2017_2018学年高中数学专题公理4及等角定理的应用课堂同步试题新人教A版

第三章 三角恒等变换（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数sin2y x x =的图象的一条对称轴方程为（ ） A ． π12x =B ． π12x =-C ． π6x =D ． π6x =- 【答案】B2. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23cos cos 2tan 210πααα⎛⎫++==⎪⎝⎭，则（ ） A.12 B.13C.14 D.15【答案】B【解析】103)22cos(cos 2=++απα，23cos 2sin cos 10ααα-= 2212tan 33tan 20tan 701tan 10αααα-=⇒+-=+所以()1tan ,tan 73αα==-舍3. θ为锐角，sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1tan tan θθ+=（ ） A ．2512 B ．724 C ．247 D ．1225【答案】A【解析】因为θ为锐角，且sin()410θπ-=(0,)42θππ-∈，所以cos()410θπ-=，所以1tan()47θπ-=，即tan tan1471tan tan4θθπ-=π+，解得3tan 4θ=，所以13425tan tan 4312θθ+=+=，故选A ． 4．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A.34-B.34C.43-D.43【答案】B 【解析】由sin cos 1sin cos 2αααα+=-可得3tan -=α,则439162tan =--=α,故应选B.5．若tan =34α⎛⎫+- ⎪⎝⎭π，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.95 B.1 C.35- D.75-【答案】A【解析】3tan 1tan 1)4tan(-=-+=+ααπα，解得2tan =α，2222cos 4sin cos cos 2sin 2sin cos ααααααα++=+214tan 9tan 15αα+==+.故选A. 6. 【2018届天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校高三上学期期中】若点()cos ,sin P αα 在直线2y x =-上，则2sin cos 22παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A. 0 B. 25 C. 65 D. 85【答案】D7. 【2018届甘肃省会宁县第一中学高三上学期第三次月考】若4cos 5α=-, α是第三象限的角,则1tan 21tan2αα+=-（ ）A. 12-B. 12C. 2D. -2 【答案】A【解析】试题分析：∵4cos 5α=-， α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin21cos sin 1tan cos cos sin 2222221tan sin cos sin cos sin cos sin 222222221cos2αααααααααααααααα+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-22311sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα⎛⎫+- ⎪++⎝⎭====---．8.【2018届四川省成都市双流中学高三11月月考】若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，则，可得，则，故选C.9.【2018届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上学期期中】下列各式） A. 0sin15cos15 B. 22cos sin 1212ππ- C. 001tan151tan15+-【答案】B【解析】A. 00011sin15cos15sin3024== B ．22cos sin cos12126πππ-==C ． 001tan151tan15+- 0tan752==D ．0cos15= 故答案为B.10．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin(2)2πθ+=（ ）A ．10-B ．10C ．10-D ．10【答案】D11.函数())cos 3(sin sin 21x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数()x g 的图象，则函数()x g 的解析式是 ( ) A ． ()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin 2πx x g B ．()x x g 2cos 2= C ．()⎪⎭⎫⎝⎛+=322cos 2πx x g D ．()()2sin 2g x x π=+ 【答案】A【解析】化简函数)62sin(2)26sin(22sin 32cos 2sin 3sin 21)(2ππ--=-=-=--=x x x x x x x f 的图象向左平移3π个单位得函数()x g 的图象，则)22sin(2)]22(sin[2)22sin(2]6)3(2sin[2)3()(πππππππ-=++-=+-=-+-=+=x x x x x f x g ，故选A ．12.已知02πα<<，02πβ-<<，3cos()5αβ-=-，4tan 3α=，则sin β=（ ）A ．725B ．725-C.2425 D ．2425- 【答案】B【解析】根据α和β的范围得出βα-的范围，然后由)cos(βα-和αtan 的值，利用同角三角函数间的基本关系，即可求出)sin(βα-，αsin 及αcos 的值，然后由)(βααβ--=，利用两角差的正弦函数公式把所求的式子化简后，将各自的值代入即可求出值． 因为20πα<<，02<<-βπ，得到πβα<-<0，由53)cos(=-βα，得到54)53(1)sin(2=-=-βα， 由43tan =α，得到54tan 11cos 2=+=αα，则53sin =α，则)sin(cos )cos(sin )](sin[sin βααβααβααβ---=--= 25754545353-=⨯-⨯=，故答案为：257-. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.求值__ __． 【答案】 【解析】由题意可得，由诱导公式得14.若1tan 4α=，则tan()4πα-= . 【答案】35【解析】由题tantan 1tan 34tan()41tan 51tantan 4παπααπαα---===++.故本题答案应填35.15. 【2018届山东省潍坊市高三上学期期中】已知，，则__________． 【答案】 【解析】，又，，∴，∴故答案为：. 16．已知sin 3α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则sin()αβ-的值等于__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）求值：．【解析】sin10cos 40sin 5013cos 40sin 5013tan10cos10701cos 40sin 701cos 40⎛++ ++=++ cos103sin10cos 40sin 50701cos 40⎫++⎪⎝⎭+2sin 40cos 40sin 50cos10701cos 40++2sin 40cos 40cos 40cos10701cos 40sin 701cos 40+=++22222cos 207012cos 201==+- . 18．（本小题12分）【2018届河南省南阳一中高三上学期第三次考试】已知tan 2α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值. 【答案】（1）-3（2）1【解析】试题分析：（1）利用两角和的正切函数化简求解即可． （2）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 试题解析：（1）tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+= ⎪⎝⎭- tan 12131tan 12αα++===--- （2）原式()2222222sin cos sin sin cos 2cos 112sin cos sin sin cos 2cos 2tan 221tan tan 2222ααααααααααααααα=+---=+-⨯===+-+- 19．（本小题12分）已知向量()()1,3,cos ,sin OA OB a a =-=-，且2AOBp?． （1）求()2sin 2cos sin 2cos 21p a aa a -+++；（2）若α是钝角，a b -是锐角，且()3sin 5a b -=，求sin β的值． 【答案】（1）14；（2【解析】 （1）02AOB OA OB π∠=∴⋅=,1cos 3sin 0tan 3ααα∴--=⇒=-，()222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 11sin 2cos 212sin cos 2cos 2tan 24παααααααααααα-+++===++++ （2）∵α是钝角，1tan 3α=-，cos 1010αα∴=-=， ∵αβ-为锐角，()3sin 5αβ-=， ()4cos 5αβ∴-=．()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ∴=--=---=⎡⎤⎣⎦． 20．（本小题12分）【2018届全国18名校大联考高三第二次联考】已知向量()2,sin m α=， ()cos ,1n α=-，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求sin2α和cos2α的值；（2）若()sin αβ-=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β. 【答案】（1）4sin25α=， 3cos25α=-；（2）4πβ=. 【解析】试题分析：（1）由已知得2cos sin 0αα-=，从而由22cos sin 1αα+=即可得cos α和sin α，由二倍角公式即可得解；（2）由()sin sin βααβ⎡⎤=--⎣⎦利用两角差的正弦展开即可得解. 试题解析：（1）∵m n ⊥，∴2cos sin 0αα-=， 即sin 2cos αα=.代入22cos sin 1αα+=，得25cos 1α=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=， sin α=则sin22sin cos ααα== 42555⨯=. 2cos22cos 1αα=-= 132155⨯-=-.21.（本小题12分）已知函数()22cos f x x x =-． （1）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的单调递增区间．【答案】（1）0；（2）()f x 的单调递增区间是πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈.【解析】试题分析：（1）由三角函数二倍角公式和化一公式化简原式子，代入要求的函数值即可；（2）根据三角函数的单调性求得单调区间即可.（1）函数()22cos f x x x =-，∴22πππ22cos 2666f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0=；（2）()21cos2π2cos 2cos212sin 2126x f x x x x x x x +⎛⎫=-=-⋅=--=-- ⎪⎝⎭ 令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+， k Z ∈， 解得ππππ63k x k -+≤≤+， k Z ∈；所以函数()f x 的单调递增区间是πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈．22．（本小题12分）设向量()4cos ,sin a αα=，()sin ,4cos b ββ=，()cos ,4sin c ββ=-。

【答案】A
【 解析】由题意得，根据三角函数的平方关系 cos2 1 sin2 25 ，又因为 是第三象限的角， 169
所以 cos 5 ，所以 tan sin 12 ，故选 A．
13
cos 5
11．设角 的终边经过点 P(3, 4) ，那么 sin 2 cos （ ）
5
5
5
又∵P(-2, y) 是角 θ 终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= - 2 5 .
5
x
19．已知角 α 的终边经过点 P(x，－2)，且 cosα＝ ，求 sinα和 tanα.
3
25
【答案】
5
20．α 是第二象限角，P(x，
5 )为其终边上一点，且 cosα＝
2
x，求 sinα 的值．
【答案】D
【解析】因为 0 ，所以 cos 0 , sin 0 ，则点 Q(cos , sin ) 位于第四象限，故选 D 2
10.已知 sin 12 ，且 是第三象限的角，则 tan 的值为（ ） 13
12
A．
5
B． 12 5
5
C．
12
D． 5 12
5
3
【解析】
试题分析：(1)由任意角的三角函数的定义可得关于 m 的方程；（2）结合（1）由同角间的 基本关系式可
求.
求值过程中应注意角的范围,从而判断三角函数值的符号.
（2）解法一：
已知

(
,
) ，且 cos


3
,
2
5
由 sin2 cos2 1 ,
8分
得 sin 1 cos2 1 ( 3)2 4 , 55

A. 0 B. C. D.
5 5 5
【答案】D
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．函数 y sin 2x 3 cos 2x 的图象的一条对称轴方程为（ ）
12 24 7 25
【答案】A
2 7 2
【解析】因为 为锐角，且 sin( ) ，所以 (0, ) ，所以 cos( ) ，所以
1 2 2

1 tan cos cos sin cos sin
2
在直线 y 2x 上，则 sin cos 2 （ ）
2
2 6 8
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 4 5
【答案】B
3 3
1 tan 10
1
所以 tan , tan 7舍
3
2 1
3. 为锐角， sin ，则 tan （ ）
【解析】 cos2 cos( 2) ， cos2 2sin cos
2 10 10
1 2 tan 3 2
2 3tan 20 tan 7 0
4
7. 【2018 届甘肃省会宁县第一中学高三上学期第三次月考】若 cos , 是第三象限的角,则
5
4
sin cos 1
4．若 ，则 tan 2 等于（ ）
sin cos 2
3 3
A. B.
【解析】 tan( ) 3 ，解得 tan 2 ， cos2 2sin 2

课时规范练17同角三角函数的基本关系及诱导公式基础巩固组1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是()A.sin θ<0,cos θ>0B.sin θ>0,cos θ<0C.sin θ>0,cos θ>0D.sin θ<0,cos θ<02.若cos(3π-x)-3cos=0,则tan x等于()A.-B.-2C. D.3.已知锐角α满足5α的终边上有一点P(sin(-50°),cos 130°),则α的值为()A.8°B.44°C.26°D.40°4.等于()A.sin 2-cos 2B.sin 2+cos 2C.±(sin 2-cos 2)D.cos 2-sin 25.sin+cos-tan=()A.0B.C.1D.-6.已知α为锐角,且tan(π-α)+3=0,则sin α的值是()A. B.C. D.7.已知sin(π-α)=-2sin,则sin α·cos α等于()A. B.-C.或-D.-8.已知cos,且-π<α<-,则cos等于()A. B.-C. D.-〚导学号24190735〛9.已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是.10.若f(cos x)=cos 2x,则f(sin 15°)= .11.已知α为第二象限角,则cos α+sin α=.12.已知k∈Z,则的值为.综合提升组13.若3sin α+cos α=0,则的值为()A. B.C. D.-214.已知sin θ=,cos θ=,其中θ∈,则下列结论正确的是()A.3≤m≤9B.3≤m<5C.m=0或m=8D.m=815.已知角α和β的终边关于直线y=x对称,且β=-,则sin α等于()A.-B.C.-D.16.已知cos=a(|a|≤1),则cos+sin的值是.〚导学号24190736〛创新应用组17.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ的值为()A.1B.-C. D.-〚导学号24190737〛18.已知函数f(x)=a sin+b tan(a,b为常数,x∈R).若f(1)=1,则不等式f(31)>log2x的解集为.课时规范练17同角三角函数的基本关系及诱导公式1.B∵sin(θ+π)< 0,∴-sin θ<0,即sin θ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cos θ>0,即cos θ<0.故选B.2.D∵cos(3π-x)-3cos=0,∴-cos x+3sin x=0,∴tan x=,故选D.3.B点P(sin(-50°),cos 130°)化简为P(cos 220°,sin 220°),因为0°<α<90°,所以5α=220°,所以α=44°.故选B.4.A=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.5.A原式=sin+cos-tan=sin+cos-tan-1=0.6.B由tan(π-α)+3=0得tan α=3,即=3,sin α=3cos α,所以sin2α=9(1-sin2α),10sin2α=9,sin2α=.又因为α为锐角,所以sin α=.7.B∵sin(π-α)=-2sin,∴sin α=-2cos α,∴tan α=-2.∴sin α·cos α==-,故选B.8.D∵cos=sin,又-π<α<-,∴-α<.∴cos=-=-.9.-1由已知得tan α=-2,所以2sin αcos α-cos2α==-1.10.- f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-.11.0原式=cos α+sin α=cos α+sin α.因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以cos α+sin α=-1+1=0,即原式等于0.12.-1当k=2n(n∈Z)时,原式====-1.当k=2n+1(n∈Z)时,原式====-1.综上,原式=-1.13.A3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-.14.D因为θ∈,所以sin θ=≥0,①cos θ=≤0,②且=1,整理,得=1,即5m2-22m+25=m2+10m+25,即4m(m-8)=0,解得m=0或m=8.又m=0不满足①②两式,m=8满足①②两式,故m=8.15.D终边在直线y=x上的角为kπ+(k∈Z),因为角α和β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+(k∈Z).又β=-,所以α=2kπ+(k∈Z),即得sin α=.16.0∵cos=cos=-cos=-a,sin=sin=cos=a,∴cos+sin=0.17.B设直角三角形中较小的直角边长为x,∵小正方形的面积是,∴小正方形的边长为,直角三角形的另一直角边长为x+,又大正方形的面积是1,∴x2+=12,解得x=,∴sin θ=,cos θ=,∴sin2θ-cos2θ==-,故选B.18.(0,2)由f(31)=a sin+b tan=a sin+b tan=f(1)=1,则f(31)>log2x,即1>log2x,解得0<x<2.。