九年级数学上册2.4圆周角课堂学习检测题一新版苏科版0

第二章第四节圆周角1．如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O的半径为（）A．9 B．8 C．7 D．62．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC=130°，则∠D等于（）A．20°B．25°C．35°D．50°3．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°4．如图，AB是半圆O直径，半径OC⊥AB，连接AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交ABC于点D，连接CD、OD，以下三个结论：①AC∥OD；②AC＝2CD；③CD2=CE·CO，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③5．如图，在⊙O中，∠A＝35°，∠E＝40°，则∠BOD的度数（）A．75°B．80°C．135°D．150°6．6．如图，在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门；第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择的射门方式是( )A．第一种B．第二种C．第三种D．无法确定7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°8．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A．B．C．D．9．下列说法正确的是( )A．平分弦的直径垂直于弦B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．相等的圆心角所对的弧相等D．等弧所对的圆心角相等10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACO=30°，则∠B的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°11．如图，四边形A BCD内接于⊙O，AB＝AD，∠C＝110°，点E在A AD上，则∠E＝°．12．如图，AB是A O的直径，B A C B A D，若BOD50，则A的度数为．13．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=52°，则∠ADC的度数为．14．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________．15．如图，圆的两条弦AC、BD相交于点P，AmB、CnD的度数分别为、，的度数为，则、和之间的数量关系为__________．APB16．如图所示，△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD= ______.17．如图，在⊙O中，AC是弦，AD是切线，CB⊥AD于B，CB与⊙O相交于点E，连接AE，若AE 平分∠BAC，BE=1，则CE=________．18．如图，A．B．C．D四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是______19．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝150°，则∠A＝________°．20．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=46°.则∠EBC的度数等于_________度.21．如图，四边形中的三个顶点在⊙上，是优弧上的一个动点(不与点、重合).(1)当圆心在内部，时，________.(2)当圆心在内部，四边形为平行四边形时，求的度数;(3)当圆心在外部，四边形为平行四边形时，请直接写出与的数量关系.22．如图，一个圆与正方形的四边都相切，切点分别为A、B、C、D．仅用无刻度的直尺分别在图①，图②中画出22.5，135的圆周角并标明角的度数．23．已知，如图，AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．24．如图，AB是圆的直径，弦CD∥AB，AD，BC相交于点E，若AB=6，CD=2，∠AEC=α，求cosα的值．25．在平面直角坐标系xOy中，点M（2，2），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M ，使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴、y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM点P 是弧AB上的动点.（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP·OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x 轴于点E.①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S，求S与t的函数关系式及S的取值范围. 26．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FP E=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．27．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，E为AC延长线上一点，ED⊥AB于F．（1）判断△DCE的形状；（2）设⊙O的半径为1，且OF= ，求证：△DCE≌△OCB．28．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.（1）求证：∠DAC＝∠DCE；（2）若AE＝ED=2,求⊙O的半径.答案：1．C试题分析：根据相交弦定理得出AP×BP=CP×DP，求出CP，求出CD即可．解：由相交弦定理得：AP×BP=CP×DP，∵PA=4，PB=6，PD=2，∴CP=12，∴DC=12+2=14，∵CD是⊙O直径，∴⊙O半径是7．故选C．2．C试题分析：∵AB是⊙O的直径，∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-130°=50°，∴∠D= 12∠BOC=12×50°=25°．故选：C3．C试题分析：根据同弧所对圆心角是圆周角2倍可求，∠ABC= ∠AOC=50°．解：∵∠AOC=100°，∴∠ABC= ∠AOC=50°．故选C．4．B．试题分析：①因为AD平分∠CAB，所以∠CAD=∠BAD，因为OA=OD，所以∠OAD=∠ADO，所以∠CAD=∠ADO，所以AC∥OD，故①正确；②由题意得，A AD2C A D，所以AC＜2CD，故②错误；③∠11CDA= ∠AOC=45°，∠COD= ∠BOC=45°，所以∠CDA=∠COD，又∠OCD=∠OCD，所以△CDE∽△22CD CECOD，所以，所以CD2CE A OC，故③正确，所以其中正确结论的序号是①③．OC CD故选：B．5．D如图，连接OC，已知∠A=35°，∠E=40°，由圆周角定理可得∠BOC=70°，∠DOC=80°，所以∠BOD=∠BOC+∠DOC=70°+80°=150°．故选D．6．C解：连接 CQ ，根据三角形外角的性质可得∠PCQ ＞∠A ；由圆周角定理知：∠PCQ=∠B ；所以 ∠PCQ=∠B ＞∠A ；又因点 C 到球门的距离比点 B 到球门的距离近，所以选择第三种射门方式更 好，故选 C.7．C解：∵∠CBE=50°，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ADC=∠CBE=50°（圆内接四边形的一个外角等于内对角），∵DA=DC ，180 50∴∠DAC=∠DCA= 265 . 故选 C.8．B分析：连接 OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作 CE⊥AB 于 E ，OF⊥CE 于 F ，如图，利用垂径定理得到 OD⊥AB ，则 AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出 OD=1，再利用折叠的性质可判断弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到 ，所以 AC=DC ，利用等腰三角形的性质得 AE=DE=1，接着证明四边形 ODEF 为正方形得到 OF=EF=1，然后计算出 CF 后得到 CE=BE=3， 于是得到 BC=3 ．详解：连接 OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作 CE⊥AB 于 E ，OF⊥CE 于 F ，如图，∵D 为 AB 的中点，∴OD⊥AB ，∴AD=BD= AB=2，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF= =2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3，故选B．点拨：本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.9．D试题分析：A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点距离相等；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、等弧所对的圆心角相等. 10．C解：连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO=30°，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=120°，∴∠B=12∠AOC=60°，故选C.1111．125试题分析：∵四边形 ABCD 内接于⊙O ，∴∠BAD=180°-∠C=180°-110°=70°，∵AB=AD ，∴∠ ABD=（180°-∠BAD ）÷2=55°，∴∠E=180°-∠ABD=125°． 12．25°试题分析：在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数相等，等于圆心角度数的一半. ∵ AB 是 A O 的直径， B A CB A D ， BOD 501∴ A BOD25 .213．26°．试题分析：已知 OA ⊥BC ，根据垂径定理得出 ，再由圆周角定理即可得出∠ADC= 1 2∠AOB=26°．14．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60°，一条弧所对的圆 周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角 形，等边三角形的三个内角都是 60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为 直角，1sinA ， A 为锐角， A30.2解：连接 OD,CD,因为 OC=OC=CD,所以 A OCD 是等边三角形，∠A =1 2 DOC30.三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60°，一条弧所对的圆周角 是它所对圆心角的一半；AC 是直径， A OCD 是等边三角形，∠DCA =60°，所以∠A =30°，直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是1260°，直角三角形两个锐角互余；CD1sin A=,所以A为锐角，A30.AB21直径所对的圆周角为直角，sinA，A为锐角，A30.2故答案为：三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的1圆周角为直角，sinA，A为锐角，A30.215．2解：连接CB,因为弧AB,弧CD所对的圆心角的度数分别是, ,所以∠ACB= 1,21∠CBD=.,根据三角形外角定理可得: APB∠ACB+∠CBD,即2216．60°．试题分析：根据圆周角定理可得出两个条件：①∠ACD=90°；②∠D=∠B=30°；在Rt△ACD中，已知了∠D的度数，即可求出∠CAD的度数．试题解析：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°；∵∠CDA=∠ABC=30°，∴∠CAD=90°-∠CDA=60°．17．2解：∵AD是切线，∠EAB=∠C,∵AE是角平分线，∠CAE=∠EA B,∠CAE=∠EAB=∠C,∵CB AD,∠C+∠CAB=90°，3∠C=90°，∠C=30°.故答案为30°.1318．20°解：连接 OB ，OA =OB ，∵OC ⊥AB ，∴∠BOC =∠AOC =40°，∴∠D = 1 2∠BOC =20°.故答案为 20°. 19．105解：∵∠BOC=150∘，∴∠A 所对的弧的度数为 360°-150°=210°，∴∠A= 1 2×210°=105°.故答案为：105.20．23试题解析：∵AB 是 O 的直径，AEB 90.又BAC 46， ABE 45.又∵AB =AC ，ABC C 67. EBC 23.故答案为：23. 21．120试题分析：（1）连接 OA ，如图 1，根据等腰三角形的性质得∠OAB =∠ABO ，∠OAD =∠ADO ，则 ∠OAB +∠OAD =∠ABO +∠ADO =60°，然后根据圆周角定理易得∠BOD =2∠BAD =120°；（ 2） 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 ∠BOD =∠BCD ， 再 根 据 圆 周 角 定 理 得 ∠BOD =2∠A ， 则 ∠BCD =2∠A ，然后根据圆内接四边形的性质由∠BCD +∠A =180°，易计算出∠A 的度数；（3）讨论：当∠OAB 比∠ODA 小时，如图 2，与（1）一样∠OAB =∠ABO ，∠OAD =∠ADO ，则 ∠OAD -∠OAB =∠ADO -∠ABO =∠BAD ，由（2）得∠BAD =60°，14所以∠ADO-∠ABO=60°；当∠OAB比∠ODA大时，用样方法得到∠ABO-∠ADO=60°．解：(1)连接OA,如图1,∵OA=OB，OA=OD，∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°,即∠BAD=60°，∴∠BOD=2∠BAD=120°；故答案为120°；(2)∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD，∵∠BOD=2∠A，∴∠BCD=2∠A，∵∠BCD+∠A=180°,即3∠A=180°，∴∠A=60°；(3)当∠OAB比∠ODA小时，如图2，∵OA=OB,OA=OD,∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，∴∠OAD−∠OAB=∠ADO−∠ABO=∠BAD，由(2)得∠BAD=60°，∴∠ADO−∠ABO=60°；15当∠OAB比∠ODA大时，同理可得∠ABO−∠ADO=60°，综上所述, .22．见解析.作135°先作出270°即可．试题解析：解：（1）连接AC，BD相交于点O，连接正方形的对角线，则∠EOC=45°，连接EA，则∠EAC= 12∠EOC=22.5°；（2）连接AC，BD．在弧AB上任意取一点E，连接BE、AE，则∠AEB=135°．23．（1）证明见解析（2）分析：(1)、要证明AD是⊙O的切线只要证明∠OAD=90°即可；(2)、根据勾股定理及圆周角定理即可求得AD的长．详解：(1)、连接AO并延长交于H，连接HB. ∵，∴. ∵AH是直径，∴. ∴，∴，即：，∵经过OA的外端，∴AD是的切线.(2)、∵AH为的直径，∴. ∵，∴.∵，，∴.∴，∴，∴.EC124．cosα=AE= 316EC EC DE CD试题分析：如图，连接AC．在Rt△AEC中，求出AE的值即可，根据AE= AE= AB可以得出结论．试题解析：如图，连接AC．∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，A AC B A D，AB AE∴CD= ED，∠BCD=∠ADC，∴EC=ED，AB=6，CD=2，DE CE CD21∴AE= AE= AB=6= 3，∵AB是直径，∴∠ACE=90°，EC1∴cosα=AE= 3．25．（1）90°；（2）①（52，0）；②S= 2t，5≤S≤10．试题分析：（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（2，2），可得∠MOH=45°，OH=MH= 2，继而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB的度数；（2）①由OH=MH= 2，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，又由动点P与点B重合时，OP•OQ=20，可求得OQ的长，继而求得答案；②由OD=22，Q的纵坐标为t，即可得S= 1222t= 2t，然后分别从当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，与当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，去分析求解即可求得答案．17试题解析：（1）过点 M 作 MH ⊥OD 于点 H ，∵点 M （ 2 ， 2 ），∴OH=MH= 2 ，∴∠ MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OM=AM ，∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°，∴∠ AMB=90°；（2）①∵OH=MH= 2 ，MH ⊥OD ，∴OM= MH 2OH 2 =2，OD=2OH=2 2 ，∴OB=4，∵动点 P与点 B 重合时，OP•OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=5 2 ，∴E 点坐标为 （5 2 ，0）；②∵OD=2 2 ，Q 的纵坐标为 t ，∴S= 1 2 2 2t = 2t ，如图 2，当动点 P 与 B 点重合时，过点Q 作 QF ⊥x 轴，垂足为 F 点，∵OP=4，OP•OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF= 5 2 2，此时 S= 2 5 2=5；2如图 3，当动点 P 与 A 点重合时，Q 点在 y 轴上，∴OP=2 2 ，∵OP•OQ=20，∴t=OQ=5 2 ， 此时 S= 25 2 =10；∴S 的取值范围为 5≤S≤10．26．（1）90；（2）作图见解析，P （7，7），PH 是分割线．试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG 的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG 是直角 三角形，且∠FGE=90 °．18（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．试题解析：（1）连接FE，∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=25，EG=45，FE=10．2 2∵254510，即FG2EG2FE2．2∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：PHP（7，7），PH是分割线．27．（1）△CDE为等腰三角形；（2）证明见解析.试题分析：（1）由∠ABC=30°可得∠BAC=60°，结合DE⊥AB，可得∠AED的度数；根据弦切角定理可得∠DCB=60°，再结合∠ACB=90°，从而可得∠DCE的度数；（2）由（1）的证明过程可得∠ABC=∠OCB=∠DCE=∠CED=30°，要证明△BOC≌△EDC，只要证明BC=CE，接下来由圆半径为1可得AB的长，结合含30度角直角三角形的性质以及勾股定理19（1）解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC，∴△AOC是正三角形．又∵CD是切线，∴∠OCD=90°．∴∠DCE=180°﹣60°﹣90°=30°．而ED⊥AB于F，∴∠CED=90°﹣∠BAC=30°．故△CDE为等腰三角形．（2）证明：∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∵∠BAC=60°，AO=CO，∴∠OCA=60°，∵∠DCE=30°．∴A，C，E三点同线在△ABC中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC== ．∵OF=，∴AF=AO+OF=．又∵∠AEF=30°，∴AE=2AF=+1，∴CE=AE﹣AC= =BC，而∠OCB=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°=∠ABC；故△CDE≌△COB．点拨：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含30°直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的思想，是一道综合性较强的题．28．（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为分析：（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；（2）先证明△DCE∽△DAC，求出CD的长，设⊙O的半径为x,则OA=OC=x，在Rt△OAD中，由勾股定理列方程即可求出半径的长.详解：证明：（1）AD是⊙O的切线，∴∠DAB＝90°，即∠DAC＋∠CAB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠ABC＝90°，∴∠DAC＝∠B，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB＝∠DAC，又∵∠DCE＝∠OCB，∴∠DAC＝∠DCE；解：（2）∵∠DAC=∠DCE,∠D=∠D，∴△DCE∽△DAC，∴即，∴DC=.设⊙O的半径为x,则OA=OC=x，在Rt△OAD中，由勾股定理，得，解得x = ，答：⊙O的半径为。

苏科版九年级数学上册《2.4 圆周角》同步练习题(带答案)一、选择题1.四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是( )A. 1：3：2：4B. 7：5：10：8C. 13：1：5：17D. 1：2：3：42.如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，AC⏜=AE⏜，∠D=128°则∠B的度数为( )A. 128°B. 126°C. 118°D. 116°3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为( )A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°4.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⏜所对的圆心角为50∘，则∠C+∠E等于( )A. 155∘B. 150∘C. 160∘D. 162∘5.如图，AB是⊙O直径，若∠AOC=140°，则∠D的度数是( )A. 20°B. 30°C. 40°D. 70°6.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点∠ADC=115°，则∠BAC的度数是( )A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=BC，∠BAC=30°，AD是直径AD=8，则AC的长为( )A. 4B. 4√ 3√ 3C. 83D. 2√ 38.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC⏜=CB⏜若∠C=110°，则∠ABC的度数等于( )A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°9.如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD=68°，AO//DC则∠B的度数为( )A. 40°B. 60°C. 56°D. 68°10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形AB=AC，∠BCA=65°作CD//AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )A. 15°B. 35°C. 25°D. 45°二、填空题11.圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是．12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径OD//BC，∠ABC=40∘，则∠BCD的度数为．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM=70∘，则∠AOC的度数为．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F.若∠F= 36°，∠E=50°则∠A的度数为______ ．15.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB= 12cm，BC=5cm则圆形镜面的半径为．16.如图，要在圆柱形钢材上截取边长为a的正方形螺母，需要的圆柱形钢材的直径是．17.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD若∠BAC=28∘，则∠D=．三、解答题18.如图，△ABC为锐角三角形．(1)实践与操作：以BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母)．(2)猜想与证明：在(1)的条件下，若∠A=60°，试猜想AE与AB之间的数量关系，并说明理由．19.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．(1)若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC．(2)若∠E=∠F=42∘时，求∠A的度数．(3)若∠E=α，∠F=β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．20.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中AB=AD，∠C=110∘，若点E在AD⏜上，求∠E的度数．21.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF.判断EF和BC的位置关系，并证明．22.如图所示，小明制作一个模具AD=4cm，CD=3cm，∠ADC=90∘，AB=13cm，BC=12cm，求这个模具的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、1+2≠3+4所以A选项不正确；B、7+10≠5+8所以B选项不正确；C、13+5=1+17所以C选项正确；D、1+3≠2+4所以D选项不正确．故选：C．根据圆内接四边形的对角互补得到∠A和∠C的份数和等于∠B和∠D的份数的和，由此分别进行判断即可．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．2.【答案】D【解析】解：连接AC、CE∵点A、C、D、E都是⊙O上的点∴∠CAE+∠D=180°∴∠CAE=180°−128°=52°∵AC⏜=AE⏜∴∠ACE=∠AEC=12×(180°−52°)=64°∵点A、B、C、E都是⊙O上的点∴∠AEC+∠B=180°∴∠B=180°−64°=116°故选：D．连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握．解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)．首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD 的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD=100°∴∠BAD=100°÷2=50°∴∠BCD=180°−∠BAD=180°−50°=130°故选：D．4.【答案】A【解析】连接AE，如图．∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠AED=180∘∵AB⏜所对的圆心角为50∘∴∠AEB=12×50∘= 25∘∴∠C+∠BED=180∘−∠AEB=155∘故选A．5.【答案】A【解析】解：∵∠AOC=140°∴∠BOC=40°∵∠BOC与∠BDC都对BC⏜∴∠D=12∠BOC=20°故选：A．利用圆周角定理判断即可求出所求．此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．6.【答案】A【解析】解：如图，连接OC∵∠ADC=115°∴优弧ABC⏜所对的圆心角为2×115°=230°∴∠BOC=230°−180°=50°∴∠BAC=12∠BOC=25°故选：A．连接OC，利用圆周角定理及角的和差求得∠BOC的度数，进而求得∠BAC的度数．本题考查圆周角定理，结合已知条件求得∠BOC的度数是解题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠BAC=30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°−∠B=60°求得∠CAD=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CD∵AB=BC，∠BAC=30°∴∠ACB=∠BAC=30°∴∠B=180°−30°−30°=120°∴∠D=180°−∠B=60°∵AD是直径∴∠ACD=90°∴∠CAD=30°∵AD=8∴CD=12AD=4∴AC=√ AD2−CD2=√ 82−42=4√ 3故选：B．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠CAB，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，进而计算即可．【解答】解：如图，连接AC∵四边形ABCD是半圆的内接四边形∴∠DAB=180°−∠DCB=70°∵DC⏜=CB⏜∴∠CAB=∠DAC=12∠DAB=35°∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠ABC=90°−∠CAB=55°故选：A．9.【答案】C【解析】【分析】此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．连接OC，由AO//DC，得出∠ODC=∠AOD=68°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=68°，求得∠COD= 44°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．【解答】解：连接OC，如图∵AO//DC∴∠ODC=∠AOD=68°∵OD=OC∴∠ODC=∠OCD=68°∴∠COD=44°∴∠AOC=68°+44°=112°∠AOC=56°．∴∠B=12故选C．10.【答案】A【解析】解：∵AB=AC、∠BCA=65°∴∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°∵CD//AB∴∠ACD=∠A=50°又∵∠ABD=∠ACD=50°∴∠DBC=∠CBA−∠ABD=15°故选：A．根据等腰三角形性质知∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°由平行线的性质及圆周角定理得∠ABD=∠ACD=∠A=50°，从而得出答案．本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质．11.【答案】30∘或150∘【解析】根据题意，易得弦所对的圆心角是60∘． ①当圆周角的顶点在弦所对的优弧上时，则圆周角为1×60∘=30∘; ②当圆周角的顶点在弦所对的劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，此时圆周角为150∘.故2答案为30∘或150∘．12.【答案】110°【解析】∵OD//BC∴∠AOD=∠ABC=40∘∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA=70∘∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180∘−∠OAD=110∘．13.【答案】140∘【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠B+∠ADC=180∘又∵∠ADC+∠CDM=180∘∴∠B=∠CDM=70∘∴∠AOC=2∠B=140∘．14.【答案】47°【解析】解：∵∠ECF是△CDE的外角∴∠ECF=∠E+∠EDC∵∠EDC是△ADF的外角∴∠EDC=∠A+∠F∴∠ECF=∠E+∠A+∠F=∠A+86°∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠ECF=∠BCD=180°−∠A∴∠A+86°=180°−∠A∴∠A=47°．故答案为：47°．先两次根据三角形的外角定理，得∠ECF=∠E+∠A+∠F=∠A+86°，再根据圆内接四边形的性质，得∠ECF=∠BCD=180°−∠A，即可得出结果．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形的外角定理．综合运用圆内接四边形的性质与三角形的外角定理是本题的关键．15.【答案】13cm2【解析】解：连接AC∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角∴AC是圆形镜面的直径由勾股定理得：AC=√ AB2+BC2=√ 122+52=13(cm)cm所以圆形镜面的半径为132cm．故答案为：132连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．16.【答案】√ 2a【解析】连接BD∵∠A=90∘∴BD为直径．∵AD=AB∴BD=√ 2AB=√ 2a即需要的圆柱形钢材的直径是√ 2a.17.【答案】62∘【解析】如图，连接BC．∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90∘∴∠ABC=90∘−∠CAB=62∘∴∠D=∠ABC=62∘．18.【答案】解：(1)如图，⊙O为所作；(2)AE=1AB．2理由如下：连接BE，如图∵BC为⊙O的直径∴∠BEC=90°∵∠A=60°∴∠ABE=30°AB．∴AE=12【解析】(1)作BC的垂直平分线得到BC的中点O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆，⊙O分别交AB，AC于点D，E；(2)连接BE，如图，先根据圆周角定理得到∠BEC=90°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系得到AE=1AB．2本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．19.【答案】【小题1】证明∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC．【小题2】由(1)知∠ADC=∠ABC．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC∴∠ADC=90∘，∴∠A=90∘−42∘=48∘．【小题3】连接EF，如图．∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形∴易得∠ECD=∠A.∵∠ECD=∠1+∠2∴∠A=∠1+∠2.∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180∘∴2∠A+α+β=180∘，∴∠A=90∘−α+β．2【解析】1.见答案2.见答案3.见答案20.【答案】如图，连接BD．∵∠C+∠BAD=180∘∴∠BAD=180∘−110∘=70∘．∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=1(180∘−70∘)=55∘．∵四边形ABDE为圆内接四边形2∴∠E+∠ABD=180∘，∴∠E=180∘−55∘=125∘．【解析】见答案21.【答案】解：EF//BC．理由如下：∵AB=AC，AD⊥BC∴AD平分∠BAC即∠EAD=∠FAD∴DE⏜=DF⏜∵AD为直径∴AD⊥EF而AD⊥BC∴EF//BC．【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠EAD=∠FAD，则根据圆周角定理得到DE⏜=DF⏜，再利用垂径定理的推理得到AD⊥EF，于是可判断EF//BC．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和等腰三角形的性质．22.【答案】24cm2【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，在ΔABC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．【详解】解：连接AC在ΔADC中∵AD=4cm CD=3cm∠ADC=90∘∴AC2=AD2+CD2∴AC=√ AD2+CD2=√ 32+42=5(cm)∴SΔACD=12CD×AD=12×3×4=6(cm2)在ΔABC中∵AC=5cm BC=12cm AB=13cm52+122=132即：AC2+BC2=AB2根据勾股定理的逆定理可得，ΔABC是直角三角形，且∠ACB=90∘∴SΔABC=12AC×BC=12×5×12=30(cm2)∴S四边形ABCD=SΔABC−SΔACD=30−6=24(cm2)答：这个模具的面积是24cm2．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理，连接AC，说明ΔABC是直角三角形．。

2.4 第1课时 圆周角的概念与性质一、选择题1．如图1，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若∠C ＝35°，则∠AOB 的度数为 ( ) A ．35° B ．55° C ．145° D ．70°图1 图22．如图2，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 是AB ︵上任意一点，则∠DEC 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．80°3．如图3，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC .若∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是( )A ．25°B ．27.5°C ．30°D ．35°图3 图44．如图4，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是( ) A．64° B．58° C．32° D．26°5．如图5，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC的度数为( ) A．180°－2α B．2α C．90°＋α D．90°－α图5 图66．如图6，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，若∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．55° 二、填空题7．如图7，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ︵＝BC ︵，若∠AOB ＝58°，则∠BDC ＝________°.图7 图88．如图8，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________°. 9．已知⊙O 的半径为1，点A ，B 在⊙O 上，且AB ＝2，则AB 所对的圆周角为________． 三、解答题10．如图9，在⊙O 中，AC ∥OB ，∠BAO ＝25°，求∠BOC 的度数.图9 11．已知：如图10，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径．图10 12．如图11，P是⊙O外的一点，C是⊙O上的一点．求证：∠ACB＞∠APB.图1113．如图12，△ABC 的高AD ，BE 相交于点H ，延长AD 交△ABC 的外接圆于点G ，连接BG .求证：HD ＝GD .图1214．如图13所示，在⊙O 中，△ABC 的三个顶点均在⊙O 上，且∠ABC ＝∠C ，点D 在BC ︵上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交直线AB 于点E ，连接BD ，AD .∠ADB 与∠E 相等吗？为什么？链接听课例3归纳总结图13 15如图14所示，AD是⊙O的直径．图14(1)如图(a)，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是________，∠B2的度数是________；(2)如图(b)，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；(3)如图(c)，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n C n把圆周2n等分，请你用含n 的代数式表示∠B n的度数(只需直接写出答案)．1．[解析]D ∵∠C ＝35°，∴∠AOB ＝2∠C ＝70°.故选D .2．[解析]B 连接BD.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DBC ＝45°，∴∠DEC ＝∠DBC ＝45°. 故选B .3．[解析]D ∵∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，∴∠B ＝85°－60°＝25°，∠CDO ＝95°，∴∠AOC ＝2∠B ＝50°，∴∠C ＝180°－95°－50°＝35°.故选D .4．[解析]D 如图，连接AO.由OC ⊥AB ，得AC ︵＝BC ︵，∠OEB ＝90°，∴∠2＝∠3.∵∠2＝2∠1＝2×32°＝64°，∴∠3＝64°.在Rt △OBE 中，∠OEB ＝90°，∴∠B ＝90°－∠3＝90°－64°＝26°.故选D . 5．[解析]D 连接OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝2α.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝12(180°－2α)＝90°－α.6．[解析]D 如图，连接OC.∵AO ∥DC ，∴∠D ＝∠AOD ＝70°.∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠D ＝70°，∴∠DOC ＝40°，∴∠AOC ＝110°，∴∠B ＝12∠AOC ＝55°.故选D .7．[答案] 29[解析] 连接OC.∵AB ︵＝BC ︵，∴∠AOB ＝∠BOC ＝58°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝29°.8．[答案] 15[解析]∵OA ＝OB ，OA ＝AB ，∴OA ＝OB ＝AB ，即△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°.∵OC ⊥OB ，∴∠COB ＝90°，∴∠COA ＝90°－60°＝30°，∴∠ABC ＝15°.9．[答案] 45°或135°[解析] 如图所示．∵OC ⊥AB ，∴C 为AB 的中点，即AC ＝BC ＝12AB ＝22.在Rt △AOC 中，OA ＝1，AC ＝22， 根据勾股定理，得OC ＝OA 2－AC 2＝22， 即OC ＝AC ，∴△AOC 为等腰直角三角形，∴∠AOC ＝45°，同理∠BOC ＝45°， ∴∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝90°. ∵∠AOB 与∠ADB 都对着AB ︵， ∴∠ADB ＝12∠AOB ＝45°.∵钝角∠AOB ＝270°，∴∠AEB ＝135°， ∴弦AB 所对的圆周角为45°或135°.10．[解析] 根据OA ＝OB ，∠BAO ＝25°得出∠B ＝25°，再由平行线的性质得出∠B ＝∠CAB ＝25°，根据圆周角定理即可得出结论．解：∵OA ＝OB ，∠BAO ＝25°，∴∠B ＝25°.∵AC ∥OB ，∴∠B ＝∠CAB ＝25°，∴∠BOC ＝2∠CAB ＝50°.11．[解析] 连接OB ，OA ，根据圆周角定理得出∠BOA ＝90°，再由勾股定理得出⊙O 的半径即可．解：如图，连接OB，OA.∵∠C＝45°，∴∠BOA＝90°.又∵OB＝OA，AB＝2，∴OB＝OA＝2，即⊙O的半径为 2.12．证明：如图，连接AN.∵∠ANB＝∠APB＋∠NAP，∴∠ANB＞∠APB.又∵∠ANB＝∠ACB，∴∠ACB＞∠APB.13．证明：∵∠C＝∠G，AD，BE为△ABC的高，∴∠C＋∠DAC＝90°，∠AHE＋∠DAC＝90°，∴∠C＝∠AHE.∵∠AHE＝∠BHG，∴∠BHG＝∠C，∴∠G＝∠BHG，∴BH＝BG.又∵AD⊥BC，∴HD ＝GD.14．[解析] 探索两角之间的关系，在图形较复杂的情况下，一般要借助“中间角”建立它们之间的联系．解：∠ADB ＝∠E.理由：∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＝∠E.又∵∠ADB ＝∠C ，∠C ＝∠ABC ，∴∠ADB ＝∠E.[素养提升]解：(1)22.5° 67.5°(2)∵圆周被6等分，∴B 1C 1︵＝C 1C 2︵＝C 2C 3︵，且它们所对的圆心角都为360°÷6＝60°.∵直径AD ⊥B 1C 1，∴AC 1︵所对的圆心角为30°，∴∠B 1＝15°，∠B 2＝12×(30°＋60°)＝45°，∠B 3＝12×(30°＋60°＋60°)＝75°.(3)∠B n ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×360°2n ＋（n －1）×360°2n ＝（90n －45）°n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或∠B n ＝90°－360°8n ＝90°－45°n .。

第二章第四节圆周角1．如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O的半径为（）A．9 B．8 C．7 D．62．如图， AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC =130°，则∠D等于（）A．20° B．25° C．35° D．50°3．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°»BC于4．如图，AB是半圆O直径，半径OC⊥AB，连接AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交点D，连接CD、OD，以下三个结论：①AC∥OD；②AC＝2CD；③CD2=CE·CO，其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．如图，在⊙O中，∠A＝35°，∠E＝40°，则∠BOD的度数（）A．75° B．80° C．135° D．150°6．6．如图，在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门；第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择的射门方式是()A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法确定7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．130° B．100° C．65° D．50°8．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B． C． D．9．下列说法正确的是( )A．平分弦的直径垂直于弦B ． 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C ． 相等的圆心角所对的弧相等D ． 等弧所对的圆心角相等10．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACO=30°，则∠B 的度数是（ ）A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 75°11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AD ，∠C ＝110°，点E 在»AD 上，则∠E ＝ °．12．如图，AB 是O e 的直径，»»BCBD =，若50BOD ∠=o ，则A ∠的度数为 ．13．如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB=52°，则∠ADC 的度数为 ．14．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________．15．如图，圆的两条弦AC 、BD 相交于点P ， AmB u u u u u r 、CnD u u u u r的度数分别为α、β， APB ∠的度数为γ，则α、β和γ之间的数量关系为__________．16．如图所示，△ABC 内接于⊙O,AD 是⊙O 的直径，∠ABC=30°，则∠CAD= ______.17．如图，在⊙O 中，AC 是弦，AD 是切线，CB ⊥AD 于B ，CB 与⊙O 相交于点E ，连接AE ，若AE 平分∠BAC ，BE=1，则CE=________．18．如图，A．B．C．D四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是______19．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝150°，则∠A＝________°．20．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=46°.则∠EBC 的度数等于_________度.21．如图，四边形中的三个顶点在⊙上，是优弧上的一个动点(不与点、重合).(1)当圆心在内部，时，________.(2)当圆心在内部，四边形为平行四边形时，求的度数;(3)当圆心在外部，四边形为平行四边形时，请直接写出与的数量关系.22．如图，一个圆与正方形的四边都相切，切点分别为A、B、C、D．仅用无刻度的直尺．．．．．．分别在图①，图②中画出22.5︒，135︒的圆周角并标明角的度数．23．已知，如图， AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．24．如图，AB是圆的直径，弦CD∥AB，AD，BC相交于点E，若AB=6，CD=2，∠AEC=α，求cosα的值．25．在平面直角坐标系xOy中，点M（2，2），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M ，使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴、y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM点P是弧AB 上的动点.（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP·OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E.①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S，求S与t的函数关系式及S的取值范围. 26．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FP E=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．27．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，E为AC延长线上一点，ED⊥AB于F．（1）判断△DCE的形状；（2）设⊙O的半径为1，且OF=，求证：△DCE≌△OCB．28．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.（1）求证：∠DAC＝∠DCE；（2）若AE＝ED=2,求⊙O的半径.答案：1．C试题分析：根据相交弦定理得出AP×BP=CP×DP，求出CP，求出CD即可．解：由相交弦定理得：AP×BP=CP×DP，∵PA=4，PB=6，PD=2，∴CP=12， ∴DC=12+2=14， ∵CD 是⊙O 直径， ∴⊙O 半径是7． 故选C ． 2．C试题分析：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-130°=50°， ∴∠D=12∠BOC=12×50°=25°． 故选：C 3．C试题分析：根据同弧所对圆心角是圆周角2倍可求，∠ABC=∠AOC=50°． 解：∵∠AOC=100°， ∴∠ABC=∠AOC=50°． 故选C ． 4．B ．试题分析：①因为AD 平分∠CAB ，所以∠CAD=∠BAD ，因为OA=OD ，所以∠OAD=∠ADO ，所以∠CAD=∠ADO ，所以AC ∥OD ，故①正确；②由题意得，»»2AD CD =，所以AC ＜2CD ，故②错误；③∠CDA=12∠AOC=45°，∠COD=12∠BOC=45°，所以∠CDA=∠COD ，又∠OCD=∠OCD ，所以△CDE ∽△COD ，所以CD CEOC CD=，所以2CD CE OC =g ，故③正确，所以其中正确结论的序号是①③． 故选：B ． 5．D如图，连接OC ，已知∠A=35°，∠E=40°，由圆周角定理可得∠BOC=70°，∠DOC=80°，所以∠BOD=∠BOC+∠DOC=70°+80°=150°．故选D ．6．C解：连接CQ，根据三角形外角的性质可得∠PCQ＞∠A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠B；所以∠PCQ=∠B ＞∠A；又因点C到球门的距离比点B到球门的距离近，所以选择第三种射门方式更好，故选C. 7．C解：∵∠CBE=50°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=∠CBE=50°（圆内接四边形的一个外角等于内对角），∵DA=DC，∴∠DAC=∠DCA=18050652-=o oo.故选C.8．B分析：连接OD、AC、DC、O B、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．详解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD=AB=2，在Rt△OBD中，OD==1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF==2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3，故选B．点拨：本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.9．D试题分析：A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点距离相等；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、等弧所对的圆心角相等.10．C解：连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO=30°，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=120°，∴∠B=12∠AOC=60°，故选C.11．125试题分析：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠BAD=180°-∠C=180°-110°=70°，∵AB=AD ，∴∠ABD=（180°-∠BAD ）÷2=55°，∴∠E=180°-∠ABD=125°． 12．25°试题分析：在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数相等，等于圆心角度数的一半.∵AB 是O e 的直径，»»BCBD =，50BOD ∠=o ∴A ∠.2521︒=∠=BOD 13．26°．试题分析：已知OA ⊥BC ，根据垂径定理得出，再由圆周角定理即可得出∠ADC=21∠AOB=26°．14．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角， 1sin 2A =， A ∠为锐角， 30A ∠=︒.解：连接OD,CD,因为OC=OC=CD,所以n OCD 是等边三角形，∠A =130.2DOC ∠=︒三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；AC 是直径， n OCD 是等边三角形，∠DCA =60°，所以∠A =30°，直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；sin A =12CD AB =,所以A ∠为锐角， 30A ∠=︒. 直径所对的圆周角为直角， 1sin 2A =， A ∠为锐角， 30A ∠=︒.故答案为：三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，1sin 2A =， A ∠为锐角， 30A ∠=︒. 15．2αβγ+=解：连接CB ,因为弧AB ,弧CD 所对的圆心角的度数分别是α, β,所以∠ACB = 12α, ∠CBD =12β,根据三角形外角定理可得: APB ∠=∠ACB+∠CBD,即2αβγ+=. 16．60°．试题分析：根据圆周角定理可得出两个条件：①∠ACD=90°；②∠D=∠B=30°；在Rt △ACD 中，已知了∠D 的度数，即可求出∠CAD 的度数． 试题解析：∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ACD=90°； ∵∠CDA=∠ABC=30°， ∴∠CAD=90°-∠CDA=60°． 17．2解：∵AD 是切线， ∴∠EAB =∠C, ∵AE 是角平分线， ∠CAE =∠EAB,∴∠CAE =∠EAB=∠C ,∵CB ,AD ⊥∴∠C +∠CAB =90°， ∴3∠C =90°， ∴∠C =30°.故答案为30°. 18．20°解：连接OB ，OA =OB ，∵OC ⊥AB ，∴∠BOC =∠AOC =40°， ∴∠D =12∠BOC =20°. 故答案为20°. 19．105解：∵∠BOC=150∘，∴∠A 所对的弧的度数为360°-150°=210°， ∴∠A=12×210°=105°.故答案为：105. 20．23试题解析：∵AB 是O 的直径，90.AEB ∴∠=o又46BAC ∠=o Q ，45.ABE ∴∠=o又∵AB =AC ，67.ABC C ∴∠=∠=o23.EBC ∴∠=o故答案为：23. 21．120试题分析：（1）连接OA ，如图1，根据等腰三角形的性质得∠OAB =∠ABO ，∠OAD =∠ADO ，则∠OAB +∠OAD =∠ABO +∠ADO =60°，然后根据圆周角定理易得∠BOD =2∠BAD =120°；（2）根据平行四边形的性质得∠BOD =∠BCD ，再根据圆周角定理得∠BOD =2∠A ，则∠BCD =2∠A ，然后根据圆内接四边形的性质由∠BCD +∠A =180°，易计算出∠A 的度数；（3）讨论：当∠OAB 比∠ODA 小时，如图2，与（1）一样∠OAB =∠ABO ，∠OAD =∠ADO ，则∠OAD -∠OAB =∠ADO -∠ABO =∠BAD ，由（2）得∠BAD =60°，所以∠ADO -∠ABO =60°；当∠OAB 比∠ODA 大时，用样方法得到∠ABO -∠ADO =60°． 解： (1)连接OA ,如图1,∵OA=OB，OA=OD，∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°,即∠BAD=60°，∴∠BOD=2∠BAD=120°；故答案为120°；(2)∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD，∵∠BOD=2∠A，∴∠BCD=2∠A，∵∠BCD+∠A=180°,即3∠A=180°，∴∠A=60°；(3)当∠OAB比∠ODA小时，如图2，∵OA=OB,OA=OD,∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，∴∠OAD−∠OAB=∠ADO−∠ABO=∠BAD，由(2)得∠BAD=60°，∴∠ADO−∠ABO=60°；当∠OAB比∠ODA大时，同理可得∠ABO−∠ADO=60°，综上所述,.22．见解析.作135°先作出270°即可．试题解析：解：（1）连接AC ，BD 相交于点O ，连接正方形的对角线，则∠EOC =45°，连接EA ，则∠EAC =12∠EOC =22.5°；（2）连接AC ，BD ．在弧AB 上任意取一点E ，连接BE 、AE ，则∠AEB =135°．23．（1）证明见解析（2）分析：(1)、要证明AD 是⊙O 的切线只要证明∠OAD=90°即可；(2)、根据勾股定理及圆周角定理即可求得AD 的长．详解：(1)、连接AO 并延长交于H ，连接HB. ∵， ∴. ∵AH 是直径， ∴. ∴，∴， 即：， ∵经过OA 的外端， ∴AD 是的切线. (2)、∵AH 为的直径， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴.∴， ∴， ∴.24．cosα=AE EC =31试题分析：如图，连接AC ．在Rt △AEC 中，求出AE EC 的值即可，根据AE EC = AE DE =AB CD可以得出结论．试题解析：如图，连接AC ．∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，»»AC BD =， ∴CD AB = ED AE，∠BCD=∠ADC ，∴EC=ED ，AB=6，CD=2，∴AE DE =AE CE =AB CD =62=31，∵AB 是直径， ∴∠ACE=90°，∴cosα=AE EC =31．25．（1）90°；（2）①（52，0）；②S=2t ，5≤S≤10．试题分析：（1）首先过点M 作MH ⊥OD 于点H ，由点M （2，2），可得∠MOH=45°，OH=MH=2，继而求得∠AOM=45°，又由OM=AM ，可得△AOM 是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB 的度数； （2）①由2，MH ⊥OD ，即可求得OD 与OM 的值，继而可得OB 的长，又由动点P 与点B 重合时，OP •OQ=20，可求得OQ 的长，继而求得答案； ②由OD=2Q 的纵坐标为t ，即可得S=1222t ⨯2t ，然后分别从当动点P 与B 点重合时，过点Q 作QF ⊥x 轴，垂足为F 点，与当动点P 与A 点重合时，Q 点在y 轴上，去分析求解即可求得答案．试题解析：（1）过点M 作MH ⊥OD 于点H ，∵点M 22），∴2，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OM=AM ，∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°，∴∠AMB=90°；（2）①∵OH=MH=2，MH ⊥OD ，∴OM=22MH OH +=2，OD=2OH=22，∴OB=4，∵动点P 与点B重合时，OP •OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=52，∴E 点坐标为（52，0）； ②∵OD=22，Q 的纵坐标为t ，∴S=1222t ⨯=2t ，如图2，当动点P 与B 点重合时，过点Q 作QF ⊥x 轴，垂足为F 点，∵OP=4，OP •OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=522，此时S=522⨯=5； 如图3，当动点P 与A 点重合时，Q 点在y 轴上，∴OP=22，∵OP •OQ=20，∴t=OQ=52，此时S=252⨯=10；∴S 的取值范围为5≤S≤10．26．（1）90；（2）作图见解析，P （7，7），PH 是分割线．试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG 的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG 是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P 在以EF 为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP 是正方形的对角线，即点P 在∠FOE 的角平分线上，因此可得P （7，7），PH 是分割线． 试题解析：（1）连接FE ，∵E （8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=25，EG=45，FE=10． ∵()()222254510+=，即222FG EG FE +=．∴△FEG 是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：HPP （7，7），PH 是分割线．27．（1）△CDE 为等腰三角形；（2）证明见解析.试题分析：（1）由∠ABC =30°可得∠BAC =60°，结合DE ⊥AB ，可得∠AED 的度数；根据弦切角定理可得∠DCB =60°，再结合∠ACB =90°，从而可得∠DCE 的度数；（2）由（1）的证明过程可得∠ABC =∠OCB =∠DCE =∠CED =30°，要证明△BOC ≌△EDC ，只要证明BC =CE ，接下来由圆半径为1可得AB 的长，结合含30度角直角三角形的性质以及勾股定理可得AC 、BC 的长，在Rt△AEF 中，先求得AF 的长，再利用含30度角直角三角形的性质可得AE 的长，继而得到CE 的长，从而可证△CDE ≌△COB ．. （1）解：∵∠ABC=30°， ∴∠BAC=60°． 又∵OA=OC ，∴△AOC 是正三角形． 又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°．∴∠DCE=180°﹣60°﹣90°=30°．而ED⊥AB于F，∴∠CED=90°﹣∠BAC=30°．故△CDE为等腰三角形．（2）证明：∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∵∠BAC=60°，AO=CO，∴∠OCA=60°，∵∠DCE=30°．∴A，C，E三点同线在△ABC中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC==．∵OF=，∴AF=AO+OF=．又∵∠AEF=30°，∴AE=2AF=+1，∴CE=AE﹣AC==BC，而∠OCB=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°=∠ABC；故△CDE≌△COB．点拨：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含30°直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的思想，是一道综合性较强的题．28．（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为分析：（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；（2）先证明△DCE∽△DAC，求出CD的长，设⊙O的半径为x,则OA=OC=x，在Rt△OAD中，由勾股精心制作仅供参考鼎尚出品定理列方程即可求出半径的长.详解：证明：（1）AD是⊙O的切线，∴∠DAB＝90°，即∠DAC＋∠CAB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠ABC＝90°，∴∠DAC＝∠B，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB＝∠DAC，又∵∠DCE＝∠OCB，∴∠DAC＝∠DCE；解：（2）∵∠DAC=∠DCE, ∠D=∠D，∴△DCE∽△DAC，∴即，∴DC= .设⊙O的半径为x,则OA=OC=x，在Rt△OAD中，由勾股定理，得，解得x =，答：⊙O 的半径为。

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝58°，则∠BAD的度数为（）A．58°B．60°C．62°D．64°2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD 为（）A．70°B．65°C．50°D．45°3．如图，AD是⊙O的直径，OC⊥AB于E交⊙O于C，∠ADC＝22.5°，AB＝8，则⊙O 的半径为（）A．B．4C．D．54．如图，已知点A、B、C、D在⊙O上，弦AB、CD的延长线交⊙O外一点E，∠BCD＝25°，∠E＝39°，则∠APC的度数为（）A．64°B．89°C．90°D．94°5．圆中一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC的度数是（）A．16°B．20°C．24°D．32°7．如图，已知AB是半⊙O的直径，点C，D都在上，且OC∥BD，AD分别与BC，OC 相交于点E，F，则下列结论错误的是（）A．AD⊥BD B．AF＝DF C．∠AOC＝∠AEC D．BD＝2OF8．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（）A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝B．若CD＝，则⊙O的半径是1C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为．10．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点E在弧AB上，点F在OB上，∠AEF＝90°，若EF＝6，AE＝8，则扇形AOB半径为．11．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC＝°．12．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．13．如图，AB、AC是⊙O的弦，点D是CA延长线上的点，AD＝AB，若∠ADB＝25°，则∠BOC的度数是°．14．在半径为1的⊙O中，弦AB＝，弦AC＝，则∠BAC＝．15．如图，△ABC内接于半径为的半圆，AB为直径，点M是弧AC的中点，连结BM 交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D．（1）∠ADB＝°；（2）当点D恰好为BM的中点时，BM的长为．16．如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为．三．解答题（共6小题，满分40分）17．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，OD∥BC，OD与AC相交于点E，连接AD．（1）若∠B＝50°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，求DE的长．18．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D、E，过点A 作AF∥BC交圆于点F，连接DE、EF．求证：（1）四边形ACEF是平行四边形；（2）EF平分∠BED．20．数学课上，赵老师在黑板上写出以下已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC的中点，以BC为直径作⊙O交AB于点D，连接DE，OD，OE．王洋同学根据赵老师给出的已知条件提出以下两个问题，请你帮助王洋完成：（1）求证：△DOE≌△COE；（2）若⊙O的半径为3，DB＝4，求AD的长．21．如图，已知AB为⊙O的直径，AC、CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，连接BC．（1）求证：OF∥BC；（2）若EB＝4cm，CD＝8cm，求AC的长．22．如图，BD是⊙O的直径，＝，点C是半圆上一动点，且与点A分别在BD的两侧．（1）如图1，若＝5，BD＝4，求AC的长；（2）求证：CD+BC＝AC．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，∴∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝54°，故选：B．2．解：∵AB是⊙O的直径的直径，∴∠ADB＝∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠AEB+∠EAD＝90°，∵C是弧AB的中点，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EAD+∠BAD＝45°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠EAD+∠BCD＝45°，∴∠AEB+∠EAD﹣（∠EAD+∠BCD）＝90°﹣45°＝45°，∴∠AEB﹣∠BCD＝45°．故选：B．3．解：如图，作DE⊥AB于点E，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵BD平分∠CDE，∴DE＝CD＝1，∴AD＝3，∵BD＝BD，∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），∴BE＝BC，在Rt△ADE中，根据勾股定理，AE＝＝＝2，设BE＝BC＝x，在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2＝AC2+BC2，即（2+x）2＝42+x2，∴x＝，∴⊙O的直径AB为3．故选：B．4．解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OD＝CD＝9＝3，OC＝OD+CD＝6，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴∠ACO＝90°，AC＝BC，即AB＝2AC，连接OA，由勾股定理得：AC＝，即AC＝BC＝3，∴AB＝AC+BC＝6．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．6．解：图①，当点D在圆心O的左侧且AD＝2时，过C作CE⊥AB，垂足为E，连接CD．CO、CB，∵，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∴DE＝BE＝3，∵DO＝2，∴OE＝1，∴AE＝5，CE2＝CO2﹣OE2＝15，∴AC＝；如解图②，当点D在圆心O的右侧且BD＝2时，过C作CE⊥AB，垂足为E，连接CD、CO、CB，∵，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∴DE＝BE＝1，∴OE＝3，∴AE＝7，CE2＝CO2﹣OE2＝7，∴AC＝，∴DA、DB的长均不小于2，则≤AC≤，∴AC的长可能是7．故选A．7．解：连接AC，∵A是半圆弧CAB的中点，∴，∴AB＝AC，∵OB＝OC，∴AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠DOC＝90°﹣β，∴∠DBO＝∠DOC＝45°﹣β，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠DBO＝45°﹣β，∴∠AED＝∠ODB+∠DOA，即α＝β+45°﹣β，∴2α﹣β＝90°，故选：D．8．解：连接OA、DE，如图，∵A为的中点，∴＝，∵直径BC⊥AE，∴AH＝EH，＝，∴＝，∴∠EAC＝∠DCA，∴F A＝FC，∵∠FDE＝∠EAC，∠FED＝∠DCA，∴∠FED＝∠FDE，∴FD＝FE，设DF＝2x，则CD＝6x，FE＝2x，AE＝6x，∴AH＝EH＝3x，在Rt△CHF中，CH2＝CF2﹣FH2＝（8x）2﹣（5x）2＝39x2，在Rt△CHA中，CH2＝AC2﹣AH2＝42﹣（3x）2＝16﹣9x2，∴16﹣9x2＝39x2，解得x＝，∴AH＝，CH＝x＝，设⊙O的半径为r，则OH＝﹣r，OA＝r，在Rt△OAH中，（）2+（﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．故选：B．1．解：如图，连接AC，∵AD是半圆的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣58°＝32°，∵C是弧BD的中点，∴，∴∠CAD＝∠CAB＝32°，∴∠BAD＝32°+32°＝64°．故选：D．2．解：∵OF⊥BC，∴∠BFO＝90°，∵∠BOF＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°，∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴＝，∴∠AOD＝2∠B＝50°．故选：C．3．解：∵∠ADC＝22.5°，∴∠AOC＝2×22.5°＝45°，∵OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，AE＝BE＝AB＝4，∴OE＝AE＝4，在Rt△AOE中，2AE2＝OA2，∴OA＝4．故选：A．4．解：∵∠BCD＝25°，∠E＝39°，∴∠ABC＝∠BCD+∠E＝64°，由圆周角定理得：∠BAD＝∠BCD＝25°，∴∠APC＝∠BAD+∠ABC＝89°，故选：B．5．解：如图：AB＝2AC，AB为⊙O的直径，连接BC，AD，CD，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∵∠B+∠D＝180°，∴∠D＝150°，即这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°，故选：C．6．解：∵∠ABD是所对的圆周角，∴∠ABD＝∠AOD＝×128°＝64°，∵∠ABD是△BDE的外角，∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°，故选：C．7．解：∵AB是半⊙O的直径，∴∠D＝90°，∴AD⊥BD，故A不符合题意；∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠D＝90°，∴AF＝DF，故B不符合题意；∵AE≠EB，∴∠EAB≠∠ABC，∵∠AEC≠2∠ABC，∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOC≠∠AEC，故C符合题意；∵OC∥BD，OA＝OB，∴AF＝DF，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF，故D不符合题意；故选：C．8．解：A、∵OC＝OB＝2，∵点E是OB的中点，∴OE＝1，∵CD⊥AB，∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，∴CE＝＝，∴CD＝2CE＝2，本选项错误不符合题意；B、根据CD＝，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；C、∵∠A＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴BC＝OC，∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∴BC＝BD，∴OC＝OD＝BC＝BD，∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．D、∵四边形OCBD是平行四边形，∴OC＝BC，∵OC＝OB，∴OC＝OB＝BC，∴∠BOC＝60°，∴∠CAB＝∠BOC＝30°，故本选项错误不符合题意．故选：C．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DCE＝72°，∴∠A＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．10．解：如图，连接OC．∵AB＝8cm，∴OA＝OC＝4cm，∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝4cm．故答案为：4．11．解：如图，当点C在优弧AB上时，作OD⊥AB于D，则AD＝BD＝AB＝×2＝，在Rt△AOD中，OA＝2，AD＝，∴∠OAD＝30°，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°，当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝120°，综上所述，∠ACB的度数为60°或120°．故答案为：60°或120°．12．解：如图，连接AC，CD，DE．设∠ABC＝α，∵，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∵，∴AC＝CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°．故答案为：22.5°．13．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EAB+∠DCB＝180°，∵∠ECD+∠DCB＝180°，∴∠EAB＝∠ECD＝75°，∵∠ECD是△FCB的外角，∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，故答案为：50°．14．解：如图，连接AC、AB、BC，过点C作CH⊥OA于H，∵∠AOC＝60°，CH⊥OA，∴∠OCH＝30°，∵OC＝3，∴OH＝OC＝，CH＝＝＝，∵点A（4，0），∴OA＝4，∴AH＝OA﹣OH＝4﹣＝，在Rt△ACH中，AC＝＝＝，∵∠BOA＝90°，∴AB为⊙M的直径，∴∠BCA＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AB，AB2＝AC2+BC2，∴，∴，在Rt△AOB中，OB2＝AB2﹣AO2＝，∴OB＝，∴点B的坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．15．解：如图，连接DO并延长交⊙O于点E，连接CE，∵DE是⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，CE2+CD2＝DE2，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ABC，∴＝，∴＝，∴CE＝AB，∵AB2+CD2＝100，∴CE2+CD2＝100，即DE2＝100，∴DE＝10，∴OD＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．16．解：连接AC，根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为AC，∵AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2，∴＝＝，∴∠ABC＝2∠ACB，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，∴AC＝•AB＝2，所以阴影部分周长的最小值为AC+CD＝2+2，故答案为：2+2．9．解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝40°，∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠A＝140°．故答案为：140°．10．解：解法一：如图，扇形AOB为以O为圆心，以OA为半径的圆的一部分，延长EF 交⊙O于点C，连接OC，∵∠AEF＝90°，∴AC为⊙O的直径，∴A、O、C三点共线，∵OA＝OC，∠AOB＝90°，∴BO⊥AC，∴BO是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，在Rt△AEF中，EF＝6，AE＝8，∴AF＝＝＝10，∴CF＝AF＝10，∴CE＝CF+EF＝16，∴AC＝＝＝8，∴OA＝AC＝4，即扇形AOB半径为4，解法二：连接OE，过点E作EM⊥OA于点M，在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，EF＝6，AE＝8，＝＝，∵∠F＝∠MOE，设EM＝4x，则OM＝3x，OE＝＝5x，∴OA＝OE＝5x，∴AM＝OA﹣OM＝2x，在Rt△AEM中，AE2＝AM2+EM2，∴82＝（2x）2+（4x）2，∴x＝或x＝﹣（舍去），∴OA＝5×＝4，∴扇形AOB半径为4，故答案为：4．11．解：∵OA⊥BC，∴．∴∠ACD＝∠AOB．∵∠AOB＝50°，∴∠ADC＝25°．故答案为：25．12．解：如图，∵∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，∴BAC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，由题意当AD⊥BC时，⊙O的半径最小，∵∠EAF＝60°，是定值，∴此时EF的值最小，过OD的中点K作MN⊥AD交⊙O于M、N，连接ON、AN、AM，则△AMN是等边三角形，在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝2，∴OK＝KD＝，ON＝，在Rt△ONK中，NK＝KM＝＝，∴MN＝，∴∠EAF＝∠MAN＝60°，∴＝，∴EF＝MN＝，∴EF的最小值为，故答案为：．13．解：∵AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝25°，∴∠BAC＝25°×2＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×50°＝100°．故答案为：100°．14．解：作直径AD，连接OC，BD，∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，∴cos∠BAD＝＝，∴∠BAD＝30°，∵OC＝OD＝1，AC＝，∴OC2+OD2＝AC2，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠CAO＝45°，当AC与AB在AD的两旁时，如图1，∠BAC＝∠CAO+∠CAO＝45°+30°＝75°，当AC与AB在AD的同旁时，如图2，∠BAC＝∠CAO﹣∠CAO＝45°﹣30°＝15°，综上所述，∠BAC的度数为15°或75°．故答案为15°或75°．15．解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵，∴∠CBM＝∠ABM，∵∠CAD＝∠BAD，∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，故答案为：135．（2）如图，连接AM．∵AB是直径，∴∠AMB＝90°，∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，∴MA＝MD，∵DM＝DB，∴BM＝2AM，设AM＝x，则BM＝2x，∵AB＝2，∴x2+4x2＝40，∴x＝2（负根已经舍弃），∴BM＝4，故答案为4．16．解：∵OB＝2，OA＝2，∴AB＝＝4，∵∠AOP＝45°，∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），∵∠AOB＝90°，∴AB是直径，∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，∴∠CFP＝90°，∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，舍去不合适的根，可得：a＝1+，则P点坐标为（+1，+1）．∵P与P′关于圆心（，1）对称，∴P′（﹣1，1﹣）．故答案为：（+1，+1）或（﹣1，1﹣）三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）过点O作OE⊥AB于E，则AE＝BE＝AB＝4，∵OP＝3，∠OPB＝45°，∴OE＝3×＝3，∴OB＝＝＝5；（2）证明：过点O作OF⊥CD于F，∵CD⊥AB，∴∠FPE＝90°，∵∠OPB＝45°，∴∠FPO＝45°，∴∠FPO＝∠OPE，∴OP平分∠EPF，∵OF⊥CD，OE⊥AB，∴OE＝OF，∴AB＝CD．18．解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝2，在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD＝．即CD的长为：．19．解：（1）△BDE为等腰直角三角形．理由如下：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．∵AB为直径，∴∠ADB＝90°∴△BDE是等腰直角三角形．另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，∴BD＝2．∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解得t＝3，∴BF＝4．∴BC＝8．另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．20．（1）证明：∵AG＝CG，∴∠DCA＝∠CAF，∵＝，∴∠CAF＝∠CDF，∴∠ACD＝∠CDF，∴AC∥DF；（2）解：如图，连接CO，∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE，∵∠DCA＝∠CAF，∴＝，∴＝＝，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，∵DF是直径，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，∵CE⊥AO，∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，∴CE＝3＝DE，∵AG2＝GE2+AE2，∴AG2＝（3﹣AG）2+9，∴AG＝2，∴GE＝，∴DG＝4．21．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r．∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，解得r＝5，∴⊙O的半径为5．22．（1）证明：∵∠ABC＝30°，又∵∠D＝∠ABC，∴∠D＝30°；（2）解：结论：AF＝2CH．理由：延长DC到T，使得CT＝CQ．∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝∠AOC＝60°，AC＝OA＝OC，∴CT＝OC＝OA，∠AOF＝∠GCT＝120°，∵OA＝AC，DF＝AG，∴OF＝CG，在△CGT和△OF A中，，∴△CGT≌△OF A（SAS），∴AF＝GT，∵OH＝HG，OC＝CT，∴GT＝2CH，∴AF＝2CH．17．解：（1）连接OC．∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝50°，∵∠AOC＝2∠B＝100°，∴∠AOD＝∠COD＝50°，∴∠CAD＝∠COD＝25°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝OD＝5，∴．∵∠AOD＝∠COD，OA＝OC，∴AE＝EC，∴OE＝BC＝3．∴DE＝OD﹣OE＝2．18．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A，∴∠1＝∠2，∴CF＝BF；（2）∵C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD＝12，又∵在Rt△ABC中，AC＝16，∴由勾股定理可得：AB＝20，∴⊙O的半径为10，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝9.6．19．证明：（1）连接AE，BF，如图，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，BE＝CE．∵AE∥BC，∴∠AEC＝∠EAF＝90°，∴∠F AE＝∠BF A＝∠BEA＝90°，∴四边形F AEB是矩形，∴F A＝BE＝CE，∵AF∥CE，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）∵四边形AEBF是圆内接四边形，∴∠AFE+∠ADE＝180°，∵∠CDE+∠ADE＝180°，∴∠CDE＝∠AFE，∵EF∥AC，∴∠FED＝∠CDE，∴∠FED＝∠AFE，∵AF∥BC，∴∠FEB＝∠AFE，∴∠BEF＝∠FED，∴EF平分∠BED．20．（1）证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵点E是AC的中点，∴DE＝AC＝EC．在△DOE与△COE中，，∴△DOE≌△COE（SSS）；（2）解：∵点E是AC的中点，点O是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB．设OE＝x，则AB＝2x，AD＝2x﹣4．在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∴CD＝＝＝2．在Rt△OCE中，∵∠OCE＝90°，∴CE＝＝，∴AC＝2CE＝2．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴AC2＝CD2+AD2，∴（2）2＝（2）2+（2x﹣4）2，解得，x＝4.5，∴AD＝2×4.5﹣4＝5．21．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵OF⊥AC，∴OF∥BC；（2）解：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝CD＝×8＝4（cm），设⊙O的半径为rcm，则OC＝rcm，OE＝（r﹣4）cm，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，∴r2＝（4）2+（r﹣4）2，解得：r＝8，∴OE＝8﹣4＝4（cm），∴AE＝8+4＝12（cm），∴AC＝＝＝8（cm）．22．（1）解：连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∵＝5，∴∠BOC＝∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝180°×＝30°，∴∠BDC＝∠BOC＝15°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝60°，∴∠ADC＝∠AEC＝60°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CAE＝90°，∵CE＝BD＝4，∴AC＝CE sin60°＝4×＝2；（2）证明：过点A作F A⊥AC，交CD的延长线于点F，∴∠CAF＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAF﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠DAF，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵AB＝AD，∴△ABC≌△ADF（ASA），∴AC＝AF，BC＝DF，∴△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AC，∴CD+DF＝AC，∴CD+BC＝AC．。

O D C B A B A EOC A OA24 圆周角（2）课堂达标：1下列结论中，正确的有 （ ） ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2在⊙O 中，圆心角AOB=56°，弦AB 所对的圆周角等于 （ ） A ．28° B ．112° C．28°或152° D．124°或56°3如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB=8，∠DCB=30°则弦BD=_________。

4（2013•张家界）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= ． 5．（2013•遵义）如图，OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，且OC⊥AB，点P 在⊙O 上，∠APC=26°，则∠BOC= 度．第3题图第4题图 第5题图6如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB。

求证：B 是弧DE 的中点。

7如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的半圆交BC 于点D ，交AC 于点E ，已知弧D E 为40°，求∠A 与弧AE 的度数。

拓展提升一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100，测得圆周角∠C ＝45°，求这个人工湖的直径．AOB1 如图，AB 是⊙O 的直径，∠A=10°,则∠ABC=________2 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______3 如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上的任意一点(不与点A 、B 重合)，延长BD 到点C ， 使DC=BD ，判断△ABC 的形状：__________。

2.4 圆周角（1）【基础提优】1．如图，已知点A ，B ，C 都在⊙O 上，如果∠AOB +∠ACB=84°，那么∠ACB 的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．28°D ．40°第1题 第3题2．已知△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D ，∠A=50°，则∠OCD 的度数是（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD ，则⊙O 的半径为（ ）A ．B ．5C ．4D ．34．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC 的度数是 ．第4题 第5题5．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠C=20°，∠B=30°，则∠BOC= ．6．如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别交⊙O 于C ，D 两点，已知AB ⌒和CD ⌒所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P= ．第6题 第7题7．如图，已知点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，OB ⊥AC ，如果∠BOC=56°，那么∠ADB= ．8．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O 的半径为2，求弦BC 的长．【拓展提优】1．如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数是（）A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°第1题第2题2．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°3．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC 的度数是（）A．26°B．52°C．38°D．76°第3题第4题⌒的中点，已知∠AOB=98°，∠COB=120°，则∠ABD的度数4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC是（）A．95°B．98°C．109°D．101°5．如图，P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，一定不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP= 30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形第5题第6题6．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD= ．7．如图，AB是⊙O的直径，P为半圆上任意一点（不与点A，B 重合），Q为另一半圆上一定点，若∠POA 的度数为x°，∠PQB的度数为y°，则y与x之间的关系式是．第7题第8题⌒所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D的度数8．如图，点O为ACB为．9．在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，交⊙O于点B．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数．参考答案【基础提优】1-3 CAB4．50°5．100°6．20°7．28°8．【拓展提优】1-5 DBBDC6．65°7．190(0180) 2y x x=-+<<8．27°9．（1）233（2）40°。

2.4圆周角—2023-2024学年苏科版数学九年级上册堂堂练1.如图，在图中标出的4个角中，圆周角的个数为( )A.1B.2C.3D.42.如图, 已知的半径为 5,AB,CD为的弦, 且. 若, 则弦AB的长为( )A. 6B. 7C. 8D. 93.如图，点A、B、C都在上，若，则的度数为( )A. B. C. D.4.如图，点A，B，C，D四个点均在上，，则为( )A.35°B.70°C.110°D.120°5.如图，A，B，C，D是上的点，则图中与相等的角是( )A. B. C. D.6.如图，在中，，，则弦AB的长度是___________.7.如图，AB和CD是的两条直径，顺次连接AC，CB，BD和DA，得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状一定是___________.8.如图，AB为的直径，C、D为圆上的两点，，OC交AD于点E.(1)求证：；(2)若，，求的半径.答案以及解析1.答案：B解析：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边不和圆相交，故图中圆周角有和两个.故选B.2.答案：C解析：如图, 顺时针旋转, 使OC与OA重合,，BD是的直径,，，3.答案：C解析：，，故选C.4.答案：C解析：四边形ABCD是圆内接四边形，，故选C.5.答案：D解析：与都是所对的圆周角，.故选D.6.答案：2解析：，，，是等边三角形，.故答案为：2.7.答案：矩形解析：AB和CD是的两条直径，，四边形ABCD的形状是矩形，故答案为：矩形.8.解析：(1)证明：AB为的直径，，，弧弧DC(2)设的半径为，则.在中，由勾股定理可得，即，解得，圆O的半径为.。

初中数学苏科版九年级上册 2.4 圆周角同步测试一、单选题1.下列命题正确是（）A.相等的圆心角所对的弧是等弧B.等圆周角对等弧C.任何一个三角形只有一个外接圆D.过任意三点可以确定一个圆2.如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是（）.A. B. C.D.3.如图，是⊙ 的直径，点在⊙ 上.若，则等于（）A.25°B.40°C.50°D.55°4.如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，⊙BAC=15°，⊙CED=30°，则⊙BOD的度数为（）A.45°B.60°C.75°D.90°5.如图，为⊙ 的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角的度数为（）A.57°B.52°C.38°D.26°6.如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且⊙ACB＝100°，则⊙α＝（）A.80°B.100°C.120°D.160°7.用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（）A. B. C. D.8.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，⊙ABC＝70°，则⊙ADC的度数是（）A.70°B.110°C.130°D.140°9.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，⊙ADC＝106°，则⊙CAB等于（）A.10°B.14°C.16°D.26°。