16分）解：（1）设公比为q，则b=aq，c=aq2，由a，b，c为直角三角形的三边长，知a2+a2q2=a2q4，∴q4﹣q2﹣1=0，∴，…∵a=2，∴c=aq2=1+．…（2）（i）∵a，b，c为连续正整数，∴b=a+1，c=a+2，由a2+b2=c2，知a2+（a+1）2=（a+2）2，∴a=3，b=4，c=5．…∴S==6．…（ii）设a，b，c的公差为d（d∈Z），则a2+（a+d）2=（a+2d）2，∴a=3d，∴三角形的三边长可设为3d，4d，5d，∴S=，∴，∴S n=6（﹣1•12+22﹣32+42﹣…+（﹣1）n n2），…若n为偶数，则6（3+7+11+…+2n﹣1）=3n2+3n，…若n为奇数，则S n=6[（﹣12+22）+（42﹣32）﹣…+（n﹣1）2﹣（n﹣2）2]﹣6n2 =6（3+7+11+…+2n﹣3）﹣6n2=﹣3n2﹣3n．…∴|S n|=3n2+3n，∴|S n|＞3•2n，即n2+n＞2n，即，令f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）=﹣=，当n=1，2时，f（n+1）﹣f（n）≥0，即f（3）≥f（2）＞f（1），n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n）递减，…即f（n）＜f（n﹣1）＜…＜f（4），由f（1）=1，f（2）=，f（3）=＞1，f（4）=＞1，f（5）=＜1，得到满足|S n|＞3•2n的所有n的值为2，3，4．…20．函数f（x）=x2+ax+b，其中a∈R，b∈R且（b+4）2﹣a2=4，已知对任意的x∈R不等式f（x）≥﹣2恒成立．（1）求实数a，b的值；11（2）若函数g（x）=，求g（x）的值域；（3）是否存在实数m，n使得不等式m≤f（x）≤n的解集为[m，n]？若存在，求出m，n 的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【分析】（1）根据不等式f（x）≥﹣2恒成立，得出△=a2﹣4（b+2）≤0，求解即可；（2）对分段函数分别讨论，结合单调性逐步求出函数的值域，最后求并集即可；（3）根据二次函数的性质，结合题意可知当m=﹣2，n=2时符合题意，故存在．【解答】解：（1）对任意的x∈R不等式f（x）≥﹣2恒成立即x2+ax+b+2对任意x∈R恒成立，只要△=a2﹣4（b+2）≤0即可，又（b+4）2﹣a2=4，故﹣4+（b+4）2﹣4（b+2）≤0即b2+4b+4≤0，即（b+2）2≤0，又（b+2）2≥0，故b=﹣2，此时a=0，综上所述，a=0，b=﹣2；（2）x＜f（x）=x2﹣2得x2﹣x﹣2＞0，则x＜﹣1或x＞2或．因此x≥f（x）=x2﹣2的解为﹣1≤x≤2．于是g（x）=当x＜﹣1或x＞2时，g（x）=x2+x+2在（﹣∞，﹣1）时单调递减，g（x）＞2，g（x）在（2，+∞）上单调递增，g（x）＞8因此x＜﹣1或x＞2时，g（x）＞2．当﹣1≤x≤2时，g（x）=x2﹣x﹣2在[﹣1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以﹣≤g（x）≤0．．综上所述，g（x）的值域是[﹣，0]∪（2，+∞）；（3）f（x）=x2﹣2，∵f（﹣2）=2，f（2）=2，f（0）=﹣2，∴当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣2，2]，故满足题意，∴m=﹣2，n=2成立．投稿兼职请联系：2355394692 12。

2015~2016学年度第二学期期中调研测试高一数学试题本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题)两部分,共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．.1．不等式()()021>--x x 的解集为 ▲ ． 2．已知数列{}na 的通项公式为,3sinπn an=则=3a ▲ ．3．=+20sin 10cos 20cos 10sin ▲ ．4．函数()04>+=x xx y 的最小值为 ▲ ． 5．在ABC ∆中，,30,3,1 ===A b a 则B sin =▲ ． 6. 在等差数列{}na 中，,12,352==a a则=8a▲ ．7。

在ABC ∆中，若01,2,60AC AB A ===，则BC= ▲ ．8．已知正数y x ,满足,12=+y x 则yx11+的最小值为 ▲ ．9. 若(),31tan ,53tan ==+ββα则tan α= ▲ ．10．已知集合{}{}.,0232t x x B x xx A ≥=≥+-=若A B A = ，则实数t 的取值范围为 ▲ ．11．设{}na 是公差不为0的等差数列，41=a且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和nS = ▲ ．12．设nS ，nT 分别是等差数列{}n a ,{}nb 的前n 项和,已知121-+=n n T Snn,*n N ∈，则=55b a▲ ．13．等差数列{}na 的公差为d ,关于x 的不等式21102d a xa x c ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭的解集为14,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则使数列{}na 的前n项和nS 最小的正整数n的值为▲ ． 14．若正实数yx ,满足511=+++yy x x ，则xy的取值范围为▲ ．二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分） 已知函数()()R x x x x x f ∈+=,cos sin 3sin2。

2016-2017学年江苏省宿迁市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，，A＝60°，则∠B＝．3．（5分）在等比数列{a n}中，公比为q，S n为其前n项和．已知q＝3，S4＝80，则a1的值为．4．（5分）已知正实数x，y满足2x+y＝1，则xy的最大值为．5．（5分）已知点P（x，y）在不等式组，所表示的平面区域内运动，则z＝4x﹣y 的取值范围为．6．（5分）已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为．7．（5分）在等差数列{a n}中，公差d≠0，且a1，a4，a10成等比数列，则的值为．8．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列四个命题中，所有正确命题的序号为①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若α∥β，n⊂α，则n∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥α，n⊂α，则m∥n．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝3，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为．10．（5分）若直线l1：x+ay+1＝0与l2：（a﹣1）x+2y+2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为．11．（5分）已知α∈（0，），sin（﹣α）＝﹣，则cosα的值为．12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝，a n+1﹣a n＝2n+1，则数列{}的前n项和S n＝．13．（5分）关于x的不等式（ax﹣1）（x+2a﹣1）＞0的解集中恰含有3个整数，则实数a 的取值集合是．14．（5分）在△ABC中，若+＝3（+），则cos C的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知C＝，c＝5，a ＝b sin A．（1）求b的值；（2）求tan（B+）的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M为AD的中点．（1）若AD∥BC，AD＝2BC，求证：BM∥平面PCD；（2）若P A＝PD，平面P AD⊥平面PBM，求证：AD⊥PB．17．（14分）某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设∠OAB＝α．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．）（1）用α表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心O和圆柱底面圆周上的点D的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时α的值．18．（16分）在△ABC中，边AB，AC所在直线的方程分别为2x﹣y+7＝0，x﹣y+6＝0，已知M（1，6）是BC边上一点．（1）若AM为BC边上的高，求直线BC的方程；（2）若AM为BC边的中线，求△ABC的面积．19．（16分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x﹣1|+2a（a∈R）．（1）当a＝时，解不等式f（x）≥0；（2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．20．（16分）已知{a n}是各项均为正数的等差数列，其前n项和为S n，且a2•a3＝40，S4＝26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的前n项和为T n，且b1＝1，3b n+1＝2（+1）．①求证：数列{b n}是等比数列；②求满足S n＞T n的所有正整数n的值．2016-2017学年江苏省宿迁市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为60°．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1＝0化为y＝x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ＝60°．故答案为：60°．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，，A＝60°，则∠B＝45°．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵a＝，b＝，∠A＝60°，∴由正弦定理＝得：sin B＝＝＝，∵a＞b，∴∠A＞∠B，则∠B＝45°．故答案为：45°3．（5分）在等比数列{a n}中，公比为q，S n为其前n项和．已知q＝3，S4＝80，则a1的值为2．【考点】89：等比数列的前n项和．【解答】解：∵q＝3，S4＝80，∴＝80，解得a1＝2．故答案为：2．4．（5分）已知正实数x，y满足2x+y＝1，则xy的最大值为．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：根据题意，正实数x，y满足2x+y＝1，则xy＝（2x）y≤[]2＝×＝，当且仅当2x＝y＝，时等号成立，即xy的最大值为；故答案为：．5．（5分）已知点P（x，y）在不等式组，所表示的平面区域内运动，则z＝4x﹣y 的取值范围为[﹣1，4]．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABO及其内部，其中A（0，1），B（1，0），O（0，0）设z＝F（x，y）＝4x﹣y，将直线l：z＝4x﹣y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值﹣1；经过点B时，目标函数z达到最大值4．∴Z＝4x﹣y的取值范围是[﹣1，4]，故答案为：[﹣1，4]．6．（5分）已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：设正三棱柱底面边长为a，则高为2a，∴正三棱柱侧面积S＝3a•2a＝6a2＝18，∴a＝，∴正三棱柱的体积V＝•2a＝．故答案为：．7．（5分）在等差数列{a n}中，公差d≠0，且a1，a4，a10成等比数列，则的值为3．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：等差数列{a n}中，公差d≠0，且a1，a4，a10成等比数列，可得a42＝a1a10，即有（a1+3d）2＝a1（a1+9d），化为9d2+6a1d＝9a1d，d≠0，可得3d＝a1，可得的值为3，故答案为：3．8．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列四个命题中，所有正确命题的序号为②③①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若α∥β，n⊂α，则n∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥α，n⊂α，则m∥n．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：①若m⊥n，n⊂α，则m与α位置关系不确定；故①错误；②若α∥β，n⊂α，根据面面平行的性质得到n∥β；故②正确；③若m⊥α，m∥β，利用线面垂直以及线面平行的性质结合面面垂直的判定定理可以得到α⊥β；故③正确；④若m∥α，n⊂α，则m与n可能平行或者异面；故④错误．故答案为：②③；9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝3，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，∴由余弦定理，得cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴sin A＝＝，∴由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为S＝bc sin A＝×5×7×＝．故答案为：．10．（5分）若直线l1：x+ay+1＝0与l2：（a﹣1）x+2y+2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【解答】解：∵两条直线x+ay+1＝0，（a﹣1）x+2y+2a＝0互相平行，∴﹣＝﹣，解得a＝﹣1（舍去），或a＝2∴a＝2．此时直线l1：x+2y+1＝0与l2：x+2y+4＝0，这两条直线之间的距离为：＝，故答案为：．11．（5分）已知α∈（0，），sin（﹣α）＝﹣，则cosα的值为．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵α∈（0，），∴﹣α∈（），又sin（﹣α）＝﹣，∴∈（﹣），则cos（）＝．则cosα＝cos[]＝cos cos（）+sin sin（）＝＝．12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝，a n+1﹣a n＝2n+1，则数列{}的前n项和S n＝．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：∵a n+1﹣a n＝2n+1，∴n≥2时，a n﹣a n﹣1＝2n﹣1．∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+（2×2﹣1）+＝+＝n2﹣．∴＝＝．∴数列{}的前n项和S n＝2+…+＝2＝．故答案为：．13．（5分）关于x的不等式（ax﹣1）（x+2a﹣1）＞0的解集中恰含有3个整数，则实数a的取值集合是．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：关于x的不等式（ax﹣1）（x+2a﹣1）＞0的解集中恰含有3个整数，可得a ＜0，因为a≥0时，不等式的解集中的整数由无数个．不等式（ax﹣1）（x+2a﹣1）＞0，对应的方程为：（ax﹣1）（x+2a﹣1）＝0，方程的根为：和1﹣2a.，则1﹣2a≤3，解得a≥﹣1，当a＝﹣1时，不等式的解集是（﹣1，3）含有3个整数：0，1，2．满足题意，当a＝﹣时，不等式的解集是（﹣2，2）含有3个整数：﹣1，0，1满足题意，当a∈（﹣1，）时，不等式的解集是（，1﹣2a）含有4个整数：﹣1，0，1，2不满足题意，当a∈（，0）时，不等式的解集是（，1﹣2a）含有整数个数多于4个，不满足题意，故答案为：；14．（5分）在△ABC中，若+＝3（+），则cos C的最小值为．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【解答】解：△ABC中，若+＝3（+），即+＝+，即＝，化简得sin B+2sin A＝3sin（A+B）＝3sin C，由正弦定理可得b+2a＝3c，∴cos C＝＝＝≥＝，当且仅当a＝2b时，等号成立，故cos C的最小值为，故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知C＝，c＝5，a ＝b sin A．（1）求b的值；（2）求tan（B+）的值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．【解答】解：（1）因为，，所以，所以，…（3分）又因为，所以．…（7分）（2）由（1）得，，所以，…（9分）所以，…（11分）所以．…（14分）16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M为AD的中点．（1）若AD∥BC，AD＝2BC，求证：BM∥平面PCD；（2）若P A＝PD，平面P AD⊥平面PBM，求证：AD⊥PB．【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】证明：（1）因为AD∥BC，AD＝2BC，M为AD中点，所以BC∥MD，且BC＝MD，所以四边形BCDM为平行四边形，故CD∥BM，又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BM∥平面PCD．（2）因为P A＝PD，M为AD中点，所以PM⊥AD，又平面P AD⊥平面PBM，平面P AD∩平面PBM＝PM，AD⊂平面P AD，所以AD⊥平面PBM．又PB⊂平面PBM，所以AD⊥PB．17．（14分）某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设∠OAB＝α．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．）（1）用α表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心O和圆柱底面圆周上的点D的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时α的值．【考点】HO：三角函数模型的应用．【解答】解：（1）作OM⊥AB于点M，则在直角三角形OAM中，因为∠OAB＝α，所以AM＝OA cosα＝5cosα，…（3分）因为四边形ABCD是等边圆柱的轴截面，所以四边形ABCD为正方形，所以AD＝AB＝2AM＝10cosα．…（6分）（2）由余弦定理得：…（8分）＝25+100cos2α+50sin2α＝25+50（1+cos2α）+50sin2α＝50（sin2α+cos2α）+75＝50sin+75．…（10分）因为，所以，所以当2α+＝，即时，OD2取得最大值＝，…（12分）所以当α＝时，OD的最大值为．答：当α＝时，观赏效果最佳．…（14分）18．（16分）在△ABC中，边AB，AC所在直线的方程分别为2x﹣y+7＝0，x﹣y+6＝0，已知M（1，6）是BC边上一点．（1）若AM为BC边上的高，求直线BC的方程；（2）若AM为BC边的中线，求△ABC的面积．【考点】IK：待定系数法求直线方程；IT：点到直线的距离公式．【解答】解：（1）由解得，即A（﹣1，5），又M（1，6），所以，因为AM为BC边上的高，所以k BC＝﹣2，M（1，6）为BC边上一点，所以l BC：y﹣6＝﹣2（x﹣1），所以直线BC的方程为2x+y﹣8＝0．（2）设点B的坐标为（a，b），由M（1，6）为BC的中点，得点C的坐标为（2﹣a，12﹣b），又点B与点C分别在直线AB和AC上，所以，解得，所以点B的坐标为（﹣3，1），由（1）得A（﹣1，5），又M（1，6），所以直线AM的方程为x﹣2y+11＝0，所以点B到直线AM的距离，又，所以S△ABC＝d|AM|＝××＝3，又M为BC的中点所以S△ABC＝2S△BAM＝2×3＝6．19．（16分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x﹣1|+2a（a∈R）．（1）当a＝时，解不等式f（x）≥0；（2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（1）当时，得，①当x≥1时，得，即x2﹣2x+4≥0，因为△＝﹣12＜0，所以x∈R，所以x≥1；…（2分）②当x＜1时，得，即x2+2x≥0，所以x≥0或x≤﹣2，所以0≤x＜1或x≤﹣2．…（4分）综上：{x|x≥0或x≤﹣2}．…（6分）（2）法一：若f（x）≥0恒成立，则ax2﹣|x﹣1|+2a≥0恒成立，所以恒成立，…（8分）令x﹣1＝t，则x＝t+1（t∈R），所以恒成立，①当t＝0时，a≥0；…（10分）②当t＞0时，＝恒成立，因为（当且仅当时取等号），所以，所以；…（12分）③当t＜0时，＝恒成立，因为（当且仅当时取等号），所以，所以，…（14分）综上：．…（16分）法二：因为f（x）≥0恒成立，所以f（0）≥0，所以a≥，…（8分）①当x≥1时，ax2﹣（x﹣1）+2a≥0恒成立，对称轴x＝≤1，所以f（x）在[1，+∞）上单调增，所以只要f（1）≥0，得a≥0，…（10分）所以a≥；…（12分）②当x＜1时，ax2+（x﹣1）+2a≥0恒成立，对称轴x＝﹣∈[﹣1，0），所以ax2+x+2a﹣1＝0的判别式△＝1﹣4a（2a﹣1）≤0，解得a≤或，…（14分）又a≥，所以a≥．综合①②得：．…（16分）20．（16分）已知{a n}是各项均为正数的等差数列，其前n项和为S n，且a2•a3＝40，S4＝26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的前n项和为T n，且b1＝1，3b n+1＝2（+1）．①求证：数列{b n}是等比数列；②求满足S n＞T n的所有正整数n的值．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：（1）：因为数列{a n}是正项等差数列，设首项为a1，公差为d（d＞0），所以…（2分）解得，所以a n＝3n﹣1．…（4分）（2）①证明：由（1）知a n＝3n﹣1，因为，所以3b n+1＝2（3b n﹣1）+2＝6b n，即b n+1＝2b n，…（6分）因为b1＝1≠0，所以b n≠0，所以，所以数列{b n}是等比数列．…（8分）②由（1）知a n＝3n﹣1，所以，由（2）中①知，所以，…（10分）要使S n＞T n，即，即，设，求满足S n＞T n的所有正整数n，即求∁n＞1的所有正整数n，令，即3n2﹣5n﹣2≤0，解得，，因为n∈N*，所以n＝1或n＝2，即，当n≥3时，数列{∁n}是单调递减数列，…（14分）又因为，所以当n取1，2，3，4，5时，∁n＞1，当n≥6时，∁n＜1，所以满足S n＞T n的n所有取值为1，2，3，4，5．…（16分）。

宿迁市 2016~2017 学年度第二学期期末考试高一数学试卷（考试时间120 分钟，试卷满分160 分 )注意事项 :1．答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上规定的地方．2．答题时，请使用0.5 毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，笔迹工整，笔迹清楚．3．请依据题号在答题卡上各题的答题地区内作答，高出答题地区书写的答案无效．请保持卡面洁净，不折叠，不损坏．考试结束后，请将答题卡交回．参照公式： V 柱 =Sh， S 为底面积， h 为高．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计70 分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．直线l : 3 x y 1 0 的倾斜角为▲ ．2．在△ABC 中，角 A， B ， C 所对的边分别为 a， b， c ．已知 a 3， b 2，A60 ，则 B 的度数为▲．3．在等比数列 a n 中，公比为q，Sn为其前n项和．已知q3， S4 80，则a 1 的值为▲ ．4．已知正实数x， y 知足 2 x y 1 ，则 xy 的最大值为▲．x ≥ 0，5．已知点P ( x , y )在不等式组y ≥ 0，所表示的平面地区内运动，则z 4 x y 的取值范围xy ≤ 1为▲．6．已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的 2 倍，则该正三棱柱的体积为▲ ．7．在等差数列 a n 中，公差 d 0 ，且a1，a4，a10成等比数列，则a1 的值为▲．d8．已知m，n表示两条不一样的直线，，表示两个不一样的平面，则以下四个命题中，所有正确命题的序号为▲．① 若m n ，n ，则m ；② 若， n ，则n ；③ 若m ， m ，则；④ 若m , ，n ，则m n ．9．在△ABC 中，角A， B ， C 所对的边分别为a，b， c ．已知 a 3， b 5， c 7 ，则△ABC 的面积为▲．10．若直线l1 : x ay 10 与l 2 : ( a 1) x 2 y 2 a 0 平行，则l1 与 l 2之间的距离为▲．11．已知ππ1，则 cos的值为 ▲ ．(0 ， ) ， sin()2 6312．已知数列 a n知足 a 1 3 1 ， an 1a n 2 n 1 ，则数列 的前 n 项和 S n ▲ ．4a n13．对于 x 的不等式 ( ax1)( x +2 a 1)0 的解集中恰含有 3 个整数，则实数a 的取值会合是▲ ．14．在 △ABC中，若1 21 1 ▲．sinAsinB 3( ) ，则 cosC 的最小值为tan Atan B二、解答题 : 本大题共 6 小题， 合计 90 分．请在答题卡指定的地区内作答，解答时应写出．．．．．．．．．．．文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 14 分）2 π中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 C ， c 5 , a 5 b sin A ． 3（ 1）求 b 的值；π（ 2）求 tan ( B) 的值． 416．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD中， M 为 AD的中点．（ 1）若 ADBC， AD 2 BC ，求证： BM 平面 PCD ；（ 2）若PAPD，平面PAD平面PBM，求证： ADPPB ．MAD17．（本小题满分 14 分）B （第 16 题） C某校一个校园景观的主题为“托起明日的太阳” ，其主体是一个半径为 5 米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽视不计． 轴截面如下图，设OAB ．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱． ）（ 1）用 表示圆柱的高；（ 2）实践表示，当球心 O 和圆柱底面圆周上的点 D 的距离达到最大时，景观的赏析效果最正确，求此时的值．OαBA18．（本小题满分16 分）在△ABC中，边AB，AC所在直线的方程分别为2 x y70 ，x y60 ，已知M (1, 6) 是 BC边上一点．（1）若（2）若AM 为 BC边上的高，求直线BCAM 为 BC边的中线，求△ ABC的方程；的面积．19．（本小题满分16 分）已知函数 f ( x ) ax 2x 1 2 a ( a R )．1时，解不等式；（ 1）当a f ( x ) ≥ 02（ 2）若f ( x )≥0恒建立，求 a 的取值范围．20．（本小题满分16 分）已知an是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为Sn，且a2a340 ， S426 .（1）求数列（2）若数列an的通项公式；bn的前n项和为Tn，且b11 ，3bn 12( ab n1) .①求证 :数列b n是等比数列；②求知足S n T n的全部正整数n的值．宿迁市 2016~2017 学年度第二学期高一年期末研数学（参照答案及分准）一、填空：1．π；2．45 ；3．2；4．1 ；5．[ 1,4]；6．9 ；7． 3；8．②③；3 8 29．15 3； 10．3 5； 11．2 6 1； 12．4 n； 13．1, 1 ； 14．2 10 2．4 5 6 2 n 1 2 9二、解答 :15．（ 1）法一：因 a a b5 b sin A ，A ，sin sin B因此 sin A 5 sin B sin A ，5因此 sin B，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分5又因b c，sin B sin C55c sin B52 157 分因此 b ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯sin C 3 32法二：在△ABC中， a c 10 33 分sin A sin C，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3又a 5 b sin A ，即a5 b ，sin A因此10 3，因此 b2 15⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分5 b3 3．（2）由（ 1）得sin B 5，0 B，5 32因此 cos B 1 sin 2 1 5 2 5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分B5 5，5sin B5 111 分因此 tan B，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯cos B 2 5 25tan B tan11 4 2因此 tan( B ) 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分4 1 tan B tan 1 14 216． 明：（ 1）因 ADBC， AD2 BC ，MAD 中点，P因此BCMD，且 BCMD，因此四 形 BCDM平行四 形， ⋯⋯2分M故 CDBM⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分AD，又 BM平面 PCD ， CD平面 PCD ，B（第 16 题）C因此 BM 平面 PCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（ 2）因 PAPD ，M AD中点，因此 PMAD，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分又平面 PAD平面 PBM ，平面 PAD平面 PBMPM， AD 平面 PAD，因此AD 平面 PBM ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分又 PB平面 PBM，因此 AD PB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分17．（ 1）作OMAB 于点M ， 在直角三角形OAM 中，因OAB，O因此 AMOA cos 5cos，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分B M αA因 四 形 ABCD 是等 柱的 截面，因此四 形 ABCD正方形，因此 ADAB2 AM10 cos． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分CD（2）由余弦定理得：(第 17题)22(10 cos 22 5 (10 cos ) cos(πOD5 ))，⋯⋯ 8 分225 100250 sin2cos2550(1cos 2 ) 50 sin 2 50(sin 2cos 2 )75502 sin(2 π75.)4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分因π，因此 2ππ 5 π ，(0, )4 ( , )24 4因此当πππ， OD2获得最大 50 22，⋯12分2，即75 25( 2 1)4 28因此当 π2 1)．， OD 的最大5(8答：当π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分， 成效最正确．818．（ 1）由2 x y 7 0 x 12 分x y 6 0解得y 5，即 A( 1,5) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯又M (1,6) ，因此kAM16 5 1 ，( 1) 2因 AM BC 上的高，因此kBC 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分M (1, 6) BC 上一点，因此l BC : y 6 2( x 1) ，因此直 BC 的方程 2 x y 8 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）法一：点B 的坐 ( a , b ) ，由 M (1, 6) BC 的中点，得点 C 的坐 (2 a ,12b ) ，又点 B 与点 C 分在直 AB 和 AC 上，因此2 a b 70，解得a 3，(2a ) (12b ) 6 0 b 1因此点B的坐( 3,1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分由（1）得A( 1,5) ，又 M (1, 6) ，因此直 AM 的方程 x 2 y 11 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分因此点B 到直AM 的距离 d 3 2 1 11 6 512 分2 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯51 ( 2)又 AM ( 1 2 (5 2 5 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分1) 6)因此S△BAM 1d AM1 65 5 3 ，2 2 5又M BC 的中点因此S△ABC 2S△BAM 2 3 6 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分法二：（上同法一）点B 的坐( 3,1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分又M (1, 6) BC 上一点，因此直 BC 的方程 5 x 4 y 19 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分由（1）知A( 1,5) ，因此点 A 到直 BC 的距离d 5 ( 1) 4 5 19 6 41，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2( 4)2415又 C 的坐(5,11)，因此因此BC (5 3)2(111) 22 41 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分1 1 6 416．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分S△ABCd BC 241 41 2 2法三：若直BC的斜率不存在，即BC的方程 x 1 0 ，2 x y 7x 1由x1 0解得 y，9即B的坐(1,9)，同理可得 C的坐 (1 , 7)，而7 2 9 6 ， M 不是 BC的中点，因此直 BC 的斜率存在．直 BC的方程 y6k ( x 1)x k12 xy 7 0k2k 1 9 k 12解得，即 B 的坐由6k ( x 1)9 k12 ( , )yyk 2 k2k2同理可得 C的坐 (k , 7 k 6 ) ，M (1,6)BC的中点k 1k 1k 1 k 2 1k2 k15因此解得 k9 k 12 7 k6，2 64k2k1因此直 BC的方程 y65( x 1) ，即 5 x 4 y 19 0．4（下同法二）法四：求 BAC正弦 即 AB， AC 用面 公式（略） ．19．（ 1）当 a1 12x11≥ 0，，得x22①当 x ≥ 1 ，得1x 2x1 1 ≥ 0，即 x 22 x4≥0，2因=12，因此 xR ，因此 x ≥ 1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分②当 x1 1x2x 122 x ≥ 0 ，，得1 ≥ 0 ，即 x2因此 x ≥ 0或 x ≤2，因此 0 ≤ x 1或 x ≤2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 上：x x ≥ 0 或 x ≤2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（ 2）法一：若 f ( x )≥0 恒建立， ax2x 12 a ≥ 0恒建立，因此 a ≥| x 1| 恒建立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分22x令 x 1 t ， x t 1 （ t R ），因此a ≥| t | 恒建立，1) 2( t 2①当 t 0 ， a ≥0 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分t 1 ②当 t 0 ， a ≥( t 2 2 恒建立，1)t32 t因因此3 33 取等号），t ≥ 2 t 2 3 （当且当 tt t1 ≤ 3 1，3 4t 2t因此 a ≥ 3 1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分4t 0 t 1③当，a ≥恒建立，( t 1) 22t32t因因此32 ( t )3（当且当 t 3 取等号），t =2 3t ( t )1 ≤ 3 1，3 4t 2t因此 a ≥ 3 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分4上： a ≥ 3 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分4法二：因 f ( x ) ≥0 恒建立，因此 f (0) ≥ 0 ，因此 a ≥ 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分，2①当 x ≥ 1 ，ax2 ( x 1) 2 a ≥ 0 恒建立，称x 1 1 ，因此 f ( x ) 在 [1 , ) 上增，≤2 a因此只需 f (1) ≥0 ，得 a ≥ 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分因此a≥1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2②当 x 1 ，ax2 ( x 1) 2 a ≥ 0 恒建立，称 x 1 [ 1, 0) ，2 a因此 ax 2 ( x 1) 2 a 0 的判式1 4 a (2 a 1)≤0，解得 a ≤ 13或a ≥ 3 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分4 41，因此a≥ 3 1又 a ≥．2 4合①②得： a ≥3 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分420．（ 1）法一：因数列 a n 是正等差数列，首 a 1，公差 d ( d 0) ，因此解得( a d )( a 2 d ) 40,1 14(4 1) d⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分4 a1 26,2d 0.a 1 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分d，因此 an3 n 1 ．3法二：因数列a n是公差正数的等差数列,公差 d ( d0 ) ，又因因此a 2 a 3 40a 2 a 3 40⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分S 4 26，因此4( a1a 4 )2( a 2 a 3 )，226a a 40 a25 a282 3 ，解得或，a 2 a 3 13 a 3 8 a35又因 d a 2 50 ，因此，a 3 8因此d a3 a 2 3 ，因此an 3 n 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）① 明：由（1）知a n 3 n 1 ，因 3 bn 12 ab n2，因此因3 b n 1 2(3 b n 1) 2 6 b n，即 b n 1 2 b n，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分b1b 1 10 ，因此bn0 ，因此n 2 ，b n因此数列bn 是等比数列 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分n ( 3 n 1 ) 3n 2②由（ 1）知a n 3 n 1，因此 S n n2 ，2n由（ 2）中①知b n 2 n 1，因此 T n 1 2 2n1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分1 2江苏省宿迁市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷11 / 113 n 22n2要使SnT n ，即n n 1 ，即 3 n 1 ，22n 122n 23 nc nn 1，求 足 SnT n 的全部正整数n ，即求 c n1 的全部正整数 n ，23( n221)( n 1)c27 n6n23n令n 12221 ，即 3 n2 5 n2≤ 0，c n3nn 26 n2 n4n12解得，1 ≤ n ≤2 ，因 n N *，因此 n1 或 n2 ，3即 c 3c 2c 1 4 1 ，当 n ≥3 ，数列c n是 减数列，⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分3又因 c 582 1, c 61161 ，64128因此当 n 取 1, 2,3,4,5， c n1 ，当 n6， c n 1 ，因此 足 SnT n的 n 全部取 1, 2,3,4,5. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分。

绝密★启用前江苏省宿迁市2016-2017学年高一下学期期末考试考卷考试范围：直线方程、解三角形、数列、不等式、立体几何；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，填空题第1-12题重点考查基本概念基本方法，第13题注重考查数形结合思想方法以及分类讨论思想方法，第14题注重考查等价转化思想方法，解答题重视数学思想方法的考查，如第16题考查了空间想象能力、逻辑论证能力，第19题考查了等价转化的思想、方程的思想，函数思想，第17题考查实际应用能力，第20题考查了构造法证明等比数列以及利用数列单调性研究数列不等式探究能力，难度稍大．本卷适合学段复习使用．一、填空题110y-+=的倾斜角是。

2．在错误！未找到引用源。

中，角错误！未找到引用源。

所对的边分别为错误！未找到引用源。

．已知错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的度数为____．3．在等比数列错误！未找到引用源。

中，公比为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

为其前错误！未找到引用源。

项和．已知错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

=____．4．已知正实数错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最大值为____．5．已知点错误！未找到引用源。

在不等式组错误！未找到引用源。

所表示的平面区域内运动，则错误！未找到引用源。

的取值范围为____．6．已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为____．7．在等差数列错误！未找到引用源。

中，公差错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

成等比数列，则错误！未找到引用源。

的值为____．8．已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

表示两条不同的直线，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

表示两个不同的平面，则下列四个命题中，所有正确命题的序号为____．①若错误！未找到引用源。

1．【解析】由正弦的背胶公式可得.2．1【解析】由两角和的正弦函数的公式，可得.3．9【解析】由成等比数列，所以满足，解得.7．【解析】在中，所以由余弦定理得，又，所以.8．【解析】由题意可知海里，，所以，由正弦定理得：，所以海里.9．-1【解析】由.10．等腰三角形【解析】由题意中，满足，根据正弦定理得，又由，所以，所以，即，所以，所以为等腰三角形.11．4【解析】因为数列为等比数列，由，可得，即，又，则，所以.13．2【解析】因为不等式的解集为，所以和是方程的两个根，且，，根据方程的根与系数的关系可得，即，解得或（舍去）.点睛：本题主要考查了一元二次不等式的应用，利用不等式的解集和对应的一元二次方程的根之间的关系，将不等式转化为一元二次方程的根的问题进行解答，明确不等式的解集的端点对应方程的根对应函数的图象与轴交点的横坐标是解答的关键.14．【解析】设，则且，所以，又因为，则且，所以，当且仅当时等号是成立的，所以的最小值为.点睛：本题主要考查了利用基本不等式求解最小值问题，其中解答中利用换元法把所求式子转化为，在利用基本不等式求解是解答的关键.对于利用基本不等式求解最值问题，要注意灵活运用两个公式，（1），当且仅当时取等号；（2），当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.15．（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由等差数列的前项和公式，即可求解数列的前项和；（2）由（1），求得，进而得到等比数列的公比，再利用等比数列的求和公式，即可得到数列的前项和.16．（1）最小正周期是；（2）.【解析】试题分析：（1）先化简函数的解析式为，即可求解函数的最小正周期；（2）由，得，进而可求解函数的最值.试题解析：（1），的最小正周期是（2）所以当时，；当时，17．(1) (2) ,.【解析】试题分析： (1)由，利用三角函数的基本关系式，求得的值，再利用正弦定理，即可求得的值；(2) 利用三角形内的面积公式，解得，再利用余弦定理，即可求得的值.试题解析：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，∴sinB=由正弦定理得，(2) ∵S△ABC=acsinB=3，由余弦定理得18．(1)20.8;(2) ;(3)3.6.【解析】试题分析：(1)由题意，即可得到年总费用为万元；（2）根据题意保养维修为成首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的前项和公式，即可求得的表达式；（3）设年平均费用为，利用基本不等式即可求解年平均费用最少值.（3）设年平均费用为，则所以因为（当且仅当时，取等号）所以答：使用13年，年平均费用最少，最小值为万元19．（1）定义域为;(2) ;(3) .【解析】试题分析：（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求解函数的定义域；（2）根据对数的运算，得，再利用二次函数的性质，即可得到函数的最大值，进而求解实数的值；（3）由题意在恒成立，转化为在恒成立，设，再利用换元法和基本不等式，即可求解函数的最小值，进而得到实数的取值范围.因为，所以，即，由，得，（3）由在恒成立，得因为，所以所以在恒成立设，令则即，因为，所以（当且仅当时，取等号所以所以 .点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的综合应用，不等式的恒成立问题的求解，及基本不等式求最值，着重考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，解答中牢记对数函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题的处理方法是解答的关键.20．(1) ;(2) ;(3) .【解析】试题分析：（1）根据题意求得等差数列的公差，再利用等差数列的通项公式，即可求解数列的通项公式.（2）由（1）知，求得数列的通项公式，求得数列的前项和，即可求解的值；（3）由题意，令，则，进而得到的可能取值为，分类讨论即可得到满足条件的正整数的值.（2）由（1）知，当时，；当时，，设数列的前项和为，当时，（3）令（其中且是奇数），则故为8的约数，又是奇数，的可能取值为当时，是数列中的第5项；当时，不是数列中的项.所以存在，满足条件的正整数点睛：本题主要考查了等差数列的综合应用，属于一道新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查等差数列的有关知识及数列的概念的理解能力，同时考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第三问难度较大，属于难题.。

2016-2017学年高一（下）期中数学试卷文科注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >−1}，B ={x|x 2+2x −3<0}则A ∩B =( )A. (−1，3)B. (−1，1)C. (−1，+∞)D. (−3，1)2. 若a >b ，则下列不等式成立的是( )A. 1a >1bB. 1a <1bC. a 3>b 3D. a 2>b 23. 已知{a n }是等差数列，且a 2+a 5+a 8+a 11=48，则a 6+a 7=( ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 244. 设x ，y ∈R ，且x +4y =40，则lgx +lgy 的最大值是( ) A. 40 B. 10 C. 4 D. 25.某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为x 米和3千米，测得灯塔A 在观察站C 的正西方向，灯塔B 在观察站C 西偏南30∘，若两灯塔A 、B 之间的距离恰好为√3千米，则x 的值为( ) A. 3 B. √3 C. 2√3 D. √3或2√36.已知{a n }是等比数列，其中a 1，a 8是关于x 的方程x 2−2xsinα−√3sinα=0的两根，且(a 1+a 8)2=2a 3a 6+6，则锐角α的值为( )A. π6B. π4C. π3D. 5π127. 已知数列{a n }的首项为−1，a n+1=2a n +2，则数列{a n }的通项公式为a n =( )A. 2n−1−2B. 2n −2C. 2n −1−2nD. −2n−1 8. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( ) A. −14 B. 14C. −13D. 139.在△ABC中，A=30∘，AB=2，且△ABC的面积为√3，则△ABC外接圆的半径为( )A. 2√33B. 4√33C. 2D. 410.不等式(m+1)x2−mx+m−1<0的解集为⌀，则m的取值范围( )A. m<−1B. m≥2√33C. m≤−2√33D. m≥2√33或m≤−2√3311.数列{a n}的通项公式a n=ncos nπ2，其前项和为S n，则S2013等于( )A. 1006B. 2012C. 503D. 012.若不等式n2−n(λ+1)+7≥λ，对一切n∈N∗恒成立，则实数λ的取值范围( )A. λ≤3B. λ≤4C. 2≤λ≤3D. 3≤λ≤4请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(m，1)，b⃗ =(1，2)，且|a⃗+b⃗ |2=|a⃗|2+|b⃗ |2，则m=______ ．14.设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−1<x<13}，则ab的值是______ ．15.若正实数{a n}满足a+2b=1，则1a +2b的最小值为______ ．16.已知数列{a n}中，a1=0，a2=p(p是不等于0的常数)，S n为数列{a n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S n=na n2，则数列{a n}通项为______ ..三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.(1)已知实数x，y均为正数，求证：(x+y)(4x +9y)≥25；(2)解关于x的不等式x2−2ax+a2−1<0(a∈R)．18.已知数列{a n}中，a1=1，a3=4．(Ⅰ)若数列{a n}是等差数列，求a11的值；(Ⅱ)若数列{11+a n}是等差数列，求数列{a n}的通项公式．19.如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60∘，PC=2，AP+AC=4．(Ⅰ)求∠ACP；(Ⅱ)若△APB的面积是3√3，求sin∠BAP．220.某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获+1)元.得的利润是50(5x−3x(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围；(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3b=4c，B=2C．(Ⅰ)求sinB的值；(Ⅱ)若b=4，求△ABC的面积．22.已知递增数列{a n}，a1=2，其前n项和为S n，且满足a n2+2=3(S n+S n−1)(n≥2)．(1)求a2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；=n，求其前n项和T n．(3)若数列{b n}满足log2b na n答案和解析【答案】 1. B 2. C 3. D 4. D 5. D6. C7. A8. A9. C 10. B 11. A 12. A13. −2 14. 6 15. 916. a n =p(n −1)17. (1)证明：(x +y)(4x +9y )=4+9+4y x+9x y=13+(4y x+9x y)，又因为x >0，y >0，所以4yx >0，9x y>0，由基本不等式得，4y x+9x y≥2√4y x⋅9x y=12，当且仅当4yx =9x y时，取等号，即2y =3x 时取等号， 所以(x +y)(4x +9y )≥25；(2) 解：原不等式可化为[x −(a +1)]⋅[x −(a −1)]<0， 令[x −(a +1)]⋅[x −(a −1)]=0， 得x 1=a +1，x 2=a −1， 又因为a +1>a −1，所以原不等式的解集为(a −1，a +1)．18. 解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差d ，则a n =a 1+(n −1)d ， 由题设，2d =4−1=3， 所以d =32．所以a n =1+32(n −1)=−12+3n 2，所以a 11=16；(Ⅱ)设b n =11+a n，则数列{b n }是等差数列，b 1=12，b 3=15，b n =12−320(n −1)=13−3n 20，即11+a n=13−3n 20，所以a n =7+3n13−3n ．19. 解：(Ⅰ)在△APC 中，因为∠PAC =60∘，PC =2，AP +AC =4，由余弦定理得PC 2=AP 2+AC 2−2⋅AP ⋅AC ⋅cos∠PAC ， 所以22=AP 2+(4−AP)2−2⋅AP ⋅(4−AP)⋅cos60∘，整理得AP 2−4AP +4=0， 解得AP =2． 所以AC =2．所以△APC 是等边三角形． 所以∠ACP =60∘．(Ⅱ) 法1：由于∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB =120∘． 因为△APB 的面积是3√32，所以12⋅AP ⋅PB ⋅sin∠APB =3√32． 所以PB =3．在△APB 中，AB 2=AP 2+PB 2−2⋅AP ⋅PB ⋅cos∠APB =22+32−2×2×3×cos120∘=19，所以AB =√19．在△APB 中，由正弦定理得ABsin∠APB =PBsin∠BAP ， 所以sin∠BAP =3sin120∘√19=3√5738． 法2：作AD ⊥BC ，垂足为D ，因为△APC 是边长为2的等边三角形， 所以PD =1，AD =√3，∠PAD =30∘． 因为△APB 的面积是3√32，所以12⋅AD ⋅PB =3√32． 所以PB =3． 所以BD =4．在Rt △ADB 中，AB =√BD 2+AD 2=√19， 所以sin∠BAD =BDAB=4√19，cos∠BAD =ADAB =√3√19． 所以sin∠BAP =sin(∠BAD −30∘)=sin∠BADcos30∘−cos∠BADsin30∘ =4√19×√32−√3√19×12=3√5738．20. 解：(1)根据题意，有100(5x −3x +1)≥1500，得5x 2−14x −3≥0，得x ≥3或x ≤−15， 又1≤x ≤10，得3≤x ≤10．(2)生产480千克该产品获得的利润为u =24000(5+1x −3x 2)，1≤x ≤10， 记f(x)=−3x 2+1x +5，1≤x ≤10， 则f(x)=−3(1x −16)2+112+5 当且仅当x =6时取得最大值6112，则获得的最大利润为u =24000×6112=122000(元)故该厂以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为122000元． 21. 解：(Ⅰ)由3b =4c 及正弦定理得3sinB =4sinC ， ∵B =2C ，∴3sin2C =4sinC ，即6sinCcosC =4sinC ， ∵C ∈(0，π)， ∴sinC ≠0， ∴cosC =23，sinC =√53， ∴sinB =43sinC =4√59．(Ⅱ)解法一：由3b =4c ，b =4，得c =3且cosB =cos2C =2cos 2C −1=−19， ∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =4√59×23+(−19)×√53=7√527， ∴S △ABC =12bcsinA =12×4×3×7√527=14√59． 解法二：由3b =4c ，b =4，得c =3，由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，得32=a 2+42−2a ×4×23， 解得a =3或a =73，当a =3时，则△ABC 为等腰三角形A =C ，又A +B +C =180∘，得C =45∘，与cosC =23矛盾，舍去， ∴a =73，∴S △ABC =12absinC =12×73×4×√53=14√59． 22. 解：(1)当n =2时，a 22+2=3(S 2+S 1)，所以a 22+2=3(a 2+2a 1)，即a 22−3a 2−10=0，依题意得，a 2=5或a 2=−2(舍去)；(2)由a n 2+2=3(S n +S n−1)(n ≥2)得，a n+12+2=3(S n+1+S n ) 可得a n+12−a n 2=3(S n+1−S n−1)，即a n+12−a n 2=3(a n+1+a n )由递增数列{a n }，a 1=2，可得a n+1−a n =3(n ≥2).又因为a 2−a 1=3所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，即a n =2+3(n −1)=3n −1． 上式对n =1也成立，故数列{a n }的通项公式为a n =3n −1．(3)数列{b n }满足log 2b n a n=n ，可得bna n=2n ，即b n =(3n −1)⋅2n ，前n 项和T n =2⋅21+5⋅22+8⋅23+⋯+(3n −4)⋅2n−1+(3n −1)⋅2n ， 2T n =2×22+5×23+⋯+(3n −4)⋅2n +(3n −1)⋅2n+1．两式相减可得，−T n =2⋅21+(3⋅22+3⋅23+⋯+3⋅2n )−(3n −1)⋅2n+1−T n=4+12(1−2n−1)1−2−(3n−1)⋅2n+1=3⋅2n+1−(3n−1)⋅2n+1−8，化简可得，T n=8+(3n−4)⋅2n+1【解析】1. 解：根据题意，x2+2x−3<0⇒−3<x<1，则B={x|x2+2x−3<0}=(−3，1)，又由A={x|x>−1}=(−1，+∞)，则A∩B=(−1，1)；故选：B．根据题意，解x2+2x−3<0可以求出集合B，进而结合集合A由集合交集的定义计算可得答案．本题考查集合交集的计算，关键是掌握集合的表示方法．2. 解：令a=0，b=−1，显然A、B、D不成立，故选：C．通过特殊值代入各个选项，从而求出正确答案．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3. 解：由等差数列的性质可得：a2+a11=a5+a8=a6+a7，因为a2+a5+a8+a11=48，所以2(a6+a7)=48，故a6+a7=24，故选D由等差数列的性质可得：a2+a11=a5+a8=a6+a7，代入已知可得答案．本题考查等差数列的性质，属基础题．4. 解：∵x>0，y>0，x+4y=40，∴40≥2√4xy，化为xy≤100，当且仅当x=4y=12×40，即x=20，y=5时取等号，∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2．故选D．利用基本不等式的性质和对数的运算性质即可求出．熟练掌握基本不等式的性质和对数的运算性质是解题的关键．5. 解：如图所示，在△ABC中，由余弦定理可得：(√3)2=32+x2−2×3×x×cos30∘，化为x2−3√3x+6=0，解得x=√3或2√3．故选：D．在△ABC中，利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：∵a1，a8是关于x的方程x2−2xsinα−√3sinα=0的两根，∴a1⋅a8=−√3sinα，a1+a8=2sinα，∵(a1+a8)2=2a3a6+6，∴(a1+a8)2=2a1a8+6，∴4sin2α=2×(−√3sinα)+6，即2sin2α+√3sinα−3=0，α为锐角．∴sinα=√32，α=π3．故选：C ．利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值即可得出．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 解：由a n+1=2a n +2，则a n+1+2=2(a n +2)， a 1+2=1，∴数列{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列， 则a n +2=1×2n−1， ∴a n =2n−1−2，∴数列{a n }的通项公式a n =2n−1−2， 故选：A ．由题意可知a n+1+2=2(a n +2)，根据等比数列的通项公式，即可求得数列{a n }的通项公式a n =2n−1−2．本题考查数列的递推式的应用，考查等比数列的前n 项和公式，考查计算能力，属于中档题． 8. 解：∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×32BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =)=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−14，故选：A ．通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，代入化简即可得出．本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 解：在△ABC 中，由A =30∘，c =AB =2，得到S △ABC =12bcsinA =12b ×2×12=√3，解得b =2√3，根据余弦定理得：a 2=12+4−2×2√3×2×√32=4，解得a =2，根据正弦定理得：asinA=2R(R 为外接圆半径)，则R =22×12=2．故选：C ．由已知利用三角形面积公式可求b ，进而利用余弦定理解得a ，根据正弦定理即可求得外接圆半径R 的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10. 解：∵关于x 的不等式(m +1)x 2−mx +m −1<0的解集为⌀， ∴不等式(m +1)x 2−mx +m −1≥0恒成立，①当m +1=0，即m =−1时，不等式化为x −2≥0，解得x ≥2，不是对任意x ∈R 恒成立；②当m +1≠0时，即m ≠−1时，∀x ∈R ，使(m +1)x 2−mx +m −1≥0， 即m +1>0且△=(−m)2−4(m +1)(m −1)≤0， 化简得：3m 2≥4，解得m ≥2√33或m ≤−2√33， ∴应取m ≥2√33；综上，实数m的取值范围是m≥2√33．故选：B．关于x的不等式(m+1)x2−mx+m−1<0的解集为⌀，可转化成不等式(m+1)x2−mx+ m−1≥0恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论．本题主要考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，是基础题．11. 解：数列{a n}的通项公式a n=ncos nπ2，所以当n为奇数时，a n=0，当n为偶数时，a2=−2，a4=4，a6=−6，a8=8，所以S2013=a2+a4+a6+a8+⋯+a2012=−2+4−6+8+⋯−2010+2012=(−2+4)+(−6+8)+⋯+(−2010+2012)=2+2+⋯+2=503×2=1006．故选A．利用数列的通项公式，研究数列前n项和的规律．本题主要考查数列的前n项和，利用数列项的特点发现规律是解决本题的关键，考查学生分析问题的能力，综合性较强．12. 解：∵不等式n2−n(λ+1)+7≥λ，对一切n∈N∗恒成立，∴n2−n+7≥λ(n+1)，∵n∈N∗，∴λ≤n2−n+7n+1对一切n∈N∗恒成立．而n2−n+7n+1=(n+1)2−3(n+1)+9n+1=(n+1)+9n+1−3≥2√(n+1)⋅9n+1−3=3，当且仅当n+1=9n+1，即=2时等号成立，∴n≤3．故选：A．推导出n2−n+7≥λ(n+1)，从而λ≤n2−n+7n+1对一切n∈N∗恒成立.由此利用基本不等式能求出实数λ的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，涉及到数列、均值不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13. 解：|a⃗+b⃗ |2=|a⃗|2+|b⃗ |2，可得a⃗⋅b⃗ =0．向量a⃗=(m，1)，b⃗ =(1，2)，可得m+2=0，解得m=−2．故答案为：−2．利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14. 解：∵不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−1<x<13}，∴a<0，∴原不等式等价于−ax2−bx−1<0，由根与系数的关系，得−1+13=−ba，−1×3=1a，∴a=−3，b=−2，∴ab=6．故答案为：6．对原不等式进行等价变形，利用根与系数的关系求出a、b的值，即可得出ab的值．本题考查了一元二次不等式的解法和应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．15. 解：1a +2b=(a+2b)(1a+2b)=1+4+2ba+2ab≥5+2√2ba⋅2ab=5+4=9，当且仅当a=b=13，故1a +2b的最小值为9．故答案为：9．1 a +2b=(a+2b)(1a+2b)，展开后利用基本不等式求最值．本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．16. 解：∵S n=na n2，∴S n+1=n+12a n+1，两式相减得：a n+1=n+12a n+1−n2a n，∴n−12a n+1=n2a n，∴当n≥2时，a n+1n =a nn−1=⋯=a21=p，∴a n=p(n−1)．显然n=1时，上式也成立．∴对一切n∈N+，a n=p(n−1)．故答案为：a n=p(n−1)．由条件得S n+1=n+12a n+1，与条件式相减得出递推式，从而得出{a n+1n}是常数列，得出通项，再验证n=1的情况即可．本题考查了数列通项公式的求法，属于中档题．17. (1)化简不等式的左边，利用基本不等式求得最小值即可；(2)原不等式可化为[x−(a+1)]⋅[x−(a−1)]<0，求出不等式对应方程的根，再写出不等式的解集．本题考查了基本不等式与一元二次不等式的解法和应用问题，是中档题．18. (Ⅰ)根据等差数列的通项公式求得公差d，然后代入通项公式求得a11的值；(Ⅱ)设b n=11+a n ，则数列{b n}是等差数列，根据等差数列的定义求得b n=13−3n20，易得数列{a n }的通项公式．本题考查等差数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查运算与推理的能力，属于中档题． 19. (Ⅰ) 在△APC 中，由余弦定理得AP 2−4AP +4=0，解得AP =2，可得△APC 是等边三角形，即可得解．(Ⅱ) 法1：由已知可求∠APB =120∘.利用三角形面积公式可求PB =3.进而利用余弦定理可求AB ，在△APB 中，由正弦定理可求sin∠BAP =∘√19的值．法2：作AD ⊥BC ，垂足为D ，可求：PD =1，AD =√3，∠PAD =30∘，利用三角形面积公式可求PB ，进而可求BD ，AB ，利用三角函数的定义可求sin∠BAD =BD AB =√19cos∠BAD =AD AB =√3√19.sin∠BAP =sin(∠BAD −30∘)的值．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数的定义，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想，属于中档题．20. (1)利用已知条件列出不等式求解即可．(2)利用二次函数的性质，通过配方求解函数的最值即可．本题考查函数的实际应用，二次函数的性质，考查计算能力．21. (Ⅰ)由已知及二倍角的正弦函数公式，正弦定理得6sinCcosC =4sinC ，由于sinC ≠0，可求cosC ，进而可求sinC ，sinB 的值．(Ⅱ)解法一：由已知可求c ，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB ，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA ，进而利用三角形面积公式即可得解；解法二：由已知可求c ，由余弦定理解得a ，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解． 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．22. (1)由a 1=2，且满足a n2+2=3(S n +S n−1)(n ≥2).n =2时，即可得出． (2)由a n 2+2=3(S n +S n−1)(n ≥2)得，a n+12+2=3(S n+1+S n )，可得a n+12−a n 2=3(S n+1−S n−1)，即a n+12−a n 2=3(a n+1+a n )，化为a n+1−a n =3(n ≥2).再利用等差数列的通项公式即可得出．(3)数列{b n }满足log 2b n a n =n ，可得bn a n =2n ，即b n =(3n −1)⋅2n ，再利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、错位相减法、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

江苏省宿迁市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）不等式＞0的解集是．2．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n+1，则a3=．3．（5分）在等比数列{a n}中，a2=2，a5=16，则a6=．4．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，A=45°，B=60°，则b=．6．（5分）在等差数列{a n}中，a4=7，a8=15，则数列{a n}的前n项和S n=．7．（5分）在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，那么BC的长度为．8．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+2＜0的解集是（1，2），则a=．9．（5分）在△ABC中，a=2bcosC，则△ABC的形状为．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a2+a5+a8=π，则sina5=．11．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，成等差数列，则=．12．（5分）等差数列{a n}中，a1=﹣3，11a5=5a8，则其前n项和S n的最小值为．13．（5分）已知向量，，满足++=，且与的夹角等于120°，与的夹角等于15°，||=3，则||=．14．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=1，记S n=a12+a22+…+a n2，若S2n+1﹣S n≤对任意n∈N*恒成立，则正整数m的最小值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明{a n}是等差数列．16．（14分）在半径为R的圆的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=120°，AD+CD=10．求：（Ⅰ）AC的长及圆的半径R；（Ⅱ）四边形ABCD的面积．17．（14分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且b1=1，b2S2=16，b3S3=60．求：（Ⅰ）数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）++…+．18．（16分）如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为α，前进5km后到达B处，测得岛M的方位角为β．已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行．（Ⅰ）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？（Ⅱ）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险？19．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）解不等式f（x）＞mx（m∈R）．20．（16分）如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）．如此继续下去，得图（3）…，记第n个图形的边长a n、周长为b n．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若第n个图形的面积为S n，试探求S n，S n﹣1，（n≥2）满足的关系式，并证明S n＜．江苏省宿迁市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）不等式＞0的解集是{x|x＞1或x＜﹣2}．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式＞0即为或，由一次不等式的解法，即可得到解集．解答：解：不等式＞0即为或，解得x＞1或x＜﹣2．则解集为{x|x＞1或x＜﹣2}．故答案为：{x|x＞1或x＜﹣2}．点评：本题考查分式不等式的解法，可以运用符号法则或化为整式不等式，注意等价变形，属于基础题．2．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n+1，则a3=4．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：S n=2n+1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理即可得出．解答：解：∵S n=2n+1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n+1）﹣（2n﹣1+1）=2n﹣1．则a3=23﹣1=4．故答案为：4．点评：本题考查了递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）在等比数列{a n}中，a2=2，a5=16，则a6=32．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意和等比数列的通项公式求出公比q，再由等比数列的通项公式求出a6．解答：解：∵在等比数列{a n}中，a2=2，a5=16，∴公比q3==8，则q=2，∴a6=a5•q=16×2=32，故答案为：32．点评：本题考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．4．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为﹣．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理化简已知的比例式，得到a，b及c的比值，根据比例设出a，b及c，再利用余弦定理表示出cosC，将表示出的三边长代入，即可求出cosC的值．解答：解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，∴根据正弦定理得：a：b：c=3：2：4，设a=3k，b=2k，c=4k，则由余弦定理得cosC===﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，A=45°，B=60°，则b=．考点：正弦定理．分析：由题意和正弦定理直接求出变b的值即可．解答：解：由题意知，a=，A=45°，B=60°，∴根据正弦定理得：，则b===，故答案为：．点评：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．6．（5分）在等差数列{a n}中，a4=7，a8=15，则数列{a n}的前n项和S n=n2．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由题意可得关于首项和公差的方程组，解之代入求和公式可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则可得，解之可得，故S n==n2故答案为：n2点评：本题考查等差数列的前n项和，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．7．（5分）在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，那么BC的长度为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理即可求值．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，∴由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=9+4﹣2×3×2×cos60°=7．∴BC=．故答案为：．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，属于基本知识的考查．8．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+2＜0的解集是（1，2），则a=3．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由一元二次方程与不等式关系可知，不等式解集边界值就是对应的一元二次方程两根，进而有根与系数关系可以求得a．解答：解：不等式x2﹣ax+2＜0的解集是（1，2），∴x2﹣ax+2=0有两个根1，2，∴1+2=a∴a=3，故答案为：3．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，a=2bcosC，则△ABC的形状为等腰三角形．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：先根据题设条件求得cosC的表达式，进而利用余弦定理求得cosC的另一表达式，二者相等化简整理求得b=c，进而判断出三角形为等腰三角形．解答：解：∵a=2bcosC，∴cosC=∵cosC=∴=，化简整理得b=c∴△ABC为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．点评：本题主要考查了解三角形的应用和三角形形状的判断．解题的关键是利用了cosC 这一桥梁完成了问题的转化，属于中档题．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a2+a5+a8=π，则sina5=．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质化简a2+a5+a8=π，求出a5的值，代入sina5求值即可．解答：解：由等差数列的性质可得，a2+a5+a8=3a5=π，∴a5=，∴sina5=，故答案为：．点评：本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．11．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，成等差数列，则=3+2．考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，然后把所求的式子利用等比数列的通项公式化简后，将q的值代入即可求得答案．解答：解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数，∴q＞0，q=1+，∴==q2=3+2．故答案为：3+2点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．学生在求出q值后应根据等比数列的各项都为正数，舍去不合题意的公比q的值．12．（5分）等差数列{a n}中，a1=﹣3，11a5=5a8，则其前n项和S n的最小值为﹣4．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出其公差，代入求出其通项公式；根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小值．解答：解：由11a5=5a8，得6a1 +9d=0，又a1=﹣3，故d=2．故a n =﹣3+（n﹣1）2=2n﹣5，故此数列为递增数列．故等差数列{a n}的前2项为负数，从第三项开始为正数，故前2项的和最小为﹣3+（﹣1）=﹣4，故答案为﹣4．点评：在等差数列中，当首项为正，公差为负时，其前n项和S n有最大值，是所有的正项相加最大；当首项为负，公差为正时，其前n项和S n有最小值，是所有的负项相加最小．13．（5分）已知向量，，满足++=，且与的夹角等于120°，与的夹角等于15°，||=3，则||=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：把向量放在三角形中，根据向量的夹角与三角形的角的关系，转化为解三角形问题求解．解答：解：∵向量，，满足++=，∴令=，=，=，∵与的夹角等于120°，与的夹角等于15°∴∠A=180°﹣120°=60°，∠C=180°﹣150°=30°，∴三角形为直角三角形，=tan30°=，∵|BC|=||=3，∴|AB|=，故答案为：．点评：本题考查向量在几何中的应用、向量的模，数量积表示两个向量的夹角，解直角三角形，学生运用画图确定解决问题的方法，属于中档题．14．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=1，记S n=a12+a22+…+a n2，若S2n+1﹣S n≤对任意n∈N*恒成立，则正整数m的最小值是10．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，a n+1=1，可得=4，利用等差数列的通项公式可得=．作差（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）=（S n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S2n+1）=﹣﹣=﹣﹣，即可得出数列{S2n+1﹣S n}单调性，进而得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=1，∴=4，∴数列是等差数列，首项为1，公差为4．∴．∴=．∵S n=a12+a22+…+a n2，∴（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）=（S n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S2n+1）=﹣﹣=﹣﹣=+＞0，∴数列{S2n+1﹣S n}是单调递减数列，∴数列{S2n+1﹣S n}的最大项是S3﹣S1===．∵≤，∴．又m为正整数，∴m的最小值为10．故答案为：10．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，恒成立问题的等价转化方法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明{a n}是等差数列．考点：等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据数列项和前n项和之间的关系即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）根据等差数列的定义进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵S n=n2+2n，∴a1=S1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣=2n+1，则当n=1时，满足a n=2n+1，综上都有a n=2n+1．（Ⅱ）∵a n﹣a n﹣=2（n+1）+1﹣2n﹣1=2，为常数，∴{a n}是首项为3，公差为2的等差数列．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解和证明，比较基础．16．（14分）在半径为R的圆的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=120°，AD+CD=10．求：（Ⅰ）AC的长及圆的半径R；（Ⅱ）四边形ABCD的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可求AC的值，由正弦定理即可得解．（Ⅱ）设AD=m，CD=n，m+n=10，在△ACD中，由余弦定理得mn=24，则由三角形面积公式可求S△ACD，S△ABC，从而得解．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：AC==，…4分由正弦定理得：2R=，R=…7分（Ⅱ）设AD=m，CD=n，m+n=10，在△ACD中，由余弦定理得，AC2=m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn …9分即28=100﹣3mn，∴mn=24．…11分则S△ACD=mnsin60°=6，S△ABC=，…13分所以四边形ABCD的面积为8．…14分．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．17．（14分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且b1=1，b2S2=16，b3S3=60．求：（Ⅰ）数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）++…+．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）由S n=n（n+2），可得==．利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则d＞0，a n=3+（n﹣1）d，b n=q n﹣1．∵b2S2=16，b3S3=60．∴，解得或（舍去）．故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．（Ⅱ）∵S n==n（n+2），∴==．∴++…+=++…+==．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（16分）如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为α，前进5km后到达B处，测得岛M的方位角为β．已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行．（Ⅰ）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？（Ⅱ）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（Ⅰ）在△ABM中可知，AB=BM=5，求出MC与3比较，即可得到结论；（Ⅱ）在△ABM中由正弦定理得可得MC，当且仅当MC＞3时没有触礁危险．解答：解：（Ⅰ）在△ABM中可知，AB=BM=5，…4分从而MC=5sin60°=＞3，没有触礁危险．…8分（Ⅱ）设CM=x，在△ABM中由正弦定理得，，解得x=，…14分所以当＞3时没有触礁危险．…16分．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题轭能力，属于中档题．19．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）解不等式f（x）＞mx（m∈R）．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质；一元二次不等式的解法．专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意，1，4是方程ax2+（b﹣2）x+c=0的两根，且a＞0，运用韦达定理可得b，c，再由判别式为0，可得b，c，进而得到f（x）的解析式；（Ⅱ）由题意，不等式x2﹣（m+3）x+4＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，讨论对称轴和区间的关系，即可m的范围；（Ⅲ）方程x2﹣（m+3）x+4=0的判别式△=（m+3）2﹣16，讨论判别式为0，大于0和小于0，即可得到不等式的解集．解答：解：（Ⅰ）由题意，1，4是方程ax2+（b﹣2）x+c=0的两根，且a＞0，由韦达定理得，1+4=，1×4=，即有b=2﹣5a，c=4a，因为方程f（x）=x有两个相等的实数根，所以（b﹣1）2﹣4ac=0，消去b，c得a=1或（舍去），b=﹣3，c=4，所以f（x）=x2﹣3x+4；（Ⅱ）由题意，不等式x2﹣（m+3）x+4＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，设g（x）=x2﹣（m+3）x+4其图象的对称轴方程为x=，当＞1即m＞﹣1时，有g（）=＞0，得﹣1＜m＜1，当≤1即m≤﹣1时，有g（1）=2﹣m≥0，得m≤﹣1，综上，m＜1；（Ⅲ）方程x2﹣（m+3）x+4=0的判别式△=（m+3）2﹣16，当△＜0即﹣7＜m＜1时，不等式的解集为R；当△=0时：m=﹣7时，不等式的解集为{x|x≠﹣2}；m=1时，不等式的解集为{x|x≠﹣2}；当△＞0即m＜﹣7或m＞1时，不等式的解集为{x|x＜或x＞}．点评：本题考查二次函数、二次方程和二次不等式的关系，主要考查二次不等式的解法和不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．20．（16分）如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）．如此继续下去，得图（3）…，记第n个图形的边长a n、周长为b n．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若第n个图形的面积为S n，试探求S n，S n﹣1，（n≥2）满足的关系式，并证明S n＜．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据图形关系，建立图形边长和周长之间的关系即可求出数列的通项公式．（2）根据归纳推理，求出两个图形的面积之间的关系，结合等比数列的通项公式进行求和即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）由题意知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的所以数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，则a n=（）n﹣1，设第n个图形的边数为c n，因为第1个图形的边数为3，从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，则c n=3×4n﹣1，因此，第n个图形的周长b n=a n×c n=（）n﹣1×3×4n﹣1=3×（）n﹣1，（Ⅱ）S1=，当n≥2时，S n=S n﹣1+c n×（×a n2）=S n﹣1+3×4n﹣2××2=S n﹣1+×（）n ﹣1，则S n=S1+（S2﹣S1）+（S3﹣S2）+…+（S n﹣S n﹣1），=+，=+×，=﹣×（）n﹣1，∴S n＜．点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和公式的应用，根据归纳推理建立数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．。

2017～2018学年度第二学期期中调研测试高一数学参考答案一、填空题： 1、12 2、1 3、9 4、25、()0,36、87、60︒ 8、 9、1- 10、等腰三角形 11、4 12、80 13、2 14、145二、解答题：15、解 （1） 2n S n =……………………6分（2）由题知1231,3,5,a a a ===121, 2.b b ∴== …………8分 又数列{}n b 是等比数列，212,b q b ∴== …………………11分 1(1)(12)2 1.112n n n n b q T q --∴===--- …………………14分16、解()s i n (2)6fx x π=- …………4分（1）T π=，()x f 的最小正周期是π… ………………………………………7分 （2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 52--,666x πππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦ …………………………10分所以 当3x π=时，max ()1f x =；当0x =时，min 1()2f x =-………………14分 17、解 (1) ∵cosB =45>0，且0<B <π，∴sinB35= …………2分 由正弦定理得a b sinA sinB =， 31sin 15sin 35a B A b ⨯=== ………………6分 (2) ∵S △ABC =12acsinB =3， ……………………………………………………8分13131025c c ∴⨯⨯⨯=∴= ……………………………………………………10分 由余弦定理得 2222c o s b a c a c B =+-85b∴……14分18、解：(1) 3年总费用为16.90.930.20.40.620.8+⨯+++=万元………4分（2）因为每年保养维修为成首项为0.2，公差为0.2的等差数列，所以第n年保养维修费为0.2n，………………………6分使用了n年的总费用(0.20.2)(10)()16.90.916.9210n n n nf n n++=++=+*()n N∈…………10分（3）设年平均费用为()g n，则()()f ng nn=所以(10)(16.9)116910()()110n ng n nn n++==++…………12分因为169926n nn n+≥=（当且仅当13n=时，取等号）所以m i n() 3.6g n=………………………………………………………………15分答：使用13年，年平均费用最少，最小值为3.6万元…………………………16分19、解（1）要使函数有意义：则有1020xx->⎧⎨+>⎩，解得－2＜x＜1∴函数的定义域D为(2,1)-…………………………………3分（2）219()log(1)(2)log()24a af x x x x⎡⎤=-+=-++⎢⎥⎣⎦因为21x-<<所以21990()244x<-++≤因为1a>，所以2199log(())log244a ax-++≤，即max9()log24af x==，……………………………6分由9log24a=，得32a=，………………………8分（3）由210x mx m-++>在(2,1)-恒成立，得21(1)x m x +>-因为(2,1)x ∈-，所以1(3,0)x -∈-所以211x m x +<-在(2,1)x ∈-恒成立 ………………………10分 设21()1x g x x +=-，令1(3,0)x t -=∈-则2(1)12()2t g t t t t++==++ ………………………12分 即2()()2()g t t t -=-+--，因为(0,3)t -∈，所以())22()g t t -≥-=-（当且仅当t =14分 所以()2g t ≤-所以2m >- ………………………16分 20、解：（1）因为数列{}n a 为等差数列，2343a a a ++=- 所以333a =- 即31a =- ………………………2分公差d =1(5)22---=，所以 5(1)227n a n n =-+-⨯=- ………………4分 （2）由（1）知，当3n ≤时，0n a <；当3n >时，0.n a >*72,3()27,4n n n a n N n n -≤⎧∴=∈⎨-≥⎩， ……………………6分设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21()(527)6,22n n n a a n n S n n +-+-===- 当3n >时，()22333()262(9)618n n n T S S S S S n n n n =-+-=-=--⨯-=-+………………………8分∴502218T = ………………………10分（3）12(27)(25),23k k k a a k k a k ++--=- 令23,k t -=（其中1t ≥-且t 是奇数），则12(4)(2)86.k k k a a t t t a t t++--==+- …12分故t 为8的约数，又t 是奇数，t ∴的可能取值为 1.±当1t =时，2342,3257a a k a ===⨯-是数列{}n a 中的第5项； …………14分 当1t =-时，1231,152(4)7a a k a ==-=⨯--不是数列{}n a 中的项. 所以存在，满足条件的正整数 2.k = …………16分。

2016-2017学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B=．2．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为．3．（5分）幂函数f（x）的图象过点，则f（4）=．4．（5分）函数f（x）=的定义域是．5．（5分）已知方程3x+x=5的根在区间[k，k+1）（k∈Z），则k的值为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，已知=+2，=3+4，=2t+（t+5），若与共线，则实数t 的值为．7．（5分）函数f（x）=cos2x，x∈[，]的值域是．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωｘ+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f（2016）的值为．9．（5分）计算（）﹣lg﹣lg的结果为．10．（5分）已知=2，则sin2α﹣sinαcosα的值为．11．（5分）函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为．12．（5分）若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．13．（5分）如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若?=2，?=4，则BC的长度为．14．（5分）定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）恰好有8个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，m∈R．（1）当m=2时，求A∩?R B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．16．（14分）已知角θ的终边经过点P（3，﹣4）．（1）求sinθ，cosθ和tanθ的值；（2）求的值．17．（14分）已知向量，满足||=，=（4，2）．（1）若∥，求的坐标；（2）若﹣与5+2垂直，求与的夹角θ的大小．18．（16分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ＝，r1=3，r2=6，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？19．（16分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．20．（16分）已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m的取值范围；②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．2016-2017学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B={﹣1，0，2} ．【解答】解：集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B={﹣1，0，2}故答案为：{﹣1，0，2}2．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为π．【解答】解：∵函数中，振幅A=1，初相φ＝，且ω=2∴函数的最小正周期为T==π故答案为：π3．（5分）幂函数f（x）的图象过点，则f（4）=2．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有=3a，∴a=，即f（x）=x，∴f（4）=（4）=2．故答案为：2．4．（5分）函数f（x）=的定义域是（﹣∞，0）．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，只需1﹣2x＞0，即2x＜1，解得x＜0．则定义域为（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．5．（5分）已知方程3x+x=5的根在区间[k，k+1）（k∈Z），则k的值为1．【解答】解：令f（x）=3x+x﹣5，由y=3x和y=x﹣5均为增函数，故f（x）=3x+x﹣5在R上为增函数，故f（x）=3x+x﹣5至多有一个零点，∵f（1）=3+1﹣5＜0f（2）=9+2﹣5＞0∴f（x）=3x+x﹣5在区间[1，2]有一个零点，即方程方程3x+x=5的解所在区间为[1，2]，故k=1，故答案为：16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，已知=+2，=3+4，=2t+（t+5），若与共线，则实数t 的值为4．【解答】解：∵=+2，=3+4，=2t+（t+5），∴=（2，2），=（2t﹣1，t+3），∵与共线，∴，解得t=4．故答案为：4．7．（5分）函数f（x）=cos2x，x∈[，]的值域是．【解答】解：∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴f（x）=cos2x∈．故答案为：8．（5分）函数f（x）=Asin（ωｘ+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f（2016）的值为．【解答】解：由图象知A=3，=3﹣（﹣1）=4，即函数的周期T=8=，即ω＝，由五点对应法得3ω+φ=3×+φ=π，即φ＝，则f（x）=3sin（x+），则f（2016）=3sin（×2016+）=3sin（504π+）=3sin（）=3×=，故答案为：9．（5分）计算（）﹣lg﹣lg的结果为．【解答】解：（）﹣lg﹣lg=（）﹣2﹣lg==．故答案为：．的值为．10．（5分）已知=2，则sin2α﹣sinαcosα【解答】解：∵==2，解得：tanα=3，∴sin2α﹣sinαcosα＝===．故答案为：．11．（5分）函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为．【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=cos（φ+）由于其图象关于y轴对称，∴φ+=kπ，k∈z，∴φ＝﹣2kπ，k∈z，由φ＞0，可得：当k=0时，φ的最小正值是．故答案为：12．（5分）若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．【解答】解：当函数f（x）=是R上的单调增函数，可得：，解得a∈．当函数f（x）=是R上的单调减函数，可得：，解得a∈?．故答案为：．13．（5分）如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若?=2，?=4，则BC的长度为3．【解答】解：∵?=2，且?====，得，∴．∴=13﹣4=9．∴．故答案为：3．14．（5分）定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）恰好有8个零点，则实数a的取值范围是．【解答】解：①画出：x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，f（x）的图象，由于函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，可得其在区间[0，1]上的图象．由于函数f（x）是偶函数，且关于点（1，0）对称，则f（﹣x）=f（x），f（x）+f（2﹣x）=0，可得f（x+4）=f（x），因此其周期T=4．当a＞1时，画出函数y=log a（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此log a（|8|+1）=2，解得a=3．②当1＞a＞0时，画出函数y=log a（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此满足：log a（6+1）＞﹣2，log a（10+1）＜﹣2，解得：＜a＜．故所求的实数a的取值范围是．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，m∈R．（1）当m=2时，求A∩?R B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=2时，B=[m，m+6]=[2，8]，…（1分）?R B=（﹣∞，2）∪（8，+∞）；…（4分）又A=[﹣1，3]，所以A∩?R B=[﹣1，2）；…（7分）（2）因为A∪B=B，所以A?B，…（9分）由A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，得，…（12分）解得﹣3≤m≤﹣1，即m的取值范围是[﹣3，﹣1]．…（14分）16．（14分）已知角θ的终边经过点P（3，﹣4）．（1）求sinθ，cosθ和tanθ的值；（2）求的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为角θ的终边经过点P（3，﹣4），所以x=3，y=﹣4，所以，…（1分）所以，…（3分），…（5分）．…（7分）（2）因为cos（3π﹣θ）=﹣cosθ，…（8分），…（9分），…（10分）tan（π+θ）=tanθ，…（11分）所以…（12分）=．…（14分）17．（14分）已知向量，满足||=，=（4，2）．（1）若∥，求的坐标；（2）若﹣与5+2垂直，求与的夹角θ的大小．【解答】解：（1）设=（x，y），则x2+y2=5…（2分）因为∥，所以4y﹣2x=0…（4分）由，可得或所以的坐标为：（2，1）或（﹣2，﹣1）；…（6分）（2）因为﹣与5+2垂直，所以（﹣）（5+2）=0…（8分）化简得：52﹣3?﹣22=0又因为，，所以?=﹣5…（10分）cosθ＝…（12分）又因为θ∈[0，π]，所以．…（14分）18．（16分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ＝，r1=3，r2=6，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？【解答】解：（1）设花坛的面积为S平方米.…（2分）==…（4分）答：花坛的面积为；…（5分）（2）的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米由题意知60?2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=1200即4（r2﹣r1）+3（r2θ+r1θ）=40*…（7分）…（9分）由*式知，…（11分）记r2﹣r1=x，则0＜x＜10所以=…（13分）当x=5时，S取得最大值，即r2﹣r1=5时，花坛的面积最大．…（15分）答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．…（16分）19．（16分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．【解答】（1）（法一）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以在R上恒成立．…（2分）所以（a﹣2b）（2x+2﹣x）+2ab﹣2b2﹣2=0恒成立．所以，解得或…（4分）由定义域为R舍去，所以．…（5分）（法二）函数的定义域为R，且f（x）是奇函数，当x=0时，得，得a=b+1，…（1分）当x=1时，f（1）+f（﹣1）=0，得，解得：，…（3分）此时为奇函数；…（4分）所以．…（5分）（2）函数f（x）为R上的单调增函数．…（6分）证明：设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，则=…（8分）因为x1＜x2，又g（x）=2x为R上的单调增函数，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）为R上的单调增函数．…（10分）（3）因为f（lnm）+f（2lnm﹣1）≤1﹣3lnm，即f（lnm）+lnm≤﹣f（2lnm﹣1）+1﹣2lnm而函数f（x）为R上的奇函数，所以f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm．…（12分）令h（x）=f（x）+x，下面证明h（x）在R上的单调性：（只要说出h（x）的单调性不扣分）设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，因为x1﹣x2＜0，由（2）知f（x1）﹣f（x2）＜0，所以h（x1）﹣h（x2）=f（x1）+x1﹣（f（x2）+x2）=f（x1）﹣f（x2）+（x1﹣x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），所以h（x）为R上的单调增函数．因为f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm，所以h（lnm）≤h（1﹣2lnm）所以lnm≤1﹣2lnm，…（14分）解得，所以实数m的范围是．…（16分）20．（16分）已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m的取值范围；②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．【解答】解：（1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax2+bx+c，则f（x+2）﹣f（x）=a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）=4ax+4a+2b…（2分）由f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4得（4a+4）x+4a+2b﹣4=0恒成立，又f（0）=0所以，所以，所以f（x）=﹣x2+4x…（4分）（2）g（x）=﹣x2+4x+m，对称轴x=2，g（x）在区间[a，b]上单调，所以b≤2或a≥2①1°当b≤2时，g（x）在区间[a，b]上单调增，所以，即a，b为g（x）=x的两个根，所以只要g（x）=x有小于等于2两个不相等的实根即可，所以x2﹣3x﹣m=0要满足，得…（6分）2°当a≥2时，g（x）在区间[a，b]上单调减，所以，即两式相减得（b﹣a）（a+b﹣5）=0，因为b＞a，所以a+b﹣5=0，所以m=a2﹣5a+5，，得…（9分）综上，m的取值范围为…（10分）②（法一）设x0为g（x）的零点，则，即，即﹣m2﹣4m+m=0，得m=0或m=﹣3…（12分）1°当m=0时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）=﹣x（x﹣4）（x2﹣4x+4）所以h（x）所有零点为0，2，4…（14分）2°当m=﹣3时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）﹣3=﹣（﹣x2+4x﹣3）（﹣x2+4x﹣1）（因为必有因式﹣x2+4x﹣3，所以容易分解因式）由﹣x2+4x﹣3=0和﹣x2+4x﹣1=0得，所以h（x）所有零点为…（16分）（法二）函数g（x）的零点都是函数h（x）的零点，所以﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m中必有因式﹣x2+4x+m，所以可设：﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t）展开对应系数相等得或（下同法一）．。